Рациональные выражения 10 класс: Презентация на тему «Рациональные выражения», 10 класс

Урок в 10 классе «Рациональные уравнения». | Методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме:

      Давыдова М.Г.      

    учитель математики

МОУ «Гимназия № 5 г. Белгорода»

Тема урока: Рациональные уравнения.

Класс: 10 класс.

УМК: Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10кл. общеобразоват. учреждений/[С.М.Никольский, М.К. Потапов.].-5-е изд., доп.-М.: Просвещение , 2006.-432с.  Стр.65-74., 45-47.

Цели урока:

Образовательная: систематизировать и обобщить известные из основной школы сведения о рациональных выражениях; показать способы решения рациональных уравнений;

Развивающая: расширить и углубить изучение различных видов рациональных уравнений разнообразными методами.

Воспитывающая: показать значимость изучаемой темы в разделе математика.

Тип урока: урок- лекция.

Структура урока:

1. Постановка цели урока (1мин).
2. Подготовка к изучению нового материала(2 мин).
3. 3.Ознакомление с новым материалом(38мин).  
4. 4.Итог урока.(2 мин)
5. 5.Домашнее задание (2 мин)

Оборудование урока: интерактивная доска, проектор, компьютер.

Ход урока:

План.

1. Рациональные выражения.

2. Рациональные уравнения.

3.Системы рациональных уравнений.

I. Повторение.

Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий- решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.

Уравнение- это самая распространенная форма математической задачи. Учение об уравнениях является главным содержанием школьного курса алгебры. Для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами, многочленами алгебраическими дробями, уметь производить разложение на множители, раскрывать скобки и т. д. Нужно привести свои знания в порядок. Мы начнем повторение с понятия «рациональные выражения». Сообщение ученика о рациональных выражениях известных из основной школы. Таким образом, учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий.

II. Основная часть.

Главное в понятии уравнения – это постановка вопроса о его решении. Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.        

Например, уравнения 5х6 — 9х5 + 4х — Зх + 1 = 0,  являются рациональными.

Корнем (или решением) уравнения с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо х  получается верное числовое равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет. При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате будет получаться уравнение, равносильное предшествующему, т. е. уравнение, имеющее те же корни, и только их.

Перечислим стандартные уравнения, которые были нами изучены. Ответы учащихся.( линейное уравнение , квадратное уравнение, простейшее степенное уравнение хn=а). Преобразование уравнений к одному из стандартных является основным шагом в решении уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением.

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А1(х)А2(х)А3(х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А1(х)=0,А2(х)=0,А3(х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений.

ПРИМЕР 1.

Решим уравнение (х2 — 5х + 6) (х2 + х — 2) = 0.        

Уравнение распадается на два уравнения.

х2 — 5х + 6 = 0        х1 = 2 и х2 = 3

х2 + х — 2 = 0.        х3 = -2 и х4 = 1

Значит, уравнение исходное имеет корни х1= 2, х2 = 3, х3= -2, х4 =1.

Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР. Решим уравнение  х3-7х+6=0.

х3-х-6х+6=0

х(х2-1)-6(х-1)=0

х(х-1)(х+1)-6(х-1)=0

(х-1)(х(х+1)-6)=0

(х-1)(х2+х-6)=0

х-1=0 , х1=1;  х2+х-6=0, х2=2,х3=-3.

Ответ:1;2;-3.

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х.

ПРИМЕР 2.

Решим уравнение

Сначала решим уравнение

х2 + 4х — 21 = 0.        х1 = 3 и х2 = -7

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х1  2- х1 -6 = 9-3-6 = 0,

х2 2- х2 — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х1 = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х2 =- 7 — корень этого уравнения.

Ответ. -7.

3).Уравнение вида

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

         

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения.

ПРИМЕР 3.

Решим уравнение

Решим уравнение

х2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

х2 + 2х — 15 = 0

х1 = -5 и х2 = 3.

