Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные уравнения первого порядка

Содержание статьи

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ — непрерывная функция, называется линейным однородным. Название «линейное» объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y’$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название «однородное» объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y’=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_{1} \left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_{2} \left(y\right)=y$.

Вычислим интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $. {3} } $.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название «неоднородное» объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \left[\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.

Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac{du}{dx} \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование.

{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx =\int \frac{3\cdot x}{x} \cdot dx=3\cdot x $.

Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_{2} +C=3\cdot x+C$.

Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26.11.2021

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

2.4. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называют Линейным, если его можно представить в виде , содержащем неизвестную функцию и ее производную Линейным образом.

Если правая часть уравнения Тождественно равна нулю, то линейное уравнение называют Однородным, если же – Неоднородным.

Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения.

1) Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

В соответствии с методом Лагранжа сначала линейное неоднородное уравнение Заменяют соответствующим однородным уравнением

.

Однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделенными переменными , путем деления на функцию При условии . Общий интеграл этого уравнения имеет вид , где функция является некоторой первообразной функции . Преобразуем общий интеграл приведенного уравнения сначала к виду , а затем, потенцируя, к виду . Освобождаясь от знака модуля, найдем общее решение в виде .

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей приведенного уравнения на функцию , в результате чего могло быть потеряно решение . После подстановки функции в приведенное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение можно включить в общее решение , введя вместо параметра произвольную постоянную , принимающую любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим решение приведенного уравнения в виде .

Произвольную постоянную в полученном решении заменяют на некоторую дифференцируемую функцию , и ищут решение исходного уравнения в форме . Производная этого решения имеет вид .

Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции в виде .

Если общее решение приведенного уравнения и производные функций найдены правильно, то слагаемые, содержащие функцию , обязательно равны между собой, и мы приходим к равносильному уравнению . Это уравнение имеет общее решение вида , где функция есть первообразная функции . Подставляя полученное выражение для в решение , находим решение исходного линейного неоднородного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение .

Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция , то это – линейное неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим сначала соответствующее однородное линейное уравнение . Общее решение приведенного уравнения имеет вид .

Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде .

Подставляя И в решаемое уравнение, получим или . Отсюда . Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид .

2) Метод подстановки Бернулли.

Будем искать решение нашего линейного уравнения в виде произведения двух функций, т. е. выполним подстановку . Это возможно, так как любую функцию можно тождественно представить в виде .

Вычислим производную И подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение . Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение Относительно функции . Рассматривая метод Лагранжа, мы уже решали аналогичное уравнение Относительно функции. Отсюда, общее решение нашего уравнения имеет вид , где функция является некоторой первообразной функции . Выбирая произвольную постоянную равной единице, мы получим искомую функцию в виде .

Подставляя найденную функцию в уравнение , получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде . Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде , где функция – первообразная функции .

Подставляя полученные выражения для И в подстановку , находим, окончательно, решение исходного линейного, неоднородного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение .

Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция , то это – линейное, неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод подстановки Бернулли.

Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение . Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение Относительно функции . Разделяя переменные и интегрируя, найдем решение в виде .

Подставляя найденную функцию в уравнение , и учитывая, что при второе слагаемое в левой части уравнения тождественно равно нулю, получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде . Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде .

Окончательно, общее решение исходного линейного уравнения имеет вид

.

Отметим, что и метод Лагранжа, и метод Бернулли имеют самостоятельное значение. В дальнейшем метод Лагранжа используется для решения дифференциальных уравнений высших порядков. Метод Бернулли, в частности, позволяет решать нелинейное уравнение специального вида , называемое уравнением Бернулли.

< Предыдущая		Следующая >

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли

Все кто ищет готовые ответы на линейные дифференциальные уравнения пришли по правильному адресу. У нас Вы сможете не только получить быстрый ответ, но и научиться методике решения уравнений. Будет ли сложной схема Бернулли для линейных уравнений зависит от Вашего уровня подготовки. Разберите внимательно приведенные ответы и сделайте выводы, что и как Вам нужно углубленно изучить.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение вида y’+p(x)*y=g(x), где p(x) и g(x) – непрерывные на определенном промежутке функции.

1. Решение линейного дифференциального уравнения необходимо представить в виде произведения двух неизвестных функций y=u*v от аргумента u=u(x),v=v(x). Одну из этих функций можно выбрать произвольно, а вторая определяется из дифференциального уравнения.
2. По правилу производная произведения равна y=u*v,то y’=u’v+uv’.
3. Подставим запись функции y=u*v и производной y’=u’v+uv’ в уравнение y’+p(x)*y=g(x) и получим u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x). Сгруппируем второй и третий слагаемые, вынеся общий множитель (u) за скобки и придем к диф. уравнению u’v+u(v’+p(x)*v)=g(x).
4. Сперва определяем частное решение v=v(x), для этого решаем диф. уравнения v’+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
5. Далее подставим найденную функцию v=v(x) в исходное диф. уравнение u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x), которое при этом упростится до вида u’v+u*0=g(x), то есть к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными u’v(х)=g(x) относительно u(x). Из этого уравнения находим u=u(x)+С.
6. Имея u=u(x) и v=v(x) находим общее решение ДУ через произведение y=u*v=( u(x)+С)* v(x).
7. Если задана задача Коши то с дополнительной условия на решение y(x₀)=y₀ определяем сталую С.

Пример 1. Найти решение задачи Коши
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Запишем его в правильном виде, для этого перенесем в правую сторону функцию

Далее по схеме Бернулли делаем замену переменных y=u*v, y’=u’v+uv’, где u=u(x) і v=v(x).
Учитывая что множители в левой части уровне
и y²=u²v²
получим следующее уравнение

Согласно алгоритму Бернулли уравнение разделим на 2, для этого дужку слева (выделена черным) приравняем к нулю

Сводим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

и решаем интегрированием

В результате получили экспоненту с отрицательным показателем синуса. При этом исходное дифференциальное уравнение достаточно упростится для поиска второй неизвестной пока функции

Перенесем экспоненту с отрицательным показателем в правую сторону

и сведем к ДУ с разделенными переменными

Интегрированием уравнения в дифференциалах

находим решение дифференциального уравнения

Как описано в начале, общее решение дифференциального уравнения равно произведению функций

Но это еще не конечная ответ к задаче. Найдем частичное решение дифференциального уравнения (задача Коши), для этого определим постоянную с начального условия на функцию

Сталая равна нулю, это позволяет упростить формулу решения диф. уравнения, хотя мало кто из Вас увидит эту подсказку

Мы нашли частичный решение дифференциального уравнения и он равен экспоненте в степени «икс» y=e^x.

 

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение та задачу Коши
Решение:Задано неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое перепишем в виде

Выполняем замену переменных в уравнении
, где «у» и «в» принимают функциональные зависимости
Находим выражения которые фигурируют в записи

и подставляем в исходное дифференциальное уравнение

Далее схема вычислений заключается в разделении переменных. По алгоритму Бернулли выражение, содержащее «v» приравняем к нулю

Записываем уравнение в дифференциалах

Видим что имеем уравнение с разделяющимися переменным, поетому целесообразно разделить переменные

Проинтегрировав обе части

получим логарифм и синус.

