Решение систем однородных линейных уравнений: Теоретический курс и примеры по курсу линейной алгебры

Содержание

4.2.3 Системы линейных однородных уравнений

Рассмотрим систему вида

, (1)

Где или .

Однородная система линейных уравнений (1) всегда совместна, так как . Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей , которое называется тривиальным.

В каких случаях существует нетривиальное решение?

Теорема. Для того чтобы система (1) имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Действительно, в этом случае есть свободные неизвестные, которым можно придавать любые, в том числе и ненулевые, значения.

Выделим частный случай систем (1), когда .

Теорема. Система (1) в случае имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Системы линейных однородных уравнений обладают важным свойством, которое сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы (1) также является решением этой системы.

Возникает вопрос, можно ли подобрать такую совокупность решений системы (1), чтобы любое решение системы можно было бы найти как линейную комбинацию этих решений? Такая совокупность решений существует и носит название фундаментальной.

Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений (1) называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы (1) является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг матрицы системы (1) меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из решений.

Пример 22. Найти общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы

Решение. Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.

Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.

Первая и вторая строки пропорциональны, одну из них вычеркнем:

Зависимые переменные – , свободные – . Из первого уравнения находим , тогда

; .

Общее решение имеет вид:

Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из решений. В нашем случае , следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2. Достаточно придать свободным неизвестным и значения из строк определителя второго порядка, отличного от нуля, и подсчитать . Простейшим определителем, отличным от нуля, является .

Таким образом, первое решение: , второе – .

Эти два решения составляют фундаментальную систему решений. Заметим, что фундаментальная система не единственна (определителей, отличных от нуля, можно составить сколько угодно).

Пример 22. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы

Решение.

Отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.

Для самостоятельного решения.

1. Доказать, что система совместна.

Найти ее общее и частное решения, приняв в качестве свободных неизвестных и полагая .

Ответ: .

2. Образуют ли строки каждой из матриц и , где , , фундаментальную систему решений для системы

Ответ: строки матрицы не образуют фундаментальную систему решений, строки матрицы образуют.

3. Три прямые , , образуют треугольник. Охарактеризовать систему трех уравнений с точки зрения совместности и ранга матрицы коэффициентов.

Ответ выбрать из списка: 1) система совместна, ; 2) система несовместна, ; 3) совместна любая пара уравнений, .

< Предыдущая		Следующая >

Пространство решений однородной системы линейных уравнений » ProcMem.

Ru Линейная Алгебра

Пятница, 17 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 34578
Подписаться на комментарии по RSS

п.5. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Прежде всего заметим, что однородная система линейных уравнений всегда является совместной, т.к. всегда имеется нулевое решение – нулевой столбец неизвестных.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений является векторным пространством.

Доказательство. Пусть – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными. Тогда решением системы является столбец неизвестных X, который мы рассматриваем как вектор из пространства столбцов высоты n: , где K– поле коэффициентов системы.

Таким образом, множество решений системы есть множество столбцов из пространства столбцов , для которых верно матричное равенство .

Как мы видели ранее, это множество является ядром матрицы А:

Мы уже знаем, что ядро матрицы является векторным подпространством пространства столбцов , а следовательно и само является векторным пространством.

Теорема доказана.

Замечание. В дальнейшем множество решений однородной системы линейных уравнений мы будем называть пространством решений этой однородной системы линейных уравнений и обозначать .

Теорема (О размерности пространства решений однородной системы линейных уравнений.)

Пусть – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными и – пространство ее решений. Тогда

Иначе, размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений равна числу неизвестных системы минус ранг ее матрицы.

Обозначим для краткости . Тогда теорема утверждает, что верно равенство:

Доказательство. По теореме о ядре и образе линейного отображения (см. лекцию 26, п.4)

или в наших обозначениях: и

откуда следует, что

В той же лекции 26, п.4. мы установили, что

В лекции 27 п.2. было доказано, что размерность линейной оболочки системы векторов равна рангу этой системы, т.е. в наших обозначениях:

По теореме о ранге матрицы, ранг системы столбцов матрицы равен рангу этой матрицы:

Отсюда следует, что

и , ч.т.д.

Теорема доказана.

Пусть – базис пространства . Тогда

– линейная оболочка, натянутая на систему базисных векторов пространства .

Напомним, что любое векторное пространство можно записать в виде линейной оболочки, натянутой на систему его базисных векторов.

Определение. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой ее решений.

Так как любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису, то любое решение однородной системы можно представить в виде линейной комбинации ее фундаментальной системы решений:

где .

Определение. Решение системы , записанное в виде

где – фундаментальная система решений, а – произвольные постоянные (скаляры из поля ), называется ее общим решением.

Пример. Решить систему: .

Решение. Здесь дана система из одного уравнения с двумя неизвестными и . Матрица системы имеет вид и ее ранг .

Тогда размерность пространства решений .

Следовательно, базис пространства решений данной системы (или иначе, фундаментальная система решений) состоит из одного ненулевого решения данной системы:

Заметим, что в любом базисе нет нулевого вектора, так что .

В данном случае одно ненулевое решение легко найти подбором, например: , т.е. столбец этого решения: .

Следовательно, множество решений данной системы можно записать в виде линейной оболочки, натянутой на базисный вектор: .

Общее решение данной системы имеет вид:

где с – любое действительное число.

Мы молчаливо предполагали, что полем коэффициентов данной системы является поле действительных чисел.

Ответ: , .

Замечание. Легко выполнить проверку. Подставляя в данную систему , получаем: , т.е. уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного числа с, что и требовалось доказать.

Матрица: однородная система линейных уравнений – определение, теорема, формулы, решенные примеры задач

Применение матриц: непротиворечивость системы линейных уравнений ранговым методом

Во втором предыдущем разделе мы уже определили непротиворечивость системы линейных уравнений. В этом разделе мы исследуем его с помощью рангового метода. Сформулируем следующую теорему без доказательства:

Теорема 1.14 (теорема Руше — Капелли)

Система линейных уравнений, записанная в матричной форме AX = B , совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен к рангу расширенной матрицы; то есть ρ ( A ) = ρ ([ A | B ]).

Применим теорему в следующих примерах.

Однородная система линейных уравнений

Напомним, что Гомогенная система линейных уравнений приведена

A ₁₁ x ₁

+ A ₁₂ x ₂ + A 9914 9914 _{991491149. _991491149.9.}9. . . . . . . . 2 . …… + a _1n x _n + = 0

a ₂₁ x 9005 + _{1 _{0016 ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ + ……… + a _2n x _n + = 0}}

a ₃₁ x ₁ + A ₃₂ x ₂ + A ₃ x ₃ + …………… x ₃ +…. + = 0

….. …. ….. ….. ….. …

A _M1 x ₁ + A _M2 x ₂ + A

_M3 .
5.
5 9004.
5 9004.
5
5
5
5
5
5
5
5 .
5
5
5 .
5
5 .
5 .
5 .
5 .
5 .
5 . x _n + = 0 ………(1)
, где коэффициенты a _ij , i = 1, 2,…., m ; Дж = 1, 2,….,n — константы. Приведенной выше системе всегда удовлетворяет x ₁ = 0, x ₂ = 0,…., x _n = 0. Это решение называется тривиальным решение от (1). Другими словами, система (1) всегда имеет решение.
Вышеуказанная система (1) может быть помещена в форму матрицы AX = O _M _x1, где

Мы обозначим O 9
.0045 м _{× 1} просто заглавной буквой О . С О — матрица с нулевым столбцом, всегда верно, что ρ ( A ) = ρ ([ A | O ]) ≤ м . Итак, по теореме Руше — Капелли любая система однородных линейных уравнений всегда непротиворечива.
Предположим, что m < n , тогда число неизвестных больше, чем число уравнений. Так ρ ( A ) = ρ ([ A | O ]) < n . Следовательно, система (1) имеет нетривиальное решение.
Предположим, что м = n , тогда имеется равное количество уравнений и Неизвестные:
A ₁₁ x ₁ + A ₁₂ X ₂ + A
₁₃ x _{0045 3} + ……… + a _1n x _n + = 0

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ + ……… + a _2n x _n + = 0

a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ х ₂ + a ₃ x ₃ + ……… + a _3n x _n + = 0 30 9,0 …. . ….. ….. …

a _n1 x

₁ + a _n2 x ₂ + a _n3 x ₃ + ……… + a _nn x _n + = 0 ………(1)

Возникают два случая.

Случай (i)

If ρ ( A ) = ρ ([5 O ] | = n , то система (2) имеет уникальных решений и является тривиальным решением.

С ρ ( А ) = n , | А| ≠ 0. Итак, для тривиальное решение | А | ≠ 0 .

Случай (ii)

Если ρ ( A ) = ρ ([ A | O ] ) < n , то система (2) имеет нетривиальных решений . Поскольку ρ ( A ) < n , |A| =0.

Другими словами, однородная система (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрица коэффициентов равна нулю.

Предположим, что м > n , тогда число уравнений больше, чем число неизвестных.

Уменьшение системы на элементарными преобразованиями получаем ρ ( A ) = ρ ([ A | O ]) ≤ n .

Пример 1.35

Решите следующее система:

х + 2у + 3з = 0, 3х + 4у + 4г = 0, 7х + 10у + 12г = 0.

Решение

Здесь количество уравнений равно числу неизвестных.

Превращение в ступенчатая форма (метод исключения Гаусса), расширенная матрица принимает вид

Итак, ρ(A) = ρ([A|O]) = 3 = Количество неизвестных

Следовательно, система имеет уникальное решение. Поскольку x = 0, y = 0, z = 0 всегда является решением уравнения однородной системы, единственным решением является тривиальное решение x = 0, y = 0, z = 0.

Примечание

В приведенном выше примере мы найти, что

|A|= = 1(48-40) — 2(36-28) + 3(30-28) = 8-16+6 = -2 ≠ 0.

Пример 1.36

Решите систему: x + 3 y — 2 z = 0, 2 x — y + 4 z = 0, x −11 y +14 z = 0,

_{1 +14 z = 0,
_{1 . Здесь число
неизвестно 3.
Превращение в
ступенчатая форма (метод исключения Гаусса), расширенная матрица принимает вид

Итак, ρ(A) = ρ ([A |
O ] ) = 2 < 3 = Количество неизвестных
Следовательно, система имеет
однопараметрическое семейство решений.
Написание уравнений
используя эшелонированную форму, получаем
x + 3y – 2z = 0, 7y – 8z
= 0, 0 = 0.
Принимая z = t, где t
произвольное действительное число, мы получаем обратной подстановкой,

, где любой реальный
количество.
Пример 1. 37 Решение системы: x + y — 2 z = 0, 2 x — 3 y + Z Z Z Z Z Z Z Z Z — 3 Z + Z — 3 . − 7 y +10 z = 0, 6 x − 9 y +10 z = 0.
Здесь число _{7
уравнений равно 4, а количество неизвестных равно 3. Сокращение расширенной матрицы
в эшелонированную форму получаем}

Итак, ρ(A) = ρ([A|O]) = 3
= Количество неизвестных
Следовательно, система имеет
только тривиальное решение.

Пример 1.38
Определите значения λ, для которых
уравнения
(3λ – 8 ) x + 3y + 3z = 0, 3x+(3λ-8)y + 3z = 0, 3x + 3y +
(3λ -8)z = 0
имеет нетривиальное решение.
Решение
Здесь количество
неизвестных равно 3. Итак, если система непротиворечива и имеет нетривиальное решение,
то ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной
матрица и меньше 3. Таким образом, определитель матрицы коэффициентов
должно быть 0,
Отсюда мы получаем

Теперь мы даем
применение системы линейных однородных уравнений к химии. Ты
уже знают о балансировке уравнений химических реакций, проверяя число
атомов, присутствующих с обеих сторон. Прямой метод объясняется как данный
ниже.

Пример 1.39
Используя метод исключения Гаусса, сбалансируйте химический
уравнение реакции:
C ₅ H ₈ + O ₂ → CO ₂ + H ₂ O .
(выше указан
реакция, происходящая при горении органического соединения, называется
изопрен.)
Раствор
Мы ищем
положительные целые числа x ₁ , x ₂ , x ₃ и x ₄ such that
x ₁ C ₅ H ₈ + x ₂ O ₂ = x ₃ CO ₂ + x ₄ H ₂ O
. …
(1)
Число атомов углерода
атомов в левой части (1) должно быть равно числу атомов углерода
атомов в правой части (1). Таким образом, мы получаем линейную однородную
уравнение
5x ₁ = x ₃ ⇒ 5x ₁ – x ₃ =0
……..(2)
Аналогично, учитывая
атомов водорода и кислорода получаем соответственно
8x ₁ = 2x ₄ ⇒ 4x ₁ – x ₄ = 0, ……. (3)
2x ₂ = 2x ₃ + x ₄ ⇒ 2x ₂ – 2x ₃ – x ₄ =
0. … (4)
Уравнения (2), (3) и
(4) представляют собой однородную систему линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Расширенная матрица
[ A|B] =
Путем исключения Гаусса
получаем

Следовательно, ρ(A) =
ρ([A|B]) = 3 < 4 = количество
неизвестные
Система непротиворечива
и имеет бесконечное число решений.
Написание уравнений
используя эшелонированную форму, получаем
4x ₁ – x ₄ = 0, 2x ₂ — 2x ₃ — x ₄ = 0, -4x _{6 _{3 30045 4} = 0.}
Итак, одно из неизвестных
должно быть выбрано произвольно как ненулевое действительное число.
Выберем x ₄ = t. t ≠ 0. Тогда по
обратная подстановка, мы получаем
Поскольку x ₁ , x ₂ , x ₃ и x ₄ — положительные целые числа,
выберем t = 4.
Тогда получим х ₁ = 1, х ₂ = 7, х ