Производная сложных функций примеры: Производная сложной функции, примеры решений

Сложная функция. Производная сложной функции

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, «с чем ее едят», и «как правильно ее готовить».

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

Заметим, что аргумент , стоящий в правой  и левой части уравнения функции — это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной  мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию

.

Назовем выражение  промежуточным аргументом, а функцию  — внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция   определена на множестве  и  — множество значений этой функции. Пусть, множество  (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим  в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,   — внешняя функция,  — промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

В этом выражении  с помощью обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

 последнее действие  — возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

как 

Получим 

Ищем в таблице производных  производную показательной функции:

Получим:

    (1)

Теперь наша задача найти производную функции

Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие — возведение в квадрат, а промежуточный аргумент .

Получаем:

Смотрим в таблице производных производную синуса:

Получаем:

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

Таким образом,

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Урок «Производная сложной функции»

Тип урока: комбинированный

Цели:

образовательная:

– формирование понятия сложной функции;

— формирование умения находить по правилу производную сложной функции;

— отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

— развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

— развивать наглядно-действенное творческое воображение;

— развивать познавательный интерес.

воспитательная:

— воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

— формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

— воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Студент должен знать:

понятие сложной функции, правило нахождения ее производной.

Студент должен уметь:

находить по правилу производную сложной функции, использовать это правило при решении примеров.

Межпредметные связи: физика, геометрия, экономика.

Оснащение урока: мультимедиа-проектор, магнитная доска, классная доска, мел, раздаточный материал к уроку.

План урока:

  Сообщение цели, задач урока и мотивации учебной деятельности – 3 мин.

1. Проверка выполнения домашнего задания – 5 мин (фронтальная проверка, самоконтроль).
2. Всесторонняя проверка знаний – 10 мин (фронтальная работа, взаимоконтроль).
3. Подготовка к усвоению (изучению) нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний – 5 мин (проблемная ситуация).
4. Усвоение новых знаний – 15 мин (фронтальная работа под руководством преподавателя).
5. Первичное осмысление и понимание нового материала — 20 мин (фронтальная работа: один студент показывает решение примера на доске, остальные решают в тетрадях).
6. Закрепление новых знаний – 15 мин (самостоятельная работа – тест в двух вариантах, с дифференцированными заданиями).
7. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении – 2 мин.
8. Подведение итогов урока, рефлексия – 5 мин.

I. Ход урока:  Сообщение цели, задач и плана урока, мотивации учебной деятельности:

— проверить подготовленность аудитории и готовность студентов к уроку, отметить отсутствующих.

— отметить, что на данном уроке продолжается работа по теме “Производная функции”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом заданы примеры на нахождение производной функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) в точке х=0.

Ответы спроецированы на мультимедиапроектор.

— студенты индивидуально проверяют свои ответы и ставят себе (самоконтроль) оценку в лист контроля. У каждого студента имеется лист контроля, критерий оценки за домашнюю работу и образец листа контроля в раздаточном материале к уроку

Лист контроля

Фамилия, имя студента	Домашняя работа	игра “Математическое лото”	Тест	Итоговая оценка

— вызвать к доске студента показать оформление решения примера № 5 с комментарием выполненных действий.

— обратить внимание на правильное решение и правильное оформление решения домашнего примера №5.

III. Всесторонняя проверка знаний.

— игра “Математическое лото” — проверка знаний правил дифференцирования, таблицы производных.

В специальном конверте каждой паре студентов предлагается набор карточек (всего 10 карточек). Это — карточки-формулы. Имеется другой набор карточек. Это — карточки-ответы, которых больше, так как среди ответов есть ложные ответы. Студент находит ответ на задание, и этой карточкой (ответом) накрывает соответствующий номер в специальной карте. Студенты работают в паре, поэтому оценивают друг друга, выставляют оценки в лист контроля согласно критерия: “5” — знает 9-10 формул; “4” — знает 7-8 формул; “3” — знает 5-6 формул; “2” — знает меньше 5 формул.

Идет проверка и оценка знаний формул на магнитной доске. В случае правильных ответов на магнитной доске обратные стороны карточек-ответов составляют большую картину, которую видит вся группа. Номера в специальной карте совпадают с номерами карточек-формул. Если раскрыть на магнитной доске ответы с обратной стороны, то все карточки в целом образуют картину.

IV. Подготовка к (усвоению) изучению нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

— постановка проблемной ситуации: найти производную функции ;

— на прошлых уроках мы научились находить производные элементарных функций. Функции сложные. Умеем ли мы находить производные сложных функций?

[Нет.]

Значит, с чем мы должны сегодня познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Студенты сами формулируют тему и задачи урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

— историческая справка, связь с будущей профессиональной деятельностью.

V. Усвоение новых знаний.

— показать на доске нахождение производных функций: ;

— решите примеры:

1)

2)

3)

4) ;

5) ;

6) .

VI. Первичное осмысление и понимание нового материала.

— повторить алгоритм нахождения производной сложной функции;

— решить примеры:

1)

2)

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7)

8)

VII. Закрепление новых знаний с помощью теста по вариантам.

Задания с тестами дифференцированные: примеры с № 1-3 оцениваются на “3”, до № 4 – на “4”, все пять примеров – на “5”.

Студенты решают в тетради и проверяют ответы друг у друга с помощью мультимедиа и ставят оценку друг другу (взаимоконтроль) в лист контроля.

Тест.

Вариант 1.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

№	Задание	Ответы
		А	В	С
1
2
3
4
5

Вариант 2.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

№	Задание	Ответы
		А	В	С
1
2
3
4
5

VIII.

{\ prime} (z_ {0}), \end{уравнение} где под «$\приблизительно$» я подразумеваю заостренные концы векторов близко друг к другу. Так что все это значит? 9{\prime}(z_{0})$ как вектор, растянуть его (то есть умножить его величину на $\lvert z_{1}-z_{0}\rvert$), повернуть его (то есть добавить аргументы), и, наконец, вы добавляете вектор $f(z_{0}).$

Итак, что такое комплексная производная? Это сложный коэффициент масштабирования, точно так же, как действительная производная является реальным коэффициентом масштабирования. Единственное отличие состоит в том, что комплексные коэффициенты масштабирования вводят оборотов. Его следует рассматривать не как представление «градиента» как такового, а скорее как набор инструкций для аппроксимации функции вблизи точки, в которой она дифференцируема. 9{2} = 0,21 + 2,2 i,$$ а тем временем $$-2i + 2(1+i)z_{1} = 0,2 + 2,2 i.$$ Я думаю, если мы согласимся с тем, что $1,1+i$ близко к $1+i,$, то мы должны также согласиться с тем, что $0,2+2,2i$ близко к $0,21+2,2i. $

Что такое комплексные производные? (с изображением)

`;

Разное

Факт проверен

Даниэль ДеЛи

Дата последнего изменения: 31 октября 2022 г.

Сложные производные — это описания скорости изменения сложных функций, которые действуют в полях значений, содержащих мнимые числа. Они рассказывают математикам о поведении функций, которые трудно визуализировать. Производная сложной функции f at x ₀ , если он существует, определяется пределом при приближении x к x ₀ из ( f (x)- f (x ₀ ))/(x- x ₀ ).

Функции связывают значения в одном поле со значениями в другом поле, что называется сопоставлением. Когда одно или оба этих поля содержат числа, которые являются частью поля комплексных чисел, функция называется сложной функцией. Сложные производные получаются из сложных функций, но не каждая сложная функция имеет сложную производную.

Наборы значений, в которые и из которых сопоставляется сложная функция, должны включать комплексные числа. Это значения, которые могут быть представлены как a + b i , где a и b — действительные числа, а i — квадратный корень из отрицательной единицы, которая является мнимым числом. Значение b может быть равно нулю, поэтому все действительные числа также являются комплексными числами.

Производные – это скорости изменения функций. Как правило, производная является мерой единиц изменения по одной оси для каждой единицы другой оси. Например, горизонтальная линия на двумерном графике будет иметь производную, равную нулю, потому что для каждой единицы x значение y изменяется на ноль. Мгновенные производные, которые используются чаще всего, дают скорость изменения в одной точке кривой, а не в диапазоне. Эта производная представляет собой наклон прямой линии, касательной к кривой в нужной точке.

Однако производная существует не везде на каждой функции. Например, если в функции есть угол, производная не существует в углу. Это связано с тем, что производная определяется пределом, и если производная совершает скачок от одного значения к другому, то предела не существует. Функция, имеющая производные, называется дифференцируемой. Одним из условий дифференцируемости сложных функций является то, что частные производные или производные для каждой оси должны существовать и быть непрерывными в рассматриваемой точке.

No related posts.