Далее экспонируем обе части и таким образом находим одну из неизвестных функций

Исходное дифференциальное уравнение при этом упростится к виду

Экспоненту в отрицательном показателе переносим вправо от знака равенства

Далее распишем уравнения через дифференциалы (/2)

и сведем к уравнению с разделенными переменными

Интеграл в правой части выглядит тяжелым для высчисления, но если внести дужку под дифференциал, то получим показатель экспоненты

Окончательно после интегрирования получим

Общий интеграл дифференциального уравнения записываем через произведение функций

Чтобы найти частичное решение дифференциального уравнения (задачи Коши) используем начальное условие

Из него определим постоянную и подставим в уравнение частного решения дифференциального уравнения

На этом и построен алгоритм Бернулли вычислений дифференциальных уравнений такого типа. Используйте алгоритм решения уравнения Бернулли ко всем подобным дифференциальным уравнениям.

• Назад
• Вперёд

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения

Содержание:

1. Пример с решением

К линейным дифференциальным уравнениям относятся дифференциальные уравнения вида:

т. е. линейное относительно неизвестной функции и ее производной. В уравнении (6.11) и — известные функции аргумента .

Рассмотрим метод Бернулли. По этому методу дифференциальное уравнение (6.11) сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью следующего приема.

Представим функцию в виде произведения двух функций . Одной из этих функций можно распорядиться произвольно, а вторая при этом должна быть определена в зависимости от первой так, чтобы их произведение удовлетворяло исходному дифференциальному уравнению. Свободой выбора одной из функций и надо воспользоваться для упрощения дифференциального уравнения, получающегося после замены.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Из равенства получим . Это выражение подставим в (6.11) и получим:

В качестве выберем какое-нибудь частное решение дифференциального уравнения

Тогда для нахождения получим дифференциальное уравнение

Из дифференциального уравнения (6.12) находим .

Интегрируем обе части последнего выражения

Под неопределенным интегралом в выражении (6.14) понимается какая-то одна первообразная от функции , т. е. есть вполне определенная функция от .

Теперь, используя найденное значение функции из уравнения (6.13), находим функцию .

Интегрируем обе части последнего выражения и получаем

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков

Нелинейные дифференциальные уравнения

В формуле (6. 15) для функции берутся все первообразные. Зная функции и , находим искомую функцию .

Выражение (6.16) является общим решением линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Пример с решением

Пример 6.8.

Найдем общее решение линейного дифференциального уравнения

Используем подстановку и получим

В качестве выберем какое-то частное решение дифференциального уравнения , тогда можно найти из дифференциального уравнения Находим функцию

Зная , находим функцию

Зная функции и , находим исходную функцию

Выражение (6.17) есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид таких дифференциальных уравнений следующий:

где [35], т. е. это частный случай уравнения (6.11).

Дифференциальное уравнение вида (6.18) решается разделением переменных, т. е.

Интегрируем левую и правую части последнего выражения и получаем:

Так как постоянная может быть любая, обозначим

и получаем общее решение дифференциального уравнения (6. 18)

Пример 6.9.

Найдем общее решение дифференциального уравнения

Теперь рассмотрим метод Лагранжа решения уравнения (6.11). В соответствии с этим способом сначала рассмотрим дифференциальное уравнение (6.11), но без правой части, оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением.

Перепишем последнее дифференциальное уравнение следующим образом:

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя эти переменные, получаем:

Интегрируя обе части последнего выражения, имеем:

Постоянная может быть любой, поэтому обозначим и тогда получим:

Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную в полученном решении (6.21) заменяем функцией от , т. е. полагаем, что . А решение исходного дифференциального уравнения (6.11) ищем в виде

Дифференцируем формулу (6.22) по и получаем:

Подставляем и в исходное дифференциальное уравнение (6. 11).

Последнее дифференциальное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя эти переменные, находим:

Интегрируя обе части последнего выражения, определяем неизвестную функцию.

где — постоянная.

Подставляем найденное значение в формулу (6.22) и получаем общее решение дифференциального уравнения (6.11).

Это решение, естественно, совпадает с тем, которое мы получили по методу Бернулли.

Пример 6.10.

Найти общее решение или общий интеграл следующего дифференциального уравнения:

Используем метод Лагранжа и рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение.

или

Данное дифференциальное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем

Интегрируя обе части последнего выражения, получаем:

, следовательно имеем

Будем искать решение исходного дифференциального уравнения в виде

Дифференцируем это выражение и находим:

Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид

Естественно это решение можно получить и методом Бернулли.  

Дифференциальные уравнения. Часть 1. Семинары

Список всех тем лекций

Семинар 1. Построение интегральных кривых дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.
Построение интегральных кривых дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин Задача (построение интегральных кривых) (задачник Филиппова) Задача (составить дифференциальное уравнение) Решение задачи №21 Решение задачи №23 Решение задачи №25 Решение задачи №28 Решение задачи № 37 Решение задачи №39

Семинар 2. Уравнения с разделяющимися переменными.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) Решение задачи №29 Уравнения с разделяющимися переменными Решение задачи №51

Семинар 3. Единственность решения. Решение однородных уравнений.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) Пример «односторонней» единственности решения Решение однородных уравнений Решение уравнения №104 Решение уравнения, приводящегося к однородному Решение уравнения №113 Комментарий к изучаемому типу уравнений

Семинар 4. Уравнения Бернулли и Риккати.
(из домашнего задания) Линейные уравнения первого порядка Решение задачи №144 Решение задачи №138 Уравнение Бернулли Решение задачи №156 Свойства интегральных кривых линейного уравнения Соотношение между тремя частными решениями линейного неоднородного дифференциального уравнения Уравнение Риккати

Семинар 5. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.
Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним Решение уравнения №186 Решение уравнения №187 Решение уравнения №189 Уравнение, приводящееся к полному дифференциалу Решение уравнения №195 Решение уравнения №196 Решение уравнения №200 Решение уравнения №205 Интегрирующий множитель (задача) Решение уравнения №206

Семинар 6. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним (продолжение).
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) Решение задачи №212 Решение задачи №213

Семинар 7. Метод последовательных приближений.
Решение задачи №213 Метод последовательных приближений Задача (решение уравнения с помощью метода последовательных приближений) Задача (построение последовательного приближения) Задача (теорема единственности)

Семинар 8. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной.
Дискриминантная кривая Решение задачи №241 Решение задачи №242 Решение задачи №245 Решение задачи №251 Решение задачи №253

Семинар 9. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной (продолжение).
(из домашнего задания)  Метод параметра Решение задачи №267 Решение задачи №271 Решение задачи №288 Решение задачи №293 Решение задачи (нахождение общего решения)

Семинар 10. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Разбор домашнего задания (из домашнего задания) (из домашнего задания) Исправление ошибки в решении задачи №286 Решение задачи (с особыми решениями) Уравнения, допускающие понижение порядка Решение задачи №452 Решение задачи №423

Семинар 11. Линейные уравнения высших порядков.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) Линейные уравнения высших порядков Уравнение с постоянными коэффициентами Примеры решения

Семинар 12. Линейные уравнения высших порядков (продолжение).
Уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью особого вида Задача  Решение задачи №545 Решение задачи №546 Принцип суперпозиции решений Решение задачи №548

Семинар 13. Решение линейных уравнений с произвольной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных.
Решение линейных уравнений с произвольной правой частью Решение задачи №576 Решение задачи №577 Уравнение Эйлера Решение задачи №591 Решение задачи №598

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение типа

\[y’ + a\влево( x \вправо)y = f\влево( x \вправо),\]

, где a ( x ) и f ( x ) — непрерывные функции x , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

• С использованием интегрирующего коэффициента;
• Метод изменения константы.

Использование коэффициента интегрирования

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

\[y’ + a\влево( x \вправо)y = f\влево( x \вправо),\]

интегрирующий коэффициент определяется по формуле

\[и \ влево ( х \ вправо) = \ ехр \ влево ( {\ int {а \ влево ( х \ вправо) dx}} \ вправо). \]

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \(u\left( x \right)\) преобразует левую часть в производную произведения \(y\left( x \right) u\left( x \ справа).\)

Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:

\[y = \frac{{\int {u\left(x\right)f\left(x\right)dx} + C}}{{u\left(x\right)}},\]

, где \(С\) — произвольная константа.

Метод вариации константы

Этот метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

\[у’ + а\влево( х \вправо)у = 0.\]

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования \(C.\) Заменим постоянную \(C\) некоторой (пока неизвестной) функцией \(C\left( x \right).\) подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, мы можем определить функцию \(C\left( x \right).\)

Описанный алгоритм называется методом вариации константы. Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.

Задача начального значения

Если кроме дифференциального уравнения имеется еще начальное условие в виде \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) такая задача называется начальной задачей (НЗП) или задача Коши.

Частное решение для ИВП не содержит константы \(C,\), которая определяется подстановкой общего решения в начальное условие \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}. \)

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение. 93}.\]

Раствор.

Решим эту задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

\[ху’ = у,\]

, которое можно решить, разделив переменные:

\[x\frac{{dy}}{{dx}} = y,\;\; \Rightarrow \frac{{dy}}{y} = \frac{{dx}}{x},\;\; \Rightarrow \int {\frac{{dy}}{y}} = \int {\frac{{dx}}{x}} ,\;\; \стрелка вправо \ln \влево| у \ справа | = \ln \влево| х \ справа | + \ln С,\;\; \Стрелка вправо у = Сх,\] 93} + {С_1}х.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Самир Хан, Гильермо Темпладо, Адитья Нараян Шарма, а также

способствовал

Содержимое

• Интегрирующие факторы
• Решение уравнений
• Приложения

Интегрирующим коэффициентом будет функция f(x)f(x)f(x), умноженная на обе части уравнения,

f(x)[y′+p(x)y]=f (x)q(x)f(x)y′+f(x)p(x)y=f(x)q(x),\begin{выровнено} f(x) \left[ y’+p(x)y \right] &= f(x)q(x) \\ \\ f(x)y’+f(x)p(x)y &= f(x)q(x), \end{выровнено}f(x)[y′+p(x)y]f(x)y′+f(x)p(x)y​=f(x)q(x)=f(x) д(х),

дает выражение в левой части, которое можно интегрировать с правилом анти-произведения. Другими словами, это функция, которая удовлетворяет:

f(x)y′+f(x)p(x)y=f(x)y′+f′(x)y∫[f(x)y ′+f(x)p(x)y] dx=f(x)y+C\begin{выровнено} f(x)y’+f(x)p(x)y &= f(x)y’+f'(x)y \\ \\ \int\left[ f(x)y’+f(x)p(x)y \right]\ dx &= f(x)y+C \end{выровнено}f(x)y′+f(x)p(x)y∫[f(x)y′+f(x)p(x)y] dx​=f(x)y′+ f′(x)y=f(x)y+C​

Это означает, что функция fff должна удовлетворять условию f′(x)=f(x)p(x)f'(x)=f(x)p( x)f′(x)=f(x)p(x), которое является сепарабельным дифференциальным уравнением. Это можно решить как 9{-2t}y(t)=21​(t−t1​)e−2t

Предположим, что yyy удовлетворяет уравнению y′+ytan⁡x=sec⁡x.y’+y\tan x=\sec x.y′+ytanx=secx.
y(π4)=12.y\влево (\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. у(4π​)=2​1​.

Каково значение y(π2)?y\left (\dfrac{\pi}{2}\right)?y(2π​)?

Многие физические системы могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Предположим, есть цепь с последовательно включенными переключателем, батареей, резистором и катушкой индуктивности. Батарея производит напряжение 45 вольт и ток I(tI(tI(t ампер) в момент времени ttt. Резистор представляет собой 9Резистор 99 Ом, а катушка индуктивности имеет индуктивность 333 генри. Если ключ был первоначально замкнут, какова сила тока в цепи спустя долгое время после того, как ключ был разомкнут?

---

Закон Ома гласит, что падение напряжения на резисторе составляет 9I(t)9I(t) 9I(t) вольт. Падение напряжения на катушке индуктивности составляет 3I′(t)3 I’(t)3I′(t). Законы Кирхгофа говорят, что сумма падений напряжения равна приложенному напряжению, поэтому мы находим 3I′(t)+9I(t)=45  ⟹  I′(t)+3I(t)=15. 3I'(t)+9I(t)=45\имеется I'(t)+3I(t)=15,3I'(t)+9{-3t}+5.I′(t)e3t+3e3tI′(t)=15e3t⟹[I(t)e3t]′=15e3t⟹I(t)e3t=5e3t+C⟹I(t)=Ce− 3т+5. При t→∞t\to\inftyt→∞ мы видим, что I(t)→5I(t)\to 5I(t)→5, поэтому ток после длительного времени составляет 5 ампер.

Цитировать как: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Brilliant. org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/first-order-linear- Differential-equations/

Как решать линейные дифференциальные уравнения (первого порядка) — Криста Кинг Математика

Конкретная форма линейного дифференциального уравнения

Здесь мы будем обсуждать линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Помните из введения к этому разделу, что это обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка будет представлено в виде

[A] ???\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)???

где ???P(x)??? и ???Q(x)??? являются функциями ???x???, независимой переменной. Давайте поговорим о том, как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Как решать линейные дифференциальные уравнения

Пройти курс

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂 92???

Очень важно, чтобы форма дифференциального уравнения точно соответствовала [A] . Чтобы получить ???dy/dx??? само по себе в нашем уравнении нам нужно разделить обе части на ???x???.

[1] ???\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x???

Сопоставляя [1] с [A] выше, мы видим, что

???P(x)=-\frac{2}{x}???

и

???Q(x)=x???

Как только мы достигли точки, в которой мы идентифицировали ???P(x)??? и ???Q(x)??? из стандартной формы нашего линейного дифференциального уравнения первого порядка наш следующий шаг — определить «интегрирующий коэффициент» нашего уравнения. Для нахождения интегрирующего множителя воспользуемся формулой 9{2x}}???

Это общее решение линейного дифференциального уравнения.

Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»

Изучение математикиКриста Кинг 1 мая 2021 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, первый порядок, дифференциальные уравнения первого порядка, обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные ДУ

0 лайков

Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным , если оно может быть выражено в форме

   

, где P и Q являются функциями x . Метод решения таких уравнений аналогичен тому, который используется для решения неточных уравнений. Там неточное уравнение умножалось на интегрирующий множитель, что потом облегчало решение (потому что уравнение становилось точным).

Чтобы решить линейное уравнение первого порядка, сначала перепишите его (при необходимости) в приведенной выше стандартной форме; затем умножьте обе части на коэффициент интегрирования

Полученное уравнение,

Тогда число

легко решить не потому, что оно точное, а потому, что левая часть схлопывается:

Следовательно, уравнение (*) становится

   

делает его восприимчивым к интеграции, что дает решение:

Не запоминайте это уравнение для решения; запомнить шаги, необходимые для достижения цели.

Пример 1: Решить дифференциальное уравнение

 

Уравнение уже выражено в стандартной форме: P(x) = 2 x и Q(x) = x . Умножение обеих сторон на

   

преобразует данное дифференциальное уравнение в

Обратите внимание, как левая сторона превращается в ( мкГ )’; как показано выше, это всегда будет . Интегрирование обеих сторон дает решение:

 

Пример 2: Решите IVP

Обратите внимание, что дифференциальное уравнение уже имеет стандартную форму. Поскольку P(x) = 1/ x , интегрирующий коэффициент равен

.

 

Умножение обеих частей стандартного дифференциального уравнения на μ = x дает

 

Обратите внимание, как левая сторона автоматически схлопывается в ( μy )′. Интегрирование обеих сторон дает общее решение:

.

 

Применение начального условия y (π) = 1 определяет константу c :

 

Таким образом, искомое частное решение равно

.

   

или, поскольку x не может равняться нулю (обратите внимание на коэффициент P(x) = 1/ x в данном дифференциальном уравнении),

Пример 3: Решение линейного дифференциального уравнения

   

Сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

Так как коэффициент интегрирования здесь равен

   

умножить обе части стандартного уравнения (*) на μ = e ^{−2/ x} ,

свернуть левый борт,

и интегрировать:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения может быть явно выражено как

Пример 4: Найдите общее решение каждого из следующих уравнений:

а.

б.

Оба уравнения являются линейными уравнениями в стандартной форме, где P(x) = –4/ x . С 90 005

коэффициент интегрирования будет

для обоих уравнений. Умножение на μ = x ⁻⁴ дает

Интегрирование каждого из этих полученных уравнений дает общие решения:

 

Пример 5: Нарисуйте интегральную кривую

   

, который проходит через источник.

Первый шаг — переписать дифференциальное уравнение в стандартной форме:

   

С

интегрирующий коэффициент равен

Умножение обеих частей стандартного уравнения (*) на μ = (1 + x ² ) ^1/2 дает

Как обычно, левая сторона схлопывается в (μ y )

   

и интеграция дает общее решение:

Чтобы найти конкретную кривую этого семейства, проходящую через начало координат, подставьте ( x,y ) = (0,0) и вычислите константу c :

.

 

Следовательно, искомая интегральная кривая равна

   

, показанный на рис. 1.

Рисунок 1

Пример 6: Объект движется вдоль оси x таким образом, что его положение в момент времени t > 0 определяется линейным дифференциальным уравнением

 

Если объект находился в позиции x = 2 в момент времени t = 1, где он будет находиться в момент времени t = 3?

Вместо x как независимая переменная и y как зависимая, в этой задаче t является независимой переменной, а х является зависимой. Таким образом, решение не будет иметь вид « y = некоторая функция от x », а вместо этого будет « x = некоторая функция от t ».

Уравнение имеет стандартную форму для линейного уравнения первого порядка, где P = t – t ⁻¹ и Q = т ² . С

   

интегрирующий коэффициент равен

Умножение обеих частей дифференциального уравнения на этот интегрирующий коэффициент преобразует его в

 

Как обычно, левая сторона автоматически складывается,

   

и интегрирование дает общее решение:

Теперь, поскольку условие « х = 2 при т = 1″, это фактически IVP, и константа c может быть оценена:

 

Таким образом, положение x объекта как функция времени t задается уравнением

   

и, следовательно, позиция в момент времени t = 3 равна

, что примерно равно 3,055.

ODE-Project Линейные уравнения первого порядка

Цели

• Чтобы понять, что любое линейное дифференциальное уравнение первого порядка

  \begin{уравнение*} у’ + р(х) у = г(х) \end{уравнение*}

  можно решить, умножив каждую часть уравнения на интегрирующий коэффициент .

• Чтобы понять существование и единственность решений задач первого порядка с начальными значениями.

A дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида

\begin{уравнение} \frac{dx}{dt} + p(t) x = q(t).\tag{1.5.1} \end{уравнение}

Это уравнение не будет разделимым, если \(p(t)\) не является константой. Нам придется найти новый подход к решению такого уравнения. Мы могли бы, конечно, использовать численный алгоритм для решения (1.5.1); однако мы всегда можем найти алгебраическое решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Более того, тот факт, что мы можем получить такое решение аналитически, окажется очень полезным при исследовании более сложных уравнений и систем уравнений.

Подраздел 1.5.1 Хвосты шахт

При любой добыче полезных ископаемых хвосты — это то, что остается после извлечения всего ценного. Например, при добыче твердых пород руда часто измельчается, а затем обрабатывается с использованием химикатов для извлечения определенных ценных минералов. В операциях по добыче мягких пород, таких как добыча угля или добыча нефти из битуминозных песков, могут использоваться растворители или вода для извлечения любого ценного товара. Материал, который остается после добычи полезных ископаемых, угля или нефти, часто может создавать огромные экологические проблемы. Существуют разные способы обработки хвостов горных работ, но один из них заключается в хранении их в пруду, особенно если при добыче полезных ископаемых используется вода. Этот метод позволяет любым взвешенным в воде частицам оседать на дно пруда. Затем вода может быть очищена и использована повторно.

Предположим, что у нас есть предприятие по добыче золота, и мы храним наши хвосты в пруду, первоначальный объем которого составляет 20 000 кубических метров. Когда мы начинаем свою работу, хвостохранилище наполняется чистой водой. В пруд впадает ручей, и вода из пруда также откачивается. Химические вещества используются при переработке золотой руды. Эти химические вещества, такие как цианид натрия, могут быть очень ядовитыми и опасными для окружающей среды, и вода должна быть обработана перед тем, как она будет сброшена в водосборный бассейн. Предположим, что 1000 кубометров в день поступает в пруд из ручья и 1000 кубометров выкачивается из пруда каждый день для переработки и повторного использования. Таким образом, уровень воды в пруду остается постоянным.

