Составные формулы Гаусса-Лежандра для решения задач нечеткого интегрирования
На этой странице
АннотацияВведениеПредварительные сведенияЗаключениеБлагодарностиСсылкиАвторские праваСтатьи по теме
В этой статье исследуются два правила численного интегрирования, основанные на композиции формул Гаусса-Лежандра для решения задач интегрирования нечетких числовых функций. Представлены конструкции методов и подробно показаны соответствующие теоремы сходимости. Для окончательной иллюстрации предлагаемых алгоритмов приведены два численных примера.
1. Введение
Численное интегрирование является одним из основных элементов численной математики и всегда играет жизненно важную роль в инженерных и научных расчетах. Подробно представлены методы численного интегрирования [1]. Численное интегрирование всегда осуществляется с помощью механических квадратур и его основная схема [2] выглядит следующим образом: где , , и , , называются соответственно коэффициентами и узлами механической квадратуры.
После того, как коэффициенты и узлы заданы, можно определить схему (1).
За прошедшие годы появилось несколько работ об асимптотических свойствах методов численного интегрирования. Однако их результаты лаконичны, а процессы рассуждений очень сложны [3–6]. Впервые тема нечеткого интегрирования обсуждалась в [7]. В 2005 г. Аллахвиранлоо [8] предпринял удачную попытку использовать методы Ньютона Кота с положительными коэффициентами для интегрирования нечетких функций. Например, он разработал трапециевидное правило интегрирования и правило интегрирования Симпсона для нечеткого интеграла. Позже они применили метод квадратур Гаусса и метод Ромберга для аппроксимации нечеткого интеграла и нечеткого кратного интеграла, построили ряд формул для сложного нечеткого интеграла [8–11] и получили хорошие результаты. Но их методы не имели высокого порядка сходимости.
В этой статье мы создали класс методов численного интегрирования высокой алгебраической точности, которые предлагаются путем составления двухточечной и трехточечной формул Гаусса-Лежандра.
Мы разрабатываем эти формулы для расчета интегрирования нечетких функций. Мы также приводим остаточные члены методов и приводим соответствующие теоремы о сходимости. По сравнению с некоторыми подходами для аппроксимации нечетких интегрирований ранее, наши методы превосходят эти формулы как по объему вычислений, так и по квадратурной ошибке. Структура работы выглядит следующим образом.
В разделе 2 мы напоминаем некоторые основные определения и результаты по интегрированию нечетких функций. В разделе 3 мы вводим двухточечные и трехточечные формулы Гаусса-Лежандра и их составной метод. Затем мы разрабатываем их для решения нечеткой интеграции. Мы также размещаем представления терминов напоминания о методах и теоремы о сходимости. Предлагаемые алгоритмы проиллюстрированы решением двух примеров в разделе 4, а вывод сделан в разделе 5.
2. Предварительные выводы
2.1. Интеграция нечеткой функции
Позвольте быть множеством всех действительных нечетких чисел, которые являются нормальными, полунепрерывными сверху, выпуклыми, и компактными нечеткими множествами.
Определение 1 (см. [12]). Нечетким числом в параметрической форме называется пара функций , , , удовлетворяющая следующим требованиям: (1) – ограниченная монотонно возрастающая непрерывная слева функция, (2) – ограниченная монотонно убывающая непрерывная слева функция, (3), .
Для произвольных нечетких чисел , , количество это расстояние между и . Функция называется нечеткой функцией. Если для произвольных фиксированных и а таких, что существует, называется непрерывным.
Определение 2 (см. [14]). Предположим. Для каждого разбиения и для произвольного , пусть
Определенный интеграл от over равен при условии, что этот предел существует в метрике . Если нечеткая функция непрерывна в метрике , то ее определенный интеграл существует.
Более того,
Следует отметить, что нечеткий интеграл также может быть определен с использованием подхода типа Лебега [15, 16]. Подробнее о свойствах нечеткого интеграла см. в [17].
2.2. Формулы Гаусса-Лежандра
Квадратурная формула Гаусса является высшей алгебраической точностью интерполяционной квадратурной формулы. Разумно выбирая квадратурные узлы и квадратурные коэффициенты вида можно получить интерполяционную квадратурную формулу с наивысшей алгебраической точностью; это, . Используя корневые узлы порядка ортогонального полинома Лежандра на специальном интервале , можно предложить квадратурную формулу Гаусса-Лежандра (7).
Лемма 3 (см. [6]). Напоминающий член квадратурной формулы Гаусса-Лежандра (7) равен где и – узлы Гаусса.
В частности, когда , (7) есть двухточечная квадратурная формула Гаусса-Лежандра: где и его срок напоминания
При , (7) представляет собой трехточечную квадратурную формулу Гаусса-Лежандра: и его срок напоминания
2.
