Решение онлайн гауссом: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Содержание

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 7

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

x ₁	— x ₂	+ 3x ₃	+ x ₄	= 5
4x ₁	— x ₂	+ 5x ₃	+ 4x ₄	= 4
2x ₁	— 2x ₂	+ 4x ₃	+ x ₄	= 6
x ₁	— 4x ₂	+ 5x ₃	— x ₄	= 3

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 2 — 4 × строка 1)
Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1
)
Из строки № 4 вычтем строку № 1 (Строка 4 — строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

К строке № 4 прибавим строку № 2 (Строка 4 + строка 2)
Строку № 3 поделим на -2 (Строка 3 = строка 3 / -2)

Получим:

Проведём следующие действия:

К строке № 4 прибавим строку № 3 умноженную на 5 (Строка 4 + 5 × строка 3)
Строку № 4 умножим на 2 (Строка 4 = строка 4 * 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

Из строки № 3 вычтем строку № 4 умноженную на 0. 5 (Строка 3 — 0.5 × строка 4)
Из строки № 1 вычтем строку № 4 (Строка 1 — строка 4)

Получим:

Проведём следующие действия:

К строке № 2 прибавим строку № 3 умноженную на 7 (Строка 2 + 7 × строка 3)
Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

Строку № 2 поделим на 3 (Строка 2 = строка 2 / 3)
К строке № 1 прибавим строку № 2 (Строка 1 + строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 9
х₂ = 18
х₃ = 10
х₄ = -16

Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Занимательная математика: правило Гаусса

Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

5 * 11 = 55

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.
Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.
Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме.

Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

Решение.

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Далее смотрим, можно ли этот вес разбить на три равных веса:

45 : 3 = 15 (г)

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

9г, 6г
8г, 7г
5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Решение.

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение.

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

первая клетка — 1,
вторая — 2,
третья — 3,
…
восьмая — 8,
девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;

5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Решение.

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

78 : 3 = 26 (г)

Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Удачи в развитии Ваших детей.

Главная — Aptech

МИРУ НУЖНЫ ВАШИ

МЫ ХОТИМ ПОМОЧЬ

Начать БЕСПЛАТНУЮ пробную версию Запросить цену

Используется в сотнях крупнейших университетов, компаниях из списка Fortune 500, неправительственных организациях, государственных и международных банках

ЧТО МЫ ПРЕДЛАГАЕМ

Платформа GAUSS

Простая в использовании среда анализа и визуализации данных, основанная на мощном, быстром и эффективном языке программирования GAUSS Matrix.

Исследуйте GAUSS

GAUSS Engine

От прототипа до производства: встраивайте пользовательские аналитические данные GAUSS непосредственно в корпоративные или веб-приложения.

Знакомство с движком

Модули приложений GAUSS

Настраиваемые программы, расширяющие возможности платформы GAUSS в области эконометрики, финансов, анализа рисков, статистики и многого другого.

Изучите модули

Для современных исследований Ни одна платформа не дает таких результатов, как GAUSS.

Кодируй так, как думаешь

Вы можете кодировать идеи и методы прямо из последних журналов в GAUSS так быстро, как только можете с ручкой и бумагой.

Матричный язык GAUSS — это наиболее естественный способ воплотить в жизнь передовую математику, статистику и машинное обучение.

Создание идеального визуального образа

Создавайте убедительные истории данных на заказ в интерактивном или программном режиме.

Умный компилятор + эффективный код + распараллеливание = более быстрая аналитика

GAUSS — это результат более чем трех десятилетий инноваций и совершенствования эффективного нативного кода. Это в сочетании с нашим оптимизирующим компилятором и современными возможностями многопоточности позволяет вам получить ответы раньше конкурентов.

Библиотека готовых решений

Модули приложений GAUSS предоставляют готовые решения для многих типов анализа, включая байесовскую оценку, оптимизацию с ограничениями, финансы, временные ряды и многое другое. Предоставляется исходный код, позволяющий неограниченную настройку.

Интеграция практически в любую среду

Эффективно подключайте мощную аналитику к любому внутреннему или клиентскому источнику данных, приложению или интерфейсу с помощью GAUSS Engine.

Бесплатное программное обеспечение для студентов

Узнайте, как наша программа GAUSS in the Classroom помогает студентам и преподавателям.

Подробнее

Учебники

Пошаговые, информативные уроки для тех, кто хочет погрузиться в GAUSS и быстро достичь своих целей.

Узнать больше

ФОРУМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ

Присоединяйтесь к нашему сообществу, чтобы узнать, почему наши пользователи считаются одними из самых активных и полезных в отрасли!

Узнать больше

Есть конкретный вопрос?

Получить реальный ответ от реального человека

Связаться с нами

Нужна поддержка?

Получите помощь от наших дружелюбных специалистов.

Контактная поддержка

Напишите уравнение Гаусса для линзы.

Курс
- NCERT
  - Класс 12
  - Класс 11
  - Класс 10
  - Класс 9
  - Класс 8
  - Класс 6
- IIT JEE

Экзамен
- JEE MAINS
- JEE ADVANCED
- X BOARDS
- XII BOARDS
- NEET
  - Neet Предыдущий год (по годам)
  - Физика Предыдущий год
  - Химия Предыдущий год
  - Биология Предыдущий год
  - Нет Все образцы работ
  - Образцы работ по биологии
  - Образцы работ по физике
  - Образцы работ по химии

Загрузить PDF-файлы
- Класс 12
- Класс 11
- Класс 10
- Класс 9
- Класс 8
- Класс 7
- Класс 6

Экзаменационный уголок

Онлайн-класс

Викторина

Задать вопрос в Whatsapp

Поиск Doubtnut

Английский словарь

9 0098 Toppers Talk

Блог

О нас

Карьера

Скачать

GET APP

Вопрос

Обновлено: 26/04/2023

Kumar Prakashan-ray Оптика и оптические инструменты-A (попробуйте)

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Про и дехо сари видео бина киси объявление ки рукаават ке!

Похожие видео

решить следующую систему уравнений методом исключения Гаусса: