Простые логарифмические уравнения: Простейшие логарифмические уравнения

Простейшие логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

• О простейших логарифмических уравнениях в двух словах
• Простейшее логарифмическое уравнение — это
• Простейшие логарифмические уравнения — решение

Самыми простыми логарифмическими уравнениями, как по виду, так и по решению, являются так называемые простейшие логарифмические уравнения. Сейчас мы дадим определение простейшего логарифмического уравнения, приведем примеры, после чего разберемся, как проводится решение простейших логарифмических уравнений.

О простейших логарифмических уравнениях в двух словах

Если в двух словах, то

• Простейшие логарифмические уравнения – это уравнения log_ax=b, где a и b – данные числа, причем a>0, a≠1, а x – неизвестная величина, например, log₂x=5, log_0,1x=−2, lgx=0, и др.
• Любое простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b, где a>0, a≠1, всегда имеет одно и только одно решение, которым является x=a^b. Например, единственным решением простейшего логарифмического уравнения log₂x=3 является x=2³, что то же самое, x=8.

А теперь подробно и с обоснованиями.

К началу страницы

Простейшее логарифмическое уравнение — это

Определение

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение log_ax=b, где a и b – данные числа, а x – неизвестная величина [1, с. 114].

Подразумевается, что число a в записанном определении положительное и отличное от единицы. В противном случае логарифм log_ax не определен, и уравнение log_ax=b не имеет смысла.

Приведем несколько примеров простейших логарифмических уравнений: log₂x=5, log_0,1

x=−2, lgx=0, .

Нам известно, что числа могут записываться в виде числовых выражений, поэтому, в простейших логарифмических уравнениях в основании логарифмов и в правых частях могут быть как числа, так и числовые выражения. Например, log₂x=lg5+1, — это тоже простейшие логарифмические уравнения.

К началу страницы

Простейшие логарифмические уравнения — решение

Решение простейших логарифмических уравнений базируется на следующем утверждении:

Утверждение

Простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b, a>0, a≠1 имеет единственное решение, этим решением является x=a^b.

Доказательство

Доказательство можно провести с опорой на свойства логарифмической функции.

Известно, что областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел. Из этого следует, что функция y=log

ax принимает в том числе и значение b. А это означает, что простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b имеет корень. Обозначим этот корень x₁. Этим доказано существование корня.

Теперь докажем единственность корня. Предположим, что простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b кроме корня x₁ имеет еще один корень x₂, отличный от x₁ (x₁≠x₂). Так как и x₁ и x₂ – корни уравнения y=log_ax, то и log_ax₁=b и log_ax₂=b – верные числовые равенства. Свойства числовых равенств позволяют осуществлять почленное вычитание верных числовых равенств. Вычитание из равенства log_ax₁=b равенства log_ax₂

=b дает верное числовое равенство log_ax₁−log_ax₂=b−b, и дальше log_ax₁−log_ax₂=0 и log_ax₁=log_ax₂. Но логарифмическая функция, как известно, является монотонной (возрастающей или убывающей), поэтому для x₁≠x₂ имеют место неравенства log_ax₁<log_ax₂ или log_ax₁>log_ax₂, а равенство log_ax₁=log_ax₂ — невозможно. Так методом от противного доказана единственность корня простейшего логарифмического уравнения.

Итак, доказано существование и единственность корня простейшего логарифмического уравнения log_ax=b. Остается доказать, что этим корнем является a^b. Это напрямую следует из определения логарифма.

Доказанное утверждение позволяет практически устно решать простейшие логарифмические уравнения. Приведем пример.

Пример

Решите простейшее логарифмическое уравнение log₂x=3

Решение

Мы знаем, что решение простейшего логарифмического уравнения log_ax=b, a>0, a≠1 — это x=a^b. В нашем случае a=2, b=3. Таким образом, единственным корнем нашего уравнения log₂x=3 является 2³. Выполнив возведение в степень, имеем решение заданного простейшего логарифмического уравнения: x=8.

Обычно решение оформляется так:
log₂x=3
x=2³
x=8

Ответ:

8

Больше примеров с решениями смотрите в статье решение логарифмических уравнений.

Литература

1. Алгебра и элементарные функции. Часть 2. Учебное пособие для учащихся 10 класса средней школы / [Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова]; под ред. доктора физико-математических наук О. Н. Головина. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1967.

К началу страницы

Решение простых логарифмических уравнений. Решение логарифмических уравнений

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

и его решения подставить в систему неравенств

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Решение:

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Решим уравнение:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3:

Найти х , если

Решение:

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

4. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ.

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log a x = b , где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

• одинаковые числовые основания у логарифмов
• логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 — х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log a (…) = log a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log 3 (2х-5) = log 3 х

Применяем потенцирование, получаем:

log 3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т. е. (4х-1), получаем:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.

Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений , даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т. е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения , пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

Логарифмические уравнения. От простого — к сложному.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое логарифмическое уравнение?

Это уравнение с логарифмами. Вот удивил, да?) Тогда уточню. Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов. И только там! Это важно.

Вот вам примеры логарифмических уравнений :

log 3 х = log 3 9

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log х+1 (х 2 +3х-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ну, вы поняли… )

Обратите внимание! Самые разнообразные выражения с иксами располагаются исключительно внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении обнаружится икс где-нибудь снаружи , например:

log 2 х = 3+х,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются уравнения, где внутри логарифмов только числа . Например:

Что тут сказать? Повезло вам, если попалось такое! Логарифм с числами — это какое-то число. И всё. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов, приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не требуется.

Итак, что такое логарифмическое уравнение — разобрались.

Как решать логарифмические уравнения?

Решение логарифмических уравнений — штука, вообще-то, не очень простая. Так и раздел у нас — на четвёрку… Требуется приличный запас знаний по всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать главной проблемой в решении логарифмических уравнений. Мы с этой проблемой в следующем уроке детально разберёмся.

А сейчас — не волнуйтесь. Мы пойдём правильным путём, от простого к сложному. На конкретных примерах. Главное, вникайте в простые вещи и не ленитесь ходить по ссылкам, я их не просто так поставил… И всё у вас получится. Обязательно.

Начнём с самых элементарных, простейших уравнений. Для их решения желательно иметь представление о логарифме, но не более того. Просто без понятия логарифма, браться за решение логарифмических уравнений — как-то и неловко даже… Очень смело, я бы сказал).

Простейшие логарифмические уравнения.

Это уравнения вида:

1. log 3 х = log 3 9

2. log 7 (2х-3) = log 7 х

3. log 7 (50х-1) = 2

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие.)

И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто. Смотрите сами.

Решаем первый пример:

log 3 х = log 3 9

Для решения этого примера почти ничего знать и не надо, да… Чисто интуиция!) Что нам особо не нравится в этом примере? Что-что… Логарифмы не нравятся! Правильно. Вот и избавимся от них. Пристально смотрим на пример, и у нас возникает естественное желание… Прямо-таки непреодолимое! Взять и выкинуть логарифмы вообще. И, что радует, это можно сделать! Математика позволяет. Логарифмы исчезают, получается ответ:

Здорово, правда? Так можно (и нужно) делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом — один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

log 3 х = 2log 3 (3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь… В примере

log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log а (…..) = log а (…..)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение. Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.)

Теперь легко можно решить второй пример:

log 7 (2х-3) = log 7 х

Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:

Ну что, очень сложно?) Как видите, логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов. .. А дальше идёт решение оставшегося уравнения уже без них. Пустяшное дело.

Решаем третий пример:

log 7 (50х-1) = 2

Видим, что слева стоит логарифм:

Вспоминаем, что этот логарифм — какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е. (50х-1).

Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:

Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:

Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма. Что, ликвидировать логарифмы всё-таки проще?) Согласен. Между прочим, если из двойки логарифм сделать, можно этот пример и через ликвидацию решить. Из любого числа можно логарифм сделать. Причём, такой, какой нам надо. Очень полезный приём в решении логарифмических уравнений и (особо!) неравенств.

