Умножение и деление алгебраических дробей. Примеры и решение
- Умножение дробей
- Возведение алгебраических дробей в степень
- Деление дробей
Умножение дробей
Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).
Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:
| a | · | c | = | ac | , |
| b | d | bd |
где b≠0 и d≠0.
Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:
| 2a2 | · | a + b | . |
| a2 — b2 | a |
Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители — это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:
| 2a2 | · | a + b | = | 2a2 | · | a + b | = |
| a2 — b2 | a | (a + b)(a — b) | a |
| = | 2a2(a + b) | . |
| (a + b)(a — b)a |
Теперь сокращаем полученную дробь:
| 2a2(a + b) | = | 2a | . |
| (a + b)(a — b)a | a — b |
Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:
| (2x + 6) · | x — 2 | . |
| x + 3 |
Решение:
| (2x + 6) · | x — 2 | = | (2x + 6)(x — 2) | . |
| x + 3 | x + 3 |
Разложим числитель на множители и сократим дробь:
| (2x + 6)(x — 2) | = | 2(x + 3)(x — 2) | = |
| x + 3 | x + 3 |
= 2(x — 2) = 2x — 4.
Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:
| a · | b | = | ab | или | b | · a | = | ab | , |
| c | c | c | c |
где c≠0.
Возведение алгебраических дробей в степень
Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.
Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:
| ( | a | )n = | an | . |
| b | bn |
Пример.
Выполнить возведение в степень:
| а) ( | a2 | )3 ; б) (- | 2x3 | )2 | . |
| b | y2 |
Решение:
| а) ( | a2 | )3 = | (a2)3 | = | a6 | ; |
| b | (b)3 | b3 |
| б) (- | 2x3 | )2 = | (2x3)2 | = | 4x6 | . |
| y2 | (y2)2 | y4 |
Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени
.
Деление дробей
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.
Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:
| a | : | c | = | a | · | d | = | ad | . |
| b | d | b | c | bc |
Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.
Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:
| ab + ac | : | ab — ac | . |
| bc | bc |
Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:
| ab + ac | : | ab — ac | = | ab + ac | · | bc | = |
| bc | bc | bc | ab — ac |
| = | (ab + ac)bc | . |
| bc(ab — ac) |
Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:
| (ab + ac)bc | = | ab + ac | = |
| bc(ab — ac) | ab — ac |
| = | a(b + c) | = | b + c | . |
| a(b — c) | b — c |
Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.
Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:
| a : | b | = a · | c | = | ac | . |
| c | b | b |
Пример. Выполнить деление:
| 6xy2 : | x | . |
| y |
Решение:
| 6xy2 : | x | = 6xy2 · | y | = 6y3. |
| y | x |
Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.
Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:
| a | : c = | a | : | c | = | a | · | 1 | = | a | . |
| b | b | 1 | b | c | bc |
Пример. Выполнить деление:
| 2xy | : 6y. |
| 3 |
Решение:
| 2xy | : 6y = | 2xy | : | 6y | = | 2xy | · | 1 | = |
| 3 | 3 | 1 | 3 | 6y |
| = | 2xy | = | x | . |
| 18y | 9 |
Решение уравнений умножением
Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac{x}{a} = b$.
Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения.
Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
$x = ab.$
То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.
Так, $x = \frac{ax}{a} = \frac{3x}{3} = \frac{(a + b)x}{a + b} = \frac{dx + 5x}{d + 5}$. Для каждого из этих примеров, x умножается и делится на одну и ту же величину, и такое действие не изменяет значения величин. Поэтому,
Когда неизвестная величина
Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.
Пример 1. Решите уравнение $\frac{x}{c} + a = b + d$
Умножаем обе стороны на $c$
Произведение будет $x + ac = bc + cd$
И $x = bc + cd — ac$.
Пример 1. Решите уравнение $\frac{x}{a+b} + d = h$
Умножаем на $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
И $x = ag + bh — ad — bd.$
Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.
Пример 3. Решите уравнение $\frac{6}{10-x} + 7 = 8$
Тогда $x = 4$.
Хотя это и не обязательно, но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.
Возьмем для примера $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем на a $x = \frac{ad}{b} + \frac{ah}{c}$
Умножаем на b $bx = ad + \frac{abh}{c}$
Умножаем на c $bcx = acd + abh$.
Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.
В этом же самом уравнении $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем члены на abc $\frac{abcx}{a} = \frac{abcd}{b} + \frac{abch}{c}$
В уравнении можно избавиться от дробей, умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели.
При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок
Уравнение $\frac{a — d}{x} = c — \frac{3b — 2hm — 6n}{r}$ является
равным этому уравнению $ar — dr = crx -3bx + 2hmx + 6nx$.
8.6 Решение сложных дробей — алгебра среднего уровня
Перейти к содержимому
Глава 8. Рациональные выражения
При решении двух или более приравненных дробей самое простое решение — сначала удалить все дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплее. Эта стратегия показана в следующих примерах.
Решите [латекс]\dfrac{x+3}{4}=\dfrac{2}{3}[/latex].
Для этих двух дробей ЖК равно 3 × 4 = 12. Следовательно, умножаем обе части уравнения на 12:
[латекс]12\left(\dfrac{x+3}{4}\right)=\left(\dfrac{2}{3}\right)12[/latex]
Это уменьшает сложную дробь до :
[латекс]3(х+3)=2(4)[/латекс]
Умножение дает:
[латекс]3х + 9 = 8[/латекс]
Теперь просто изолируйте и решите для [латекс]x[/латекс]:
[латекс]\begin{array}{rrrrr} 3x&+&9&=&8 \\ &-&9&&-9 \\ \hline &&3x&=&-1 \\ \\ &&x&=& -\dfrac{1}{3} \end{массив}[/latex]
Решите [латекс]\dfrac{2x-3}{3x+4} = \dfrac{2}{5}[/latex].
Для этих двух дробей ЖКД равен [латекс]5(3x + 4)[/латекс]. Следовательно, обе части уравнения умножаются на [латекс]5(3x+4)[/латекс]:
[латекс]5(3x+4)\left(\dfrac{2x-3}{3x+4} \right)=\left(\dfrac{2}{5}\right)5(3x+4)[/latex]
Это уменьшает сложную дробь до:
[латекс]5(2x-3)=2 (3x+4)[/latex]
Умножение дает:
[latex]10x — 15 = 6x + 8[/latex]
Теперь изолируйте и решите для [латекс]x[/латекс]:
[латекс]\begin{array}{рррррр} 10x&-&15&=&6x&+&8 \\ -6x&+&15&&-6x&+&15 \\ \hline &&4x&=&23&& \\ \\ &&x&=&\dfrac{23}{4}&& \end{массив}[/latex]
Решите [латекс]\dfrac{k+3}{3}= \dfrac{8}{k-2}[/latex].
Для этих двух дробей ЖКД равен [латекс]3(к-2)[/латекс]. Следовательно, умножьте обе части уравнения на [латекс]3(к-2)[/латекс]: 92&+&k&-&30&=&0 \end{array}[/latex]
Это уравнение дает:
[латекс](k + 6)(k — 5) = 0[/latex]
Решения:
[латекс]k = -6[/латекс] и [латекс]k=5[/латекс]
Решите каждую из следующих сложных дробей.
- [латекс]\dfrac{m-1}{5}=\dfrac{8}{2}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{8}{2}=\dfrac{8}{x-8}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{2}{9}=\dfrac{10}{p-4}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{9}{n+2}=\dfrac{3}{9}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{3}{10}=\dfrac{a}{a+2}[/latex]
- [латекс]\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{x+3}{4}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{2}{p+4}=\dfrac{p+5}{3}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{5}{n+1}=\dfrac{n-4}{10}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{x+5}{5}=\dfrac{6}{x-2}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{4}{x-3}=\dfrac{x+5}{5}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{m+3}{4}=\dfrac{11}{m-4}[/латекс]
- [латекс]\dfrac{x-5}{8}=\dfrac{4}{x-1}[/латекс]
Ключ ответа 8.6
License
Промежуточная алгебра Терренса Берга находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License, если не указано иное.
Поделиться этой книгой
Поделиться в Твиттере
Видео: Решение уравнений с алгебраическими дробями
Стенограмма видео
В этом видео мы рассмотрим, как решать уравнения с алгебраическими дробями.
Мы пройдем разные этапы один за другим, а также проверим наши ответы, прежде чем давать их в конце вопроса.
Итак, наш первый вопрос: решить уравнение два 𝑥 плюс три на четыре плюс 𝑥 минус пять на три равно три на два. Что ж, в этих вопросах всегда полезно сначала заключать в скобки любые числители или знаменатели, которые содержат алгебраические выражения, просто чтобы было ясно, что все эти термины живут вместе в этих числителях или знаменателях.
Итак, теперь нам нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей. Что ж, один из способов решить эту проблему — выразить каждое число как произведение его простых множителей, так что два и два — оба простые числа; два раза два — четыре, а так как два — простое число, я могу записать его и здесь.
Теперь два не является простым делителем трех. На самом деле, единственный простой множитель трех равен трем, поэтому я напишу это здесь отдельно. Теперь группировка наших простых множителей таким образом означает, что мы можем сказать: ну, смотрите, у нас есть два — это общий простой множитель между двумя и четырьмя, так что мы можем записать это здесь.
Тогда у нас просто есть два, что является простым множителем четырех, поэтому мы записываем это здесь. И затем у нас только что получилось три, что является простым множителем трех, так что мы можем записать это здесь.
Теперь дважды два раза три равно 12, поэтому 12 является наименьшим общим кратным четырех, трех и двух. Поэтому мне нужно умножить каждый из членов моего исходного уравнения на 12. На самом деле, я буду писать 12 как 12 на единицу, потому что каждый член является дробью, поэтому у меня есть 12 на единицу, умноженную на два 𝑥 плюс три. больше четырех плюс 12 больше одного раза 𝑥 минус пять больше трех плюс 12 больше одного раза три больше двух.
Хорошо, но зачем мы это сделали? Ну, потому что теперь мы можем упростить каждое из этих условий и избавиться от знаменателей. Этот первый член, 12 на один, умноженный на два 𝑥, плюс три на четыре, если я разделю низ на четыре, я получу один; если я разделю вершину на четыре, я получу три. Итак, у меня трижды два 𝑥 плюс три на единицу, или просто трижды два 𝑥 плюс три.
Делая то же самое для второго семестра, на этот раз я поделю три на три. А справа я могу разделить три на два. Итак, мы больше не имеем дело с алгебраическими дробями; Замечательно.
Теперь давайте упростим это; давайте умножим эти термины. Мы можем использовать распределительное свойство умножения. Итак, у нас есть трижды два 𝑥 равно шести 𝑥, а трижды положительное число три равно положительному числу девять. Тогда у меня четыре раза 𝑥 равно четырем 𝑥 и четыре раза минус пять минус 20, а шесть раз три в правой части равно 18.
Теперь я могу собрать похожие термины. Шесть 𝑥 плюс четыре 𝑥 равно 10 𝑥; девять отнять 20 — это минус 11, поэтому 10𝑥 минус 11 равно 18. Теперь, если я добавлю 11 к обеим частям моего уравнения, минус 11 плюс 11 ничего не будет, поэтому в левой части у меня только что получилось 10𝑥 , а 18 плюс 11 равно 29, поэтому 10𝑥 равно 29. Если я разделю обе части на 10, я смогу увидеть, чему равно 𝑥, потому что 10 разделить на 10 — это всего лишь единица, так что мне остается только с одним 𝑥 слева, а это значит, что 𝑥 равно 29более 10 или 2,9.
Теперь, прежде чем мы двинемся дальше, мы просто подставим этот ответ обратно в исходный вопрос, чтобы проверить, правильный он или нет. Таким образом, левая часть исходного уравнения равна два 𝑥 плюс три на четыре плюс 𝑥 минус пять на три. Итак, давайте подставим в 𝑥 равно 29 на 10, и это означает, что два раза 29 на 10 плюс три все на четыре плюс 29больше 10 минус пять всего больше трех.
Ну, эти два здесь на самом деле означают два на один, и когда я пишу это так, я вижу, что два сокращаются с 10, чтобы получить пять в знаменателе, так что получается 29 на пять, а это три здесь то же самое, что 15 на пять, и такое написание означает, что у меня 29 на пять плюс 15 на пять; это простое дробное сложение.
Теперь, глядя на эти пять здесь, я мог бы переписать это как 50 на 10, так что я получаю общий знаменатель с этими 10 здесь. Затем 29больше пяти плюс 15 больше пяти равно 44 больше пяти, поэтому у меня есть 44 больше пяти, все четыре или 44 больше пяти, разделенное на четыре для этого первого члена, и 29 больше 10 минус 50 больше 10 минус 21 больше 10, и это минус 21 на 10 на все три или минус 21 на 10, разделенный на три.
Конечно, четыре равно четырем на одного, а три равносильно трем на одного. Теперь, чтобы разделить дроби, все, что я делаю, это переворачиваю вторую дробь и превращаю ее в умножение. Таким образом, 44 на пять, деленное на четыре на единицу, равно 44 на пять, умноженное на один на четыре, и аналогичным образом 21 на 10, деленное на три на единицу, равно 21 на 10, умноженное на один на три.
Теперь я могу немного отменить. Четыре разделить на четыре — это один, 44 разделить на четыре — это 11, три разделить на три — это один, а 21 разделить на три — это семь. Итак, у меня 11 на пять минус семь на 10, но чтобы вычитать дроби, мне нужны общие знаменатели. Таким образом, 11 на пять — это то же самое, что 22 на 10, а 22 на 10 минус семь на 10 — это просто 15 на 10.
Теперь, когда 15 на 10, я могу разделить нижнее число на пять, чтобы получить два, а верхнее — на пять. чтобы дать мне три, так что у меня есть три больше, чем два. Теперь три на два было то, что должно было равняться, правая сторона.
Итак, мы говорим, что левая часть с конкретным решением, которое мы туда вставили, равна правой части, поэтому мы вполне уверены, что получили правильный ответ.
Итак, если вы помните шаги, которые мы там проделали, прежде всего, мы поставили эти скобки просто для того, чтобы было красиво и ясно, что происходит, какие термины должны быть сохранены вместе. Затем мы нашли наименьшее общее кратное наших знаменателей. Затем мы умножили каждый член на эти знаменатели, чтобы избавиться от дробей. И, наконец, нам просто нужно было переставить полученное уравнение и решить его. И вот, наконец, мы просто решили проверить и наш ответ.
Хорошо, давайте перейдем к другому вопросу. Решите четыре больше трех 𝑥 минус один плюс два больше 𝑥 плюс один равно трем. Теперь первое, что мы замечаем в этом вопросе, это то, что на этот раз наши алгебраические выражения находятся в знаменателях, но давайте пока не будем об этом беспокоиться. Давайте заключим в скобки числители или знаменатели, чтобы было ясно, какие термины должны оставаться вместе.
Теперь вторая часть нашего процесса заключалась в том, чтобы найти наименьшее общее кратное наших знаменателей, а затем умножить на него и упростить. Теперь наименьшее общее кратное трех 𝑥 минус один и 𝑥 плюс один равно трем 𝑥 минус один, умноженному на 𝑥 плюс один, поэтому давайте умножим каждое слагаемое на эту комбинацию: три 𝑥 минус один, умноженный на 𝑥 плюс один.
И помните, в левой части обе дроби, поэтому я умножу на три 𝑥 минус один, умноженный на 𝑥 плюс один на один. И тогда наш первый член становится три 𝑥 минус один, умноженный на 𝑥, плюс один, умноженный на четыре, на один, умноженный на три 𝑥, минус один.
Итак, если разделить нижнюю часть на три 𝑥 минус один и верхнюю часть на три 𝑥 минус один, эти две вещи отменяются. Второй член, мы добавляем три 𝑥 минус один раз 𝑥 плюс один раз два на один раз 𝑥 плюс один. Разделив нижнюю часть на 𝑥 плюс один, мы получим единицу; деление вершины на 𝑥 плюс один отменяет этот термин.
Так что просто аккуратно перепишите это, у меня есть четыре раза 𝑥 плюс один плюс два раза три 𝑥 минус один равно трижды три 𝑥 минус один умноженный на 𝑥 плюс один.
Хорошо, давайте воспользуемся распределительным свойством, чтобы умножить эти скобки. Четырежды 𝑥 равно четырем 𝑥, и четырежды положительный один будет плюс четыре, два раза три 𝑥 будет шесть 𝑥, а два раза отрицательный один будет отрицательным два.
Теперь я перемножу две круглые скобки вместе, поэтому я собираюсь сделать три 𝑥 раза 𝑥, чтобы получить три 𝑥 в квадрате, три 𝑥 умножить на один, чтобы получить три положительных 𝑥, один раз на один минус 𝑥, чтобы получить отрицательный 𝑥, и отрицательный один раз положительный, чтобы дать мне отрицательный.
Затем, приведя в порядок эти два члена здесь, из трех 𝑥 вычесть один 𝑥 и получить два 𝑥, и теперь я могу использовать свойство дистрибутивности, чтобы умножить эти скобки здесь. Итак, трижды три 𝑥 в квадрате равно девяти 𝑥 в квадрате, трижды два 𝑥 — это плюс шесть 𝑥, а трижды минус один — это минус три. Затем в левой части у меня есть четыре 𝑥, плюс шесть 𝑥, что дает мне 10𝑥, и четыре убирают два, что просто положительное число два.
Теперь мне нужно преобразовать это в квадратное уравнение, которое я могу решить. Итак, если я вычту 10 𝑥 с обеих сторон в левой части, у меня есть 10 𝑥 забрать 10 𝑥, что ничего не значит, просто оставив мне два, а в правой части шесть 𝑥 забрать 10 𝑥 минус четыре 𝑥.
Теперь я могу просто вычесть два из обеих сторон, что даст мне девять 𝑥 в квадрате минус четыре 𝑥 минус три минус два в правой части и минус три минус еще два будет минус пять, и больше в левой части, два убери два равно нулю. Итак, у нас есть девять 𝑥 в квадрате минус четыре 𝑥 минус пять равно нулю.
Итак, наша исходная задача: четыре на три 𝑥 минус один плюс два на 𝑥 плюс один равно трем, после небольшой перестановки эквивалентна девяти 𝑥 в квадрате минус четыре 𝑥 минус пять равно нулю, так что это квадратное уравнение, которое мы Нам нужно решить, и это будет немного проще, чем работать со всеми этими дробями.
Хорошо, давайте решим это квадратное уравнение. Ну, во-первых, давайте сделаем девять раз минус пять, что будет минус 45.
Теперь нам нужно найти все множители минус 45. Очевидно, минус один умножить на 45 будет минус 45, или один раз минус 45 будет минус 45, также отрицательный три раза по 15 или три раза отрицательный 15 и, наконец, отрицательный пять раз девять или пять раз отрицательный девять.
Теперь нам нужно найти, какая из этих пар множителей в сумме дает отрицательную четверку, коэффициент при члене 𝑥. Ну минус один плюс 45 равно 44, так что это не так. Точно так же прибавление минус 45 не дает в сумме минус четыре; минус три плюс 15 не дают в сумме минус четыре; минус пять плюс девять будет плюс четыре. Но пять плюс минус девять — это минус четыре, поэтому я разделю минус четыре 𝑥 на два слагаемых: пять 𝑥 и минус девять 𝑥.
Итак, все, что я делаю, это переписываю этот средний термин здесь, этот 𝑥 термин, так как пять 𝑥 убирают девять 𝑥. Пять 𝑥 отнимем девять 𝑥 и получим минус четыре 𝑥. Теперь у меня есть выбор здесь. Я мог бы написать пять 𝑥 за вычетом девяти 𝑥 или взять минус девять 𝑥 и добавить пять 𝑥.
На самом деле, именно так я и собираюсь это сделать.
На самом деле не имеет значения, в каком порядке вы записываете эти две вещи; вы все равно получите тот же ответ в конце дня, но когда мы посмотрим на следующий этап процесса, мы поймем, почему я записал их именно так. Я буду рассматривать это выражение здесь как два отдельных выражения, которые я буду учитывать отдельно, поэтому я буду учитывать девять 𝑥 в квадрате минус девять 𝑥 и пять 𝑥 минус пять отдельно.
Итак, девять 𝑥 в квадрате минус девять 𝑥, у них есть общий делитель девять, а также общий делитель 𝑥. Итак, я вычту девять 𝑥. Теперь девять 𝑥, умноженных на 𝑥, дадут мне девять 𝑥 в квадрате, а девять 𝑥, умноженных на единицу, дадут мне отрицательные девять 𝑥.
Теперь, учитывая вторую половину этого числа, у меня пять 𝑥 минус пять. Ну, у них обоих есть коэффициент пять, так что, но положительную пятерку я вычту, так что положительную пять, и мне нужно умножить это на 𝑥, чтобы получить положительную пятерку 𝑥, и отрицательную единицу, чтобы получить отрицательную пятерку.
И, конечно, все это равно нулю.
Когда вы факторизуете эти два термина, вы стремитесь получить одинаковое содержание этих скобок здесь, потому что это будет общий фактор между этими двумя целыми терминами, и это то, что вы собираетесь факторизовать на следующем этапе.
Итак, 𝑥 минус один является общим множителем девяти 𝑥 умножить на 𝑥 минус один и плюс пять раз 𝑥 минус один, и поэтому 𝑥 минус один умножить на девять 𝑥 дает нам девять 𝑥 умножить на 𝑥 минус один и 𝑥 минус один умножить на плюс пять дает нам положительное пять раз 𝑥 минус один. И, конечно же, равен нулю.
Теперь давайте немного отвлечемся и посмотрим, что произошло бы, если бы мы записали девять 𝑥 и пять 𝑥 членов наоборот. У нас было бы девять 𝑥 в квадрате плюс пять 𝑥 минус девять 𝑥 минус пять равно нулю.
Теперь, когда мы разложили на множители первую половину выражения, мы бы- единственный общий делитель, который мы получили, это 𝑥, так что у нас будет 𝑥 умножить на девять 𝑥 плюс пять. Теперь это становится немного сложнее, потому что мы сказали, что хотим убедиться, что у нас есть общий делитель девять 𝑥 плюс пять.
Итак, мы пишем девять 𝑥 плюс пять, а затем нам нужно решить, какой множитель мне нужно вычесть из отрицательных девяти 𝑥, минус пять, чтобы получить девять 𝑥 плюс пять в качестве множителя.
Ну, я должен вычесть минус. Таким образом, с отрицательным числом единиц девять 𝑥 плюс пять дает нам отрицательное число девять 𝑥 минус пять. Теперь у меня есть девять 𝑥 плюс пять в качестве общего множителя, и в первом случае я умножаю это на 𝑥, а во втором случае умножаю на минус единицу.
Итак, у нас те же термины, что и здесь, только наоборот. И, конечно же, эти вещи по-прежнему равны нулю. Причина, по которой я решил написать это таким образом, а не таким образом, в первую очередь, заключалась в том, что я мог видеть, что могу разложить девятку и 𝑥. Я как можно раньше занимался факторингом, благодаря чему остальную часть алгебры немного легче увидеть в левой части. Неважно, какую версию вы выберете; они оба приходят к одному и тому же ответу.
Теперь в завершение, чтобы 𝑥 минус один умножить на девять 𝑥 плюс пять равнялось нулю, либо 𝑥 минус один равно нулю, либо девять 𝑥 плюс пять равно нулю, а значит либо 𝑥 равно один или 𝑥 равно минус пять девятых.