Вычисление пределов с тангенсами
Skip to content
Содержание:
- 1 Формула
- 2 Следствия
- 3 Примеры решений
- 4 Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел
- 4.0.1 Правила ввода выражений и функций
Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:
Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.
| Пример 1 |
| Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $lim_limits frac<sin3x>$ |
| Решение |
Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.
$$ tg 2x = frac <2x>cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac<sin 3x> <3x>cdot 3x $$
Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.
Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
| Пример 2 |
| Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $lim_limits frac<sqrt<4+x>-2><1-cos 3x>$ |
| Решение |
2+1 = 1 $, при $ x o 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!| Пример 1 |
| Вычислить $ lim_ frac<sin2x> <4x>$ |
| Решение |
2-9)>><frac> = 1$$| Пример 4 |
| Вычислить $ lim_ frac<sin2x> $ |
| Решение |
| Ответ |
| $$ lim_ frac<sin2x> = frac<2> <3>$$ |
В статье: «Первый замечательный предел, примеры решения» было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.
Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел
Сайт предоставляет ПОДРОБНОЕ решение по нахождению предела функции.
2 / ln( cosh(3*x) )
Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке.
Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0.
Для примера, находит предел функции в нуле и предел на бесконечности.
Правила ввода выражений и функций
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Рубрики
- Без рубрики
- Дримкаст аксессуары
- Дримкаст игры
- Дримкаст прохождения
- Дримкаст эмуляторы
- История
- Компьютеры
- Помощь
- Приставки
Adblock
detector
Ограниченность функции онлайн калькулятор с решением. Предел функции – определения, теоремы и свойства
Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:
\begin{equation}\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1 \end{equation}
Так как при $\alpha\to{0}$ имеем $\sin\alpha\to{0}$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $\frac{0}{0}$.
- Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
- Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.
Часто используются также следствия из первого замечательного предела:
\begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1 \end{equation} \begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1 \end{equation} \begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1 \end{equation}
На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти .
Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $\frac {0} {0}$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, — например, см. .
Пример №1
Доказать, что $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1$, $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1$, $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1$.
а) Так как $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, то:
$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg{\alpha}}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha\cos{\alpha}} $$
Так как $\lim_{\alpha\to{0}}\cos{0}=1$ и $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$, то:
$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha\cos{\alpha}} =\frac{\displaystyle\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}}{\displaystyle\lim_{\alpha\to{0}}\cos{\alpha}} =\frac{1}{1} =1. $$
б) Сделаем замену $\alpha=\sin{y}$. Поскольку $\sin{0}=0$, то из условия $\alpha\to{0}$ имеем $y\to{0}$.
Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin{y})=y$, поэтому:
$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{y\to{0}}\frac{y}{\sin{y}} =\lim_{y\to{0}}\frac{1}{\frac{\sin{y}}{y}} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\to{0}}\frac{\sin{y}}{y}} =\frac{1}{1} =1. $$
Равенство $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1$ доказано.
в) Сделаем замену $\alpha=\tg{y}$. Поскольку $\tg{0}=0$, то условия $\alpha\to{0}$ и $y\to{0}$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arctg\alpha=\arctg\tg{y})=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:
$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{y\to{0}}\frac{y}{\tg{y}} =\lim_{y\to{0}}\frac{1}{\frac{\tg{y}}{y}} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\to{0}}\frac{\tg{y}}{y}} =\frac{1}{1} =1. $$
Равенство $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1$ доказано.
Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.
2-4}{x+7}}=1$.
Пример №3
Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}$.
Так как $\lim_{x\to{0}}\sin{9x}=0$ и $\lim_{x\to{0}}x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$, т.е. выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, — тогда станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, — просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:
$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x\cdot\frac{1}{9}} =9\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x} $$
Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}$ выполнены. Следовательно, $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}=1$.
А это значит, что:
$$ 9\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}=9\cdot{1}=9. $$
Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}=9$.
Пример №4
Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}$.
Так как $\lim_{x\to{0}}\sin{5x}=0$ и $\lim_{x\to{0}}\tg{8x}=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $\sin{5x}$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, — и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $\tg{8x}$ на $8x$:
$$\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}\cdot{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}\cdot{8x}}$$
Сокращая на $x$ и вынося константу $\frac{5}{8}$ за знак предела, получим:
$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}\cdot{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}\cdot{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}} $$
Обратите внимание, что $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{5x}$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела.
Пример №9
Найти предел $\lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}$.
Так как $\lim_{x\to{3}}(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_{x\to{3}}(x-3)\tg\frac{x-3}{2}=0$, то наличествует неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах переменная $\alpha \to 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=\frac{x-3}{2}$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x\to{3}$, то $t\to{0}$.
$$
\lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\left|\begin{aligned}&t=\frac{x-3}{2};\\&t\to{0}\end{aligned}\right|
=\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{2t}}{2t\cdot\tg{t}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{2\sin^2t}{2t\cdot\tg{t}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2t}{t\cdot\tg{t}}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2t}{t\cdot\frac{\sin{t}}{\cos{t}}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}\cos{t}}{t}
=\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sin{t}}{t}\cdot\cos{t}\right)
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}}{t}\cdot\lim_{t\to{0}}\cos{t}
=1\cdot{1}
=1.
2x}
=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})}
=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin{x}}
=\frac{1}{1+1}
=\frac{1}{2}.
$$
Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475) . Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $\tg\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$ и $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-\frac{2\pi}{3}$ несложно осуществить.
$$
\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1}
=\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cdot\left(\cos{x}+\frac{1}{2}\right)}
=\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}-\tg\frac{2\pi}{3}}{2\cdot\left(\cos{x}-\cos\frac{2\pi}{3}\right)}=\\
=\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}
=\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\
=\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{2\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}
=\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\cos\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{-2\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\
=\frac{1}{-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}
=-\frac{4}{\sqrt{3}}.
2x}=\frac{1}{2}$, $\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1}=-\frac{4}{\sqrt{3}}$.
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису — . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции .
Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи — вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
| Пример 1 |
| Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $ |
| Решение |
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. |
2-1}{x+1} = \infty $$Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа.
2 стремится к нулю.
Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил.
Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1
В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность — ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f»(x)/l»(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при
том — отсутствие ошибок при нахождении производных.
2+3x-4),x=infinity).
Решение:
Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности
Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени «икс» в числителе или знаменателе. Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции
Поскольку значение стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей
Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях. Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю.
Формулами предел можно записать так
Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности
Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.
2-x-10), x=2). Решение: Прямая подстановка показывает
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
что имеем неопределенность типа 0/0 .
Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность
Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида «квадратные уравнения» следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму. Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел
Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.
Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.
Пример 6. Найти предел функции
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение:
Имеем неопределенность типа 0/0
. В числителе применяем формулу сокращенного умножения
и вычисляем нужній предел
Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.
Пример 7. Найти предел функции
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение: Представим переменную в формулу предела
При подстановки получим неопределенность типа 0/0.
Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное. Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение
По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции
Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку
Пример 8. Найти предел функции
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение:
Подставим двойку в формулу
Получим неопределенность 0/0 .
Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность. Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета
Таким образом числитель запишем в виде
и подставим в предел
Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе
Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.
Пределы триг. функций стремящиеся к бесконечности : Чулан (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
| Spider84 |
| ||
29/01/14 |
| ||
| |||
| ex-math |
| |||
24/02/12 |
| |||
| ||||
е. на точки разрыва и их окрестность, где тангенс принимает большие значения. Лучше все-таки научиться «решать» головой на бумаге, тогда Вы поймете, что стоит поручать «решателям», а что — нет. Здесь Вам поможет любой учебник матанализа с примерами.| tatkuz1990 |
| |||
30/12/13 |
| |||
| ||||
| provincialka |
| |||
18/01/13 |
| |||
| ||||
Уж сколько раз твердили миру, пределы нельзя решать. Но это еще ягодки. Что может означать такая фраза:| arseniiv |
| |||
27/04/09 |
| |||
| ||||
| Otta |
| |||
09/05/13 |
| |||
| ||||
| g______d |
| |||
08/11/11 |
| |||
| ||||
Поэтому если написана любая формула, содержащая , предела автоматически не существует, даже для функции или . Нужно говорить слова вроде «давайте устраним все устранимые разрывы» или «давайте доопределим функцию естественным образом», а если они не сказаны, то я бы тоже вешался на месте программы.| Spider84 |
| ||
29/01/14 |
| ||
| |||
| bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
01.2014, 07:08 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
функций стремящиеся к бесконечности| Spider84 |
| ||
29/01/14 |
| ||
| |||
функций стремящиеся к бесконечности| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 11 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
$$Это кажется более близким, потому что левый и правый члены в числителе состоят из известных пределов, но проблема в том, что все выражение по-прежнему равно $(1/2 — 1/2)/0 = 0/0$, поэтому я не может разбить $L$ на два предела и разобраться.
Я ищу только решения, связанные с манипулированием ограничениями таким образом. Никакого Маклорена и Л’Опиталя, если на бумаге будет слишком грязно.
- пределы
$\endgroup$
$\begingroup$ 9{2-1}-(2\cdot2-1)!}{(2\cdot2)!} = \dfrac{-1-3!}{4!} = -\dfrac7{24}$$
$\endgroup$
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
17Исчисление — Пределы срабатывания
Если не указано иное, оцените эти пределы. Дайте ответы в точных выражениях.
Базовый
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(3x)}{x}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении. \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(3x)}{x}}}\)
Solution
PatrickJMT — 28 видео решениевидео от PatrickJMT |
|---|
| 9000’s проблема. |
|---|
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(5x)}{x}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(5x)}{x}}}\)
Решение
Обратите внимание, что она опускает обозначение предела в своей работе, что может стоить вам баллов на домашнюю работу или экзамен.
Криста Кинг Математика — 453 видео решениевидео Криста Кинг Математика |
|---|
Войдите, чтобы оценить текущий рейтинг этой задачи и оценить ее. |
|---|
- Постановка задачи в точных терминах. \(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\sin(5t)}{3t}}}\)
- 92}}}\), давая ответ в точных выражениях.
Решение
Прямая замена дает \(0/0\), что неопределенно. Поэтому нам нужно найти другой путь. Предел очень похож на \(\displaystyle{\lim_{\theta\to0}{\frac{\sin(\theta)}{\theta} } }\). Однако наш предел имеет квадраты членов. Но мы можем разложить, чтобы получить
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\left[\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x)}{ x} \right] } }\)
Мы можем применить правило умножения, чтобы получить
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}{\left[ \frac{\sin(x)}{x} \right] } \cdot \lim_{x\to0}{\left [ \frac{\sin(x)}{x} \right] } }\)
Теперь у нас есть два предела, которые соответствуют правилу синусов.
2 = 1\) 92 / эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.- 92}}} \)
- Автор Preethu
- Последнее изменение 06-06-2022
- Автор Приту
- Последнее изменение 06-06-2022
- Графики функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) приближаются к разным значениям между \(-1\) и \(1\).
- Функция колеблется между значениями, поэтому невозможно найти предел \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) при стремлении \(x\) к \( \pm \infty\).
- Следовательно, в таких случаях мы используем теорему о сэндвиче.
Решение
Patrickjmt — 463 Видео решенийВидео по патрике
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении .
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}}}\)Решение
Обратите внимание, что она опускает обозначение предела в своей работе, что может стоить вам баллов за домашнюю работу или экзамен.
Криста Кинг Математика — 454 видео решениевидео Криста Кинг Математика
Войдите, чтобы оценить это практическое задание и увидеть его текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}\sin(x/3)}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении . \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}\sin(x/3)}}\)
Решение
Обратите внимание, что в своей работе она отказывается от обозначений ограничений, что может стоить вам баллов за домашнюю работу или экзамен.
Криста Кинг Математика — 455 видео решениевидео Криста Кинг Математика
Войдите, чтобы оценить текущий рейтинг этой задачи и оценить ее.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точных терминах. \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}}}\)
Решение
Она делает это трудным путем, используя сопряженное умножение. Легче просто умножить числитель и знаменатель на \(x\) и использовать основные тождества триггерного предела.
Krista King Math — 456 видео решениевидео от Krista King Math
Войдите, чтобы оценить текущий рейтинг этой задачи и оценить ее.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{[x \cdot \sec(x)\csc(x)]}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении. \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{[x \cdot \sec(x)\csc(x)]}}\)
Решение
Криста Кинг Математика — 457 видео решениевидео Кристы Кинг Математика
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\tan(x)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел, дав ответ в точном выражении.
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\tan(x)}}}\)Решение
PatrickJMT — 458 решение для видеовидео от PatrickJMT
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi}{\sin(x+\sin(x))}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении. \(\displaystyle{\lim_{x\to\pi}{\sin(x+\sin(x))}}\)
Решение
PatrickJMT — 459 видео решениевидео от PatrickJMT
900. \(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\cos(\theta)-1}{\sin(\theta)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении.
\(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\cos(\theta)-1}{\sin(\theta)}}}\)Решение
PatrickJMT — 460 решение видеовидео от PatrickJMT
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\sin(\cos\theta)}{\sec(\theta)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел, дать свой ответ в точных терминах. \(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\sin(\cos\theta)}{\sec(\theta)}}}\)
Решение
PatrickJMT — 461 видеорешениевидео от PatrickJMT
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
Промежуточный
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cos(2x)-1}{\cos x-1}}}\)
Постановка задачи
Оценить это предел, давая свой ответ в точных терминах. \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cos(2x)-1}{\cos x-1}}}\)
Окончательный ответ
\(\ displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cos(2x)-1}{\cos x-1}}=4}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении . \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cos(2x)-1}{\cosx-1}}}\) 92 x — 1) }{\cos x — 1}} }\)
Разлагая числитель на множители, получаем
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}{\ frac {2 (\ cos x — 1) (\ cos x + 1) {\ cos x — 1}} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}{\ frac{2(\cos x + 1) }{1}} }\)
Теперь прямая замена дает нам
\(\displaystyle{ \frac{2(1+1)} {1} = 4 }\)
Окончательный ответ
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cos(2x)-1}{\cos x-1}}=4}\)
Журнал чтобы оценить эту учебную задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim _{\theta\to1/2}{[\theta \cdot \sec(\pi\theta)]}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении. \(\displaystyle{\lim _{\theta\to1/2}{[\theta \cdot \sec(\pi\theta)]}}\)
Окончательный ответ
\(\displaystyle {\lim_{\theta\to1/2}{[\theta\sec(\pi\theta)]}}\) не существует
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении. \(\displaystyle{\lim _{\theta\to1/2}{[\theta \cdot \sec(\pi\theta)]}}\)
Решение
В этом видео она приравнивает предел, уходящий в бесконечность (или отрицательную бесконечность), как несуществующий предел.
