Расчет логарифмов: Онлайн калькулятор: Логарифм

Вычисление логарифмов — презентация онлайн

Похожие презентации:

Логарифм и его свойства

Логарифмы. Для чего были придуманы логарифмы

Логарифмы и их свойства

Определение логарифма

Логарифмы

Понятие логарифма. Свойства логарифма

Логарифмы. Свойства логарифмов

Подготовка к ЕГЭ. Логарифмы

Определение логарифма. Логарифмическое тождество. Свойства логарифмов

Понятие логарифма. Свойства логарифма. Десятичные и натуральные логарифмы

1. Вычисление логарифмов

2. План урока.

Проверка домашней работы.
Историческая справка.
Речевая зарядка.
Повторение определения и формул.
Устный счет.
Вычисление логарифмов.
Тестирование.

3. № 267 Вычислить 1) log216 = 4; 2) log264 = 6; 3) log22 = 1; 4) log21 = 0.

№ 267
Вычислить
1) log216 = 4;
3) log22 = 1;
2) log264 = 6;
4) log21 = 0.
№ 267
Вычислить
1) log327 = 3;
3) log33 = 1;
2) log381 = 4;
4) log31 = 0.

4. Историческая справка

5. Джон Непер

(1550 – 1617)
Потомок старинного
шотландского рода, изучал
логику, физику, математику,
этику; изобрел несколько
новых сельскохозяйственных
орудий.
В 1590-х гг. он пришел к идее
логарифмических вычислений,
но свой труд «Описание
удивительных таблиц
логарифмов» издал в 1614 г.
В этом труде содержались
определение логарифмов,
объяснение их свойств,
таблицы логарифмов.

6. Речевая зарядка

7. М — Н

М-Н
Степень
Основание степени
Показатель степени
Логарифм числа
Основное логарифмическое тождество
Действие нахождения логарифма числа
называется логарифмированием

8. Повторение определения и формул.

9. Как можно прочитать выражение?

2³
Назовите основание и показатель
степени.
Чему равна эта степень?
Что называется логарифмом числа?
Заменить равенство со степенью
равенством с логарифмом.
log28 = 3

11.

logа ва?
Каким числом может быть в?
Каким числом может быть
Как записать определение
логарифма формулой?
a
logab
=b
Как называется эта формула?
(Основное логарифмическое
тождество)

13. Устный счет

14. Вычислить:

log216
log1/24
log2 1/8
log2 1
log39
log3 81
log3 1/3
log1/3 27

15. Вычисление логарифмов

16. Вычислить

log1632
Вычислить log1632.
Решение.
log1632 = х
х
16
= 32
(24)х = 25
4х = 5
4х
5
2 =2
х = 1,25
Ответ. log1632=1,25.

18. Вычислить

log25125

19. Вычислить log25125.

Решение.
2х
3
log25125 = х 5 = 5
х
25 = 125
2х = 3
2
х
3
(5 ) = 5
х = 1,5
Ответ. log25125=1,5.

20. Тестирование

21. Выберите правильный ответ

22. 1.Кто создал логарифмическое исчисление?

1. Дж. Кеплер
2. Дж. Неплер
3. Дж. Непер
2. Чему равно
log
25
?
5
5
1. 25
2. 5
3. 2

24. 3. Чему равен log1/3 729?

1. 6
2. -6
3. 7

25. Правильные ответы:

1
вопрос
1
2
3
2
вопрос
1
2
3
3
вопрос
1
2
3

26. Домашнее задание: 1. Повторить определение и формулу. 2. № 268 ( 3; 4 ), № 270 ( 3; 4 ).

27. № 268 (3; 4)

Вычислить.
3) log2 2
Решение.
log2 2 = х
………….
2=?

English     Русский Правила

Что значит логарифм. Вычисление логарифмов, примеры, решения

В центре внимания этой статьи – логарифм . Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.

Навигация по странице.

Определение логарифма

Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной , когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.

Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.

Определение.

Логарифм числа b по основанию a , где a>0 , a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы в результате получить b .

На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.

Сразу введем обозначение логарифма : логарифм числа b по основанию a принято обозначать как log a b . Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не log e b , а lnb , и не log 10 b , а lgb .

Теперь можно привести : .
А записи не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Теперь скажем о правилах чтения логарифмов . Запись log a b читается как «логарифм b по основанию a ». Например, log 2 3 — это логарифм трех по основанию 2 , а — это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом , а запись lnb читается как «натуральный логарифм b ». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название – десятичный логарифм , а запись lgb читается как «десятичный логарифм b ». Например, lg1 — это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 — десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.

Стоит отдельно остановиться на условиях a>0 , a≠1 и b>0 , при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Начнем с a≠1 . Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1 , но при этом log 1 1 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1 .

Обоснуем целесообразность условия a>0 . При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0 . Но тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0 . А при a0 .

Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0 , так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a p , то логарифм числа b по основанию a равен p . То есть, справедливо равенство log a a p =p . Например, мы знаем, что 2 3 =8 , тогда log 2 8=3 . Подробнее об этом мы поговорим в статье

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения .

Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.

Логарифмы , примеры:

log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828. .. — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

• Основное логарифмическое тождество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логарифм произведения равен сумме логарифмов
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Логарифм частного равен разности логарифмов
  log a (b/c) = log a b — log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

  Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b

  Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  если m = n, получим log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Переход к новому основанию
  log a b = log c b/log c a,

  если c = b, получим log b b = 1

  тогда log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: » «. Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.

Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .

Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .

Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .

К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .

Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .

Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .

Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .

Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

Вот пример использования этого свойства: .

Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .

Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

Докажем, что для любых положительных чисел b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенство log a b 1

Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1

Список литературы.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

(от греческого λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.

Например:

log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование — это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование — это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй — отрицательное число в основании, а в третьей — и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0. при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .

Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.

численных методов — Вычисление логарифмов вручную

Пересматривая первоначальный ответ, приведенный ниже, я обнаружил, что многократное извлечение квадратных корней является гораздо большей пыткой, чем деление на натуральный логарифм из 10. Итак, мы вернулись к натуральным логарифмам.

Натуральный логарифм числа, достаточно близкого к 1, легко вычислить с помощью степенных рядов, цепных дробей или чего угодно. Если ваше число близко к 1, то натуральный логарифм будет небольшим числом, и умножение на натуральный логарифм 10 может быть менее головной болью. Конечно, это не охватывает диапазон чисел, который вам нужен; вы должны использовать СОКРАЩЕНИЕ ДИАПАЗОНА. Для этого сначала вычислите любыми доступными способами основание 10 логарифмов 1/0,5, 1/0,9., 1/0,99 и 1/0,999. Умножьте ваше целевое число на эти коэффициенты (легко на соробане, потому что это сдвиг и вычитание) и накопите соответствующий лог на втором соробане с парой защитных цифр. Это приведет вас к территории, где $\frac{(x-1)}{(x+1)/2}$ позаботится о натуральном логарифме остатка. 2) и уменьшите результат вдвое. Это удалит квадратные корни из вашего приближения. Это компромисс между работой и точностью.

Пример: Log(2) = Log(1024)/10 = (3 + 0,4343 * Ln(1,024))/10 = 0,3 + 0,4343*0,024/1,012 = 0,3 + 0,010299960…, достаточно для вашей таблицы . Конечно, для использования в уменьшении дальности вам понадобится еще один член в степенном ряду для Ln (1,024). Но если пару раз умножить 1,024 на 0,99, получится 1,0036224, а Ln(1,024) = 2*Ln(1/0,99)+Ln(1,0026224). Этот последний остаток приближается к 8 цифрам как 2*(x-1)/(x+1). Создание журналов от 0,9, 0,99 и 0,999 до 8 цифр может показаться медленным и трудоемким, но это инвестиции, которые окупятся за счет упрощения всех остальных журналов.

=============================================== ==================

Создание логарифмического стола с помощью ручки и бумаги не для слабонервных; у вас должна быть идеальная точность. Я рекомендую карандаш, ластик и бумагу.

Все вышеперечисленные методы хороши для натуральных логарифмов, но чтобы получить логарифмы по основанию 10, вы должны разделить каждый из них на натуральный логарифм 10. Это неинтересно. Я бы попытался получить журналы с основанием десять непосредственно с помощью метода Эйлера для нахождения верхней и нижней границ, которые имеют известные журналы, поэтому у вас есть верхняя и нижняя границы для журнала. Затем разделите этот интервал пополам для журналов, взяв среднее арифметическое, и для аргумента, взяв среднее геометрическое. Вы должны быть быстрыми и точными при извлечении квадратных корней, как Эйлер. 9(-1/4) и т. д. Двадцать таких записей позволят вам рассчитать логарифм до 5 разрядов, умножив целевое число на соответствующую степень десяти и добавив отрицательное значение этого логарифма к общему количеству. Возможно, вы могли бы использовать два соробана: один для деления, а другой для накопления лога.

Другой метод заключается в возведении аргумента в квадрат и делении на 10, если результат больше десяти. Когда вы делите на 10, добавьте к журналу двоичную единицу (которая представлена ​​в двоичном виде), в противном случае добавьте двоичный 0. Кнут обсуждает это в главе 1 «Фундаментальных алгоритмов» и дает разбивку метода возведения в квадрат как проблема для ученика.

