Разложите выражение на множители: Разложение на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Разложение многочленов на множители 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Упрощение выражений

Упрощение выражений чем-то похоже на игру в пятнашки: есть исходные данные (выражение, которое нужно упростить, например ) и правила игры (набор стандартных действий, которые приведут к необходимому результату, например порядок выполнения действий: 1) действия в скобках; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание).

В пятнашках есть начальные положения, при которых можно выиграть, получить нужный результат (см. рис. 1), а есть те, при которых нельзя (см. рис. 2). Для игры обычно предлагаются те варианты, в которых выиграть можно.

Рис. 1. Положение в пятнашках, при котором можно выиграть

Рис. 2. Положение в пятнашках, при котором нельзя выиграть

Так и с выражениями – есть те, которые упрощаются, есть те, которые нет. Например:

В задачах и примерах вам будут чаще всего встречаться те выражения, которые можно упростить. Нужно только научиться «правилам игры» – методам, которые используются для упрощения выражения, и потренироваться их применять.

Чем больше вы тренируетесь, тем более хорошим «игроком» становитесь (меньше ошибок при упрощении выражений совершаете, быстрее упрощаете, учитесь упрощать более сложные выражения). Все определяет цель – кто-то хочет стать чемпионом, а кому-то достаточно уметь играть в свое удовольствие. Рассмотрим «правила игры» – методы упрощения.

Число 12 можно разложить на множители:

А вот число 17 – нельзя (если не считать разложением).

Разложение чисел на множители мы использовали для сокращения обыкновенных дробей, нахождения общего знаменателя, например:

Действия с алгебраическими дробями не отличаются от действий с обыкновенными. Чтобы сократить дробь или привести дроби к общему знаменателю, нужно научиться раскладывать выражения на множители.

С некоторыми выражениями мы умеем это делать:

А можно ли разложить на множители ? Оказывается, нет.

Но способов, с помощью которых можно раскладывать на множители, всего два. Рассмотрим их, чтобы научиться раскладывать многочлены на множители и, соответственно, впоследствии упрощать выражения.

Вынесение общего множителя за скобки

Вспомним распределительный закон:

Поскольку это тождество, то по определению равенство выполняется в две стороны: как слева направо, так и наоборот:

В частности, это означает, что:

и т. д.

Такая эквивалентная запись получается с помощью вынесения общего множителя за скобки (в первом примере выносится общий множитель 5, во втором – общий множитель ).

Пример 1.

Вычислить значение выражения:

Решение:

Чтобы не выполнять два умножения, вынесем за скобку общий множитель 17.

Вместо трех действий мы сделаем два:

Ответ: 510.

Пример 2.

Упростить выражение:

Решение:

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3, в знаменателе – общий множитель 12 и сократим:

Ответ: .

ОДЗ при преобразованиях выражений

Почему равенство не является тождеством?

Какие бы значения переменных мы ни подставляли в левую часть, ее значение будет получаться равным . Кроме одного случая – когда .

Но тождество – это равенство, которое выполняется на всем множестве значений входящих в него переменных (если это множество отдельно не задано).

Если мы не укажем ограничения на множество значений переменных, то тождественно равными выражения и считать нельзя, ведь, например, при значение первого выражения не определено, а значение второго определено и равно .

Поэтому данные выражения тождественно равны только при условии, что .

Пример 3.

Вычислить значение выражения , если .

Решение:

Вспомним распределительный закон:

В примере можно взять в качестве :

Подставим известные значения :

Заметим, что, записав выражение так: мы упростили выражение, поскольку количество действий, которых нам необходимо совершить, уменьшилось с 5 до 3.

Ответ: 9.

Пример 4.

Представить в виде произведения многочленов:

Решение:

Распределительный закон:

В примере можно взять в качестве :

Ответ: .

Пример 5.

Представить в виде произведения многочленов:

Решение:

Распределительный закон:

В примере можно взять в качестве :

Ответ: .

Методы разложения на множители

Операция, которую мы проделали в рассмотренных примерах, называется разложением на множители. В наших примерах слагаемые имели общий множитель, который мы выносили за скобки, но есть выражения, где не все слагаемые имеют общий множитель, например:

У первых двух слагаемых есть общий множитель , у вторых двух – общий множитель . Вынесем их за скобки:

Мы получили выражение, где у слагаемых есть общий множитель, снова вынесем его:

Мы разложили на множители многочлен, выбрав группы слагаемых, у которых был общий множитель, такой метод разложения на множители называют методом группировки.

Всего есть два основных метода разложения на множители:

Метод группировки.
Использование формул сокращенного умножения (ФСУ).

Пример 6.

Разложить на множители:

Решение:

Ответ:.

Кроме метода группировки, в разложении на множители выражений нам помогут ФСУ,

вспомним их:

Пример 7.

Разложить на множители:

Решение:

Ответ: .

Использование ФСУ и группировка слагаемых

Мы выделили использование ФСУ в отдельный метод разложения на множители. Однако сами ФСУ получаются методом группировки. Рассмотрим это на примере:

Т. е., обобщив все сказанное, можно сказать, что существует единственный способ разложения многочленов на множители – метод группировки. А вынесение общего множителя и ФСУ можно считать частным случаем этого способа.

Не всегда для разложения выражения на множители можно сразу применить метод группировки. Иногда предварительно одно из слагаемых необходимо эквивалентно представить в виде суммы двух других.

Пример 1.

Разложить многочлен на множители:

Решение:

Ответ: .

Пример 2.

Разложить многочлен на множители:

Решение:

Ответ: .

Разложение на множители с помощью выделения полного квадрата

При изучении ФСУ мы рассматривали метод выделения полного квадрата. Напомним его суть.

Пример 1.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную:

Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось):

Чтобы получилось :

Получим:

Ответ: .

С помощью этого метода некоторые квадратные трехчлены можно разложить на множители.

Пример 2.

Разложить на множители:

Решение:

Например, выделим полный квадрат в следующем выражении:

Обратим внимание, что теперь мы можем воспользоваться формулой разности квадратов
:

Ответ: .

Пример 3.

Разложить на множители:

Решение:

Выделим полный квадрат:

Воспользуемся формулой разности квадратов :

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с двумя основными методами, которые используются для упрощения выражений: группировка слагаемых и применение ФСУ.

Оба этих метода используются для вынесения за скобки общих множителей. Сама операция вынесения общего множителя является применением распределительного закона слева направо:

Зачем нужно выносить общий множитель за скобки? Как мы увидели на примерах, это позволяет сократить количество операций, которые нужно сделать для вычисления значения различных выражений или, говоря простым языком, упростить выражения.

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
Интернет-портал mathematics.ru (Источник)
Интернет-портал youclever.org (Источник)

Домашнее задание

1. Разложить выражение на множители и вычислить:

2. Вынести общий множитель за скобки:

3. Разложить многочлен на множители, используя ФСУ:

15.53 Разложите выражение на множители способом группировки, используя… Мордкович 8 класс алгебра – Рамблер/класс

15.53 Разложите выражение на множители способом группировки, используя.

.. Мордкович 8 класс алгебра – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

ответы

раскладываем тут так

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения

похожие темы

Психология

ЕГЭ

10 класс

9 класс

похожие вопросы 5

Домашняя контрольная работа № 3 Вариант 2 10. При каких значениях р уравнение… Мордкович 8 класс алгебра

10. При каких значениях р уравнение -х 2 + 6х — 2 = р:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень; (Подробнее…)

ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Приготовление раствора сахара и расчёт его массовой доли в растворе. Химия. 8 класс. Габриелян. ГДЗ. Хим. практикум № 1. Практ. работа № 5.

Попробуйте провести следующий опыт. Приготовление раствора

сахара и расчёт его массовой доли в растворе.
Отмерьте мерным (Подробнее…)

ГДЗШкола8 классХимияГабриелян О.С.

16. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых). .. Цыбулько И. П. Русский язык ЕГЭ-2017 ГДЗ. Вариант 13.

16.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 13. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

Факторинг — Математика GCSE — шаги, примеры и рабочий лист

Введение

Что такое факторинг?

Таблицы факторинга

Как факторизовать выражения

Вопросы по практике факторинга (смешанные)

Факторинг вопросов GCSE (смешанный)

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE теперь доступны

Узнать больше

Введение

Что такое факторинг?

Таблицы факторинга

Как факторизовать выражения

Вопросы по практике факторинга (смешанные)

Факторинг вопросов GCSE (смешанный)

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Вот все, что вам нужно знать о факторизации для GCSE по математике (Edexcel, AQA и OCR).

Вы изучите основы факторизации выражений и факторизации квадратичных чисел, включая разложение на множители в одинарных и двойных скобках.

Обратите внимание на рабочие листы факторинга и экзаменационные вопросы в конце.

Что такое факторизация

Факторизация — это процесс, обратный раскрытию скобок. Чтобы полностью разложить выражение на множители, нужно заключить его в скобки, вынеся старшие общие множители.

Простейший способ разложения на множители:

Найдите наибольший общий делитель каждого члена выражения.
Запишите наибольший общий делитель (HCF) перед любыми скобками.
Заполните каждое слагаемое в скобках путем умножения.

Однако существуют разные способы факторизации различных типов алгебраических выражений; мы узнаем о них всех здесь.

Рабочий лист по факторингу (смешанный)

Получите бесплатный рабочий лист по факторингу, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист по факторингу (смешанный)

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Как факторизовать выражения

Для факторизации алгебраических выражений существует три основных метода. Когда вы факторизуете квадратные числа, вы обычно используете метод двойных скобок или разности двух квадратов.

1. Факторизация одинарных скобок

Пример разложения алгебраического выражения на множители:

Помните: 3x+6 называется биномом, потому что это выражение с двумя членами

2. Разложение на множители двойных скобок форма x ² + bx + c

b) При факторизации квадратных выражений в форме ax ² + bx + c

Помните:
Выражения с тремя членами типа x ² + 6x + 5 и 2x ² + 5x + 3 известны как трехчлены.

3. Разность двух квадратов

Использование разности двух квадратов:

Каковы 3 стандартных способа факторизации алгебраических выражений?

Методы факторизации

Каждый метод факторизации или факторизации выражений приводится ниже. Для получения подробных примеров, практических вопросов и рабочих листов по каждому из них следуйте ссылкам на пошаговые руководства.

1. Факторизация одинарных скобок

Пример факторизации с использованием одинарных скобок

Чтобы полностью разложить на множители:

\[\color{#00BC89}3x + \color{#7C4DFF}6\]

Найдите наибольший общий множитель ( HCF) чисел 3 (коэффициент при x) и 6 (константа).

Множители 3:
1, 3

Множители 6:
1, 6
2, 3

Наибольший общий делитель (HCF) чисел 3x и 6 равен 3

2 Запишите наибольший общий делитель (HCF) перед одиночной скобкой.

\[\color{#FF9100}3(\quad+\quad)\]

3 Заполните каждый термин в скобках путем умножения.

На что мне нужно умножить 3, чтобы получить 3x?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#62F030}x = \color{#00BC89}3 x\]

На что мне нужно умножить 3, чтобы получить 6?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#92009E}2 = \color{#7C4DFF}6\]

\[\color{#FF9100}3(\color{#62F030}x + \color{#92009E}2)\]

Мы можем проверить ответь умножением скобки!

\[3(x+2)=3 x+6\]