Криста Кинг Математика — 21 видео решение Из обсуждения на странице основных ограничений вы знаете, что это спорно и отличается от того, как мы определяем DNE (не существует) на этом сайте. (Проконсультируйтесь со своим инструктором, чтобы узнать, что они имеют в виду под несуществующим пределом.) Тем не менее, мы согласны с окончательным ответом на эту проблему, поскольку предел слева равен \(+\infty\), а предел слева справа есть \(-\infty\) и, поскольку предел справа не равен пределу слева, предел не существует.видео Криста Кинг Математика
Окончательный ответ
\[\displaystyle\tota/tota{\theta sec(\pi\theta)]}}\) не существует
Войдите, чтобы оценить эту учебную задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\tan(6t)}{\sin(2t)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте точный ответ условия.
\(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\tan(6t)}{\sin(2t)}}}\)Решение
PatrickJMT — 29 видео решениевидео Патрика ДжМТ
92}}}\) Решение
Чтобы сэкономить место, она отказалась от ограничения в своей работе. Убедитесь, что вы не делаете этого на домашнем задании или экзамене.
Криста Кинг Математика — 452 видео решениевидео Криста Кинг Математика
Войдите, чтобы оценить текущий рейтинг этой задачи и оценить ее.
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\cos(2x)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел, дав ответ в точном выражении.
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\cos(2x)}}}\)Решение
PatrickJMT — 462 решение для видеовидео от PatrickJMT 92+x -2}}} \)
Решение
Patrickjmt — 464 Видео РешениеVideo от Patrickjmt
\(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\tan(5t)}{\sin(2t)}}}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел и дайте ответ в точном выражении . \(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\tan(5t)}{\sin(2t)}}}\)
Решение
PatrickJMT — 465 видео решениевидео от PatrickJMT
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cot(2x)}{\csc(x)}}}\)
Постановка задачи
Вычислить предел \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cot(2x)}{\csc(x)}}}\) давая ответ в точном выражении.
Окончательный ответ
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cot(2x)}{\csc(x)}}}\) \( = 1/ 2 \)
Постановка задачи
Оцените предел \(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cot(2x)}{\csc(x)}}}\), дав точный ответ условия.
Решение
В этой задаче есть котангенс и косеканс. Мне легче работать с синусом и косинусом. Итак, во-первых, давайте преобразуем функцию в синусы и косинусы, используя тригонометрические тождества, чтобы посмотреть, сможем ли мы упростить функцию.
Вот некоторые триггерные тождества, которые мы будем использовать.
\(\displaystyle{ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}\)
\(\displaystyle{ \csc \theta = \ frac{1}{\sin \theta} }\)
\( \sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta \)
тождество для \(\cos(2\theta)\), но есть несколько на выбор, и на данный момент мы не уверены, какой из них использовать. Итак, давайте использовать их и решить после этого.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cot(2x)}{\csc(x)}}}\)
Используя первые два тождества у нас есть
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\left[\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \cdot \frac{1}{1/ \sin x} \right] } }\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\left[ \frac{(\sin x)(\cos(2x))}{ 2\sin x \cos x} \right] } }\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\left[\frac{\cos(2x)}{2 \cos х} \справа] } }\) 92 x}{2 \cos x} — \frac{1}{2 \cos x} \right] } }\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\left[ \cos x — \frac{1}{2 \cos x} \right] } }\)
Теперь попробуйте подставить \(x=0\), чтобы убедиться, что предел определен.
\( \cos 0 — 1/(2\cos 0) = 1 — 1/2 = 1/2 \)
Последние несколько упрощений не были необходимы для завершения задачи . Фактически, как только члены синусоиды были отменены, результирующий предел был определенным.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\left[\frac{\cos(2x)}{2 \cos x} \right]} = \frac{\cos(0)}{2\cos (0)} = \frac{1}{2} }\).