3. Порядок сходимости составного метода
Например, комбинированный метод трапеций. и составной Симпсон обладают свойством сходимости двух и четырех порядков соответственно.
3. Формулы Гаусса-Лежандра для решения нечеткого интеграла
3.1. Составные формулы и их напоминания об ошибках
Теорема 5. Пусть , , , ; то напоминающий член составных трехточечных формул Гаусса-Лежандра является и обладает свойством сходимости шестого порядка.
Доказательство. Сначала рассмотрим остаточный член трехточечной системы Гаусса-Лежандра. По лемме 3 Пусть и У нас есть и . Таким образом, получаем напоминающий член трехточечной формулы Гаусса-Лежандра:
Теперь изучим интегральный остаточный член составной трехточечной системы Гаусса-Лежандра: где примерно эквидистантный раздел на .
Позволять , ; тогда С помощью трехточечной формулы Гаусса-Лежандра и ее напоминающего члена (21) имеем Таким образом, мы получаем напоминающий член составной трехточечной Гаусса-Лежандра следующим образом:
Аналогичным образом мы получаем напоминающий член составной двухточечной формулы Гаусса-Лежандра следующим образом.
Теорема 6. Пусть , , , ; то напоминающий член составных двухточечных формул Гаусса-Лежандра является и обладает свойством сходимости четвертого порядка.
3.2. Формулы Гаусса-Лежандра для нечеткого интегрирования
В этом подразделе мы применяем составные формулы Гаусса-Лежандра для решения нечеткого интегрирования и даем их напоминания и теоремы о сходимости.
Применяя формулы (16) и (27) к численному интегрированию для нечеткой функции (13), имеем
Теорема 7. Предположим о и , , ; тогда напоминания составных трехточечных формул Гаусса-Лежандра (29) для нечеткого интегрирования равны
Доказательство. Из формул (16) и (17) получаем
Используя приведенную выше формулу нечеткого интегрирования в параметрической форме, мы имеем куда , .
Таким образом, напоминаниями составных трехточечных формул Гаусса-Лежандра (29) для нечеткого интегрирования являются (31).
Теорема 8. Пусть о , ; тогда
Доказательство. Из теоремы 7 имеем куда , .
Так как , ограничены , мы легко получаем следующий факт: если .
Аналогично, у нас есть следующая теорема о сходимости.
Теорема 9. Предположим о и , , ; тогда напоминания составных двухточечных формул Гаусса-Лежандра (30) для нечеткого интегрирования равны куда , . И
4. Числовые примеры
Пример 1. Рассмотрим следующий нечеткий интеграл: Точное решение есть.
Из двухточечной формулы Гаусса-Лежандра: ясно, что формула (37) верна.
Теперь с , Уравнение (38) также выполняется. Пример 2. Рассмотрим следующий нечеткий интеграл: Точное решение есть.
Мы вычисляем приведенный выше интеграл численно, используя формулу трапеции, формулу Симпсона, составной двухточечный метод Гаусса-Лежандра и трехточечный метод Гаусса-Лежандра с , , и . Некоторые сравнения численных решений и ошибок между различными методами показаны в таблицах 1, 2 и 3. Все данные обозначены восьмибитными значащими цифрами, а ошибки рассчитываются по расстоянию между точным решением и численным решением.
Из приведенных выше таблиц ясно видно, что наши методы имеют лучшую аппроксимацию, чем формула трапеций и формула Симпсона на том же нечетком интегрировании, в котором на самом деле имеет место составная трехточечная система Гаусса-Лежандра.
5. Заключение
В работе применены составные формулы Гаусса-Лежандра для решения нечеткого интеграла на конечном интервале . Поскольку это интегрирование дает нечеткое число в параметрической форме, мы используем параметрическую форму методов.
Интегрирование треугольного нечеткого числа представляет собой треугольное нечеткое число. Численные примеры показали, что наши методы практичны и эффективны при вычислении нечеткого интеграла на большем интервале.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении публикации данной статьи.
Благодарности
Работа поддерживается Фондом естественных наук Китая (№ 61262022 и 21175108) и Проектом по исследованию возможностей молодежи Северо-Западного педагогического университета (NWNU-LKQN-1120).
Ссылки
P. J. Davis and P. Rabinowitz, Методы численной интеграции , Academic Press, Orlando, FLA, USA, 2 -е издание, 1984.
View At:
MathScinet
9018- 9999999999999999999999999999999999999999999. Дж. Дуглас, 9 лет0025 Numerical Analyisis , Thomson Learning, Boston, Mass, USA, 2001.
B. Q.
Liu, «Асимптотический анализ для некоторых численных интегральных формул», Communication on Applied Mathematics and Computation , vol. 14, нет. 2, стр. 83–87, 2000.Посмотреть по адресу:
Google Scholar | MathSciNet
Лю Б. К., «Предельные свойства класса формул интегрирования Гаусса», Journal of Engineering Mathematics , vol. 20, нет. 4, стр. 137–139., 2003.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | MathSciNet
С. Ф. Цю и З. В. Ван, «Асимптотические свойства промежуточной точки для численного интегрирования и его приложений», Mathematics in Practice and Theory , vol. 36, нет. 5, стр. 218–223, 2006 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | MathSciNet
QH Zhao, «Формулы коррекции для числового интеграла», Mathematics in Practice and Theory , vol.
37, стр. 207–208, 2007.Посмотреть по адресу:
Google Scholar
Х. Дж. Циммерман, «Теория нечетких множеств и ее приложения», Fuzzy Sets and Systems , vol. 24, стр. 319–330, 1987.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | Google Scholar
Т. Аллахвиранлоо, «Методы Ньютона Кота для интеграции нечетких функций», Applied Mathematics and Computation , vol. 166, нет. 2, стр. 339–348, 2005 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | Академия Google
Т. Аллахвиранлоо, «Интеграция Ромберга для нечеткой функции», Прикладная математика и вычисления , том. 168, стр. 886–876, 2005.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | MathSciNet
Т.
Аллахвиранлоо и М. Отади, «Квадратуры Гаусса для аппроксимации нечетких интегралов», Applied Mathematics and Computation , vol. 170, нет. 2, стр. 874–885, 2005.Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Т. Аллахвиранлоо и М. Отади, «Квадратуры Гаусса для аппроксимации нечетких кратных интегралов», Applied Mathematics and Computation , vol. 172, нет. 1, стр. 175–187, 2006 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
C. X. Wu и M. Ma, «О проблеме встраивания нечеткого числового пространства — часть I», Fuzzy Sets and Systems , vol. 44, нет. 1, стр. 33–38, 1991.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | MathSciNet
R.
Goetschel, Jr. и W. Voxman, «Элементарное исчисление», Fuzzy Sets and Systems , vol. 18, нет. 1, стр. 31–43, 1986.Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
М. Л. Пури и Д. А. Ралеску, «Нечеткие случайные величины», Journal of Mathematical Analysis and Applications , vol. 114, нет. 2, стр. 409–422, 1986.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
О. Калева, «Нечеткие дифференциальные уравнения», Нечеткие множества и системы , том. 24, нет. 3, стр. 301–317, 1987.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
М. Матлока, «О нечетких интегралах», в Трудах 2-го Польского симпозиума по интервальной и нечеткой математике , том.
18, стр. 167–170, Плите Чник Познанск, 1987.Посмотреть по адресу:
Google Scholar | MathScinet
J. Stoer and R. Bulirsch, Введение в числовой анализ , Springer, New York, NY, USA, 1980.
View At:
MathScinet
Q. y. li, n. want, и wang, wang, n. wang, wang, n. wang, n. wang, n. want. D. Y. Yi, Численный анализ , Tsuing University Press, Springer, 2003. Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.
Delta Quants — Gaussian Quadrature
Gaussian Quadrature — Gauss Legendre Integration
- 3.04
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Votes: 6063
Often in the field of quantitative finance, it требуется применить численное интегрирование, чтобы получить цифры риска или оценки, которые в противном случае были бы невозможны, поскольку решения в закрытой форме для этих интегрирований не существуют.
Для этого существует несколько вариантов численных методов. Примеры включают трапецеидальные квадратуры, квадратуры Буля и Гаусса. Квадратура Гаусса, вероятно, является наиболее популярным методом на практике сегодня. Эта статья посвящена интегрированию Гаусса-Ландра, которое применяется для численного вычисления определенных интегралов.Давайте сначала кратко поговорим о полиномах Лежандра:
Полиномы Лежандра
Рассмотрим рекурсивные уравнения 1 и 2 ниже.
Применяя уравнение 2 для n = 1, получаем 2P2(x) = 3xP 1 (x) — P 0 (x) (3)
Решая (3) = 2, получаем 3P 3 (x)=5xP 2 (x)-2P 1 (x) или, 3P 3 (x)=15/2x 2 -5/2x-2x
что ведет к,
Первые пять полиномов Лежандра приведены в таблице ниже. К ним относятся такие методы, как Bisection, Newton, Brent и т. д. Здесь нам, однако, нужна схема для вычисления всех корней этих многочленов Лежандра. Ниже приведена наводящая на размышления схема:
Предположим, что у нас есть многочлен Лежандра P(x), нам нужны все корни, такие как P(x) = 0,
1.
Найдите первый корень (R 1 ) числа P(x) с помощью решателя (бисекция, Ньютон и т. д.)
2. Найдите полином f(x) такой, что f(x) * (x-R 1 ) = P(x).
3. Используйте решатель, чтобы найти следующий корень (R 2 ).
4. Найдите f'(x) такое, что f'(x) * (x-R 2 ) = f(x) или (x-R 1 ) * (x-R 2 ) * f'(x) = P (х)
Итак, и так далее. n — степень полинома. Это начальное предположение эффективно сходится.Вычисление f(x) таким образом, что f(x) * (x — R 1 ) = P(x)
Допустим, у нас есть
(1),
(2)
930 )
и нам нужно узнать коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , а 3 … и т.д.
решая (3) получаем,
что упрощается до
, (4)
и, (5)
(6)
2 точки Гаусса Лежандра Правило интегрирования
Правило интегрирования Лежандра Гаусса показано в уравнении (7) ниже:
(7)
, где x 1 и x 2 — абсциссы, а w 1 и w 2 — веса для двухточечного правила интегрирования Гаусса-Лжандра.
Абсциссы правила n точек — это корни функции Лежандра степени n. Например, для правила двух точек у нас есть функция Лежандра. Таким образом, корни уравнения P 2 (x) = 0 являются абсциссами двухточечного правила Гаусса-Лжандра.Корни функции Лежандра степени 2 (см. таблицу 1 выше) выглядят так, как показано ниже.
(8)
Чтобы найти веса w 1 и w 2 , нам нужны два уравнения соотношения. Поэтому мы используем наше знание определенного интегрирования 1 и x, что дает нам следующие два соотношения. Подставляя (11) в (7), получаем :
Примем так, чтобы двухточечное приближение Гаусса-Ландра было следующим:
или
, где точное решение равно 0,74682413281243
) — ln(1) = 1,09861228866811.
Правило интегрирования Гаусса Лежандра по 4 точкам
Абсциссы и веса для правила по 4 точкам следующие:
x1 = -0,339981043584856, x2=-0,861136311594053, x3=0,339981043584856 и x4=0,861136311594053.
w1 = 0,652145154862546, w2 = 0,347854845137454, w3 = 0,652145154862546 и w4 = 0,347854845137454.
Пример 3: Вернемся ко второму примеру, так как нам нужно оценить, используя правило Гаусса Лежандра с 4 точками.
Применяя правило четырех точек, имеем
Подставляя указанные выше значения весов и абсцисс, получаем . Мы замечаем, что правило 4-х баллов дает более близкий результат, чем правило 2-х баллов.
Правило интегрирования Гаусса-Ландра для точек N
До сих пор мы видели применение правил интегрирования Гаусса-Ландра для 2 и 4 точек. Обобщение для правила интегрирования более высокого порядка выглядит следующим образом: (13)
, где x i s и w i s — абсциссы и веса, применимые для правила N точек. Таблица для правила Гаусса Лежандра более высокого порядка доступна по ссылке ниже.
Просмотр абсцисс Гаусса Лежандра и весов квадратур Гаусса Лежандра более высокого порядка.
Правило более высокого порядка обычно дает лучшее приближение к требуемому интегрированию. В таблице 2 ниже показано, как улучшаются результаты расчета по мере того, как мы переходим к правилам Гаусса-Лжандра более высокого порядка. Правило 32 или 64 пунктов достаточно для большинства реальных случаев.
Заказ (н) Приближение Гаусса Лежандра Ошибка (%) 2 1.09090909090909 0,70118% 4 1.09857035364936 0,00382% 8 1.09861228751918 0,000000105% 16 1.09861228866810 0,0000000000011% Таблица 2: Сравнение квадратур Лежандра Гаусса различных порядков.
Liu, «Асимптотический анализ для некоторых численных интегральных формул», Communication on Applied Mathematics and Computation , vol. 14, нет. 2, стр. 83–87, 2000.
37, стр. 207–208, 2007.
Аллахвиранлоо и М. Отади, «Квадратуры Гаусса для аппроксимации нечетких интегралов», Applied Mathematics and Computation , vol. 170, нет. 2, стр. 874–885, 2005.
Goetschel, Jr. и W. Voxman, «Элементарное исчисление», Fuzzy Sets and Systems , vol. 18, нет. 1, стр. 31–43, 1986.
18, стр. 167–170, Плите Чник Познанск, 1987.
Для этого существует несколько вариантов численных методов. Примеры включают трапецеидальные квадратуры, квадратуры Буля и Гаусса. Квадратура Гаусса, вероятно, является наиболее популярным методом на практике сегодня. Эта статья посвящена интегрированию Гаусса-Ландра, которое применяется для численного вычисления определенных интегралов.
Найдите первый корень (R 1 ) числа P(x) с помощью решателя (бисекция, Ньютон и т. д.) 
Абсциссы правила n точек — это корни функции Лежандра степени n. Например, для правила двух точек у нас есть функция Лежандра. Таким образом, корни уравнения P 2 (x) = 0 являются абсциссами двухточечного правила Гаусса-Лжандра.