Пошаговое руководство: Разложение одинарных скобок на множители

2a) Разложение квадратичных чисел на множители в двойные скобки: x

² + bx + c
Пример факторизации квадратного выражения в форме x ² + bx + c
Чтобы полностью разложить на множители: 92 + \color{#00bc89}6x + \color{#7C4DFF}5\]
Выпишите пары множителей последнего числа (5)
Делители 5:
1, 5
2 Найдите пару множителей, которые + дают среднее число (6) и ✕ дают последнее число (5).
1 + 5 = 6 ✔ 1 ✕ 5 = 5 ✔
3 Запишите две скобки и поставьте переменную в начале каждой.
\[(х\qquad)(х\qquad)\] 92 + \color{#00bc89}5x \color{#7C4DFF}{+3}\]
Умножьте конечные числа (2 и 3), затем запишите пары множителей этого нового числа по порядку
Факторы из 6:
1, 6
2, 3
2 Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (5) и ✕ дают это новое число (6)
2 + 3 = 5 ✔
2 ✕ 3 = 6 ✔
3 Перепишите исходное выражение, на этот раз разделив средний член на два множителя, которые мы нашли на шаге 2. 9{2}\color{#FF9100}{+2 x+3 x}+3\]
4 Разделите уравнение пополам и полностью разложите каждую половину на множители.
\[\color{#398CDA}{2 x}\color{#62F030}{(x+1)}\color{#398CDA}{+3}\color{#62F030}{(x+1)} \]
5 Разложите все выражение на множители, вынеся все, что находится в скобках, на передний план и запишите два других члена в другой скобке.
\[(\color{#398CDA}{2x+ 3})\color{#62F030}{(x + 1)}\]
Пошаговое руководство: Факторизация квадратичных уравнений 92}}=\color{#FE47EC}{2 x}\]
\[(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)\]
3 Извлеките корень из последнего члена и запишите его справа от обеих скобок.
\[\sqrt{\color{#7C4DFF}9}=\pm\color{#7C4DFF}3\]
\[(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3 )(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3)\]
4 Поставьте + в середине одной скобки и – в середине другой (порядок не имеет значения) .
\[(\color{#FE47EC}{2x}+\color{#7C4DFF}3)(\color{#FE47EC}{2x}-\color{#7C4DFF}3)\] 9{2}-2х-3)
Чтобы разложить на множители квадратное выражение, мы ищем числа, которые умножаются на -3 и в сумме дают -2. Рассматривая пары факторов, мы приходим к выводу, что нам нужно использовать +1 и -3.
2(х+1)(х-3)
(х+3)(х+3)
(х+1)(х-9)
(х+3)(х-3)
(х+1)(х-3)
Это частный случай (разность двух квадратов), а это значит, что мы можем взять квадратные корни из коэффициента при х и постоянного члена, затем записать одну скобку со знаком +, а другую скобку со знаком –.
(3x+4)(3x-4)
(3x-4)(3x-4)
(9x+16)(x-1)
(3x+1)(3x-16)
Это частный случай (разность двух квадратов), а это значит, что мы можем взять квадратные корни из коэффициента при х и постоянного члена, затем записать одну скобку со знаком +, а другую скобку со знаком –.
Факторизация вопросов GCSE (смешанный)
1. Разложить на множители: 9x − 18
Показать ответ
9(x − 2)
(1 балл)
2. Разложить на множители полностью: 16x ² + 20xy
Показать ответ
4x (4x + 5y)
(2 балла)
3. Фактор полностью: 3y ² — 4y — 4
Показ Ответ
(3Y + 2) (4Y — 4
у — 2)
(2 балла)
Учебный контрольный список
Теперь вы научились:
Манипулировать алгебраическими выражениями, вынося общие множители и разлагая их в одну скобку.
Факторизация квадратичных выражений вида x ² + bx + c
Факторизация квадратичных выражений в виде разности двух квадратов.
Факторизация квадратичных выражений вида ax ² + bx + c (H)
Все еще застряли?
Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.
Факторизация алгебраических выражений| Идентичности |Примеры
Факторизация алгебраического выражения означает нахождение факторов данного выражения, которое относится к нахождению двух или более выражений, произведением которых является данное выражение. Этот процесс нахождения двух или более выражений, произведением которых является заданное выражение, известен как факторизация алгебраических выражений. Множитель – это число, на которое данное число делится без остатка. Это просто означает выражение числа как произведение двух других чисел. Точно так же в алгебре мы записываем алгебраические выражения как произведение их множителей. Единственная разница здесь в том, что алгебраическое выражение включает числа и переменные в сочетании с арифметическими операциями, такими как сложение или вычитание.
На этом уроке мы узнаем о факторизации, о том, как факторизовать алгебраические выражения с использованием различных методов, и о тождествах с решенными примерами, практическими вопросами.
1. Что такое факторизация алгебраических выражений?
2. Как факторизовать алгебраические выражения?
3. Список тождеств для факторизации алгебраических выражений
4. Примеры факторизации алгебраических выражений
5. Часто задаваемые вопросы о факторизации алгебраических выражений
Что такое факторизация алгебраических выражений?
«Коэффициент» — это термин, используемый для выражения числа как произведения любых двух чисел. Факторизация — это метод нахождения факторов для любого математического объекта, будь то число, полином или любое алгебраическое выражение. Таким образом, факторизация алгебраического выражения относится к выяснению факторов данного алгебраического выражения.
Например, множители 10 равны 1, 2, 5 и 10. Точно так же можно разложить на множители и алгебраическое выражение. Когда множители перемножаются, получается исходное число или выражение, которое факторизуется. Например, рассмотрим выражение (2x ² +8x). Его можно разложить на множители как 2x(x+4). Когда мы умножаем (2x) и (x+4), мы получаем исходное выражение (2x ² +8x).
Как факторизовать алгебраические выражения?
92 \end{align}\) можно разложить на множители как \(\begin{align} x \times x \end{align}\), а \(\begin{align} 4x\end{align}\) можно разложить на множители как \(\begin{align}x \times 2 \times x \end{align}\).
Шаг 2: Найдите наибольший общий множитель двух членов. Здесь мы видим, что \(\begin{align} x\end{align}\) является наибольшим общим делителем. Оставляем этот множитель за скобками, члены полинома делим на этот множитель и оставшееся выражение записываем внутри скобок.
Шаг 3: Таким образом, выражение разлагается как \(\begin{align} x(x + 4)\end{align}\)
Факторизация алгебраических выражений путем перегруппировки членов
В некоторых алгебраических выражениях все члены могут не иметь определенного общего множителя. Рассмотрим алгебраическое выражение 15x + y — xy — 15.
Шаг 1: Найдите члены с общими делителями. Только первый и последний члены имеют общий делитель 15. Точно так же второй и третий члены имеют общий делитель y.
Шаг 2: Таким образом, члены можно перегруппировать как 15x + y — xy — 15 = 15x — 15 + y — xy
Шаг 3: Удалите общие делители. 15x — 15 — xy — y = 15(x -1) — y(x -1). Ясно, что (a-1) является общим множителем.
Шаг 4: Таким образом, факторизация данного выражения 15x — 15 — xy — y = (x -1) (15 -y)
Таким образом, перегруппировав члены в заданном алгебраическом выражении, мы можем разложить это алгебраическое выражение на множители. 2\end{align}\) можно разложить на множители как \(\begin{align}9\times 3 \times x \times x\end{align}\)
При разложении алгебраических выражений на множители проверьте, имеют ли они вид какого-либо тождества. В этом случае можно найти факторы, используя формулу тождества.
Часто задаваемые вопросы о факторизации алгебраических выражений
Что такое факторизация алгебраических выражений в математике?
Алгебраическое выражение, которое выражается как произведение множителей, состоящее из переменных, констант и арифметических операторов, называется факторизацией алгебраических выражений.
Как факторизовать алгебраические выражения?
Алгебраические выражения можно разложить на множители, используя множество методов. Наиболее распространенными методами факторизации алгебраических выражений являются:
Факторизация с использованием общих множителей.
Факторизация путем перегруппировки терминов.
No related posts.