алгоритм ее вычисления, решение систем методом обратной матрицы
Рассмотрим единичную матрицу Е=. Ее определитель |E|=1.
Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Пусть дана квадратная матрица А.
Матрица А—1 называется обратной к данной матрице, если верно условие:
А-1·А=А·А-1=Е.
Следует особо отметить, что обратная матрица существует только для невырожденной матрицы и единственна.
|А-1|·|А|=|Е|=1.
Пусть
нам дана исходная матрица А=.
Процесс нахождения обратной матрицы можно условно разделить на 4 этапа:
Нахождение определителя данной матрицы, он не должен быть равен нулю (в противном случае имеем вырожденную матрицу, для которой не существует обратной матрицы). Обозначим его через d=|A|.
Составление матрицы Ă, главная особенность которой это то, что вместо элементов матрицы стоят их алгебраические дополнения (для строки i и столбца j это будет алгебраическое дополнение Aij).
Ă=.
Транспонирование матрицы Ă, в результате чего получаем матрицу Ā, которая называется присоединенной к матрице А.
Ā =.
В этих обозначениях справедлива следующая теорема:
А-1=· , или А-1=.
Т.е. А-1=.
Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными подобно (3.1).
Образуем матрицы следующего вида: X=,B=,A=.
Рассмотрим произведение матриц A и X.
A·X=т.е. имеем столбец левых частей уравнений, поэтому систему уравнений можно записать в виде:
A·X= B.
Такой вид системы уравнений называется матричной формой записи системы уравнений.
= А-1 ·B
— решение системы
методом обратной матрицы.
.
План семинарского занятия
Основные определения и понятия: матрица, главная диагональ, виды матриц.
Определение операций над матрицами и применение с соответствующих теоретических знаний при решении примеров.
Термин «определитель матрицы», его нахождение в заданиях.
Определение системы линейных уравнений и различных ее видов в зависимости от количества решений. Перечисление элементарных преобразований системы.
Определения «ранг матрицы» и «минор порядка k». Использование критерия совместности системы.
Использование правила Крамера для решения систем линейных уравнений.
Принцип сведения системы линейных уравнений к записи в матричной форме.
Повторение и использование при решении систем линейных уравнений алгоритма нахождения обратной матрицы.
Задачи для самостоятельной работы
Даны две матрицы:
, .
Вычислить: а) 2А; б) 3А-5В.
Решить уравнение 5А+3X
Найти произведение матриц:
а) ; б);
в) ;
Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены, причем если АВ=ВА, то матрицы А и В – квадратные и имеют одинаковый порядок.
Доказать, что диагональные матрицы перестановочны.
Вычислить определитель:
а) ; б); в); г);
С использованием метода Крамера решить систему уравнений, заданную в виде расширенной матрицы или доказать, что она несовместна:
а) б)
в)
Найти обратную матрицу , если:
а)
б)в).
Существует ли обратная матрица для А. Если «да» – найти её.
а) ; б); в).
Найти матрицу Х, являющуюся решением матричного уравнения:
а) ; б) ; в).
С этим файлом связано 4 файл(ов). Среди них: Задания.pdf, Русский язык Задания.pdf, Безопасность жизнедеятельности с 3 по 50.pdf, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ.pdf. Показать все связанные файлы Подборка по базе: КП_Яркое решение 2022.pptx, 1 Решение_ Определить падение напряжения на полностью включенном, 11. Решение задач.docx, самостоятельная работа, 7 класс _Решение задач с помощью уравнен, Основные информационные процессы и их реализация с помощью компь, Измерение амплитудно-частотных характеристик с помощью генератор, №4 Измерение длины световой волны с помощью прозрачной дифракцио, Лабораторная работа по биологии на тему _ Ознакомление с растите, Д-19 8 задача решение 21 вариант.  pdf, Семинар 4_Системы линейных уравнений.pdfАвтономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий» РЕФЕРАТ Омск 2021г Предприятие производит три вида продукции в количестве единиц каждого вида. Часть этой продукции расходуется внутри производства, а оставшаяся часть (товарная продукция) реализуется за пределами производства, поэтому можно, исходя из условия, что продукция каждого вида должна обеспечивать внутрипроизводственное потребление и запланированный объем продаж, составить систему уравнений: или Здесь – количество продукции вида , расходуемое на производство продукции вида , например, – количество продукции второго вида, расходуемое на производство продукции третьего вида. Введем в рассмотрение три матрицы: матрицу А, составленную из технологических коэффициентов (технологическую матрицу или матрицу Леонтьева), матрицу X, характеризующую выпуск продукции (производственный вектор) и матрицу Y (вектор товарной продукции или конечного спроса). Используя введенные обозначения и помня правила действий с матрицами, систему можно записать в матричном виде: . Составленное матричное уравнение и называется балансовым уравнением, его решение можно найти с помощью обратной матрицы: . Применить его можно следующим способом. По результатам деятельности предприятия за истекший период составляют балансовое уравнение и находят матрицу , которая называется матрицей полных производственных затрат. Элемент этой матрицы равен величине продукции -того вида, необходимой для производства единицы товарной продукции -того вида. Затем, зная величину конечного спроса на продукцию на новый производственный период, определим новый производственный вектор по формуле . Матрицу можно найти по формуле обратной матрицы через алгебраические дополнения, а можно по приближенной формуле: Рассмотрим пример решения задачи с использованием модели Леонтьева. Результаты деятельности некоторого предприятия, состоящего из трех цехов, каждый из которых производит свой вид продукции, представлены следующей таблицей.
Вычислим технологические коэффициенты и составим технологическую матрицу А.  . Составим балансовое уравнение и сделаем его проверку. . Выполним действия в левой части уравнения: . Т.к. левая часть уравнения равна правой, значит, уравнение составлено верно. . Вычислим матрицу полных производственных затрат а) по формуле обратной матрицы: . б) по приближенной формуле : Определим новый производственный план, задав Под прямоугольными понимают такие системы линейных уравнений, в которых число уравнений не равно числу неизвестных. Число уравнений может превышать число неизвестных, а может быть меньше его. Если в системе число уравнений превышает число неизвестных то возможны два случая. Первый: часть уравнений является следствием других уравнений, их можно отбросить, система станет или квадратной или число уравнений в ней будет меньше числа неизвестных. Второй: часть уравнений противоречит другим уравнениям, такая система несовместна, не имеет решения. К составлению подобных систем приводит математическое моделирование многих экономических задач. Решение прямоугольных систем имеет свои особенности. В квадратных системах, т.е. системах, в которых число уравнений равно числу неизвестных, решением является единственный набор числовых значений неизвестных, обращающих все уравнения системы в тождества. В прямоугольных системах решение получается в виде соотношений между одними неизвестными, называемыми базисными, и другими, называемыми свободными. Поскольку свободные переменные могут принимать любые значения, а базисные переменные меняются в зависимости от них, то, по сути, прямоугольные системы имеют бесконечное множество числовых решений. Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса. Выберем в качестве базисных неизвестные . Эту систему можно решать как квадратную, например, методом Гаусса. Чтобы исключить из второго и третьего уравнений системы, прибавим ко второму первое, умноженное на 2, а к третьему — первое, умноженное на 4. Чтобы исключить из третьего уравнения, прибавим к нему второе, умноженное на (-9). Разделим обе части третьего уравнения на (-17) и найдем . Из второго уравнения найдем . Из первого уравнения . Итак, решение системы при первом способе выбора базиса: Для проверки найденное решение подставим во все уравнения исходной системы. Раскрывая скобки и приводя подобные, убеждаемся, что все уравнения системы обращаются в тождества. Выберем теперь в качестве базисных переменные . Перенесем в левую, a — в правую часть полученного решения. Запишем полученную систему в матричном виде: Ее решение , т. Поэтому Сделав проверку, выпишем вид решения при втором способе выбора базиса: Чтобы найти вид решения при базисных переменных перепишем найденное решение так: или . Решая аналогично предыдущему шагу, находим Наконец, выбираем в качестве базисных неизвестные . Преобразуем предыдущее решение: . Решая выписанное матричное уравнение, найдем |
Если разделить это количество на , то можно найти, сколько продукции второго вида расходуется при производстве единицы продукции третьего вида. Аналогично, отношение – показывает, какое количество продукции вида расходуется при производстве единицы продукции вида . Поскольку такой расход зависит от используемой в производстве технологии, то указанное отношение называется технологическим коэффициентом. Обозначим его и учитывая, что , перепишем вторую систему в виде:
Решение квадратных систем линейных уравнений подробно рассматривалось, поэтому рассмотрим решение систем, в которых число уравнений меньше числа неизвестных.
Оставим их в левой части уравнений, а неизвестную перенесем в правую часть.
к. матрица А отличается от единичной одним столбцом, то обратная для нее находится легко по правилу, сформулированному в параграфе 2.2 раздела I: Решение систем трех линейных уравнений матричным методом доклад, проект
Решение систем трех линейных уравнений матричным методом.
Преподаватель ДППК Трохимюк О.В.
Цели занятия:
сформировать:
— понятие о матрицах, их видах, действиях над ними;
— о матричным методом методе решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными;
воспитывать стремление к познанию, внимательное отношение к делу, аккуратность, самостоятельность, творческое отношение к учебной деятельности;
Математика является универсальным языком, который широко применяется во всех сферах человеческой деятельности.
Во многих экономических и профессиональных дисциплинах необходимы знания о матрицах, операциях над ними, умения решать прикладные задачи с помощью матриц.
Актуальность этой темы усиливается в связи
с широким использованием матриц в экономических дисциплинах: финансы, экономика предприятий, статистика, логистика, экономико – математическое моделирование и др.
Историческая справка
Матрица, её история и применение
Матрица — математический объект, записываемый в виде
прямоугольной таблицы элементов, которая представляет
собой совокупность строк и столбцов, на пересечении
которых находятся её элементы. Количество строк и
столбцов матрицы задают размер матрицы.
Термин «матрица» имеет много значений. Матрица — (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа. В программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Матрица в фотографии – это интегральная микросхема, которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов).
План
1. Определение обратной матрицы.
2. Нахождение обратной матрицы.
3. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы.
Ключевые понятия и термины:
матрица;
определитель матрицы;
квадратная матрица;
прямоугольная матрица;
виды матриц;
обратная матрица;
алгоритм нахождения обратной матрицы;
алгебраические дополнения.
Литература
1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для общеобразоват. организаций: базов. и углубл. уровни / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – М.: Просвещение, 2016. – 463 с.
2. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. – К.: Знания, Макаренко В.А., 2008 – 517 с.
3. Математика: Учебник / О.М. Афанасьева, Я.С. Бродский и др. – К.: Высшая школа, 2001.
5. Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 1983.
Вопросы к теме
Что такое матрицы и зачем они нужны? Какие виды матриц существуют?
Как найти определитель матрицы?
Какие операции можно выполнять над матрицами?
Какая матрица называется обратной?
Как найти обратную матрицу?
Как решить систему трех линейных уравнений с тремя переменными методом обратной матрицы?
Актуализация опорных знаний студентов
Вопросы для фронтального опроса студентов
1.
Как вычисляется определитель второго порядка?
Вычислить
Актуализация опорных знаний студентов
Вопросы для фронтального опроса студентов
1. Как вычисляется определитель второго порядка?
2. Вычислить определитель второго порядка:
3.Вычислить определитель третьего порядка разложением определителя по элементам 1 строки:
Актуализация опорных знаний студентов
Вопросы для фронтального опроса студентов
1. Как вычисляется определитель второго порядка?
2. Вычислить определитель второго порядка:
3.Вычислить определитель третьего порядка разложением определителя по элементам 1 строки:
4. Проведем короткий анализ домашней работы.
5.
Проверить определитель второго порядка из домашнего задания
6. Проверить определитель третьего порядка из домашнего задания
Изложение теоретического материала
и его закрепление
Изложение теоретического материала
и его закрепление
1. Матрица – это упорядоченная таблица чисел которая имеет m строк и n столбцов.
Числа это элементы матрицы. Следует помнить, что определитель – это величина, которую изображают в виде квадратной таблицы; матрица – это всегда таблица чисел, никак по-другому не определяема.
Если , то матрица прямоугольная, если , то –
квадратная.
прямоугольная матрица размером
квадратная матрица ІІ порядка.
диагональная матрица ІІІ порядка.
нулевая матрица размером
единичная матрица.
матрица — столбец.
матрица – строка.
Равенство матриц
Две матрицы с одинаковыми размерами равны, если
их соответствующие элементы равны:
и , то A=B,
Так если
Транспонирование матрицы
Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами,
то получится транспонированная матрица данной.
Где ещё применяются матрицы?
Теперь подробнее остановимся на некоторых областях применения матриц.
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов.
Так как значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.
Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:
В данной записи, например, матричный элемент показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.
С помощью матриц можно решать системы уравнений, в них удобно представлять какие-либо данные.
Таким образом, мы пришли к выводу, что матрицы широко применялись и применяются до сих пор.
Произведением двух матриц АВ является матрица С, элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i — той строки матрицы А и j — того столбца матрицы В. (Чтобы получить i-тую строку произведения, необходимо умножить i-тую строку матрицы А на каждый столбец матрицы В)
Чтобы умножать матрицы, необходимо, чтобы количество столбцов матрицы А было равно количеству строк матрицы В.
Размер А: m×n; размер В: n×p, то размер АВ: m×p.
Свойства произведений матриц
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
2. Обратная матрица.
Матрицей называют обратной к квадратной матрице А, если произведение этих матриц равняется единичной матрицей, то есть
Обратная матрица существует для всякой невырожденной квадратной матрицы А, то есть когда определитель матрицы
Обратная матрица невырожденной квадратной матрицы А находится по формуле:
— определитель матрицы А, — алгебраические дополнения элементов определителя
.
— определитель матрицы А, — алгебраические дополнения элементов определителя
Запишем алгоритм нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А:
1) вычислить определитель матрицы А.
Если , то матрица А имеет обратную, в противном случае обратной матрицы не существует;
2) вычислить алгебраические дополнения элементов матрицы А;
3) Записать обратную матрицу
4) проверить правильность вычислений:
Алгебраические дополнения в обратной матрице записываются не по строкам, а по столбцам.
Матрицы можно подвергать элементарным преобразованиям:
1. Можно менять местами строки и столбцы.
2. Можно строку (столбец) умножать на одно и то же число.
3. К некоторой строке или столбцу можно прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
Такие преобразования приводят к замене строк или столбцов строками (столбцами), состоящими из нулей, которые надо удалять из матрицы для рассмотрения матрицы меньшего размера.
Пример1. Определить обратную матрицу
Нахождение обратной матрицы
Пример1.
Определить обратную матрицу
для матрицы
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
то для матрицы А существует обратная матрица .
Запишем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Пример1. Определить обратную матрицу
Нахождение обратной матрицы
Пример1. Определить обратную матрицу
для матрицы
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
то для матрицы А существует обратная матрица .
Запишем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Проверка правильности вычислений:
(Сделать вывод. Для матриц А и справедлив переместительный закон умножения).
Делаем вывод. Для матриц А и справедлив переместительный закон умножения.
Ответ:
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Пример Определить обратную матрицу для матрицы
Решение.
Вычислим определитель матрицы А:
то для матрицы А существует обратная матрица
Запишем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Обратная матрица имеет вид:
Проверка:
Проверка:
Проверка:
Ответ:
3. Решение система трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы
Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Если основная матрица системы линейных уравнений
является квадратной и невырожденной, то систему можно решить матричным способом (с помощью обратной матрицы). Записав систему в матричном виде, получим решение X системы уравнений:
А- матрица, составленная из коэффициентов при переменных x. y.
z .