Число х1 не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х2 обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5.

Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

ПРИМЕР 4.

Решим уравнение х8 + 4х6 -10х4 + 4х2+ 1 = 0.

Число х0 = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х4 + 4х2 — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х4 +=t2-2 ,

получаем  t 2 + 4t — 12 = 0, х1 = 2 и х2= -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2,    и     =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение  имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

4). Симметрические уравнения. 

Многочлен от нескольких переменных называют симметрическим многочленом, если его вид не изменяется при любой перестановке этих переменных.

Например, многочлены х + у, а2 + b2 — 1, zt и 5а3 + 6ab + 5b3 — симметрические многочлены от двух переменных, а многочлены х + у + г, а3+ b3 + с3 ,  — симметрические многочлены от трех переменных.

В то же время многочлены х — у, а2 –b2 и а3 + аb – b3 — не симметрические многочлены.

Уравнение ax4+bx3+cx2+bx+a=0, где аR/,bR, сR называется симметрическим уравнением четвертой степени. Чтобы решить это уравнение необходимо:

1).Поделить обе части уравнения на х2 и сгруппировать полученные выражения:.

2).Введение переменной  уравнение приводится к квадратному.

Пример.

Решите уравнение х4+5х3+4х2-5х+1=0.

Число 0 не является корнем уравнения. Поделим обе части уравнения на х2≠0.

.

.

Ответ..

Системы рациональных уравнений.

Системы уравнений появляются при решении задач, в которых неизвестными являются несколько величин. Эти величины связаны определенной зависимостью, которые записываются в виде уравнений.

Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х и у, называют рациональным уравнением с двумя неизвестными х и у.

Если надо найти все пары чисел х и у, каждая из которых является решением каждого из данных уравнений с двумя неизвестными х и у, то говорят, что надо решить систему уравнений с двумя неизвестными х и у и каждую такую пару называют решением этой системы.

Неизвестные могут обозначаться и другими буквами. Аналогично определяется система уравнений, число неизвестных в которой больше двух.

Если каждое решение первой системы уравнений является решением второй системы, а каждое решение второй системы уравнений является решением первой системы, то такие системы называют равносильными. В частности, равносильными считаются две системы, не имеющие решений.

Например, равносильны системы

,

1).Способ подстановки.

ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений

                     

Выразив у через х из первого уравнения системы, получим уравнение:

у = 3х — 1.        

Решив уравнение 5×2-4(3x-1)+3(3x-1)2=9, найдем его корни х1 = 1 и х2 = . Подставив найденные числа х1 и х2 в уравнение у = 3х — 1 , получим у1 = 2

и у =  Следовательно, система имеет два решения: (1; 2) и (; )

Ответ. (1; 2), (;)

2).Метод алгебраического сложения.

ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений

Оставив без изменения первое уравнение системы и сложив первое уравнение со вторым, получим систему равносильную системе.

 

Все решения системы есть объединение всех решений двух систем:

Решив каждую из этих систем, найдем все решения системы :

(2; 1), (-2; -1),

Ответ.  (2; 1), (-2; -1),.

3).Метод введение новых неизвестных.

ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений

Обозначив u = ху, v = х — у, перепишем систему  в виде

Найдем ее решения: u1= 1, v1 = 0 и u2 = 5, v2 = 4. Следовательно, все решения системы есть объединение всех решений двух систем:

Решив методом подстановки каждую из этих систем, найдем ее решения системы: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

Ответ. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

4). Уравнение вида ах2+ bху + су2 = 0, где а, b, с — данные неравные нулю числа, называют однородным уравнением относительно неизвестных х и у.

Рассмотрим  систему уравнений, в котором есть однородное уравнение.

ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений

Обозначив t = , перепишем первое уравнение системы в виде   t2+4t+3=0.

Уравнение имеет два корня t1 = -1 и t2 = -3, поэтому все решения системы есть объединение всех решений двух систем:

Решив каждую из этих систем, найдем все решения системы:

(2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).

Ответ. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).

При решении некоторых систем помогает знание свойств симметрических многочленов.

Пример.

Введем новые неизвестные α = х + у  и  β= ху, тогда, х4+у4= α4-4 α2 β+2 β2

Поэтому систему можно переписать в виде

Решим квадратное уравнение относительно β: β1=6, β2=44.

Следовательно, все решения системы являются объединением

всех решении двух систем:

Первая система имеет два решения х1= 2, у1 = 3 и х2= 3, у2=2, а вторая система не имеет действительных решений. Следовательно, система имеет два решения:   (х:1; у1) и (х2;у2)

Ответ. (2; 3), (3; 2).

Сегодня мы подвели итоги изучения темы рациональные уравнения. Мы поговорили об общих идеях, общих методах, на которых основана вся школьная линия уравнений.

Выделили методы решения уравнений:

1) метод разложения на множители;

2) метод введения новых переменных.

Расширили представления о методах решения систем уравнений.

На следующих 4 уроках проведем практические занятия. Для этого необходимо выучить теоретический материал, и подобрать из учебника по 2 примера на рассмотренные методы решения уравнений и систем уравнений, на 6 уроке будет проведен семинар по этой теме, для этого необходимо подготовить вопросы: формула бинома Ньютона, решение симметрических уравнений 3,5 степени. Заключительный урок по этой теме — зачет.

Литература.

1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10кл. общеобразоват. учреждений/[С.М.Никольский, М.К. Потапов.].-5-е изд., доп.-М.: Просвещение , 2006.-432с.  Стр.65-74., 45-47.
2. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов/сост. Г.И.Ковалева, Т.И. Бузулина — Волгоград: Учитель,2009.-494с.   – стр. 62-72,194-199.
3. Титаренко А.М. Математика : т9-11 классы: 6000 задач и примеров/А.М. Титаренко.-М.:Эксмо,2007.-336с.

Много можно говорить об уравнениях. В этой области математики существуют вопросы, на которые математики еще не дали ответа. Возможно, кто-то из вас найдет ответы на эти вопросы.

Альберт Эйнштейн говорил: « Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента. А уравнения будут существовать вечно ».

Уроки 2-5 отводиться практическим занятиям. Основным видом занятий на этих уроках является самостоятельная работа учащихся по закреплению и углублению теоретического материала, изложенного на лекции. На каждом из них проводится повторение вопросов теории и опрос учащихся. На основе самостоятельной работы на уроке и дома обеспечивается повторение и усвоение вопросов теории, ведется целенаправленная работа по выработке умений и навыков решения задач различного уровня сложности, проводится опрос учащихся. Цель: закрепить и углубить теоретический материал изложенный на лекции, научиться применять его на практике, усвоить алгоритмы решения типовых примеров и задач, добиться, чтобы все учащиеся усвоили основное содержание изучаемого раздела на уровне программных требований.

На семинар отводится 6-й и 7-й уроки, причем целесообразно на 6-м уроке провести семинар, а 7-м- зачет.

План урока – семинара.

Цель: повторение, углубление и обобщение пройденного материала, отработать основные методы, способы и приемы решения математических задач, приобретение новых знаний, обучение самостоятельному применению знаний в нестандартных ситуациях.

1. В начале урока организуется программный контроль. Цель проведения работы- проверка сформированности умений и навыков выполнения несложных упражнений. В процессе фронтального опроса учеников, неверно указавших номер ответа, учитель выясняет, какие из заданий вызвали затруднение. Далее ведется устная или письменная работа по устранению ошибок. На проведение программированного контроля отводится не более 10 минут.

2. Дифференцированный опрос нескольких учащихся по вопросам теории.

3. Историческая справка о возникновении и развитии понятия уравнения (сообщение ученика). Формула бином Ньютона.  Решение симметрических уравнений третьей степени, четвертой  степени, пятой степени.

х4-2х3-х2-2х+1=0

2х4+х3-11х2+х+2=0

х5-х4-3х3-3х2-х+1=0

2х5+3х4-5х3-5х2+3х+2=0

4. Решение примеров, проверка готовности учащихся к выполнению контрольной работы – это одна из главных задач семинара.

Проведение зачета.

 Проведение зачета не означает отказ от текущего контроля знаний учащихся. Оценки выставляются на практических и семинарских занятиях.  На зачет выносятся некоторые типичные упражнения. Заранее  ученикам сообщается, какой теоретический материал и упражнения будут представлены на зачете. Приведем содержание одной из карточек для проведения зачета по рассматриваемой теме.

1 уровень.

Решите уравнения: (х+3)4+(х2+х-6)2=2(х-2)4

                                   х2+25=24

                                  (2х2-3х+1)(2х2-5х+1)=8х2

                                 

                                 

2 уровень.

Решите уравнения:  х4+8х3+8х2-32х-9=0

                                  8х3-12х2+х-7=0

                                 

                                 

                                 

                               

рациональные уравнения — что это, определение и ответ

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратится в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определяем область допустимых значений.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ:

Пример №1:

\(\frac{1}{x — 2} = \frac{2}{x + 4}\)

1. Определим область допустимых значений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x — 2 \neq 0 \\ \ \\ \ x + 4 \neq 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x \neq 2 \\ \ \\ \ \ \ x \neq — 4 \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \)

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и ‒4.

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

\(\left. \ \frac{1}{x — 2} = \frac{2}{x + 4}\ \right| \cdot (x\ –2)\left( x\ + 4 \right)\)

\(\frac{(x\ –2)\left( x\ + 4 \right)}{x — 2} = \frac{2(x\ –2)\left( x\ + 4 \right)}{x + 4}\)

\(x + 4 = 2(x\ –2)\)

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

\(x + 4 = 2x\ –4\)

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае видим линейное уравнение. Переносим иксы в одну сторону, числа в другую:

\(8 = x\)

5. Проверяем полученный корень (корни) на принадлженость к области допустимых значений. Корень принадлежит ОДЗ, если при его подстановке в уравнение знаменатели не обращаются в ноль:

Ответ: 8.

Пример №2:

\(\frac{x — 3}{x — 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x\left( x — 5 \right)}\)

1. Определим область допустимых значений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x — 5 \neq 0 \\ \ \\ \ x \neq 0 \\ \ \\ \ \ \ \ x(x — 5) \neq 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x \neq 5 \\ \ \\ \ \ x \neq 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \)

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

\(\left. {2}\) равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \text{\ \ \ }x_{1} \cdot x_{2} = — 10 \\ \ \\ x_{1} + x_{2} = 3\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: ‒2

При подстановке корней в уравнение должно получиться верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.

Упрощение рационального выражения: математические решения класса 10

Санджив

19 июня 2022 г.

  Единица: 9  

Упрощение рационального выражения 

Прежде чем начать обсуждение упрощения рационального выражения, мы должны рассмотреть следующую концепцию.

Рациональное выражение 

Рациональное выражение – это дробь, числитель и знаменатель которой полиномиальны. Другими словами, многочлен — это просто частное двух многочленов.

Рациональное выражение имеет вид p/q, где q ≠ 0 . Процесс приведения рационального выражения к простейшей форме называется упрощением.

Что мы делаем в Rational Expression

В Rational expressions мы пытаемся сократить данные выражения до наименьшего члена с помощью процесса упрощения.

Simplification Of Rational Expression Class 10 Solution PDF

Примечание :  Прокрутите PDF-файл, чтобы просмотреть все решения 

Вы не можете публиковать этот PDF-файл на любом веб-сайте или в социальной сети без разрешения. {alertWarning}

Как скачать Simplification Of Rational Expression PDF?

