Решение неравенств с двумя переменными: Уравнения и неравенства с двумя переменными — урок. Алгебра, 11 класс.

значение, список примеров / Справочник :: Бингоскул

Неравенство с двумя переменными и его решение: значение, список примеров

добавить в закладки удалить из закладок

Содержание:

Линейное неравенство, имеющее две переменных; его функция имеет общий вид ах + bу + с меньше нулевого значения или больше 0. В качестве переменных выступают у, х. Для обозначения некоторых чисел используются буквы а, b, с. Решение неравенств с двумя переменными графическим способом предполагает использование плоскости координат. Задача – найти пару чисел, которая сделает пример верным равенством. 

Неравенство с двумя неизвестными – сложный линейный пример, требующий построения графика. В большинстве случаев имеет множество вариантов решения. Например, заданы числа 2 и 1, необходимо решить выражение 5х + 2у > 4. Для этого следует подставить данные коэффициенты в пример. В итоге получается: 5*2 + 2*1 > 4, 10 + 2 больше 4. Решение допустимое. 

Более легкий способ решить уравнение – построить графическую координатную плоскость. Внешний вид решения имеет определенную фигуру. 

График неравенства с двумя переменными – решение

Функция имеет следующее определение: 3х — 2у + 6 > 0. Нужно определить точки на плоскости, которые подойдут для решения примера. Если 3х  -2у + 6  > 0 приравнять к нулю, получится 3х — 2у + 6 = 0. Это стандартное обозначение прямой, проходящей через две области: -2,0 и 0,-3. Относим коэффициенты к области М1(Х1,У1). Эта зона заштриховывается на плоскости, она находится под 3х — 2у + 6 = 0 – прямой. 

Коэффициенты М2(Х₂,У₂) попадают на прямую. Отсюда следует: 2у₂ — 3х₁ — 6 = 0, 2у₁ — 3х₁ — 6 12. Чтобы найти среднее значение, выполняется рисунок системы координат, значимая область штрихуется.

 

Правило: При замене

Одна из них является множеством ответов для неравенства, большего нуля. Другая подходит для решения примера, меньшего нуля. Рассмотрим на примере:

Необходимо развязать пример: 2х + 3у > 0. Изначально строится прямая. В качестве решения выступает набор точек, расположенных над или под прямой. Чтобы понять, какая плоскость является ответом, необходимо выполнить подстановку значений в уравнение. 

 

Графическое решение неравенств с двумя переменными – пример

Большинство неравенств с двумя неизвестными решаются графически. Необходимо выбрать, какой метод для поиска решения лучше применить. Координатная плоскость позволяет сделать рисунок, наглядно увидеть ответ. Задача – поиск двух коэффициентов, удовлетворяющих требованиям примера. Рассмотрим выражение 2у + 3х

• Рисуем координатную плоскость;


• Строим прямую, заменив знак неравенства на = для выражения у;


• Координатная плоскость делится прямой на верхнюю и нижнюю зоны;


• Выбираем контрольную точку из областей. Допустим, точка A имеет координаты 1;1. Точка В – 1;3;


• Подставляем данные в пример, они соответствуют условиям уравнения;


• На графике заштриховываем данную зону, получив множественный итог графическим способом. 
   

Поделитесь в социальных сетях:

27 мая 2021, 09:35

Математика

Could not load xLike class!

Уравнения и неравенства с двумя переменными. Примеры решения

Дата публикации: 10 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Уравнения и неравенства с двумя переменными (PPTX)

---

Ребята, мы разобрались с уравнениями и неравенствами с одной переменной. Теперь давайте перейдем к более общему и сложному случаю — к уравнениям и неравенствам с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными $P(x;y)=0$ называется всякая пара чисел $(x;y)$, которая обращает уравнение в верное числовое равенство. 2=0$ имеет всего одно решение $х=-2$ и $у=-4$. Поскольку, сумма двух не отрицательных чисел может равняться нулю, когда они одновременно равны нулю. В данном примере мы получили всего одно решение.

Если дано целое рациональное уравнение с несколькими переменными и целочисленными коэффициентами, и также требуется найти целые (или рациональные) решения данного уравнения, то принято говорить, что задано диофантово уравнение.

Диофантовы уравнения решаются довольно трудно, и не всегда сразу можно придумать ходы решения. Часто помогает теория делимости целых чисел. Также отмечу, что современные методы программирования позволяют решать многие уравнения на компьютерах, используя так называемые численные методы.

Пример.
Найти целочисленные решения уравнения: $5x+4y=17$.

Решение.
В общем случае мы могли бы на декартовой системе координат изобразить прямую и получить множество всех решений, но нам требуется найти только целочисленные решения.
Воспользуемся известными предложениями теории делимости целых чисел.
Приведем наше уравнение к виду: $y=\frac{17-5x}{4}$.
Целое число $17-5х$ должно делиться без остатка на 4.
При делении на 4 возможны четыре случая:

а) остаток от деления на 4 равен нулю, то есть $х=4k$.
б) остаток от деления на 4 равен единице, то есть $х=4k+1$.
в) остаток от деления на 4 равен двум, то есть $х=4k+2$.
г) остаток от деления на 4 равен трем, то есть $х=4k+3$, где k — целое число.

Рассмотрим каждый случай отдельно:
а) Если $х=4k$, то $17-5x=17-20k$ не делится нацело на 4, т.к. каждый член разности должен делиться на 4, а число 17 не делится на 4.
б) Если $х=4k+1$, то $17-5x=17-20k-5=12-20k$ делится нацело на 4.
в) Если $х=4k+2$, то $17-5x=17-20k-10=7-20k$ не делится на 4.
г) Если $х=4k+3$, то $17-5x=17-20k-15=2-20k$ не делится на 4.
Среди всех возможных вариантов нам подошел лишь один вариант: $х=4k+1$.
Найдем y: $y=\frac{17-5x}{4}=\frac{17-20k-5}{4}=3-5k.$
Целым решением нашего уравнения является любая пара чисел $(4k+1;3-5k)$,
где k – любое целое число. 2=13$.

Решение.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $(4x-2y)(4x+2y)=13$.

Мы получили произведение двух чисел в левой части уравнения. Заметим, что в правой части уравнения получилось простое число, которое делится только на себя и единицу по модулю.
Число 13 получается лишь в четырех случаях при произведении двух чисел:
а) Первый сомножитель равен 1, второй сомножитель равен 13.
б) Первый сомножитель равен 13, второй сомножитель равен 1.
в) Первый сомножитель равен -1, второй сомножитель равен -13.
г) Первый сомножитель равен -13, второй сомножитель равен -1.
Значит, нам надо решить совокупность 4 систем.
а)$\begin {cases} 4x-2y=1, \\ 4x+2y=13 \end {cases}$.

б)$\begin {cases} 4x-2y=13, \\ 4x+2y=1 \end {cases}$.

в)$\begin {cases} 4x-2y=-1, \\ 4x+2y=-13 \end {cases}$.

г) $\begin {cases} 4x-2y=-13, \\ 4x+2y=-1 \end {cases}$.

Решением каждой системы является пара чисел: а) $(1,75;3)$; б) $(1,75;-3)$;
в) $(-1,75;-3)$; г) $(-1,75;3)$.
Получается, что в данном примере целочисленных решений нет, но суть метода решения должна быть ясна.

Ответ: целочисленных решений нет.

Неравенства

Неравенства вида $p(x;y)>0$, $p(x;y)Решением неравенства $p(x;y)>0$ называют всякую пару чисел, которые удовлетворяют данному неравенству (неравенство превращается в верное числовое неравенство). Решения неравенств с двумя переменными также проще изображать на графиках в декартовой системе координат. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.
Решить неравенство: $2x+5y>7$.

Решение.
Для начала выразим у через х: $y>\frac{7-2x}{5}$.
Построим прямую $y=\frac{7-2x}{5}$. Множество всех решений неравенства расположено, либо выше, либо ниже данной прямой.
Можно подставить любую пару чисел и проверить: выполнилось неравенство или нет. Если неравенство выполнилось, то мы выбираем в качестве решения ту область, которой принадлежат эти пара чисел, если не выполнилось, то выбираем противоположную область.

2-6x+2, \\ y≤x+5 \end {cases}$.

Нанесите решения линейного неравенства с двумя переменными в виде полуплоскости (исключая границу в случае строгого неравенства) и начертите решение системы линейных неравенств с двумя переменными в виде пересечения соответствующей половины -самолеты. | СС | ЧСА | HSA-REI | HSA-REI.D

Popular Tutorials

in Отобразите решения линейного неравенства с двумя переменными в виде полуплоскости (исключая границу в случае строгого неравенства) и отобразите решение множества системы линейных неравенств в двух переменных как пересечение соответствующих полуплоскостей.

• Как решить систему неравенств с помощью графика?

  Существует много разных способов решения системы неравенств. В этом уроке вы увидите, как решить такую ​​систему, построив график обоих неравенств и найдя их пересечение. Проверьте это!

• Что такое система линейных неравенств?

  Система уравнений представляет собой набор уравнений с одинаковыми переменными. Система неравенств почти такая же, за исключением того, что вы работаете с неравенствами вместо уравнений! Чтобы решить такую ​​систему, нужно найти такие значения переменных, при которых каждое неравенство будет верным одновременно. Этот учебник познакомит вас с системами неравенств.

• Как изобразить на координатной плоскости неравенство больше, чем неравенство?

  Начертить неравенства на координатной плоскости не так сложно, как может показаться, особенно если знать, что делать! В этом руководстве вы увидите шаги, которые необходимо выполнить, чтобы построить график неравенства.
• Как определить, является ли граница частью графика неравенства?

  Является ли граница частью графика неравенства? Подсказка: знак неравенства содержит ответ! Узнайте, как проверить и посмотреть, является ли граница частью графика неравенства, посмотрев это руководство.

• Как вы решаете и рисуете неравенства из текстовой задачи?

  Словесные задачи — отличный способ увидеть, как математические приложения применяются в реальном мире! В этом руководстве вы увидите, как построить график нескольких неравенств, чтобы найти решение. Взглянем!

• Что такое граница?

  Если вы рисуете неравенство на координатной плоскости, вы в конечном итоге создаете границу. Эта граница делит координатную плоскость пополам. В этом уроке вы узнаете об этом виде границы!

• Что такое полусамолет?

  Если вы рисуете неравенство на координатной плоскости, вы в конечном итоге создаете границу, которая разрезает координатную плоскость пополам. Каждая из этих половин называется полуплоскостью. Узнайте о полуплоскостях, посмотрев этот урок!
• Как определить, является ли упорядоченная пара решением линейного неравенства?

  Чтобы узнать, является ли упорядоченная пара решением неравенства, подставьте ее в неравенство и упростите. Если вы получаете истинное утверждение, то упорядоченная пара является решением неравенства. Если вы получите ложное утверждение, то упорядоченная пара не является решением. Взгляните на этот урок и узнайте, как определить, является ли упорядоченная пара решением неравенства!

• Что такое линейное неравенство?

  Линейное неравенство почти такое же, как и линейное уравнение, за исключением того, что знак равенства заменен символом неравенства. Вы обнаружите, что для решения и построения графика линейного неравенства требуется немного больше усилий, но с этим ничего не поделаешь! Посмотрите этот урок и познакомьтесь с линейными неравенствами!

---

Как решать линейные неравенства с двумя переменными?

Линейные неравенства с двумя переменными представляют собой неравенства между двумя алгебраическими выражениями, в которые включены две различные переменные. В следующем руководстве вы узнаете больше о линейном неравенстве с двумя переменными и о том, как его решить.

Линейное неравенство почти идентично линейному уравнению, за исключением того, что знак равенства заменен символом неравенства.

Связанные темы

• Как решить квадратичные неравенства
• Как решить многоэтапные неравенства

Шаг на шаге на Решающий линейный неравенство. отношение между двумя алгебраическими выражениями, которые включают две различные переменные. Линейное неравенство в двух переменных формируется, когда символы, отличные от равных, такие как больше или меньше, используются для связи с выражениями, и задействованы две переменные.

Вот несколько примеров линейных неравенств с двумя переменными:

\(2x<3y+2\:,\:\:3x+4y+3\le 2y−5\)

Как решать линейные неравенства с две переменные?

Решением линейных неравенств с двумя переменными является упорядоченная пара, что верно для условия неравенства. Допустим, что если \(Ax + By>C\) — линейное неравенство, в котором \(x\) и \(y\) — две переменные, то упорядоченная пара \((x, y)\), удовлетворяющая этому выражение было бы необходимым решением. Решение линейных неравенств похоже на решение линейных уравнений. Разница в символе неравенства.

Линейные неравенства решаем так же, как и линейные уравнения:

Шаг 1: Упростим неравенство с обеих сторон, как в \(левой\), так и в \(правой\) по правилам неравенства.

Шаг 2: После получения значения имеем:

• строгие неравенства, в которых две стороны неравенства не могут быть равны друг другу.
• нестрогие неравенства, в которых две стороны неравенства также могут быть равны.

Примечание: Мы видели, что для любого линейного уравнения с двумя переменными существует бесконечное число решений. Теперь вам может быть ясно, что у нас будет бесконечное количество решений любого линейного неравенства. Все эти решения составляют множество решений линейного неравенства.

Решение линейных неравенств с двумя переменными – пример 1:

Определите, является ли \((2, \frac{1}{5})\) решением \(2x+5y<10\)?

Решение:

Подставим эти значения \((2,\frac{1}{5})\) в заданное линейное неравенство, получим: 

\(2(2)+5(\frac{1}{5) })<10\)

\(4+1<10\)

 \(5<10\), что верно.

No related posts.