На экзамене вы можете попробовать замену, чтобы проверить определенную форму, прежде чем делать слишком много работы. Это сэкономит вам время.Окончательный ответ
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\cot(2x)}{\csc(x)}}}\) \( = 1/2 \)
Войдите в систему, чтобы оценить эту учебную задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
Пределы тригонометрических функций с решаемыми примерами
Пределы тригонометрических функций: Пределы показывают, как ведет себя функция, когда она находится вблизи точки, а не в ней.
Исчисление построено на основе этого основного, но сильного принципа. Тригонометрические функции в математике связывают угол с отношением длин двух сторон в прямоугольном треугольнике.Шесть основных тригонометрических функций следующие: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Пределы тригонометрических функций описывают, как они ведут себя в разных точках. Каждая тригонометрическая функция, стремящаяся к точке, имеет предел, который можно оценить на основе непрерывности функции в ее области определения и области значений. Предел каждой тригонометрической функции в одном и том же положении различен, и его можно увидеть на графике каждой функции.
ИЗУЧЕНИЕ ЭКЗАМЕНА НА EMBIBE
Использование тригонометрических функцийТригонометрические функции широко используются во всех геодезических исследованиях, включая навигацию, механику твердого тела, небесную механику, геодезию и многие другие. Это одна из простейших периодических функций, поэтому они часто используются в анализе Фурье для изучения периодических явлений.
Мы знаем, что отношение сторон прямоугольного треугольника является основой для тригонометрических функций и тождеств. Перпендикулярная сторона, гипотенуза и основание прямоугольного треугольника используются в тригонометрических формулах для определения значений синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса.
Каковы пределы функции?Предел функции — это значение, к которому функция приближается, когда вход приближается к определенному значению. Ограничения определяют непрерывность.
Предположим, что \(f\) – функция с действительным знаком, а \(c\) – действительное число. Тогда выражение
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = L\)означает, что \(f(x)\) можно сделать настолько близким к \(L\), насколько это необходимо, сделав \(x\) достаточно близким к \(c\). Это читается как «предел 1(f\)из 1(x\), когда 1(x\) приближается к 1(c\), равен 1(L\)»9.0003
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ В EMBIBE
Каковы пределы тригонометрических функций?Предел каждой тригонометрической функции, стремящейся к точке, можно оценить по непрерывности функции, учитывая ее область определения и область значений.
Мы можем найти эти пределы, оценивая функцию, когда \(x\) приближается к \(0\) слева и справа, т. е. оценивая два односторонних предела.
Обратите внимание, что базовые \(6\) тригонометрические функции являются периодическими и не стремятся к конечному пределу при \(x \to \pm \infty \).
Пример. В то время как \(\sin x\) колеблется между \(1\) и \(-1\), \(\tan x\) имеет бесконечное число вертикальных асимптот, поскольку \(x \to \pm \infty \) Следовательно, он не стремится к конечному пределу и не приближается к \( \pm \infty \) как \(x \to \pm \infty \)
Пределы функции синусаНиже приведены некоторые пределы функции синуса
.Функция \(f(x) = \sin \left( x \right)\) является непрерывной функцией во всей своей области определения, и область определения состоит из всех действительных чисел. Диапазон функции синуса равен \(\left[ { – 1,1} \right]\).
Следовательно, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c}\,\sin (x) = \sin (c)\)
Таким образом, если предел функции синуса находится при любом действительном значении, он всегда определен и лежит между \(\left[ { – 1,1} \right]\).
Пределы функции косинусаФункция \(f(x) = \cos \left( x \right)\) является непрерывной функцией во всей своей области определения, и область определения состоит из всех действительных чисел.
Диапазон функции косинуса равен \(\left[ { – 1,1} \right]\).
Таким образом, если предел функции \(\cos\) находится при любом действительном значении, он всегда определен и лежит между \(\left[ { – 1,1} \right]\).
Примечание:Предел касательной функции
Функция \(f(x) = \tan \left( x \right)\) определена для всех действительных чисел, кроме значений, где \(\cos \left( x \right)\) равно \( 0\), то есть значения \(\frac{\pi }{2} + \pi n\) для всех целых чисел \(n\).
Следовательно, его областью определения являются все действительные числа, кроме \(\frac{\pi }{2} + \pi n,\,n \in Z\).
Диапазон функции касательной равен \(( – \infty , + \infty )\)
Предел функции тангенса можно вычислить в ее области определения. Он всегда определен и лежит между \(( – \infty , + \infty )\)
\(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \tan (x) = \tan (c)\), где \(c\) — действительное число, за исключением \(\frac{\pi }{2} + \pi n,\,n \in Z\)
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ В EMBIBE
Предел функции косеканса
Функция \(f(x) = {\mathop{\rm cosec}\nolimits} (x)\) определена для всех действительных чисел, кроме значений, где \(\sin \left( x \right)\) равно \(0\), то есть значениям \(\pi n\) для всех целых чисел \(n\). Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме \(\pi n,\,n \in Z\)
Диапазон функции косеканса равен \(( – \infty , – 1] \cup [1, + \infty )\)
Предел функции косеканса можно вычислить в его области определения.
Он всегда определен и находится в пределах своего диапазона.
\(\ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to c} {\ mathop {\ rm cosec} \ nolimits} (x) = {\ mathop {\ rm cosec} \ nolimits} (c) \), где \(c\) – действительное число, кроме \(\pi n,\,n \in Z\).
Предел секущей функции
Функция \(f(x) = \sec \left( x \right)\) определена для всех действительных чисел, кроме значений, где \(\cos (x)\) равно \(0\), то есть значения \(\frac{\pi }{2} + \pi n\) для всех целых чисел \(n\). Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме \(\frac{\pi }{2} + \pi n,\,n \in Z\).
Диапазон функции: \(( – \infty , – 1] \cup [1, + \infty )\).
Предел функции секущей можно вычислить в ее области определения. Он всегда определен и находится в пределах своего диапазона.
\(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sec (x) = \sec (c)\), где \(c\) – действительное число, за исключением \(\frac{\pi }{2} + \pi n,\,n \in Z\) .
Предел функции котангенса
Функция \(f(x) = \cot \left( x \right)\) определена для всех действительных чисел, кроме значений, где \(\tan \left( x \right)\) равно \( 0\), то есть значения \(\pi n\) для всех целых чисел \(n\). Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме \(\pi n,\,n \in Z\)
Диапазон функции: \(( – \infty , + \infty )\)
Предел функции котангенса можно вычислить в ее области определения. Он всегда определен и находится в пределах своего диапазона.
\(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \кроватка (х) = \кроватка (с)\), где \(c\) – действительное число, кроме \(\pi n,\,n \in Z\) .
Теорема о бутерброде или теорема о сжатии
Теорема о сэндвиче используется для вычисления предела тех функций, предел которых нельзя легко вычислить, например \(g(x) = \frac{{\sin x}}{x}\) при \(x=0\) .
В этом случае функция \(g(x)\) зажата или зажата между двумя функциями \(h(x)\) и \(f(x)\) так, что
\(f(x)\) ) \le g(x) \le h(x)\)График для такого состояния можно представить, как показано ниже.
Мы можем сказать, что \(h(x)\) – это верхний предел \(g(x)\) и \(f(x)\) – его нижний предел в точке \(a\), как показано на рис. график.
Если \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x) = L\) и \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\ )
где
\(a\) — точка, в которой рассчитывается предел
\(L\) — значение пределаЗатем
\(\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} g(x) = L\)
Два тригонометрических предела найдены, так что
\(\ mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\)
\(\ mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 — \cos x}}{x} = 0\)
Решенные примеры – Пределы тригонометрических функцийНиже приведены несколько решенных примеров, которые могут помочь в получении лучшего представления.
Q.1. Вычислите предел, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\sin x — 3}}\)
Решение: Мы можно найти предел прямой подстановкой.
Подставляя \(0\) на \(x\), мы получаем, что \({\cos x}\) приближается к \(1\) и \({\sin x – 3}\) приближается к \(-3\) ). Следовательно,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\sin x — 3}} = \frac{1}{3}\)Q.2. Вычислить предел \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{x}\)
Решение: Используя теорему о сэндвиче, мы знаем, что
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\)
To оценить данный предел, мы должны изменить данную функцию, соответствующую этому пределу.
Итак, умножьте числитель и знаменатель на \(5\). Получаем
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ \sin 5x}}{x} \times \frac{5}{5}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 5\mathop {\lim }\limits_{x \ до 0} \frac{{\sin 5x}}{{5x}}\)
\(= 5 \х1\)
\(=5\)Q.3. Вычислить предел \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\cos x + \pi}}\)
Решение: Мы можно найти предел прямой подстановкой.
Подставляя \(0\) вместо \(x\), мы получаем, что \({\cos x}\) приближается к \(1\) и \({\cos x + \pi }\) приближается к \(\pi \).
\(\поэтому \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\cos x + \pi}} = \frac{1}{\pi}\)Q.4. Вычислите предел \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{3x}}\).
Решение: Используя теорему о сэндвиче, мы знаем, что
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\)
Итак , чтобы оценить данный предел, мы должны изменить данную функцию, соответствующую этому пределу.
Итак, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{3x}}\) можно изменить как
\(\mathop {\lim }\limits_ {x \ to 0} \ frac {{\ sin 2x}} {{3x}} \ times \ frac {2} {2} = \ mathop {\ lim } \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{\ sin 2x}}{{2x}} \times \frac{2}{3}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{ {2x}}\)
\( = \frac{2}{3} \times 1\)
\( = \frac{2}{3}\)Q.
Сводка 5. Вычислить \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sec x – 1}}{x}\)
Решение: Мы знаем, что \(\ sec x = \frac{1}{{\cos x}}\)
Итак, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sec x — 1}}{x} = \ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to 0} \ frac {{\ frac {1} {{\ cos x}} — 1}} {x} \)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 — \cos x}}{{x\cos x}}\)
\( = \mathop {\lim }\ limit_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right)\left({\frac{{1 — \cos x}}{x}} \right)\ )
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right)\lim \left( {\frac{{1 – \cos x}}{x}} \right)\)
\(= 1 \times 0\)
\(=0\)Мы можем найти предел любой тригонометрической функции, используя прямую замену. Эти пределы можно найти, оценивая функцию при приближении \(x\) к \(0\) с обеих сторон, т.е. оценивая два односторонних предела. Графики функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) приближаются к разным значениям между \(-1\) и \(1\).
Часто задаваемые вопросы (FAQ) Значение функции колеблется между значениями \(-1\) и \(1\), поэтому невозможно найти предел \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) как \(x\) стремится к \( \pm \infty \). Теорема о сэндвиче полезна для установления основных тригонометрических пределов в таких случаях. Эта теорема вычисляет пределы, сжимая или помещая функцию с пределом в неизвестной точке \(a\) между двумя функциями, имеющими общий предел в \(a\).У учащихся может возникнуть много вопросов о пределах тригонометрических функций. Вот несколько часто задаваемых вопросов и ответов.
Q.1. Каков предел функции синуса?
Ответ: Функция \(f(x) = \sin \,(x)\) является непрерывной функцией во всей своей области определения, и область определения состоит из всех действительных чисел. Диапазон функции синуса равен \(\left[ { – 1,1} \right]\).
Следовательно, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sin (x) = \sin (c)\)
Таким образом, если предел синусоидальной функции найден при любом заданном действительном значении, он всегда определен и лежит между \(\left[ { – 1,1} \right]\)Q.
2. Каковы пределы cos?
Ответ: Функция \(f(x)=\cos (x)\) является непрерывной функцией во всей своей области определения, и область определения состоит из всех действительных чисел.
Диапазон функции косинуса равен \(\left[ { – 1,1} \right]\).
Таким образом, если предел функции cos находится при любом действительном значении, он всегда определен и лежит между \([-1,\,1]\).
Графики функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) приближаются к разным значениям между \(-1\) и \(1\). Функция колеблется между значениями, поэтому невозможно найти предел \(y = \sin x\), а \(y = \cos x\) при стремлении \(x\) к \( \pm \infty \).
Следовательно, в таких случаях мы используем теорему о сэндвичеQ.3. Все ли функции имеют пределы?
Ответ: Пределы (пределы функции) — это фундаментальное понятие в исчислении, которое имеет дело со значением функции в определенной точке, называемой пределом. Определенный интеграл функции вычисляется с использованием пределов. Ограничения присутствуют не во всех функциях. Поскольку переменная приближается к бесконечности, некоторые функции не имеют предела.Q4. Может ли cos быть бесконечностью?
Ответ: Функции sin и cos имеют значения от \(-1\) до \(1\). Им не присвоены точные значения. Значения \(\sin x\) и \(\cos x\) всегда находятся между \(-1\) и \(1\). Кроме того, поскольку \(\infty \) не определено, \(\sin (\infty)\) и \(\cos (\infty )\) не могут иметь точных значений.Q.5. Есть ли у функций загара ограничения?
Ответ: Функция \(f(x)=\tan (x)\) определена для всех действительных чисел, кроме значений, где \(\cos (x)\) равно \( 0\), то есть значения \(\frac{\pi }{2} + \pi n\) для всех целых чисел \(n\). Следовательно, его областью определения являются все действительные числа, кроме \(\frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z\).
Окончательный ответ |
|---|
\(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\sin(5t)}{3t}}=5/3}\)
Постановка задачи
Оцените этот предел, дав ответ в точном выражении.
\(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\sin(5t)}{3t}}}\)
Решение
Для этой задачи вам нужно знать этот предел:
\(\displaystyle { \lim_{h \to 0}{\frac{\sin(h)}{h}} = 1}\)
Теперь ключ в том, что члены ‘h’ должны быть точно такими же, как показано на рис. этот предел.
Однако наша задача имеет \(5t\) в синусе и \(3t\) в знаменателе. Мы ничего не можем сделать с \(5t\) в числителе \(\sin(5t)\), но мы можем получить \(5t\) в знаменателе, например:
\(\displaystyle { \left(\frac{1}{3}\right)\frac{\sin(5t)}{t}}\) |
\(\displaystyle{\left(\frac{1}{) 3}\right)\frac{\sin(5t)}{t}\left(\frac{5}{5}\right)}\) |
\(\displaystyle{\left(\frac {5}{3}\справа)\фракция{\sin(5t)}{5t}}\) |
Теперь мы можем использовать указанный выше предел, где \(h=5t\). |
\(\displaystyle{\lim_{t \to 0}{\frac{\sin(5t)}{3t}}}\) |
\(\displaystyle{\lim_{ t \to 0}{\frac{5}{3}\frac{\sin(5t)}{5t}}}\) |
\(\displaystyle{\frac{5}{3}\ lim_{t \to 0}{\frac{\sin(5t)}{5t}} = \frac{5}{3}(1) }\) |
Окончательный ответ
\(\displaystyle{ \lim_{t\to0}{\frac{\sin(5t)}{3t}}=5/3}\)
Войдите, чтобы оценить это практическое задание и увидеть его текущий рейтинг. |
|---|
\(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\sin(5\theta)}{2\theta}}}\)
Постановка задачи |
|---|
Оцените предел \(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\sin(5\theta)}{2\theta}}}\), дав ответ в точном выражении.
Окончательный ответ |
|---|
{ = \frac{5}{2}}\)
Постановка задачи
Вычислить предел \(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\sin(5\theta)}{2\ theta}}}\), давая ответ в точном выражении.
Решение
Этот предел очень похож на \(\displaystyle{ \lim_{\theta\to0}{\frac{\sin(\theta)}{\theta} } }\). Однако вместо простого \(\theta\) в синусоидальном члене мы имеем \(5\theta\).
Это нормально до тех пор, пока у нас один и тот же \(5\theta\) в знаменателе, но это не так. У нас есть \(2\тета\). Итак, во-первых, давайте вынесем \(1/2\).
Использование Постоянное множественное правило, мы можем вынести \(2\) из знаменателя. |
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \lim_{\theta\to0}{\frac{\sin(5\theta)}{\theta}}}\) |
Чтобы использовать предел синуса, нам нужно, чтобы член синуса был таким же, как знаменатель. Мы ничего не можем сделать с \(5\theta\) в синусе, но мы можем умножить знаменатель на \(5\), чтобы получить \(5\theta\) в знаменателе. Однако, чтобы сбалансировать это уравнение и не изменить проблему, нам также нужно умножить числитель на \(5\). |
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \lim _{\theta\to0}{\frac{5\sin(5\theta)}{5\theta}}}\) |
Снова используя правило постоянного кратного числа, мы имеем |
\(\displaystyle{ \frac{5}{2} \lim_{\theta\to0}{\frac{\sin(5\ theta)}{5\theta}}}\) |
Теперь мы можем применить предел синуса, чтобы получить окончательный ответ. |
\(\displaystyle{ \frac{5}{2}(1) = \frac{5}{2} }\) |
Окончательный ответ
\(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\sin(5\theta)}{2\theta}}}\) \(\displaystyle{ = \ frac{5}{2} }\)
Войдите, чтобы оценить это практическое задание и увидеть его текущий рейтинг. |
|---|
2 = 1\) 92 / эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\tan(x)}}}\)
\(\displaystyle{\lim _{\theta\to0}{\frac{\cos(\theta)-1}{\sin(\theta)}}}\)
Из обсуждения на странице основных ограничений вы знаете, что это спорно и отличается от того, как мы определяем DNE (не существует) на этом сайте. (Проконсультируйтесь со своим инструктором, чтобы узнать, что они имеют в виду под несуществующим пределом.) Тем не менее, мы согласны с окончательным ответом на эту проблему, поскольку предел слева равен \(+\infty\), а предел слева справа есть \(-\infty\) и, поскольку предел справа не равен пределу слева, предел не существует.
\(\displaystyle{\lim_{t\to0}{\frac{\tan(6t)}{\sin(2t)}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\cos(2x)}}}\)
Исчисление построено на основе этого основного, но сильного принципа. Тригонометрические функции в математике связывают угол с отношением длин двух сторон в прямоугольном треугольнике.
Он всегда определен и находится в пределах своего диапазона. 
5. Вычислить \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sec x – 1}}{x}\) 
Значение функции колеблется между значениями \(-1\) и \(1\), поэтому невозможно найти предел \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) как \(x\) стремится к \( \pm \infty \). Теорема о сэндвиче полезна для установления основных тригонометрических пределов в таких случаях. Эта теорема вычисляет пределы, сжимая или помещая функцию с пределом в неизвестной точке \(a\) между двумя функциями, имеющими общий предел в \(a\).
2. Каковы пределы cos? 
Определенный интеграл функции вычисляется с использованием пределов. Ограничения присутствуют не во всех функциях. Поскольку переменная приближается к бесконечности, некоторые функции не имеют предела.