В момент времени \(t = 0\text{,}\) вода из ручья загрязняется химическими веществами от добычи полезных ископаемых, скажем, в количестве 5 килограммов химических веществ на 1000 кубических метров. Предположим, что вода в нашем хвостохранилище хорошо перемешана, так что концентрация химикатов в пруду достаточно однородна. Кроме того, любые твердые частицы, закачиваемые в пруд из ручья, оседают на дно пруда со скоростью 50 кубометров в сутки. Таким образом, объем нашего хвостохранилища уменьшается на 50 кубометров каждый день, и наше хвостохранилище заполнится через 400 дней эксплуатации. Предположим, что твердые частицы и химические вещества включены в 1000 кубических метров воды, которые ежедневно стекают в пруд из ручья.

Мы хотим найти дифференциальное уравнение, которое будет моделировать количество химикатов в хвостохранилище в любой конкретный момент времени. Пусть \(x(t)\) будет количеством химикатов в пруду в момент времени \(t\text{.}\). Тогда \(dx/dt\) — это разница между скоростью поступления химикатов в пруд пруд и скорость, с которой химические вещества покидают пруд.

\begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} = \text{скорость входа} — \text{скорость выхода}. \end{уравнение*}

Так как вода поступает в пруд из ручья со скоростью 1000 кубометров в день, то скорость поступления химикатов в пруд составляет 5 кг в день. С другой стороны, скорость, с которой химикаты покидают пруд, будет зависеть от количества химикатов в пруду в момент времени \(t\text{.}\). Объем пруда уменьшается из-за наносов, и во время \(t\) это \(V(t) = 20000 — 50т\текст{.}\) Таким образом, концентрация химикатов в водоеме в момент времени \(t\) равна \(х/(20000 — 50т )\text{,}\), а скорость, с которой химикаты вытекают из пруда для повторного использования, составляет

\begin{уравнение*} 1000 \влево( \frac{x}{20000 — 50t} \right) = \frac{20x}{ 400 — t}. \end{уравнение*}

Следовательно, дифференциальное уравнение, которое моделирует количество химического вещества в хвостохранилище в момент времени \(t\), равно

\begin{уравнение} \frac{dx}{dt} = 5 — \frac{20x}{ 400 — t}.\tag{1.5.2} \end{уравнение}

Конечно, нам придется прекратить добычу, как только пруд заполнится, так как вода в пруду будет только если \(V(t) = 20000 — 50t \geq 0\text{;}\), то есть, когда \(0 \leq t \lt 400\text{.}\) 9{19} \справа]. \end{уравнение*}

График решения нашего дифференциального уравнения (рис. 1.5.1) соответствует ситуации. Изначально в пруду нет химикатов, но \(x(t)\) быстро увеличивается. Однако количество химикатов уменьшается по мере того, как пруд начинает заполняться отложениями. В конце концов, при \(t = 400\text{.}\)

химикатов нет. Рисунок 1.5.1. Химические отходы в хвостохранилище

Подраздел 1.5.2 Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} + \frac{20}{400 — t} x = 5 \end{уравнение*}

является примером линейного дифференциального уравнения первого порядка. Более конкретно, линейное дифференциальное уравнение первого порядка представляет собой уравнение, которое можно записать в форме

\begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} + p(t) x = q(t). \end{уравнение*}

Сначала покажем, как решать линейные уравнения первого порядка, когда функции коэффициентов постоянны. Если 92\текст{;}\) \(и(1) = 0\)

(д)

\(y’ = \sin x — y\text{;}\) \(y(0) = 1\)

Подраздел 1.5.3 Смешивание моделей

Многие приложения включают смешивание двух или более веществ. Как мы упоминали ранее, мы можем смоделировать, как нефтепродукты смешиваются вместе на нефтеперерабатывающем заводе, как различные ингредиенты смешиваются вместе на пивоваренном заводе или как парниковые газы перемещаются в различных слоях земной атмосферы.

Пример 1.5.5.

Предположим, что 100-галлонный резервуар изначально содержит 50 галлонов соленой воды, содержащей пять фунтов соли. Рассольная смесь, содержащая один фунт соли на галлон, течет в верхнюю часть резервуара со скоростью 5 галлонов в минуту. Хорошо перемешанный раствор выходит из бака со скоростью 4 галлона в минуту. Мы хотим знать, сколько соли в баке, когда бак полный.

Чтобы построить нашу модель, мы пусть \(t\) будет временем (измеряемым в минутах) и создадим дифференциальное уравнение, которое будет измерять, насколько быстро количество соли в момент времени \(t\text{,}\) \ (x(t)\text{,}\) меняется. У нас есть начальное условие \(x(0) = 5\text{,}\) и

\начать{выравнивать*} \frac{dx}{dt} & = \text{скорость поступления соли} — \text{скорость выхода соли}\\ & = \ underbrace {5} _ {\ text {в потоке}} — \ underbrace {4 \ frac {x} {V (t)}} _ {\ text {исходящий поток}}, \конец{выравнивание*}

, где \(V(t)\) — объем в момент времени \(t\text{.}\) Выражение \(x/V(t)\) — это количество соли в одном галлоне в момент времени \(t \text{.}\) У нас есть \(V(t) = 50 + t\text{,}\), так как бак начинается с 50 галлонов и пять галлонов перекачиваются в бак в минуту, в то время как четыре галлона выходят из бака в течение тот же интервал времени. Таким образом, наше дифференциальное уравнение становится 94}. \end{уравнение*}

Таким образом, когда бак полон, \(t = 50\) и количество соли в баке равно \(x(50) = 97,188\) фунтов. Мы можем использовать Sage , чтобы легко проверить решение нашей задачи с начальными значениями.

Мероприятие 1.5.2. Проблема смешивания.

Предположим, что в баке содержится 1000 галлонов раствора, состоящего из 200 фунтов соли, растворенной в воде. Чистая вода закачивается в бак со скоростью 6 галлонов в минуту. При этом бак сливается с той же скоростью. Предположим, что солевая смесь хорошо перемешивается.

(а)

Настройте задачу с начальными значениями для моделирования количества соли в резервуаре в момент времени \(t\text{.}\)

(b)

Сколько времени пройдет, пока в баке не останется всего 20 фунтов соли?.

Подраздел 1.5.4 Финансовые модели

В финансах есть ряд проблем, которые можно смоделировать с помощью дифференциальных уравнений. Пусть \(P(t)\) будет балансом счета в момент времени \(t\) и предположим, что по счету выплачиваются проценты по ставке \(r\) процентов в год, непрерывно начисляемой на сложные проценты. Предположим, что мы также разрешаем снимать \(W\) долларов в год. Чистое увеличение баланса между временами \(t\) и \(t + \Delta t\) теперь может быть описано как

\begin{уравнение*} P(t + \Delta t) — P(t) \приблизительно r P \Delta t — W \Delta t \end{уравнение*}

Таким образом,

\begin{уравнение*} P'(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t + \Delta t) — P(t)} {\Delta t} = rP — W. \end{уравнение*}

Мы можем решить уравнение

\begin{уравнение*} P’ = rP — W \end{уравнение*}

путем умножения обеих частей уравнения на интегрирующий коэффициент 9{рт}. \end{уравнение*}

Если мы знаем начальный баланс на счете, скажем, \(P(0) = P_0\text{,}\), мы можем определить \(C\text{.}\) То есть

\begin{уравнение*} P_0 = \ гидроразрыв {W} {r} + C \end{уравнение*}

или

\begin{уравнение*} C = P_0 — \frac{W}{r}. {rt}. \end{уравнение*}

Пример 1.5.6.

Предположим, что ваши родители открыли счет денежного рынка с балансом в 50 000 долларов, который они будут использовать для оплаты вашего обучения в колледже. Счет получает среднегодовые проценты в размере 4%. Вы оцениваете, что ваше обучение, проживание и питание, а также другие расходы в колледже составляют 20 000 долларов в год.

Мы моделируем эту финансовую ситуацию с помощью дифференциального уравнения

\начать{выравнивать*} \frac{dP}{dt} \amp = 0.04P — 20000\\ Р(0)\амп = 50000. \конец{выравнивание*} 9{0,04 т}. \end{уравнение*}

Ваши родители были весьма щедры, но сказали вам, что вы должны нести ответственность за оставшуюся часть стоимости вашего образования.

Мероприятие 1.5.3. Оплата колледжа.

Предположим, что новые родители хотят начать финансирование колледжа для своего ребенка. Они готовы инвестировать 2000 долларов в год по ставке 4%.

(а)

Найдите задачу с начальным значением, которая моделирует инвестиции родителей.

(б)

Сколько будет в фонде колледжа, когда их ребенку исполнится 18 лет?

(в)

Сколько им нужно инвестировать в год, чтобы иметь 80 000 долларов в фонде колледжа, когда их ребенку исполнится 18 лет?

Подраздел 1.5.5 Существование и уникальность решений

Теперь возникает несколько вопросов о существовании и единственности решений линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

• Всегда ли задача с начальным значением имеет решение?

• Решение уникально?

• Является ли решение глобальным или оно справедливо только для небольшого интервала?

Мы можем использовать следующую теорему, чтобы ответить на эти вопросы.

Теорема 1.5.7.

Если

\begin{уравнение*} у’ + р(т) у = г(т) \end{уравнение*}

— дифференциальное уравнение такое, что \(y(t_0) = y_0\text{,}\) и \(p(t)\) и \(g(t)\) непрерывны на открытом интервале \(I = (\alpha, \beta)\text{,}\), то существует единственная функция \(y = \phi(t)\), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальному условию на \(I\text{. }\)

Доказательство.

Если

\begin{уравнение*} \mu(t) = \exp\left( \int p(t) \, dt \right), \end{уравнение*}

, затем

\begin{уравнение*} \frac{d}{dt}(\mu(t) y) = \mu(t) \left( \frac{dy}{dt} + p(t) y \right) = \mu(t)g( т). \end{уравнение*}

Интегрируя обе части этого уравнения и решая для \(y\text{,}\), мы получаем

\begin{уравнение*} y = \frac{1}{\mu(t)} \left( \int \mu(t) g(t) \, dt + C \right). \end{уравнение*}

Поскольку \(y(t_0) = y_0\text{,}\) константа \(C\) определяется однозначно. Обратите внимание, что мы использовали непрерывность, чтобы гарантировать существование интегралов.

Подраздел 1.5.6 Важные уроки

• Любое линейное дифференциальное уравнение первого порядка

  \begin{уравнение*} у’ + р(х) у = г(х) \end{уравнение*}

  можно решить, умножив каждую часть уравнения на интегрирующий коэффициент 9{Р(х)} g(x) \, dx. \end{уравнение*}

• Если

  \begin{уравнение*} у’ + р(т) у = г(т) \end{уравнение*}

  — дифференциальное уравнение такое, что \(y(t_0) = y_0\text{,}\) и \(p(t)\) и \(g(t)\) непрерывны на открытом интервале \(I = (\alpha, \beta)\text{,}\), то существует единственная функция \(y = \phi(t)\), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальному условию на \(I\text{. }\)

Вопросы для чтения 1.5.7 Вопросы для чтения

1.

Объясните своими словами, что такое линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

2.

Какое важное правило дифференциального исчисления мы используем при решении дифференциального уравнения первого порядка?

Упражнения 1.5.8 Упражнения

Поиск общих решений.

Найдите общее решение для каждого уравнения в группе упражнений 1.5.8.1–10. 9х \сек х\)

20.

\(y’ = — \dfrac{y}{x + 2} + \dfrac{\cos x}{x + 2}\text{,}\) \(y(0) = 1\)

Подсказка.

\(у = \sin х / (х + 2)\)

21.

600-литровый бак изначально содержит 200 литров воды, содержащей 10 килограммов соли. Предположим, что вода, содержащая 0,1 кг соли, течет в верхнюю часть бака со скоростью 10 литров в минуту. Вода в баке хорошо перемешивается, и со дна бака удаляется 5 литров в минуту. Сколько соли в баке, когда бак полный?

Подсказка.

Если \(x(t)\) количество соли в баке в момент времени \(t\text{,}\), то мы знаем, что \(x(0) = 10\text{.}\) объем бака равен \(V = 200 + 5t\text{.}\) Мы можем смоделировать количество соли в баке в момент времени \(t\) с помощью дифференциального уравнения,

\начать{выравнивать*} \frac{dx}{dt} & = \text{скорость входа} — \text{скорость выхода}\\ & = 10(0,1) — 5 \frac{x}{V}\\ & = 1 — 5\frac{x}{200+ 5t}\\ & = 1 — \frac{x}{40 + t}. \конец{выравнивание*}

Полученное уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} + \frac{1}{40 + t}x = 1 \end{уравнение*}

— линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Коэффициент интегрирования для этого уравнения равен

. \begin{уравнение*} \mu(t) = \exp\left(\int \frac{1}{40 + t} \, dt\right) = 40 + t. \end{уравнение*}

Умножив обе части дифференциального уравнения на \(\mu(t)\text{,}\), мы получим

\begin{уравнение*} \frac{d}{dt} [(40 + t)x] = (40 + t) \frac{dx}{dt} + x = (40 + t)\left( \frac{dx}{dt} + \frac{1}{40 + t}x \right) = 40 + t. \end{уравнение*} 92+80т+800}{2т+80}. \end{уравнение*}

Бак полон в момент времени \(t = 400/5 = 80\text{,}\) и в баке содержится \(x(80) = 170/3 \примерно 56,67\) килограммов соли, когда бак полный.

22.

Менеджер коммуникационной компании вносит 2400 долларов в год в свой пенсионный фонд, делая множество мелких вкладов в течение года. Фонд постоянно растет со скоростью 3,5% в год. Через 35 лет она выходит на пенсию и начинает и начинает снимать средства из пенсионного фонда по ставке 3500 долларов в месяц. Если она не будет вносить депозиты после выхода на пенсию, как долго продержится ее пенсионный фонд? [ Подсказка : Разделите проблему на две меньшие задачи — одна касается ситуации до выхода на пенсию, а другая касается проблемы после выхода на пенсию.]

