§ Системы уравнений. Как решать системы уравнений
Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.
Запомните!
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют «x» и «y»), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Например, система уравнений может быть задана следующим образом.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или
«железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений.
Разберем способ подстановки на примере.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7» неизвестное «x».
Важно!
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
- перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
- разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.
При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.
| x = 7 − 5y | |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.
| x = 7 − 5y | |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 |
Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)» во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y». Решим его по правилам решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 (*) |
(*) 3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
− 17y = − 17 | :(−17)
y = 1
Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.
| x = 7 − 5y | |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 | |
| y = 1 |
| x = 2 | |
| y = 1 |
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
Запомните!
При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.
| x + 5y = 7 | (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4 | ||
| + => | x + 5y + 3x − 2y = 11 | ||
| 3x − 2y = 4 | 4x + 3y = 11 |
При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент «−3».
Для этого умножим первое уравнение на «−3».
Важно!
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
| x + 5y = 7 | ·(−3) | |
| 3x − 2y = 4 |
| x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3) | |
| 3x − 2y = 4 |
| −3x −15y = −21 | |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь сложим уравнения.
| −3x −15y = −21 | (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4 | ||
| + => | −3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4 | ||
| 3x − 2y = 4 | −17y = −17 |:(−17) | ||
| y = 1 |
Мы нашли «y = 1». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое значение и найдем «x».
| x = 7 − 5y | |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 | |
| y = 1 |
| x = 2 | |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения
способом подстановки
| x − 3y = 17 | |
| x − 2y = −13 |
Выразим из первого уравнения «x».
| x = 17 + 3y | |
| x − 2y = −13 |
Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.
| x = 17 + 3y | |
| (17 + 3y) − 2y = −13 (*) |
(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и найдем «x».
| x = 17 + 3y | |
| y = −30 |
| x = 17 + 3 · (−30) | |
| y = −30 |
| x = 17 −90 | |
| y = −30 |
| x = −73 | |
| y = −30 |
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения
способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
| 3(x − y) + 5x = 2(3x − 2) | |
| 4x − 2(x + y) = 4 − 3y |
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
| 3x − 3y + 5x = 6x − 4 | |
| 4x − 2x − 2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y = 6x − 4 | |
| 2x −2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y − 6x = −4 | |
| 2x −2y + 3y = 4 |
| 2x − 3y = −4 | |
| 2x + y = 4 |
Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».
| 2x − 3y = −4 |·(−1) | |
| 2x + y = 4 |
| 2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1) | |
| 2x + y = 4 |
| −2x + 3y = 4 | |
| 2x + y = 4 |
Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.
| −2x + 3y = 4 | (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4 | ||
| + => | −2x + 3y + 2x + y = 4 + 4 | ||
| 2x + y = 4 | 4y = 8 | :4 | ||
| y = 2 |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».
| −2x + 3y = 4 | |
| y = 2 |
| −2x + 3 · 2 = 4 | |
| y = 2 |
| −2x + 6 = 4 | |
| y = 2 |
| −2x = −2 | :(−2) | |
| y = 2 |
| x = 1 | |
| y = 2 |
Ответ: x = 1; y = 2
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
Механизм решения систем линейных алгебраических уравнений
10.
08.2018
Данная статья является анонсом новой функциональности.
Не рекомендуется использовать содержание данной статьи для освоения новой функциональности.
Полное описание новой функциональности будет приведено в документации к соответствующей версии.
Полный список изменений в новой версии приводится в файле v8Update.htm.
Реализовано в версии 8.3.14.1565.
В сложных прикладных решениях 1С:Предприятия существует прикладной функционал расчета себестоимости товаров. Это достаточно сложная задача и мы решили сделать встроенный в платформу механизм, который будет максимально простым в использовании и, при этом, весьма производительным.
Проанализировав работу прикладных решений, мы пришли к выводу, что один из наиболее трудозатратных этапов представляет собой, по сути, решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). В результате в платформе, во встроенном языке, мы реализовали новый объект, позволяющий находить решение СЛУ.
Существуют классические алгоритмы решения СЛУ, однако в платформе мы использовали собственный алгоритм с дополнительной оптимизацией. В случае разреженной матрицы СЛУ, что как раз соответствует задаче расчета себестоимости, наш алгоритм работает существенно быстрее классических алгоритмов. В случае плотной матрицы СЛУ он показывает результаты, близкие к классическим (гарантированно не хуже).
По нашим оценкам использование этого нового объекта в задаче расчета себестоимости позволит увеличить производительность в десятки раз.
Помимо этой задачи вы можете использовать новый объект и в других прикладных областях, которые автоматизируются решениями 1С:Предприятия:
- Задачи планирования;
- Взаиморасчеты между некоторым множеством юридических лиц, предприятий или отраслей;
- Балансовые модели;
- Прогнозирование;
- Задачи поиска экстремумов, в том числе условных экстремумов.
Задача решения системы линейных алгебраических уравнений
В общем виде система линейных алгебраических уравнений выглядит следующим образом:
где это известные коэффициенты уравнений.
Решение системы линейных уравнений заключается в нахождении таких значений , при которых все равенства выполняются.
Новый объект РасчетСистемЛинейныхУравнений
Объект РасчетСистемЛинейныхУравнений обладает рядом свойств, которые позволяют гибко настраивать необходимую точность решения через численные значения и количество итераций алгоритма. Кроме этого они позволяют устанавливать границу изменения алгоритма решения для получения оптимальной скорости вычислений.
Объект содержит конструктор и два метода:
- РассчитатьСистемыЛинейныхУравнений() — решает систему линейных уравнений и возвращает решение в виде объекта ТаблицаЗначений;
- ПолучитьКомпонентыСвязности() — находит компоненты связности и возвращает результат в виде объекта ТаблицаЗначений. Вы можете использовать этот метод для выделения нескольких подмножеств данных и распределённой работы с ними.
Вы можете использовать этот метод для выделения нескольких подмножеств данных и распределённой работы с ними.Особенностью нового функционала является то, что он поддерживает параллельное использование вычислительных ресурсов. Вы можете регулировать количество используемых потоков вычисления. Функционал доступен на сервере, в толстом клиенте и в COM-соединении.
Схема использования механизма
Для решения системы линейных уравнений необходимо подготовить две таблицы с коэффициентами системы линейных уравнений – ИсточникДанныхУзлов и ИсточникДанныхСвязей. Эти таблицы могут быть объектами типа ТаблицаЗначений или РезультатЗапроса.
- ИсточникДанныхУзлов — должен содержать колонку с номерами уравнений и множество колонок, хранящих свободные коэффициенты уравнений;
- ИсточникДанныхСвязей — так же содержит колонку с номерами уравнений, колонку номеров переменных и множество колонок, хранящих коэффициенты, с которыми переменные входят в уравнения.
Далее нужно дать описание этих таблиц, выставив определенные свойства объекта РасчетСистемЛинейныхУравнений: КолонкаУравненияВУзлах, КолонкаУравненияВСвязях, КолонкаПеременныеВСвязях.
Следующим шагом является описание систем линейных уравнений, которые требуется решить. Для этого существует специальный объект ОписаниеСистемыЛинейныхУравнений. В нем нужно указать свойства КолонкаКоэффициентовВСвязях и КолонкаКоэффициентовВУзлах, соответствующие данной системе.
Полученные описания следует добавить в коллекцию ОписанияСистемЛинейныхУравнений (свойство ОписанияСистем объекта РасчетСистемЛинейныхУравнений). Для корректной работы нужно добавить в коллекцию как минимум одно ОписаниеСистемыЛинейныхУравнений.
Далее можно указать дополнительные (необязательные) свойства объекта РасчетСистемЛинейныхУравнений, которые позволяют тонко настроить механизм решения.
Финальный этап — вызов метода РассчитатьСистемыЛинейныхУравнений().
Отметим, что механизм позволяет рассчитывать сразу несколько систем линейных уравнений за один вызов метода РассчитатьСистемыЛинейныхУравнений().
Теги: 8.3.14 разработка
Возврат к списку
Рассказать друзьям:
Решение систем уравнений алгебраическими методами
Давайте начнемМетоды решения систем уравнений алгебраическиРешение систем уравнений алгебраически с помощью графикаРешение систем уравнений алгебраически с помощью подстановкиРешение систем уравнений алгебраически с помощью исключенияОсобые случаиСловарный запасЗадание в журнале
Мы собираемся научиться использовать различные методы для решения системы уравнения.
Стандарты TEKS и ожидания учащихся
A(3) Линейные функции, уравнения и неравенства. Учащийся применяет стандарты математического процесса при использовании графиков линейных функций, ключевых функций и связанных преобразований для представления различными способами и решения уравнений, неравенств и систем уравнений с использованием технологий и без них. Ожидается, что учащийся:
A(3)(F) начертит на координатной плоскости системы двух линейных уравнений с двумя переменными и найдет решения, если они существуют
A(3)(G) графически оценивать решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными в реальных задачах
A(5) Линейные функции, уравнения и неравенства. Учащийся применяет стандарты математического процесса для решения линейных уравнений с помощью технологий и без них и оценивает обоснованность их решений. Студент должен:
A(5)(C) решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными для математических и практических задач
Ресурс Цель(и)
Получив словесное и/или алгебраическое описание ситуаций, включающих системы линейных уравнений с двумя переменными, учащийся решит систему уравнений.
Основные вопросы
Как можно решить систему уравнений с помощью графика?
Как можно решить систему уравнений подстановкой?
Как решить систему уравнений методом исключения?
Словарь
- Согласованная система
- Зависимая система
- Несовместимая система
- Заменитель
- Система линейных уравнений
Существует три основных метода алгебраического решения систем уравнений. Они перечислены и кратко описаны ниже.
Графический метод : Когда в обоих уравнениях решается одна переменная, легко использовать графический калькулятор. В этом случае калькулятор можно использовать для построения графика обоих уравнений. Пересечение двух линий будет представлять собой решение системы уравнений.
м = -3 n
м = 10 – 4 n
Метод подстановки: Существует два различных типа систем уравнений, где подстановка является самым простым методом.
Тип 1: Одна переменная находится сама по себе или изолирована в одном из уравнений. Система решается путем подстановки уравнения с изолированным членом в другое уравнение:
x + 2 y = 7
y = x – 5
Тип 2: Одну переменную можно легко выделить. Системы решаются путем решения одной переменной в одном из уравнений, а затем подстановки этого уравнения во второе уравнение. Найдите a во втором уравнении, затем подставьте второе уравнение в первое. Метод исключения0069 : Оба уравнения имеют стандартную форму: A x + B y = C. Система уравнений решается путем исключения переменной и решения для оставшейся переменной. Сложите два уравнения вместе, чтобы исключить y, , затем найдите x .
8 x + 11 Y = 37
2 x -11 y = -7
вы можете подставить значения x и y, чтобы убедиться, что оба уравнения дают вам верные утверждения.
Одним из способов алгебраического решения систем уравнений является построение графика. Нужен графический калькулятор. Если вам нужен онлайн-калькулятор, нажмите здесь.
Если два линейных уравнения равны одной и той же переменной, вам не нужно манипулировать уравнениями. Вы можете изобразить уравнения на графическом калькуляторе по мере их написания, а затем найти решение.
Помните, что этот метод работает, только если два уравнения равны одной и той же переменной.
Пример
Решите следующие системы уравнений.
Y = 2 x — 2
Y = 4 x — 4
Поместите оба уравнения в «y =» x – 2 и Y 2 = 4 x – 4.
Проверьте, где пересекаются графики, и ответьте на следующие вопросы.
Существует два типа ситуаций, связанных с заменой.
Тип 1
Записано ли одно из уравнений с одной из переменных на одной стороне уравнения? Если это так, вы можете подставить значение этой переменной в другое уравнение и решить его.
Пример
Решите следующую систему уравнений с помощью подстановки.
b = 3
4 a + b = 7
Тип 2
Если одно из уравнений не записано с одной переменной с одной стороны уравнения, но его легко преобразовать в уравнение с одной переменной с одной стороны, подстановку все же можно использовать.
Пример
Перепишите уравнение, а затем подставьте его в другое уравнение, чтобы решить систему уравнений.
2 а + 3 б = 2
а – 2 б = 8
Когда построение графика или замена не могут быть легко выполнены, для решения системы уравнений используется исключение.
Пример
Выполните шаги, чтобы решить эту систему уравнений.
8 x + 11 Y = 37
2 x -11 Y = -7
Шаг 1: Добавьте два прибыль.
8x + 11y = 37 2x — 11y = -7 10x = 30
Шаг 2: Найдите х .
10x = 30 x = 3
Шаг 3: Чтобы найти значение y , подставьте 3 вместо x в одно из уравнений.
8(3) + 11y = 37
Шаг 4. Решите для y .
24 + 11y = 37 24 + 11y = 37- 24 — 2411y11 = 1311 y = 1311
Шаг 5: Определите решение как упорядоченную пару.
(3, 1311)
Что делать, если добавление или вычитание не удаляет переменную?
Пример
3 x – y = 8
x + 2 y = 5
В этом случае, если добавить уравнения, переменная не будет устранена. Если y в первом уравнении заменить на 2 y , тогда переменные y будут аддитивными обратными, и их можно будет исключить.
Следуйте инструкциям для решения проблемы.
Большинство систем уравнений имеют хотя бы одно решение. Такие задачи называются непротиворечивыми системами.
Однако есть два таких особых случая при решении линейных систем уравнений.
Первый случай возникает при алгебраическом решении систем. Переменные исключаются, и левая часть уравнения не равна правой части уравнения. В этом случае решения нет и прямые параллельны.
Пример
-2 x + 2 y = 6
-x + y = -3 9
004 Следуйте инструкциям для решения проблемы.
Обратите внимание, что обе переменные были удалены. Последнее утверждение, 0 ≠ 16, не равно . Это означает, что прямые никогда не пересекаются, потому что они параллельны.
В этом случае решения нет. Это называется несовместимой системой.
Второй случай также имеет место при алгебраическом решении систем. Переменные и константы исключаются, и обе части уравнения равны нулю. В этом случае любое число может быть решением, что означает, что прямые совпадают.
Example
3 x – 4 y = 12
— 6 x + 8 y = -24
Follow the steps to solve the проблема.
Обратите внимание, что все переменные являются аддитивными инверсиями друг друга, а левая и правая части уравнения равны нулю.
Эти уравнения представляют собой ту же самую линию . Система имеет бесконечно много решений, а линии являются зависимыми системами.
- Печать
- Поделиться
Алгебраические методы решения систем
Результаты обучения
- Использовать метод подстановки
- Решить систему уравнений методом подстановки.
- Распознавать системы уравнений, которые не имеют решений или имеют бесконечное число решений
- Использовать метод исключения без умножения
- Решите систему уравнений, когда для исключения переменной не требуется умножения
- Использовать метод исключения с умножением
- Использование умножения в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений
- Распознать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает наличие бесконечного числа решений
Решение системы уравнений методом подстановки
В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система из двух линейных уравнений.
Что, если нам не задана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы все же найти решение системы? Конечно можно, используя алгебру!
В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. В этом курсе мы использовали подстановку по-разному, например, когда использовали формулы площади треугольника и простых процентов. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу для решения на значения, которые мы не знали. Идея аналогична применительно к решению систем, в этом процессе всего несколько разных шагов. Вы сначала определите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Давайте начнем с примера, чтобы понять, что это значит.
Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение. Вот пример.
Помните, что решение системы уравнений должно быть решением каждого уравнения в системе. Упорядоченная пара [латекс](4,−1)[/латекс] работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что она также является решением системы.
Давайте рассмотрим еще один пример, замена которого связана с распределительным свойством.
В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной х или и . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.
Иногда вам может потребоваться переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете подставить ее в другое уравнение.
В следующем видео вам будет представлен пример решения системы двух уравнений методом подстановки.
Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти такое же решение. На самом деле это вопрос предпочтений, потому что иногда нахождение переменной приводит к необходимости работать с дробями.
Когда вы станете более опытными в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.
Распознавать системы уравнений, которые не имеют решений или имеют бесконечное число решений
Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, то обнаружили, что одни уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное множество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.
Вспомните этот пример из Модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:
Решите для x . [латекс]12+2x–8=7x+5–5x[/латекс]
[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}12+2x-8=7x+5-5x\\\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4=2x+5\end{массив}[/латекс]
[латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4=2x+5\\\,\, \,\,\,\,\,\,\подчеркнуть{-2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2x\,\,\,\,\,\ ,\,\,}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,4= \,5\end{array}[/latex]
Это ложное утверждение означает, что нет решений этого уравнения.
Точно так же вы можете увидеть такой результат, когда используете метод подстановки для поиска решения системы линейных уравнений с двумя переменными. В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.
Вы получаете ложное утверждение [латекс]−8=4[/латекс]. Что это значит? График этой системы проливает некоторый свет на происходящее.
Прямые параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [латекс]−8=4[/латекс] — это , а не решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что решения не существует.
Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное число решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.
На этот раз вы получите истинное утверждение: [латекс]−4,5x=−4,5x[/латекс].
Но что означает этот тип ответа? Опять же, графики могут помочь вам разобраться в этой системе.
Эта система состоит из двух уравнений, представляющих одну и ту же прямую; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, поэтому метод подстановки дает истинное утверждение. В этом случае существует бесконечное множество решений.
В следующем видео вы увидите пример решения системы, которая имеет бесконечное количество решений.
В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.
Решение системы уравнений методом исключения
Метод исключения для решения систем линейных уравнений использует аддитивное свойство равенства.
Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может понадобиться или не понадобиться сначала умножать члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения. В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.
С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу перейдем к некоторым примерам.
Если вы сложите два уравнения,
[латекс]x–y=−6[/латекс] и [латекс]х+у=8[/латекс] вместе, посмотрите, что получится.
[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,x-y=\,-6\\\underline{+\,x+y=\,\,\,8 }\\\,2x+0\,=\,\,\,\,2\end{array}[/latex]
Вы удалили член y , и это уравнение можно решить, используя методы для решение уравнений с одной переменной.
Посмотрим, как решается эта система методом исключения.
К сожалению, не все системы работают так легко. Как насчет такой системы, как [латекс]2x+y=12[/латекс] и [латекс]−3x+y=2[/латекс]. Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут устранены.
[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,2x+y=12\\\underline{-3x+y=\,\,\,2}\\-x +2y=14\end{array}[/latex]
Но вы хотите удалить переменную. Итак, давайте добавим противоположное одному из уравнений к другому уравнению. Это означает, что умножьте каждый член одного из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.
[латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,2x+\,\,y\,=12\rightarrow2x+y=12\rightarrow2x+y=12\\−3x+\,\ ,y\,=2\rightarrow-\left(-3x+y\right)=-(2)\rightarrow3x-y=-2\\\,\,\,\,5x+0y=10\end{массив }[/latex]
Вы удалили переменную y , и теперь проблема может быть решена.
В следующем видео описывается аналогичная задача, в которой можно исключить одну переменную, сложив вместе два уравнения.
youtube.com/embed/M4IEmwcqR3c?feature=oembed» frameborder=»0″ gesture=»media» allow=»encrypted-media» allowfullscreen=»»> Внимание! Когда вы добавляете противоположность одного полного уравнения к другому, обязательно меняйте знак КАЖДОГО члена в обеих частях уравнения. Это очень распространенная ошибка.
Ниже приведены еще два примера, показывающие, как решать линейные системы уравнений с помощью исключения.
Проверьте этот последний пример — подставьте (2, 3) в оба уравнения. Вы получаете два верных утверждения: 14=14 и 16=16!
Обратите внимание, что вы могли бы использовать противоположное первому уравнению вместо второго и получить тот же результат.
Распознавание систем, не имеющих решений или имеющих бесконечное число решений
Так же, как и метод подстановки, метод исключения иногда устраняет обе v переменных, и вы получите либо истинное утверждение, либо ложное утверждение. Напомним, что ложное утверждение означает отсутствие решения.
Давайте рассмотрим пример.
Графическое изображение этих линий показывает, что они являются параллельными линиями и поэтому не имеют общих точек, что подтверждает отсутствие решения.
Если обе переменные исключены, а у вас осталось истинное утверждение, это означает, что существует бесконечное число упорядоченных пар, удовлетворяющих обоим уравнениям. По сути, уравнения представляют собой одну и ту же строку.
Графики этих двух уравнений помогут проиллюстрировать происходящее.
В следующем видео методом исключения решается система уравнений, не имеющая решений.
Решите систему уравнений, когда умножение необходимо для исключения переменной
Много раз добавление уравнений или добавление противоположного одному из уравнений не приводит к исключению переменной.
Посмотрите на систему ниже.
[латекс]\begin{array}{r}3x+4y=52\\5x+y=30\end{массив}[/latex]
Если добавить приведенные выше уравнения или добавить противоположное одному из уравнения, вы получите уравнение, которое по-прежнему имеет две переменные. Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного из уравнений на число, которое позволит исключить ту же переменную в другом уравнении.
Делаем это с помощью умножения. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4 y , а второе уравнение содержит член y . Если вы умножите второе уравнение на -4, то при сложении обоих уравнений переменные y дадут в сумме 0.
Следующий пример проведет вас через все шаги, чтобы найти решение этой системы.
Внимание! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножать КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число. Распространенной ошибкой является забывание умножить каждое слагаемое.
Есть и другие способы решения этой системы. Вместо того, чтобы умножать одно уравнение, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить обоих уравнений на разные числа.
На этот раз удалим переменную x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс]-3[/латекс].
Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс]-3[/латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме давали бы 0. Обязательно умножьте все члены уравнения.
В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.
Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, указывающий на отсутствие решений или на бесконечное множество решений, точно так же, как и в других изученных нами методах поиска решений систем.
В следующем примере вы увидите систему, имеющую бесконечно много решений.
В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Кроме того, эта система имеет бесконечное число решений.
Резюме
Метод подстановки является одним из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных через другую переменную. Затем подставьте это выражение вместо этой переменной во второе уравнение. Затем вы можете решить это уравнение, так как теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (указывающее одно решение), неверное утверждение (указывающее отсутствие решений) или истинное утверждение (указывающее бесконечное количество решений).