Если вы хотите использовать мобильные данные или у вас есть проблемы с доступом в Интернет, вы можете загрузить эту заметку для использования в автономном режиме. В этом случае вы можете легко скачать эту заметку. Чтобы загрузить конспекты по математике для 10 класса, выполните следующие действия:

1. Прокрутите вниз, и вы увидите Загрузить сейчас кнопку
2. Нажмите Загрузить сейчас
3. Будет показан таймер загрузки
4. Подождите 9002 6 60 секунд  и вы увидите кнопку «Загрузить сейчас»
5. Нажмите Кнопка загрузки
6. Теперь вы успешно загрузили файл.

Нажмите здесь, чтобы загрузить

Нажмите кнопку ниже, чтобы загрузить файл

Скачать сейчас

Полезно ли пособие по математике для учащихся 10 класса?

Я опубликовал эти заметки для помощи учащимся, которые не могут решить сложные математические задачи. Студент не должен полностью полагаться на эту заметку при выполнении всех упражнений. Если вы полностью зависите от этой заметки и просто скопируете a в z, это может повлиять на ваше исследование.

Студент также должен попытаться решить некоторые задачи самостоятельно. Вы можете использовать эту заметку в качестве справки. Вы должны внимательно проверить все ответы, потому что все ответы могут быть неправильными. В примечании могут быть небольшие ошибки, пожалуйста, учтите эти ошибки.

Как получить хорошие оценки по математике?

Как вы знаете, я тоже студент. Быть студентом не так просто. Вы должны учиться и много работать по 8 различным предметам. С моей точки зрения, большинство учеников слабы в математике. Они сталкиваются с трудностями при решении математических задач. Я тоже столкнулся с той же проблемой, когда учился в 10 классе.

Если вы также хотите получать хорошие оценки по математике, вам следует практиковаться в них каждый день. Вы всегда должны начинать свою практику с простых задач. Когда вы решаете несколько простых задач, это мотивирует вас решать другие, более сложные задачи. Медленно и постепенно увеличивайте сложность вопросов день ото дня.

Математика — это не только практика. Вы также должны иметь четкое представление о концепции решения проблем. Когда вы поймете концепцию, вы сможете легко решать математические задачи в аналогичных форматах.

Вы должны иметь привычку делать пометки. Это означает, что вы должны сделать записи формул, советов по решению этих проблем и основной концепции.

Когда ваш учитель пытается прояснить концепцию, приводя случайный пример, все ученики пытаются запомнить один и тот же пример, но вы не должны этого делать. Вы должны попытаться связать это понятие со своей повседневной жизнью и создать свою собственную формулу запоминания понятий.

Если вы будете уделять должное время практике с правильным методом занятий, то вы обязательно получите хорошие оценки на экзамене. Вы также можете составить расписание для своего исследования и читать соответственно.

Отказ от ответственности:  Этот веб-сайт создан в образовательных целях. Если вы найдете какой-либо контент, который принадлежит вам, свяжитесь с нами через контактную форму. Мы удалим этот контент из нашего как можно скорее.

Если у вас есть какие-либо вопросы или вы хотите дать какое-либо предложение, не стесняйтесь комментировать . {алертинфо}

Sanjeev

Здравствуйте, я Sɑnjeev Mɑngrɑti. Писательство — это мой способ обмена мыслями, точками зрения и идеями, которые придают мне силы. Мне очень нравится писать и публиковать много информативных статей. Я верю, что знание и понимание могут сделать вас на один шаг ближе к цепной линии жизни!

Следующий пост Предыдущий пост

Rational Expression — сложение, вычитание, умножение, деление и решаемые примеры

Рациональные термины

Мы выяснили, что дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. Когда числитель и знаменатель состоят из многочленов, такие дроби называются рациональными выражениями.

Например,

 Мы также можем выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание и умножение с рациональными членами. Рациональные числа, как и дроби, можно свести к упрощенным низшим рациональным терминам. Эти полиномиальные уравнения могут иметь более одной степени.

[Изображение скоро будет загружено]

В этой статье мы обсудим многочлены и рациональные выражения, а также упрощение рациональных выражений.

Что такое рациональные выражения?

Рациональное выражение можно также назвать отношением двух полиномиальных выражений.

Если p (x) и q (x) являются двумя полиномами, с q (x) ♠ 0, то общая форма рациональной экспрессии составляет

P (x) / Q (x)

В рациональном выражении и числитель, и знаменатель являются полиномами.

Знаменатель рационального выражения никогда не может быть равен нулю. Подобно алгебраическим выражениям, оно содержит неизвестные переменные. Чтобы упростить рациональное выражение, мы приводим его к простейшей форме.

 Упрощение рациональных выражений

Частное двух полиномиальных выражений называется рациональным выражением.

Упрощение рационального выражения означает приведение его к наименьшим терминам. Рациональное выражение находится в низшей форме, если все общие множители из числителя и знаменателя исключены.

1. Сначала нам нужно разложить многочлены на множители

2. Вычеркнуть любые общие множители из числителя и знаменателя рационального выражения

Например:

3×2 + x

__________

4×2 + x

Фактор числитель и знаменатель 

    x( 3x + 1)

= ________

    x( 4x + 1)

Теперь упростим выражение, убрав общий множитель   

    (3x + 1)

=   ______

    (4x + 1)

Это низшая форма.

Умножение рациональных выражений

Умножение рациональных выражений работает так же, как умножение дробей. Мы умножаем числители на числитель и знаменатель на знаменатель, чтобы найти произведение. Перед умножением разложите числители и знаменатели так же, как мы это делали при упрощении рациональных выражений, это облегчит вычисления. Мы также можем упростить произведение рациональных выражений.

Шаги для умножения двух рациональных выражений

1. Фактор числителя и знаменателя

2. Умножение числителей.

3. Умножить знаменатели.

4. Упрощение

Например:

[\[\frac{(x + 1)}{2x}\]] X [\[\frac{(y + 2)}{(x + 5 )}\]]

= \[\frac{(x + 1) X (y + 2)}{2x X (x + 5)}\]

= \[\frac{xy + 2x + y + 2}{2×2 + 10x}\]

Деление рациональных выражений

Деление рациональных выражений работает так же, как деление на дроби. Чтобы разделить рациональное выражение на другое рациональное выражение, мы должны умножить первое выражение на обратную величину второго выражения.

Действия по делению двух рациональных выражений

1. Запишите первое рациональное выражение, умноженное на обратную величину второго.

2. Разложите числители и знаменатели на множители.

3. Умножьте числители.

4. Умножьте знаменатели.

5. Упрощение.

Пример

(2×2 + x — 6/x2 — 1) (x2 — 4 / x2 + 2x -1)

Решение:

Запишите первое рациональное выражение, умноженное на обратную величину второго.

(2×2 + x — 6/x2 — 1)  x ( x2 + 2x — 1/ x2 — 4)

Разложите числители и знаменатели на множители.

[(2x -3)( x + 2)/ (x + 1)( x- 1) ] x [ ​​(x+1)2/(x + 2)( x — 2)]

Отмена общего факторы

[(2x + 3)(x + 1) / ( x- 1)(x -2)]

Сложение и вычитание рациональных выражений

Сложение и вычитание рациональных выражений работает так же, как сложение и вычитание обычных дробей. Чтобы сложить дроби, нам нужно найти общий знаменатель.

Нам нужно привести дроби к общему знаменателю, прежде чем мы сможем их складывать. Мы должны делать то же самое при вычитании рациональных выражений.

Общее правило сложения или вычитания рационального выражения:

\[\frac{a}{b}\] + \[\frac{c}{d}\] = \[\frac{a \times d + b \times c}{b \times d}\ ]

Самый простой в использовании общий знаменатель — это наименьший общий знаменатель, или LCD. LCD — это наименьшее общее кратное, общее для знаменателей.

Шаги для сложения или вычитания рациональных выражений:

1. Фактор числителя и знаменателя.

   No related posts.