Х- матрица – столбец составленная из переменных величин.
В- матрица – столбец составленная из свободных членов.
Пример 1. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы:
Решение. Запишем систему в матричном виде , где
Решение матричного уравнения будет иметь вид:
Найдем обратную матрицу
Сначала найдем главный определитель матрицы:
Теперь будем находить алгебраические дополнения:
Теперь будем находить алгебраические дополнения:
Теперь будем находить алгебраические дополнения:
Теперь будем находить алгебраические дополнения:
Теперь будем находить алгебраические дополнения:
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :
Ответ:
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :
Проверка:
Ответ:
Подведение итогов занятия.
Благодарю за работу на занятии.
Подсчитываем поощрительные баллы.
Оценки комментируются и выставляются в журнал.
Скачать презентацию
Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы ОБРАТНЫЙ МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
для решения системы уравнений
См. аналогичное обсуждение в нашем тексте, Рольф, на страницах 165-167 ;
следующее продолжает предыдущее обсуждение.
|
|
На тестах проф.
М c Фарланда вас бы спросили
для решения вышеуказанной проблемы
«методом обратной матрицы» в три отдельных шага, следующим образом :
| [1] |
|
| [2] |
| |||
е. найти X.| [3] |
|
Обратная матрица 3×3 — Формула, примеры, определитель 3×3
Прежде чем перейти к поиску обратной матрицы 3×3, давайте вспомним, что означает обратная.
Обратным числом является число, которое при умножении на данное число дает мультипликативную единицу, 1. Точно так же произведение матрицы A и ее обратной A -1 дает единичную матрицу, I. т.е. , АА -1 = A -1 A = I. Давайте посмотрим, как найти обратную матрицу 3×3.
Давайте посмотрим формулу для нахождения обратной матрицы 3×3, а также некоторые другие способы ее нахождения. Также мы увидим несколько примеров нахождения обратной матрицы 3×3.
| 1. | Что является обратной матрицей 3×3? |
| 2. | Элементы, используемые для нахождения обратной матрицы 3×3 |
| 3. | Обратная формула матрицы 3×3 |
| 4. | Нахождение обратной матрицы 3×3 с помощью операций со строками |
| 5. | Система решения уравнений 3×3 с использованием обратной |
6. | Часто задаваемые вопросы об обратной матрице 3×3 |
Что является обратной матрицей 3×3?
, обратная матрице 3×3 , скажем A, является матрицей того же порядка, обозначаемой A -1 , где AA -1 = A -1 A = I, где I — единичная матрица порядка 3×3. т. е. I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 1&0 \end{array}\right]\). Например, если A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\), то A -1 = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
1/4&0&1/4\
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\). Можно легко перемножить эти матрицы и проверить, является ли AA -1 = A -1 A = I. В следующем разделе мы увидим, как найти обратную матрицу 3×3.
Элементы, используемые для нахождения обратной матрицы 3×3
Прежде чем узнать, как найти обратную матрицу 3×3, давайте посмотрим, как найти определитель и сопряженную матрицу 3×3.
Давайте использовать этот же пример (как и в предыдущем разделе) в каждом объяснении.
Сопряженная матрица 3×3
Сопряженная матрица A получается путем нахождения транспонирования кофакторной матрицы матрицы A. Чтобы узнать, как найти сопряженную матрицу, нажмите здесь. Кофактор любого элемента матрицы 3×3 — это определитель матрицы 2×2, который получается удалением строки и столбца, содержащего элемент. Также мы пишем чередующиеся знаки + и — при нахождении кофакторов. Вот пример.
Пусть A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\).
Тогда его кофакторная матрица:
\(\left[\begin{array}{rr}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\
2 и 1
\конец{массив}\право| & -\left|\begin{массив}{cc}
2 и 2\
-1 и 1
\конец{массив}\право| & -\left|\begin{массив}{cc}
2 и 1 \
-1 и 2
\конец{массив}\право|\\
-\left|\begin{массив}{cc}
2&-1\
2 и 1
\конец{массив}\право| & \left|\begin{массив}{cc}
1&-1\
-1 и 1
\end{массив}\right|&-\left|\begin{массив}{cc}
1 и 2 \\
-1 и 2
\конец{массив}\право| \\ \left|\begin{массив}{cc}
2&-1\
1 и 2
\end{массив}\right|& -\left|\begin{массив}{rr}
1&-1\
2 и 2
\end{массив}\right|&\left|\begin{массив}{ll}
1 и 2 \\
2 и 1
\конец{массив}\право| \конец{массив}\справа]\)
Каждый определитель 2×2 получается путем умножения диагоналей и вычитания произведений (слева направо).
Итак, матрица кофакторов = \(\left[\begin{array}{ccc}
1-4 & -(2+2) & 4+1 \\
-(2+2) & 1-1 & -(2+2) \\
4+1 и -(2+2) и 1-4
\end{массив}\right]\)
= \(\left[\begin{массив}{rrr}
-3&-4&5\
-4&0&-4\
5 и -4 и -3
\конец{массив}\справа]\)
Транспонируя матрицу кофакторов, мы получаем сопряженную матрицу.
Итак, прил. A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-3&-4&5\
-4&0&-4\
5 и -4 и -3
\end{массив}\right]\).
(Конечно, в этом случае и кофакторная матрица, и присоединенная матрица совпадают. Но так бывает не всегда).
