Рациональное число и иррациональное число – Рациональные и иррациональные числа

Что такое рациональные и иррациональные числа

От абстрактности математических понятий порой настолько веет холодом и отстраненностью, что невольно возникает мысль: «Зачем это всё?». Но, несмотря на первое впечатление, все теоремы, арифметические операции, функции и т.п. – не более, чем желание удовлетворить насущные потребности. Особенно чётко это можно заметить на примере появления различных множеств.

Всё началось с появления натуральных чисел. И, хотя, вряд ли сейчас кто-то сможет ответить, как точно это было, но скорее всего, ноги у царицы наук растут откуда-то из пещеры. Здесь, анализируя количество шкур, камней и соплеменников, человек открыл множество «чисел для счёта». И этого ему было достаточно. До какого-то момента, конечно же.

Дальше потребовалось шкуры и камни делить и отнимать. Так возникла потребность в арифметических операциях, а вместе с ними и рациональных числах, которые можно определить как дробь типа m/n, где, например, m — количество шкур, n – количество соплеменников.

Казалось бы, уже открытого математического аппарата вполне достаточно, чтобы радоваться жизнью. Но вскоре оказалось, что бывают случаи, когда результат не то, что не целое число, но даже не дробь! И, действительно, квадратный корень из двух никак иначе не выразить с помощью числителя и знаменателя. Или, например, всем известное число Пи, открытое древнегреческим учёным Архимедом, так же не является рациональным. И таких открытий со временем стало настолько много, что все неподдающиеся «рационализации» числа объединили и назвали иррациональными.

Рассмотренные ранее множества принадлежат набору фундаментальных понятий математики. Это означает, что их не получится определить через более простые математические объекты. Но это можно сделать с помощью категорий (с греч. «высказывания») или постулатов. В данном случае лучше всего было обозначить свойства данных множеств.

o Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

o Каждое трансцендентное число является иррациональным.

o Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

o Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

o Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории Бэра.

o Это множество упорядоченное, т. е. для каждых двух различных рациональных чисел a иb можно указать, какое из них меньше другого.
o Между каждыми двумя различными рациональными числами существует еще по крайней мере одно рациональное число, а следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел.

o Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над любыми двумя рациональными числами всегда возможны и дают в результате определенное рациональное же число. Исключением является деление на нуль, которое невозможно.

o Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

www.kakprosto.ru

Сумма рационального и иррационального чисел будет?

Это всегда иррациональное число. Предположим обратное, пусть a — рациональное число, b — иррациональное, а их сумма c = a+b — рациональное число. Из последнего выражения получаем b = c-a. Число c рационально по предположению, число a — по условию. Разность двух рациональных чисел — всегда рациональное число. Получается, что b — рациональное число, но это противоречит условию, согласно которому b — иррациональное число. Поэтому сумма одного рационального и одного иррационального чисел никогда не может быть рациональным числом, а только иррациональным. То же относится к разности, произведении и частному двух таких чисел (исключая случай умножения и деления на ноль)

Иррациональное

В категории ОБРАЗОВАНИЕ вам ответят

touch.otvet.mail.ru

Иррациональное число — Викизнание… Это Вам НЕ Википедия!

Иррациональное число (лат. irrationalis — неразумный, от лат. in(ir) — отрицательная приставка и лат. ratio — счёт, отношение) — вещественное число, не являющееся рациональным (т. е. целым или дробным). Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями, напр. . Иррациональные числа разделяются на нерациональные алгебраические числа и трансцендентные числа. Существование иррациональных отношений (напр., иррациональность отношения диагонали квадрата к его стороне) было известно ещё в древности. Термин ввёл М. Штифель (1544). Иррациональность числа была установлена И. Ламбертом (1766). Строгая теория иррациональных чисел была построена только во 2-й пол. 19 в.

Иррациональное число (Брокгауз и Ефрон)[править]

Иррациональное число — так называются в математике числа, которые не могут быть точно выражены ни целыми числами, ни арифметическими дробями, а представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями; означаются особыми знаками (радикалами) или буквами (

е, π). Полная, превосходная по своей строгости теория И. чисел, или, что одно и то же, несоизмеримых отношений, существовала уже у греков и изложена Эвклидом в V-й книге его «Начал». В настоящее время пользуются известностью взгляды гейдельбергского профессора Кантора. Для выяснения сущности И. числа рассмотрим ряд чисел

u₁u₂u₃….. u_n… (1)

определяющих некоторую переменную величину u Числа u₁ u₂ … u_n пусть будут рациональны, т. е. такие, которые известны из элементарной арифметики, именно положительные или отрицательные, целые числа или рациональные дроби. Если существует такое рациональное число а, что числовое значение разности (u_n — a)

может быть сделано, при достаточно большом n, меньше всякого наперед произвольно заданного малого числа ε, то а называется пределом переменной величины u. Отсюда следует, что ряд (1) обладает свойством:

числовое значение u _n+m — u_n < ε… (2)

при всяком т (хотя бы даже зависящем от n), при достаточно большом n.

Свойство ряда (1), выражаемое неравенством (2), есть основное для переменных, имеющих пределы, но обратного предложения не существует, т. е. переменная величина может иметь ряд частных значений, обладающих свойством (2), и не существовать такого числа а (рационального), которое можно было бы назвать пределом. Так вот, если рационального предела переменной и не существует, а частные значения переменной удовлетворяют свойству, выражаемому неравенством (2), то говорят, что эта переменная имеет пределом И. число. Вычислить И. число с точностью до некоторой заданной дроби 1/

р — это значит указать номер n частного значения переменной величины и, имеющей свойство (2), для которого, равно как и для всех высших номеров, удовлетворяется неравенство:

u_n+m — u_n < 1/p.

Обозначая это значение переменной через u_o, можно сказать, что рациональное число u _о есть приближение к И., заданному известным рядом, с точностью до 1/ p. Такое рациональное число u_o и вводится затем в приближенные вычисления вместо И. числа. Пусть дана десятичная дробь

3,14159….

у которой цифры десятичных идут в некоторой определенной последовательности, т. е. существуют правила для продолжения этих цифр как угодно далеко, причем ряд цифр не кончается и сколько бы их ни было написано, всегда можно, если пожелаем, по указанным правилам, продолжать ряд далее. Отдельные числа ряда

(1) в данном случае будут:

u₁ = 3

u₂ = 3,1

u₃ = 3,14

u₄ = 3,141

……………..

……………..

Возьмем разность

u _п+т — u_n = 0,000… 00 αβγ … δ

в которой после запятой будет n нулей и затем еще т десятичных цифр. Каковы бы ни были цифры β, γ,… δ, число αβγ… δ < (α + 1)000… Отсюда следует, что при достаточно большом n и совершенно независимом от числа m, дробь (α + 1)/10ⁿ может быть сделана как угодно малой, а

u_n+m — u_n < (α + 1)/10ⁿ

причем это неравенство имеет место, сколько бы ни было цифр β, γ… δ, т. е. каково бы ни было конечное число т. Таким образом всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь определяет всегда некоторое И. число, напр. π,

е , √2 и пр. Поэтому вычислить И. число с точностью до 1/10 ⁿ это значит вычислить n десятичных знаков в разложении заданного И. числа в бесконечную десятичную дробь.

Д. Граве. Шаблон:БЭСБЕ

www.wikiznanie.ru