Я бы начал с нескольких первых простых чисел, а затем использовал их для построения журналов других чисел. Для числа x, которое вы не можете разложить, найдите ближайшее число y, которое вы можете разложить. Затем вычислить Ln(x/y) по степеням. Действительно хорошим является приближение Паде Ln(x+1)=x(6+x)/(6+4x). Чем меньше x, тем лучше приближение. Затем умножьте это на log(e) = 0,4342944819. Добавьте это в журнал соседнего номера, и он у вас будет. Конечно, полезно запомнить несколько вещей в десяти и более местах. Я бы начал с журналов 2, e, 3 и 7. (Журналы 4, 5, 6, 8 и 9можно вычислить из них).

Есть и другие замечательные приближения Паде, использующие преобразование y = (x-1)/(x+1). Простое приближение Ln(x) = 2y удивительно хорошо, но с приближением Паде, таким как 2y*N(y)/D(y), где N и D — многочлены, вы можете добиться удивительно хороших результатов. (но вам все равно придется умножать результат на Log(e))

Другой подход я получил от Нейта Гроссмана из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Как известно, алгоритм вычисления среднего арифметико-геометрического среднего сходится квадратично. Вот вариант:

a(0) = 1, g(0) = x, после чего a(1+j)=(a(j)+g(j))/2 и g(1+j)=sqrt(a( 1+j)g(j))

Обратите внимание на небольшое отличие от стандартной формулы AGM. А и g сходятся к общему пределу, но не квадратично. Вы можете использовать экстраполяцию Ричардсона для ускорения сходимости. Предел равен d, а (x-1)/d — это ваша аппроксимация натурального логарифма. Это был популярный метод в Forth Interest Group. Также см. книгу Рона Доерфлера «Расчет мертвых».

Другим методом, которому обучал профессор Гроссман, было решение экспоненциальной функции Ньютона-Рафсона. Однако это перекладывает ответственность на поиск быстрого эффективного способа вычисления экспоненты.

Надеюсь, я дал вам несколько идей. Креативный факторинг может значительно расширить первые несколько простых результатов. Интересная проблема!

. . . Ричард

Веселись!

Как считать логарифмы в уме

Опубликовано 22 марта 2021 от John

В предыдущем посте рассматривались приближения для триггерных функций, которые достаточно просты для вычисления без калькулятора. Мне было интересно, смогу ли я придумать что-то подобное для логарифмов. Я начинаю с базы логов 10. Позже в посте я покажу, как найти логи в других базах из базы логов 10.

Пусть

х = м х 10 ^р .

, где 1 ≤ м ≤ 10. Затем

log ₁₀ ( x ) = log ₁₀ ( M ) + P

, и без потери генерально x ≤ 10.

Но мы можем еще немного сузить наш диапазон. Если x  > 3, вычислите логарифм x ‘ =  x /10, а если x  < 0,3, то вычислите логарифм 10 х . Таким образом, мы предположим

0,3 ≤ x ≤ 3.

для x в этом диапазоне

log ₁₀ ( x ) ≈ ( x — 1)/( x + 1)

— очень хорошее приближение. Абсолютная ошибка менее 0,0327 на интервале [0,3, 3].

Примеры

log ₁₀ 0,6 ≈ (0,6 – 1)/(0,6 + 1) = -1/4 = -0,25. Точно: -0,2218

log ₁₀ 1776 = 3 + log ₁₀ 1,776 ≈ 3 + 0,776/2,776 = 3,2795. Точно: 3,2494

log ₁₀ 9000 = 4 + log ₁₀ 0,9 ≈ 4 – 0,1/1,9 = 3,9473. Точно: 3,9542

Другие базы

Логарифмы по всем базам пропорциональны, поэтому вы можете преобразовать между логарифмической базой 10 и логарифмической в ​​любую другую базу, умножив на константу пропорциональности.

логарифм _б ( х ) = логарифм ₁₀ ( х ) / логарифм ₁₀ ( б ).

Итак, предположим, например, что вы хотите вычислить log ₂ 48. Поскольку 48 = 32 × 1,5, мы имеем

log ₂ 48 = log ₂ 32 + log ₂ 1,5 = 6 5 + log 1900 1,5 / log ₁₀ 2

Мы можем аппроксимировать log ₁₀ 1,5 как 1/5, а log ₁₀ 2 как 1/3, чтобы получить

log _{2 +} 35 =, 6/6/3.

Точное значение 5,585.

Если вы хотите использовать это для натуральных бревен, вы можете запомнить

1/log ₁₀ e = log _e 10 = 2,3.

Обновление : есть лучший способ работать с другими базами. Смотрите этот пост. В том же посте объясняется, почему аппроксимация особенно проста для логарифмов с основанием 10.

Больше точности

Абрамовиц и Стеган уточняют аппроксимацию t = ( x – 1)/( x + 1). Они используют интервал [1/√10, √10], а не [0,3, 3]. Этот немного другой интервал симметричен относительно 0 при преобразовании в 9.0049 т .