Решение квадратных уравнений по теореме виета: Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, если они существуют.

ТЕОРЕМА. Если x₁, x₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, то сумма корней равна , а произведение корней равно :

Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 теорему Виета можно сформулировать совсем просто: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x₁ + x₂ = — p,
x₁ * x₂ = q.

Доказательство этой теоремы следует непосредственно из формул для корней квадратного уравнения.

Справедлива и обратная теорема. Если числа x₁, x₂ таковы, что

x₁ + x₂ = — p,
x₁ * x₂ = q,

то эти числа – корни квадратного уравнения

x² + px + q = 0.

С помощью этой теоремы можно легко решать многие квадратные уравнения, не пользуясь громоздкими формулами для его корней. Кроме того, очень часто одним из корней уравнения является число x₁ = 1 или x₁ = -1, что легко проверяется простой подстановкой. Тогда второй корень можно быстро найти из равенства x₁* x₂ =

, то есть x₂ = 

или x₂ = —

. Теорему Виета можно также использовать для проверки найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Примеры решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Пример 1. Решить уравнение x² + 5x + 6 = 0.

Решение.
По теореме, обратной теореме Виета

x₁ + x₂ = — 5,
x₁ * x₂ = 6.

Число 6 = 2*3 = 1*6, следовательно, легко подобрать решение этой системы x₁ = -2, x₂ = -3.

Ответ: -2, -3.

Пример 2. Решить уравнение x² — 12x + 11 = 0.

Решение.
Очевидно, x₁ = 1 — является корнем квадратного уравнения. Но x₁* x₂ = 11, значит, второй корень равен 11.

Ответ: 1, 11.

Пример 3. Решить уравнение 2013x² — 2012x — 1 = 0.

Решение.
Очевидно, x₁ = 1 — является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x₁* x₂ =

—

1/2013

, значит, второй корень равен

—

1/2013

. Решение исходного уравнения по формулам нахождения корней квадратного уравнения было бы гораздо сложнее с вычислительной точки зрения.

Ответ: 1,

—

1/2013

.

Пример 4. Решить уравнение 5699x² + 5691x — 8 = 0.

Решение.
Очевидно, x₁ = -1 — является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x₁* x₂ =

—

8/5699

, значит, второй корень равен

8/5699

.

Ответ: -1,

8/5699

.

уравнения Виета

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

   

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения 

   

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по  модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то  больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

   

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

   

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

   

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

   

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

2 + bx + c = 0,$$

, где $a,  b,  c \in \mathbb{R}$ равны  и $a\neq 0$.

Если $a = 0$, наше уравнение сводится к $bx + c = 0$, что является линейным уравнением. Подробнее о решении линейных уравнений вы можете узнать в уроках Уравнения в один шаг, Уравнения в два шага и Уравнения в несколько шагов.

Число $a$ в этом уравнении называется старшим коэффициентом , число $b$ — линейным коэффициентом , а $c$ — константой .

Каждый $x$ (вещественный или комплексный), который удовлетворяет этому уравнению, называется 92 = – \frac {c}{a}.$$

Это уравнение всегда имеет два разных решения. Решения могут быть действительными или комплексными числами, в зависимости от знака чисел $a$ и $c$.
Если $- \frac {c}{a}>0$, то квадратное уравнение имеет два действительных решения:
$$x_1 = \sqrt{\left(-\frac{c}{a}\right)}  \text { и }  x_2 =-\sqrt{\left(-\frac{c}{a}\right)}.$$
Если $-\frac{c}{a} < 0$, то решения представляют собой комплексные числа

$$x_1 = я \sqrt{\left|-\frac{c}{a}\right|}  \text{ и }  x_2 = — i \sqrt{\left|-\frac{c}{a}\ справа|}. $$ 92 – 4ac.$$

Тогда решения квадратного уравнения, записанные с использованием дискриминанта, будут:

$$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. $$

Если $\D > 0$, то квадратное уравнение имеет два различных действительных решения, если $\D < 0$, то квадратное уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения, а если $\D = 0$ квадратное уравнение имеет одно действительное решение кратности два.

 

Формулы Виета

 

Французский математик Франсуа Виет также изучал квадратное уравнение и пришел к важной связи между квадратным уравнением и системой двух уравнений с двумя неизвестными. Эти неизвестные являются решениями наблюдаемого квадратного уравнения. 92 + bx + 8 = 0$, какое другое решение и что такое $b$?

Решение :

По формулам Виета находим, что:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{1}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{8} {1}.$$

Поскольку у нас уже есть одно решение, это можно записать как:

$$ 2 + x_2 = -b$$

$$2x_2 = 8. $$

Из второго уравнения находим что $\x_2 = 4$, что приводит нас к $\b = -6$.

Пример: 92 + Dx + Ey + F = 0,$$

 

где $A, B, C, D, E, F$ – действительные числа – коэффициенты.

Уравнение такого типа не может быть решено без каких-либо условий, связанных с ним, однако, если у нас есть еще одно дополнительное условие, такое как линейное уравнение, его можно решить.

Это потому, что из линейного уравнения мы получаем информацию о том, в каком отношении находятся неизвестные $x$ и $y$, и затем мы можем извлечь одно из другого, чтобы получить квадратное уравнение только с одним неизвестным. Решениями этой системы являются две пары упорядоченных чисел $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$. 92 – 4 \cdot 7 \cdot 24}}{2\cdot 7} = \frac{28 \pm \sqrt{784-672}}{14} =\frac{28 \pm \ 4\sqrt{7}} {14} = 2 \pm \frac{2\sqrt{7}}{7}$$.

Теперь нам нужно решить линейные уравнения $y_1 = 2 – x_1$ и  $y_2 = 2 – x_2$.

Следующим образом:

$$y_1 = 2 – 2 – \frac{2\sqrt{7}}{7} = – \frac{2\sqrt{7}}{7},$$

$$ y_2 = 2 – 2 + \frac{2\sqrt{7}}{7} =   \frac{2\sqrt{7}}{7}. $$

 

Решения: $(2+\frac {2\sqrt{7}}{7}, – \frac{2\sqrt{7}}{7})$ и $(2-\frac{2\sqrt{7}}{7}, \frac {2\sqrt{7}}{7})$. 92 = -4 \Rightarrow  x_3 = -2i, \quad  x_4 = 2i$$.

Мы надеемся, что эти формулы для квадратных уравнений были вам полезны. Проверьте:

Бесплатные рабочие листы квадратных уравнений

   Решите, извлекая квадратный корень (222,8 КиБ, 1184 совпадения)

   Решите, разложив на множители (466,1 КиБ, 6131 совпадение) )

   Заполнение квадрата (345,0 КиБ, 2305 совпадений)

   Решить с помощью квадратичной формулы (308,2 КиБ, 1550 совпадений)

   Поиск дискриминанта (473,2 КиБ, 1003 совпадения)

   Факторизация квадратичных выражений (315,0 КиБ, 1775 совпадений)

Формула Виета для Quadra tic Equations

Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корни. Виета был французским математиком, чья работа над многочленами проложила путь современной алгебре.

Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и продукты его корней. Виета был французским математиком, работавшим над многочлены проложили путь современной алгебре.

 

Формула Виета для квадратных уравнений

Пусть α и β — корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 Тогда ах ² + bx + с = a ( х — α )( 900 21 x − β ) = x ² − a ( α + β ) x + a ( αβ 9 0022 ) = 0. 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, видим, что

α + β = −b/a и αβ = c/a.

Итак, квадратное уравнение , корни которого равны α и β равно x ² − ( α + β ) x + αβ

= 0 ; то есть квадратичное уравнение с заданными корнями:

x ²  − (сумма корней) x + произведение корней = 0. (1)

Примечание

Неопределенный артикль a используется в приведенном выше заявлении. В факт, если P ( x ) = 0 — квадратное уравнение, корни которого равны α и β , тогда cP ( x ) также является квадратным уравнением с корни α   и β   для любого ненулевого константа c .

В более ранних классах, используя приведенные выше отношения между корнями и коэффициентов мы построили квадратное уравнение, имея корни α и β . Фактически, такое уравнение дается формулой (1). Например, квадратное уравнение, корни равны 3, а 4 равно x ²

− 7 x +12 = 0,

Далее строим новые полиномиальные уравнения, корни которых функции корней заданного полиномиального уравнения; в этом процессе мы формируем новое полиномиальное уравнение без нахождения корней данного полинома уравнение. Например, мы строим полиномиальное уравнение, увеличивая корни данного полиномиального уравнения на два, как указано ниже.

 

Пример 3.1

Если α и β являются корнями квадратного уравнение17 x ² + 43 x − 73 = 0, постройте квадратное уравнение, корни α + 2 и β + 2 .

Решение

Так как α и β являются корнями 17 x ² + 43 9002 1 х — 73 = 0 , имеем α + β = -43/17 и αβ = -73/17 

Мы хотим построить квадратное уравнение с корнями α + 2 и

β + 2 . Таким образом, чтобы построить такое квадратное уравнение, вычислите

сумму корней  = α + β + 4  =  [-43/17] + 4 =  [25/17] и

произведение корней = αβ + 2(α + β ) + 4 =  (-73/17) + 2 (-43/17) + 4 = -91/17.

Следовательно, квадратное уравнение с требуемыми корнями равно x ² – (25/17) x – (91/17) = 0

Умножение этого уравнения на 17 дает 17 x ² — 25 x — 91 = 0

, что также является квадратным уравнением, имеющим корни  α 90 022 + 2 и β + 2 .

 

Пример 3.2.

0470 2 — 7 х +13 = 0 , составить квадратное уравнение, корни которого равны α ² и β ² .

Решение

Так как α и β являются корнями квадратного уравнения имеем α + β = 7/2 и αβ = 13/2

Таким образом, для построения нового квадратного уравнения

Сумма корней = α ² + β ² = ( α + β) ² — 2αβ = -3/4.

Произведение корней  = α ² β ²   = (αβ) ²   = 169/4

Таким образом, искомое квадратное уравнение равно x ² + (¾) x + (169/4) = 0 . Отсюда мы видим, что

4 х ² + 3 х +169 = 0

является квадратным уравнением с корнями α 9002 1 ² и β ² .

Замечание

В примерах 3.

No related posts.