23.

Озеро Байкал, расположенное на юге Сибири, является лишь седьмым по величине озером в мире по площади поверхности; однако это самое глубокое озеро в мире. Озеро имеет глубину 1642 метра, а дно лежит на 1186,5 метра ниже уровня моря. Озеро Байкал имеет объем 23 600 кубических километров и содержит 20% незамерзшей пресной воды в мире. Напротив, озеро Верхнее, самое большое из Великих озер, имеет объем всего 12 100 кубических километров. Хотя в Байкал впадают 544 реки, из них вытекает только одна река Ангара. Отток озера довольно постоянный и составляет 60,4 кубических километра в год.

Загрязнение озера Байкал вызывает все большую озабоченность. Одним из основных загрязнителей является Байкальский ЦБК. Мельница была построена в 1966 году на берегу озера Байкал и регулярно сбрасывала отходы в озеро. Завод был закрыт в ноябре 2008 г. из-за убыточности, но производство возобновилось в январе 2010 г. В сентябре 2013 г. комбинат окончательно обанкротился, но дальнейшая судьба комбината до сих пор не решена. ¹

Предположим, что мы хотим понять, как изменяется уровень загрязнения в озере Байкал в течение нескольких лет. Гипотетически предположим, что Байкальский целлюлозно-бумажный комбинат был ответственен за большую часть загрязнения озера Байкал за последние несколько десятилетий. Предположим, что в \(t = 0\) лет мельница прекращает работу и больше никаких загрязняющих веществ, сбрасываемых мельницей в озеро, хотя другие источники загрязнения все же есть. Предположим, что озеро в настоящее время загрязнено в 6 раз больше, чем эти другие источники загрязнения. Мы хотим знать, сколько времени потребуется, чтобы уровень загрязнения снизился до половины нынешнего уровня озера. Воды озера Байкал хорошо перемешаны и насыщены кислородом, несмотря на его большую глубину, поэтому мы можем смоделировать эту ситуацию как простую задачу перемешивания. 93/\текст{год} \end{уравнение*}

– скорости притока из многочисленных рек, питающих озеро, и оттока в Ангару. Предположим, что \(C = C_{\text{in}}\) — концентрация загрязняющих веществ, поступающих в оз. Байкал, а \(C_{\text{out}}\) — концентрация стока в реку Ангара (измеренная в метрических тонн на кубический километр). Если \(x(t)\) количество растворенного вещества в момент времени \(t\) в озере Байкал, то

\begin{уравнение*} х_0 = х(0) = 6CV \end{уравнение*}

— исходное количество растворенного вещества в озере. Оценить \(\Delta x\) в течение интервала времени \([t, t + \Delta t]\text{,}\), где \(\Delta t > 0\) мало.

Исходя из вашей оценки \(\Delta x\) в части (1), напишите задачу с начальными значениями, которая описывает количество загрязняющих веществ в озере в момент времени \(t\text{.}\)

Уравнение, которое вы нашли в части (2), является линейным уравнением первого порядка. Решите это уравнение.

Используя часть (3), предскажите, за сколько лет загрязнение озера Байкал сократится вдвое по сравнению с текущим уровнем.

24.

Изменение параметров . Рассмотрим следующий метод решения общего линейного уравнения первого порядка

\begin{уравнение} y’ + p(t)y = g(t).\tag{1.5.8} \end{уравнение}

1. Если \(g(t)\) тождественно равен нулю, покажите, что решение равно

   \begin{уравнение*} y = A \exp\left[ — \int p(t) \, dt \right], \end{уравнение*}

   , где \(A\) — константа.

2. Если \(g(t)\) не тождественно нулю, предположим, что решение имеет форму

   \begin{уравнение} y = A(t) \exp\left[ — \int p(t) \, dt \right],\tag{1.5.9} \end{уравнение}

   где \(A\) теперь является функцией \(t\text{.}\) Подставив вместо \(y\) в данное дифференциальное уравнение (1.5.8), покажем, что \(A(t)\ ) должно удовлетворять условию

   \begin{уравнение} A'(t) = g(t) \exp\left[ \int p(t) \, dt \right].\tag{1.5.10} \end{уравнение}

3. Найдите \(A(t)\) из уравнения (1.5.10). Затем подставить \(A(t)\) в уравнение (1.5.9) и определить \(y\text{.}\) Проверить, что полученное таким образом решение согласуется с решением, данным при доказательстве теоремы 1.5. .7. То есть показать, что это решение эквивалентно решению

   .

   \begin{уравнение*} y = \frac{1}{\mu(t)} \left( \int \mu(t) g(t) \, dt + C \right), \end{уравнение*} 92\тег{1.5.11} \end{уравнение}

   известен как уравнение Рикатти и имеет несколько полезных приложений в теории управления. t — 1} \end{уравнение*}

27.

Предположим, у нас есть популяция, которая не только логистически растет, но и требует минимального порога популяции для выживания. Например, в случае с южным китом в северной части Тихого океана, вид, который в настоящее время находится в списке исчезающих видов. Если популяция упадет слишком низко, киты не смогут найти подходящих партнеров, и в конечном итоге вид вымрет. Другими словами, популяция вымрет, если она упадет ниже определенного порога. Мы можем смоделировать это с помощью следующего уравнения:

\begin{уравнение} \frac{dP}{dt} = k\left(1 — \frac{P}{N} \right) (P — aN),\tag{1.5.12} \end{уравнение}

, где \(P\) — популяция китов в момент времени \(t\), а \(N\) — грузоподъемность. Константы \(k\) и \(a\) положительны с \(a \lt 1\text{.}\)

1. Найдите равновесные решения этого уравнения.

2. Поскольку уравнение (1.5.12) автономно, мы можем найти решение, используя разделение переменных. Найдите это решение.

3. Уравнение (1.5.12) также является уравнением Рикатти (1.5.11). Поскольку мы знаем равновесное решение из части (1), мы можем использовать метод предыдущей задачи, чтобы найти общее решение (1.5.12). Найдите общее решение, используя тот факт, что у нас есть уравнение Рикатти, и покажите, что ваше решение согласуется с решением, которое вы нашли в части (2).

Дифференциальное уравнение первого порядка — решение, задача с начальными значениями, примеры, формула

Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0, где y — зависимая переменная, а x — независимая переменная, а y’ явно появляется в дифференциальном уравнении. Его также можно записать как F(t, f(t), f'(t)) = 0, где f(t) — решение дифференциального уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение с производной первого порядка и степенью уравнения, равной единице.

В этой статье мы рассмотрим концепцию дифференциальных уравнений первого порядка, способы нахождения их решений, дифференциальные уравнения начальной задачи первого порядка и их приложения. Мы решим несколько примеров для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое дифференциальное уравнение первого порядка?
2.	Решение дифференциального уравнения первого порядка
3.	Задача с начальными значениями Дифференциальное уравнение первого порядка
4.	Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении первого порядка

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка обычно записывается как F(x, y, y’) = 0, где y’ — производная первого порядка, которая явно присутствует в уравнении, x — независимая переменная, а y — функция Икс. Говорят, что функция f(t) является решением дифференциального уравнения первого порядка F(t, f(t), f'(t)) = 0 при всех значениях t. Реальным примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение охлаждения Ньютона, определяемое как y’ = k(M — y), и его можно выразить как F(t, y, y’) = k(M — у) — у’. Приведем еще несколько примеров дифференциальных уравнений первого порядка:

• у’ = т ² + 1 ⇒ F(t, у, у’) = т ² + 1 — у’
• у’ = 2(25 — у) ⇒ F(t, у, у’) = 2(25 — у) — у’
• mv'(t) = -mg ⇒ F(t, v, v’) = -mg — mv'(t)

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет форму y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции от x, а y’ — производная первого порядка от y. Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Мы можем решить такие уравнения, используя метод интегрирования множителей.

Решение дифференциального уравнения первого порядка

Теперь мы можем решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя различные методы, такие как разделение переменных, метод интегрирования факторов, варьирование параметров и т. д. Мы можем определить частное решение p(x) и общее решение g(x), соответствующие однородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = 0, и тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = Q(x) задается выражением y(x ) = р(х) + г(х). Давайте решим несколько примеров, используя разные методы, чтобы понять применение каждого метода.

Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка

Общая форма разделимого дифференциального уравнения первого порядка: dy/dx = f(y).g(x). Здесь мы можем разделить переменные в двух частях уравнения, т. е. dy/dx = f(y).g(x) также можно записать как dy/f(y) = g(x) dx, разделив переменные и тогда мы можем решить уравнение интегрированием. Рассмотрим пример дифференциального уравнения первого порядка и найдем его решение методом разделения переменных.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение dy/dx = (5y + 4)x.

Сохраняя переменную y в левой части уравнения и x в правой части уравнения, мы имеем

dy/dx = (5y + 4)x

⇒ dy/(5y + 4) = xdx

Теперь, интегрируя оба сторон уравнения имеем

∫dy/(5y + 4) = ∫ x dx

⇒ (1/5) ln |5y + 4| = x ² /2 + C

⇒ ln |5y + 4| = 5 (x ² /2 + C)

⇒ ln |5y + 4| = 5x ² /2 + 5С

⇒ 5y + 4 = e ^{5x 2 /2 + 5C}

⇒ y = (1/5) [e ^{5x 2 /2 + 5C} — 5 = 1900 /5)e ^{5x 2 /2} e ^5C — 4/5

⇒ y = Ke ^{5x 2 /2} — 4/5, где K = (1/5)e 5C

Следовательно, y = Ke ^{5x 2 /2} — 4/5 является общим решением дифференциального уравнения первого порядка dy/dx = (5y + 4)x.

Решение дифференциального уравнения первого порядка с использованием интегрирующих коэффициентов

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dx + y P(x) = Q(x) может быть решено с использованием метода интегрирующих факторов. Мы можем выполнить указанные шаги, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения:

• Шаг 1: Упростите дифференциальное уравнение первого порядка и выразите его как dy/dx + y P(x) = Q(x)
• Шаг 2: Определите интегрирующий коэффициент, заданный I.F. = е ^{∫P(x) dx}
• Шаг 3: Умножьте дифференциальное уравнение dy/dx + y P(x) = Q(x) на I.F. чтобы получить d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F.
• Шаг 4: Теперь проинтегрируйте обе части уравнения d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F. чтобы получить общее решение.

Давайте решим дифференциальное уравнение первого порядка, используя метод интегрирующих коэффициентов, чтобы понять его применение.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение xy’ + 3y = 4x ² — 3x.

Сначала запишем данное дифференциальное уравнение первого порядка в виде y’ + y P(x) = Q(x)

Деление xy’ + 3y = 4x ² — 3x на x, мы имеем

y’ + (3/x) y = 4x — 3

Здесь P(x) = 3/x и Q(x) = 4x — 3

Теперь интегрирующий коэффициент I.F. = e ^{∫P(x) dx} = e ^{∫(3/x) dx} = e ^{3ln x} = x ³

Умножение дифференциального уравнения первого порядка y’ + (3/x) y = 4x ​​- 3 по И.Ф. = x ³ , имеем

x ³ (y’ + (3/x) y) = x ³ (4x — 3)

⇒ x ³ y’ + 3x ^{= 4x ​​ 4 — 3x 3}

⇒ D (YX ³ )/DX = 4x ⁴ — 3x ³

Интеграция обеих сторон с соответствующими x, мы получим

40004. d(yx ³ )/dx] dx = ∫(4x ⁴ — 3x ³ ) dx

⇒ yx ³ = (4/5)x ^{x 5}

) 4 + C

⇒ y = (4/5)x ² — (3/4)x + Cx ^-3

Отсюда общее решение дифференциального уравнения первого порядка xy’ + 3y = 4x ² — 3x с использованием метода интегрирующего коэффициента: y = (4/5)x ² — (3/4)x + Cx ^-3

Проблема начального значения Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение задачи первого порядка имеет вид F(x, y, y’) = 0 и начальное значение y(x ₀ ) = y ₀ , где x ₀ — фиксированное значение x и y ₀ являются соответствующими значениями y и (x ₀ ,y ₀ ) удовлетворяют общему решению y(x). Начальное значение дифференциального уравнения помогает найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как определить решение дифференциального уравнения, используя начальное значение.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y’ = x ² + 1, y(1) = 4

Сначала оценим общее решение данного дифференциального уравнения. У нас есть dy/dx = x ² + 1, которое можно решить, разделив переменные.

dy/dx = x ² + 1

⇒ dy = (x ² + 1) dx

Интегрируя обе части уравнения, получаем ) дх

⇒ y = x ³ /3 + x + C, что является общим решением данного дифференциального уравнения первого порядка.

У нас есть y(1) = 4. Подставьте это в общее решение, чтобы определить значение C и, следовательно, частное решение.

4 = 1 ³ /3 + 1 + C

⇒ C = 4 — 1/3 — 1

= 3 — 1/3

= 8/3

Следовательно, y = 54 x 3905 /3 + x + 8/3 есть частное решение дифференциального уравнения начальной задачи y’ = x ² + 1, y(1) = 4.

Важные примечания к дифференциальному уравнению первого порядка

• Некоторые из важных применений дифференциального уравнения первого порядка относятся к закону Ньютона о охлаждении, моделям роста и распада, и электрические цепи.
• Дифференциальные уравнения первого порядка могут быть решены с использованием метода разделения переменных, интегрирования и вариации параметров.

Связанные темы по дифференциальному уравнению первого порядка

• Правила дифференциации
• Формула правила продукта
• Формула цепного правила

Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении первого порядка

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка в исчислении?

Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0,

Что такое линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции x, а y’ — производная первого порядка от y. Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Что такое однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называется однородным, если и M(x, y), и N(x, y) однородны. Мы можем написать однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида y’ + p(x)y = 0,

Как найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка может быть оценено с помощью метода разделения переменных или метода интегрирующего фактора.