Не умеете из числа логарифм делать!? Ничего страшного. В разделе 555 этот приём подробно описан. Можете освоить и применять его на полную катушку! Он здорово уменьшает количество ошибок.

Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:

Вот и все дела.

Подведём итоги этого урока. Мы рассмотрели на примерах решение простейших логарифмических уравнений. Это очень важно. И не только потому, что такие уравнения бывают на контрольных-экзаменах. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим!

Собственно, простейшие уравнения — это финишная часть решения любых уравнений. И эту финишную часть надо понимать железно! И ещё. Обязательно дочитайте эту страничку до конца. Есть там сюрприз…)

Решаем теперь самостоятельно. Набиваем руку, так сказать…)

Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:

ln(7х+2) = ln(5х+20)

log 2 (х 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5х-1,5) = 0,25

log 0,2 (3х-1) = -3

ln(е 2 +2х-3) = 2

log 2 (14х) = log 2 7 + 2

Ответы (в беспорядке, разумеется): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Что, не всё получается? Бывает. Не горюйте! В разделе 555 решение всех этих примеров расписано понятно и подробно. Там уж точно разберётесь. Да ещё и полезные практические приёмы освоите.

Всё получилось!? Все примеры «одной левой»?) Поздравляю!

Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение этих примеров вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных логарифмических уравнений. Даже простейших, подобных этим. Увы.

Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения (даже самого элементарного!) состоит из двух равноценных частей. Решение уравнения, и работа с ОДЗ. Одну часть — решение самого уравнения — мы освоили. Не так уж и трудно, верно?

Для этого урока я специально подобрал такие примеры, в которых ОДЗ никак на ответе не сказывается. Но не все такие добрые, как я, правда?…)

Посему надо обязательно освоить и другую часть. ОДЗ. Это и есть главная проблема в решении логарифмических уравнений. И не потому, что трудная — эта часть ещё проще первой. А потому, что про ОДЗ просто забывают. Или не знают. Или и то, и другое). И падают на ровном месте…

В следующем уроке мы расправимся с этой проблемой. Вот тогда можно будет уверенно решать любые несложные логарифмические уравнения и подбираться к вполне солидным заданиям.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Решение логарифмических уравнений… Как? (Нэнси Пи) | GCSE Lessons

Выпускник Массачусетского технологического института показывает, как решать логарифмические уравнения, используя LOG PROPERTIES для упрощения и решения. Чтобы пропустить вперед: 1) Для решения ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛОГ, перейдите к 0:22. 2) Для ОДНОГО БРЕВНА НА КАЖДОЙ СТОРОНЕ (свойство РАВЕНСТВО) перейдите к 2:36. 3) Для ДВУХ ЖУРНАЛОВ, СЛОЖЕННЫХ вместе и равных числу (свойство ПРОДУКТ), перейдите к 5:25. 4) Для МНОГИХ ЛОГАРИРОВ, ВЫЧИТАННЫХ и ДОБАВЛЕННЫХ, а также использования свойства ЧАСТНОЕ, свойства СТЕПЕНЬ и других свойств логарифмов (правила логарифма) перейдите к 9:53. Это видео посвящено решению логарифмов в уравнениях и объясняет, как проверить решение на наличие постороннего решения. Нэнси, ранее работавшая в MathBFF, объясняет шаги.

Для просмотра моего видео по основам логарифмирования, например, как ОЦЕНИВАТЬ ЛОГИ, включая натуральные логарифмы (ln x), перейдите по ссылке: https://youtu.be/Zw5t6BTQYRU

Подписывайтесь на Нэнси в Instagram: https://instagram.com/nancypi
Twitter: https://twitter.com/nancypi

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ для x: Каждый логарифм связан с экспоненциальной формой. Лучший способ вычислить логарифмическую функцию — преобразовать логарифм в экспоненциальную форму, а затем найти x. Я покажу краткий обзор того, как преобразовать журнал в экспоненциальную форму, но для более подробного объяснения преобразования в экспоненциальную форму для оценки журнала перейдите к моему видео «Логарифмы. .. Как?» (https://youtu.be/Zw5t6BTQYRU) за помощь в преобразовании журнала в экспоненциальную форму. В этом видео я покажу вам более сложные логарифмические уравнения с более чем одним логарифмом, где вам понадобятся СВОЙСТВА ЛОГА (правила логарифмирования), чтобы упростить и иметь возможность сжать до одного логарифма на стороне, чтобы вы могли решить.

Решение логарифмических уравнений с логарифмами с обеих сторон: Если у вас есть по одному логарифму с каждой стороны уравнения с одинаковым основанием, вы можете использовать формулу логарифма СВОЙСТВА РАВЕНСТВА.

Если у вас есть более одного журнала на стороне уравнения (с одним и тем же основанием), вы можете использовать СВОЙСТВА ПРОДУКТА (если журналы добавляются) или ЧАСТНОЕ СВОЙСТВО (если журналы вычитаются), чтобы объединить журналы в один журнал. Если у вас есть число, умноженное перед журналом в качестве коэффициента, вы можете использовать формулу логарифма СВОЙСТВА СТЕПЕНИ, чтобы поднять коэффициент как степень внутри аргумента журнала. Как только вы упростите логарифмическое уравнение, используя свойства произведения, частного и/или мощности, вы можете либо 1) решить, используя свойство равенства, если у вас есть только один логарифм с каждой стороны (с одинаковым основанием), либо 2) решить, переписав в экспоненциальную форму, если у вас есть журнал на одной стороне и число на другой стороне. ВАЖНО — ПРОВЕРЬТЕ РЕШЕНИЯ: При решении логарифмических функций вы должны ПРОВЕРИТЬ свои решения для логарифмических уравнений. Любые числа, которые вы получаете в качестве решений, вы должны снова подставить в исходное уравнение для проверки. Если решение не работает или дает неопределенное значение (например, логарифм отрицательного числа), то это «лишнее решение» и его необходимо выбросить!

Дополнительные примеры логарифмов и помощь в решении логарифмических и экспоненциальных уравнений, задачах логарифмической формы, вычислении экспоненциальных функций и экспоненциальных уравнений, решении логарифмических выражений, решении логарифмических уравнений без калькулятора, логарифмических уравнений x, экспоненциальных и логарифмических функциях, экспоненциальной математике, логарифме решатель и логарифмическое уравнение решатель математики, логарифмические уравнения с одинаковым основанием и логарифмические уравнения с разными основаниями, а также другие мои математические видеоролики по алгебре, алгебре 2, предварительному исчислению и алгебре для колледжей можно посмотреть на сайте: http://nancypi. ком

Категория Математика алгебра теговкалькуляторравенствоуравнениепримерэкспоненциальнаяэкспоненциальная формавнешнее решениекак решать логарифмические уравненияханлоглогарифмические уравнениялогарифмическая функциялогарифм правилажурнал в экспоненциальныйлогарифм xлогарифмправила логарифмалогарифмические уравнениялогарифмические функцииМатематиканэнсипипатрикjmtмощностьпредварительное исчислениепроблемапродуктсвойства свойства логарифмасвойствочастноерешатьрешать для xsolverрешение логарифмических уравненийрешение логарифмов

Изучаем логарифмические уравнения

¶

В центре внимания этого раздела находятся уравнения, в которых один или несколько членов уравнения имеют вид \(\log_b(\text{выражение})\), а все остальные члены являются константами. В любом заданном уравнении каждое логарифмическое выражение будет иметь одно и то же основание. Чтобы решить уравнения этого типа, мы проходим следующие шаги. Я предполагаю, что переменная в уравнении равна \(x\text{.}\)

1. Когда есть два или более логарифмических членов, мы сначала переставляем члены так, чтобы все логарифмические члены были одной стороной знака равенства. Независимо от количества логарифмических членов (даже если их всего один), нам нужен постоянный член по другую сторону знака равенства. 9n=f(x)\text{,}\) и решить это уравнение.

2. Очень важно проверить все решения экспоненциального уравнения в исходном логарифмическом уравнении . Ложные решения исходного уравнения могут появиться, когда мы объединяем логарифмические члены. Что нас особенно беспокоит, так это проблемы домена (например, непреднамеренное логарифмирование отрицательного числа). Ложные решения технически называются посторонними решениями .

92\amp=9\,\,\галочка \end{align*}

Решение уравнения: \(5\text{.}\)

Пример 9.

2-2х-8\\ 0\amp=(x-4)(x+2) \end{выравнивание*}

\begin{выравнивание*} x-4\amp=0 \amp\amp\text{ или }\amp x+2\amp=0\\ x-4\addright{4}\amp=0\addright{4} \amp\amp\text{ или }\amp x+2\amp=0\subtractright{2}\\ x\amp=4\amp\amp\text{ или }\amp x\amp=-2 \end{align*}

Теперь мы проверим каждое потенциальное решение в исходном уравнении. Начнем с \(4\text{.}\)

\begin{align*} \log_2(\highlight{4})+\log_2(\highlight{4}-2)\amp=3\,\,?\\ \log_2(4)+\log_2(2)\amp=3\,\,?\\ 2+1\усилитель=3\,\,\галочка \end{align*}

Как только мы начинаем проверять \(-2\), мы сталкиваемся с \(\log_2(-2)\text{.}\) Это проблема, потому что домены логарифмических функций не не включать отрицательные числа. Таким образом, \(-2\) является посторонним решением. Единственным решением исходного уравнения является \(4\text{.}\)

Пример 9.7.3.

Найдите все решения следующего уравнения.

\begin{уравнение*} \log_2(x+6)+33=36-\log_2(x-1) \end{уравнение*}

Решение

Начнем с переноса логарифмических выражений слева от знака равенства, а постоянных членов — справа от знака равенства. Затем мы объединим логарифмические члены в один логарифмический член, сформулируем и решим эквивалентное показательное уравнение и проверим наше потенциальное решение (решения). 92+5х-14\\ 0\амп=(х+7)(х-2) \end{выравнивание*}

\begin{выравнивание*} x+7\amp=0 \amp\amp\text{или}\amp x-2\amp=0\\ x+7\subtractright{7}\amp=0\subtractright{7} \amp\amp\text{or}\amp x-2\addright{2}\amp=0\addright{2}\\ x\amp=-7 \amp\amp\text{ или }\amp x\amp=2 \end{align*}

Мы можем сразу отбросить \(-7\) как лишнее решение, потому что это приведет как к \(\log_2(-1)\), так и к \(\log(-8)\) в исходном уравнении. Давайте продолжим и проверим \(2\text{.}\)

\begin{align*} \log_2(\highlight{2}+6)+33\amp=36-\log_2(\highlight{2}-1)\,\,?\\ \log_2(8)+33\amp=36-\log_2(1)\,\,?\\ 3+33\amp=36-0\,\,\галочка \end{выравнивание*} 92-8х-33\\ 0\amp=(x-11)(x+3) \end{выравнивание*}

\begin{выравнивание*} x-11\amp=0 \amp\amp\text{или}\amp x+3\amp=0\\ x-11\addright{11}\amp=0\addright{11} \amp\amp\text{or}\amp x+3\subtractright{3}\amp=0\subtractright{3}\\ x\amp=11 \amp\amp\text{или}\amp x\amp=-3 \end{align*}

Мы можем сразу отбросить \(-3\) как лишнее решение, потому что оно приводит к \(\log_2(0)\) в исходном уравнении, а \(0\) не входит в исходное уравнение. область (простых) логарифмических функций. Давайте продолжим и проверим другое предложенное решение. 92-9\справа)\amp=3+\log_2(\highlight{11}+3)\,\,?\\ \log_2(112)\amp=3+\log_2(14)\,\,?\\ \log_2(112)\subtractright{\log_2(14)}\amp=3+\log_2(14)\subtractright{\log_2(14)}\,\,?\\ \log_2(112)-\log_2(14)\amp=3\,\,?\\ \log_2\влево(\frac{112}{14}\вправо)\amp=3\,\,?\\ \log_2(8)\amp=3\,\,\галочка \end{align*}

Решением данного уравнения является \(11\text{.}\)

Существует альтернативная стратегия решения логарифмических уравнений. Если мы можем преобразовать уравнение в форму

92-3x-4\ампер=0\\ (х-4)(х+1)\ампер=0 \end{выравнивание*}

\begin{выравнивание*} x-4\amp=0 \amp\amp\text{или}\amp x+1\amp=0\\ x-4\addright{4}\amp=0\addright{4} \amp\amp\text{or}\amp x+1\subtractright{1}\amp=0\subtractright{1}\\ x\amp=4 \amp\amp\text{или}\amp 1\amp=-1 \end{align*}

Предлагаемое решение \(-1\) является лишним, так как оно приводит к \(\log(-1)\) и \(\log(-3)\) в исходном уравнении. {-1}\amp=\frac{1}{8}\,\,\галочка \end{выравнивание*} 92+15х+54\\ 0\amp=(х+6)(х+9) \end{выравнивание*}

\begin{выравнивание*} x+6\amp=0 \amp\amp\text{или}\amp x+9\amp=0\\ x+6\subtractright{6}\amp=0\subtractright{6} \amp\amp\text{or}\amp x+9\subtractright{9}\amp=0\subtractright{9}\\ x\amp=-6 \amp\amp\text{или}\amp x\amp=-9 \end{align*}

Мы можем отбросить решение \(-9\) как лишнее, так как оно приводит как к \(\log_2(-2)\), так и к \(\log_2(-1)\) в исходное уравнение. Давайте продолжим и проверим другое решение.

\begin{выравнивание*} \log_2(\highlight{-6}+7)\amp=1-\log_2(\highlight{-6}+8)\,\,?\\ \log_2(1)\amp=1-\log_2(2)\,\,?\\ 0\amp=1-1\,\,\галочка \end{выравнивание*}

Решением указанного уравнения является \(-6\text{.}\)

6.

\(\лог(4-3x)=\лог(4x-7)\)

Решение

Мы сразу же можем воспользоваться тем фактом, что функция логарифмической базы 10 является взаимно однозначной.

\begin{выравнивание*} \лог(4-3x)\amp=\лог(4x-7)\\ 4-3x\ампер=4x-7\\ 4-3x\addright{3x}\amp=4x-7\addright{3x}\\ 4\ампер=7x-7\\ 4\addright{7}\amp=7x-7\addright{7}\\ 11\ампер=7x\\ \divideunder{11}{7}\amp=\divideunder{7x}{7}\\ \frac{11}{7}\amp=x \end{выравнивание*}

Время проверить.

\begin{выравнивание*} \log\left(4-3\multipleright{\frac{11}{7}}\right)\amp=\log\left(4\multipleright{\frac{11}{7}}-7\right)\ ,\,?\\ \log\left(\frac{28}{7}-\frac{33}{7}\right)\amp=\log\left(\frac{44}{7}-\frac{49}{7} \верно)\,\,?\\ \log\left(-\frac{5}{7}\right)\amp=\log\left(-\frac{5}{7}\right)\,\,\highlightr{\text{nope}} \end{align*}

Хотя верно, что \(-\frac{5}{7}=-\frac{5}{7}\text{,}\) \(\log(\left(-\ frac{5}{7}\right) \neq \log(\left(-\frac{5}{7}\right)\) потому что \(-\frac{5}{7}\) не находится в область логарифмической функции с основанием 10. Поскольку наше единственное предложенное решение не было проверено, мы заключаем, что данное уравнение не имеет решений.2-8х-33\\ 0\amp=(x-11)(x+3) \end{выравнивание*}

\begin{выравнивание*} x-11\amp=0 \amp\amp\text{или}\amp x+3\amp=0\\ x-11\addright{11}\amp=0\addright{11} \amp\amp\text{or}\amp x+3\subtractright{3}\amp=0\subtractright{3}\\ x\amp=11 \amp\amp\text{или}\amp x\amp=-3 \end{align*}

Мы определяем предложенное решение \(-3\) как лишнее, поскольку оно представляет нам \(\log_{17}(-1)\) и \(\log_{17}(- 12)\) при замене на \(х\) в исходном уравнении.