Определитель матрицы 3×3
Чтобы найти определитель матрицы 3×3 , найдите сумму произведений элементов любой строки/столбца на соответствующие им сомножители. Вот пример.
A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{массив}\right]\). По первой строке найдем определитель.
det A = 1 (кофактор 1) + 2 (кофактор 2) + (-1) кофактор (-1)
= 1(-3) + 2(-4) + (-1)5
= -3 — 8 — 5
= -16
Но вот трюк, чтобы найти определитель любого 3×3 A = \(\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right]\) матрица быстрее.
Здесь мы просто пишем одну и ту же матрицу дважды рядом друг с другом, а затем применяем трюк.
Формула, обратная формуле матрицы 3×3, использует определитель матрицы.
Обратная формула матрицы 3×3
Обратная матрица A 3×3 вычисляется по формуле
det A стоит в знаменателе в формуле A -1 . Таким образом, для A -1 для существования det A не должен быть равен 0. т. е.
- A -1 существует, когда det A ≠ 0 (т. е. когда A несингулярно)
- A -1 не существует, когда det A = 0 (т. е. когда A единственное число)
Итак, вот шаги, чтобы найти обратную матрицу 3×3. Шаги объясняются на том же примере A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\). Найдем A -1 .
- Шаг — 1: Найти прил. A.
Мы уже видели, что adj A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-3&-4&5\
-4&0&-4\
5 и -4 и -3
\end{массив}\right]\). - Этап — 2: Найти A.
Мы уже видели, что det A = -16 . - Шаг — 3: Применить обратную формулу матрицы 3×3 A -1 = (adj A)/(det A). т. е. разделить каждый элемент adj A на det A.
Тогда A -1 = \(\left[\begin{array}{ccc}
-3/-16 и -4/-16 и 5/-16 \\
-4/-16 & 0/-16 & -4/-16 \\
5/-16 и -4/-16 и -3/-16
\конец{массив}\справа]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
1/4&0&1/4\
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\).
Нахождение обратной матрицы 3×3 с помощью операций со строками
Как и любую другую квадратную матрицу, мы можем использовать элементарные операции со строками, чтобы найти обратную матрицу 3×3. Процесс поясняется ниже на примере.
- Сначала запишем данную матрицу 3×3 A и единичную матрицу I порядка 3×3 в виде расширенной матрицы, разделенной линией, где A находится слева, а I — справа.
- Примените операции со строками, чтобы левая матрица стала единичной матрицей I.
- Тогда матрица справа будет A -1 .
Мы можем увидеть пример для этого в следующих разделах.
Система решения уравнений 3×3 с использованием обратной
Мы можем решить систему уравнений 3×3, используя обратную матрицу. Шаги для этого объясняются здесь на примере, где мы собираемся решить систему уравнений 3×3 x + 2y — z = 10, 2x + y + 2z = 5 и -x + 2y + z = 6.
- Шаг — 1: Запишите данную систему уравнений в виде AX = B.
\(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr }x \\y \\ z \end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{array}{rr}10 \\ 5 \\ 6 \end{массив}\right]\)
Здесь A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\), X = \(\left[ \begin{array}{rr}x \\y \\ z\end{array}\right]\), и B = \(\left[\begin{array}{rr}10 \\ 5\\ 6 \ конец{массив}\справа]\). - Шаг — 2: Найдите обратную матрицу 3×3. т. е. найти A -1 .
В одном из предыдущих разделов мы обнаружили, что A -1 = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
1/4&0&1/4\
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\). - Шаг — 3: Найдите матрицу решения X по формуле X = A -1 B.
X = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
1/4&0&1/4\
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr}10 \\ 5 \\ 6 \end{массив}\ справа]\)
= \(\left[\begin{массив}{rr}5/4 \\4 \\ -3/4 \end{массив}\right]\)
Следовательно, x = 5/4, y = 4 и z = -3/4 является решением данной системы уравнений.
Важные примечания об обратной матрице 3×3:
- Матрица A является обратимой (обратная к A существует) только тогда, когда det A ≠ 0,
- Если A и A -1 являются обратными друг другу, то AA -1 = A -1 A = I.
- Обратной единичной матрицей 3×3 является она сама. т. е. I -1 = I.
- Матрица, обратная 3×3, используется для решения системы уравнений 3×3 с 3 переменными.
☛ Связанные темы:
- Калькулятор обратной матрицы
- Умножение матриц
- Обратная матрица 2×2
- Матричная формула
Часто задаваемые вопросы об обратной матрице 3×3
Что означает инверсия матрицы 3×3?
Обратная матрица A 3×3 обозначается A -1 . Здесь AA -1 = A -1 A = I, где I — единичная матрица порядка 3×3.
Как найти обратную матрицу 3×3?
Вот шаги, чтобы найти обратную матрицу 3×3 A:
- Найти det A.
- Найти прил. А.
- Примените формулу A -1 = (adj A)/(det A).
Что является примером матрицы 3×3 без обратной?
Матрица не может быть обратной, если ее определитель равен 0.
A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & 1 \\ 2&4&2 \\2 & 4 &5 \end{array}\right] \) не имеет обратного, так как в этом случае det A = 0.
Все ли матрицы 3×3 обратимы?
Нет, все матрицы 3×3 необратимы, поскольку матрица не может иметь обратную, когда ее определитель равен 0. Например, A = \(\left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0 \\ -1&3&2 \\5 & 7 &5 \end{array}\right]\) необратима, так как в этом случае det A = 0.
Что является обратной формулой матрицы 3×3?
Если A является матрицей 3×3, ее обратная формула будет A -1 = (adj A)/(det A). Здесь
- det A = Определитель матрицы A
- adj A = Сопряженная матрица A
Есть ли обратная матрица 3×3?
Матрица 3×3 имеет обратную форму, только если ее определитель не равен нулю. Если определитель равен нулю, то матрица необратима (не имеет обратной) и в этом случае называется сингулярной матрицей.
Как найти обратную матрицу 3×3 с помощью элементарных операций со строками?
Для нахождения обратной матрицы 3×3 (A ) с помощью элементарных операций со строками
- Запишите A и I (единичные матрицы одного порядка) в одну матрицу, разделив их вертикальной пунктирной линией.
- Применить элементарные операции со строками, чтобы левая матрица стала I.
- Матрица справа: A -1 .
Сопряжение матрицы — 2×2, 3×3, формула, свойства
Сопряжение матрицы — один из самых простых методов, используемых для вычисления обратной матрицы. Сопряженная матрица — еще один термин, используемый для обозначения сопряженной матрицы в линейной алгебре. Сопряженная матрица особенно полезна в приложениях, где нельзя использовать обратную матрицу напрямую.
Сопряженная матрица получается путем транспонирования элементов кофактора данной матрицы. В этой статье давайте узнаем о сопряжении матрицы, ее определении, свойствах на решенных примерах.
| 1. | Что такое сопряжение матрицы? |
| 2. | Минор, кофактор и транспонирование матрицы |
| 3. | Сопряженная матрица 2×2 |
4. | Сопряженная матрица 3×3 |
| 5. | Свойства сопряжения матрицы |
| 6. | Нахождение обратного с помощью сопряженной матрицы |
| 7. | Часто задаваемые вопросы о сопряжении матрицы |
Что такое сопряжение матрицы?
Сопряженная матрица B является транспонированной матрицей кофакторов матрицы B. Сопряженная квадратная матрица B обозначается adj B. Пусть B = [\(b_{ij}\)] — квадратная матрица порядка н. Три важных шага, связанные с нахождением сопряженной матрицы, таковы:
- Найдите минорную матрицу M всех элементов матрицы B.
- Найдите матрицу кофакторов C всех минорных элементов матрицы M.
- Найдите прил B, транспонировав матрицу кофакторов C.
Сопряженная формула матрицы
Сопряженная adj(B) квадратной матрицы B порядка n x n может быть определена как транспонированная матрица кофакторов.
Рассмотрим матрицу 2×2 B с элементами \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), а их кофакторные элементы равны \(B_{11}, B_{12}, B_ {21}, B_{22}\) соответственно. Тогда сопряженная матричная формула имеет следующий вид:
Минор, кофактор и транспонирование матрицы
Матрица представляет собой прямоугольный массив, содержащий числа или функции, расположенные в строках и столбцах. Эти числа называются элементами или элементами матрицы. Важно знать о минорах, транспозициях и кофакторах, прежде чем изучать сопряжение матрицы.
Минор матрицы
В квадратной матрице B каждый элемент имеет свой минор. Минор — это значение, полученное из определителя квадратной матрицы после удаления строки и столбца, соответствующих этому конкретному элементу матрицы.
- Для квадратной матрицы B по минору элемента [\(b_{ij}\)] мы ссылаемся на значение определителя, полученное удалением i -й -й строки и j -го -го столбца матрицы Матрица Б. Обозначается \(M_{ij}\).
- Чтобы найти минор любой квадратной матрицы, нам нужно стереть строку и столбец один за другим, а затем вычислить их определитель, пока не будут вычислены все миноры.
Обозначается \(M_{ij}\).Для вычисления минора из любой квадратной матрицы необходимо выполнить следующие шаги:
- Шаг 1: Скройте строку i th и столбец j th один за другим из данной матрицы, здесь i относится к m, а j относится к n, то есть общему количеству строк и столбцов в матрице
- Шаг 2: вычислить значение определителя матрицы после скрытия строки и столбца, полученных на шаге 1.
Минор матрицы 2×2
| Минор матрицы 2×2 | Пример |
|---|---|
Рассмотрим матрицу B 2×2 как: \(B=\left[\begin{массив}{ll} | . \(A=\left[\begin{массив}{ll} |
Теперь нам нужно скрыть первую строку и первый столбец, чтобы найти миноры матрицы B \(\ начало {массива} {l} Мы использовали (*) для обозначения отмененной строки и столбца | Теперь нам нужно скрыть первую строку и первый столбец, чтобы найти миноры матрицы B \(\ начало {массива} {l} Мы использовали (*) для обозначения отмененной строки и столбца |
Рассмотрим матрицу A 2×2 как:Младшая матрица M может быть представлена как:
\(M=\left[\begin{array}{ll}
8&-4\\
6 и 3
\конец{массив}\справа]\)
Минор матрицы 3×3
| Минор матрицы 3×3 | Пример |
|---|---|
Рассмотрим матрицу 3×3: \(B = \left[\begin{массив}{ccc} | Рассмотрим матрицу 3×3: \(B = \left[\begin{массив}{ccc} |
Теперь нам нужно скрыть первую строку и первый столбец, чтобы найти миноры матрицы B \(\ начало {массива} {l} | Теперь нам нужно скрыть первую строку и первый столбец, чтобы найти миноры матрицы B \(\ начало {массива} {l} |
Следовательно, минорная матрица матрицы B равна \(M = \left[\begin{array}{ccc}
-8&-2&-5\
5&-7&-1\
-17 и 4 и 10
\end{массив}\right]\).
Кофактор матрицы
Кофактор элемента a ij получается путем умножения его соответствующего минора на (-1) i+j . т. е. минор умножается на положительный (+) или отрицательный (-) знак в зависимости от того, находится ли элемент в матрице в положительном (+) или (-) положении. Рассмотрим квадратную матрицу B. Кофактором \(C_{ij}\) элемента \(b_{ij}\) матрицы B называется минор матрицы \(b_{ij}\) с положительным или отрицательным знаком в зависимости от я и дж.
Кофактор матрицы 2×2
Чтобы найти кофакторы матрицы 2×2, соответствующие миноры должны быть умножены на указанные ниже знаки в соответствии с их положением.
\(C =\left[\begin{массив}{ll}
+&-\
— & +
\конец{массив}\справа] \)
Мы видели, что минорная матрица A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 и 6 \\\
-4 и 8
\end{array}\right]\) равно \(M=\left[\begin{array}{ll}
8&-4\\
6 и 3
\end{массив}\right]\).
Умножая кофакторы на указанные выше знаки, мы получаем матрицу кофакторов: C = \(\left[\begin{array}{ll}
8 и 4 \
-6 и 3
\конец{массив}\справа]\)
Кофактор матрицы 3×3
Чтобы найти кофакторы матрицы 2×2, соответствующие миноры должны быть умножены на указанные ниже знаки в соответствии с их положением.
\(C=\left[\begin{массив}{lll}
+&-&+\
-&+&-\
+ & — & +
\end{array}\right]\)
Мы видели, что минорная матрица \(B = \left[\begin{array}{ccc}
2&-1&3\
0 и 5 и 2 \
1 и -1 и -2
\end{array}\right] \) равно \(M = \left[\begin{array}{ccc}
-8&-2&-5\
5&-7&-1\
-17 и 4 и 10
\end{массив}\right]\).
Умножая кофакторы на указанные выше знаки, мы получаем матрицу кофакторов: C = \( \left[\begin{array}{ccc}
-8&2&-5\
-5&-7&1\
-17 и -4 и 10
\end{массив}\right]\).
Транспонирование матрицы
Матрица, полученная из данной матрицы B после перестановки ее строк и столбцов, называется транспонированием матрицы B.
Транспонирование матрицы B обозначается B’ или B T . Если B имеет порядок m*n, то B’ имеет порядок n*m. Транспонированная форма транспонирования B — это сама матрица B, т. е. (B’)’= B.
Рассмотрим матрицу \(B = \left[\begin{array}{ccc}
б_{11} и б_{12} и б_{13} \\
б_{21} и б_{22} и б_{23} \\
б_{31} и б_{32} и б_{33}
\end{array}\right] \)
Тогда транспонирование B T матрицы B будет:
Рассмотрим матрицу B T = \(\left[\begin{array}{ccc }
б_{11} и б_{21} и б_{31} \\
б_{12} и б_{22} и б_{32} \\
б_{13} и б_{23} и б_{33}
\конец{массив}\справа] \)
Сопряженная матрица 2×2
Давайте посмотрим на пример сопряженной матрицы 2×2. Рассмотрим матрицу A 2 × 2 (которую мы рассматривали ранее):
\(A=\left[\begin{array}{ll}
3 и 6 \\\
-4 и 8
\end{array}\right]\)
Мы уже нашли, что его кофакторная матрица имеет вид C = \(\left[\begin{array}{ll}
8 и 4 \
-6 и 3
\end{массив}\right]\).
Транспонируя это, мы получаем сопряженную матрицу 2×2 A.
Тогда adj A = C T = \(\left[\begin{array}{ll}
8&-6\
4 и 3
\end{массив}\right]\).
Сопряженная матрица 3×3
Давайте рассмотрим пример сопряжения матрицы 3×3. Рассмотрим матрицу B 3 × 3 (которую мы рассматривали ранее):
\(B = \left[\begin{array}{ccc}
2&-1&3\
0 & 5 & 2 \
1 и -1 и -2
\end{array}\right] \)
Мы уже нашли, что его кофакторная матрица равна C = \( \left[\begin{array}{ccc}
-8&2&-5\
-5&-7&1\
17 и -4 и 10
\end{массив}\right]\).
Выполняя его транспонирование, мы получаем сопряжение матрицы 3×3 B. Тогда
adj B = C T = \( \left[\begin{array}{ccc}
-8&-5&17\
2&-7&-4\
-5 и 1 и 10
\end{массив}\right]\).
Сопряженная матрица может быть найдена, только если мы знаем минор, кофактор и транспонированную матрицу кофактора. Давайте продолжим, чтобы узнать больше о каждом из них в разделе ниже.
Свойства сопряжения матрицы
Для любой квадратной матрицы порядка n x n можно применить следующие свойства сопряженной матрицы. Рассмотрим матрицу B здесь:
- Если 0 — нулевая матрица, а I — единичная матрица, то прил (0) = 0 и прил (I) = I
- adj(B T ) = adj(B) T , здесь B T транспонирование матрицы B
- Сопряженная матрица B может быть определена как произведение матрицы B на ее сопряженную, что дает диагональную матрицу, диагональные элементы которой являются определителем det(B). B adj(B) = adj(B) B = det(B) I, где I — единичная матрица.
- Предположим, что C — другая квадратная матрица, тогда adj(BC) = adj(C) adj(B)
- Для любого неотрицательного целого числа k adj(B k ) = adj(B) k .
- Сопряженная к диагональной матрице снова диагональная матрица.
Нахождение обратного с помощью сопряженной матрицы
Обратная матрица A, представленная как A -1 , находится с помощью сопряженной матрицы.
Его формула: A -1 = (1/|A|) × adj(A). Здесь,
- |А| = определитель A
- прил(А) = примыкает к А.
Мы уже выяснили, что для \(A=\left[\begin{array}{ll}
3 и 6 \\\
-4 и 8
\end{array}\right]\), присоединенная матрица: adj A = C T = \(\left[\begin{array}{ll}
8&-6\\
4 и 3
\end{массив}\right]\).
Его определитель равен |A| = 3(8) — 6(-4) = 24 + 24 = 48.
Таким образом, матрица, обратная A, равна
A -1 = (1/|A|) × adj(A) = 1/48 \(\left[\begin{array}{ll}
8&-6\\
4 и 3
\end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{массив}{ll}
1/6 и -1/8 \\\
1/12 и 1/16
\end{массив}\right]\).
☛ Связанные темы:
- Матричный калькулятор
- Формула матрицы
- Калькулятор диагональной матрицы
- Калькулятор матрицы транспонирования
Важные замечания по сопряжению матрицы
Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении сопряжения матрицы:
- Минор — это значение, которое получается из определителя квадратной матрицы после удаления из строки и столбца, соответствующих этому конкретному элементу матрицы.
- В транспонированной матрице строки исходной матрицы становятся столбцами транспонированной матрицы, а столбцы исходной матрицы становятся строками транспонированной матрицы.
- Сопряженная матрица получается транспонированием матрицы кофакторов.
Часто задаваемые вопросы о сопряжении матрицы
Определение сопряжения матрицы.
Сопряженная матрица A равна транспонированной матрице сомножителей матрицы A. Сопряженная квадратная матрица B обозначается adj B. Рассмотрим пример матрицы B:
\(B=\ слева[\begin{массив}{ll}
3 и 6 \
-4 и 8
\end{array}\right]\)
Сопряженный для данной матрицы B:
adj(B) = \(\left[\begin{array}{ll}
8&-6\
4 и 3
\end{массив}\right]\).
Как найти сопряженную матрицу?
Чтобы найти сопряженную матрицу, необходимо выполнить 3 шага:
- Найти минорную матрицу M всех элементов исходной матрицы
- Найдите кофактор матрицы C всех минорных элементов матрицы M
- Найдите сопряженную, транспонировав кофакторную матрицу C. Полученная матрица будет сопряженной к исходной матрице.
Полученная матрица будет сопряженной к исходной матрице.Каковы различные свойства сопряженной матрицы?
Для любой квадратной матрицы порядка n x n можно применить следующие свойства сопряженной матрицы. Рассмотрим матрицу B здесь:
- Если 0 — нулевая матрица, а I — единичная матрица, то adj (0) = 0 и adj (I) = I
- прил(А Т ) = прил(А) Т
- A adj(A) = adj(A) A = det(A) I, где I — единичная матрица.
- прил(АВ) = прил(В) прил(А)
- adj(A k ) = adj(A) k , где k — целое неотрицательное число.
Что такое сопряжение квадратной матрицы?
Сопряженный adj(B) квадратной матрицы B порядка n*n можно определить как транспонированную матрицу кофакторов. Рассмотрим квадратную матрицу B со следующими элементами:
Предположим, что B = \(\left[\begin{array}{ll}
б_{11} и б_{12} \\
б_{21} и б_{22}
\end{array}\right]\)
Затем прил(B) отображается как:
прил(B) = \(\left[\begin{array}{ll}
Б_{11} и Б_{21} \\
Б_{12} и Б_{22}
\end{array}\right]\)
Почему мы используем вспомогательную матрицу?
Сопряженная матрица используется для вычисления обратной матрицы.
Она также известна как матрица сопряжения 9.0374 . Сопряженная матрица полезна при нахождении обратной матрицы.
Как найти сопряженную матрицу 2 × 2?
Вот шаги, необходимые для нахождения сопряженной матрицы 2×2 A:
- Найдите минорную матрицу M, найдя миноры всех элементов.
- Найдите матрицу кофакторов C, умножив элементы M на (-1) номер строки + номер столбца .
- Тогда сопряженная матрица будет adj(A) = C T .
В качестве альтернативы мы можем использовать формулу: сопряженная матрица A = \(\left[\begin{array}{ll}
а&б\\\
с и д
\end{массив}\right] \) прил. A = \(\left[\begin{array}{ll}
д&-б\\
-с и
\end{массив}\right] \).
Как найти обратную матрицу сопряженным методом?
Вот шаги, которые необходимо выполнить, чтобы вычислить обратную матрицу B с помощью сопряженного метода:
- Найдите определитель числа |B|.
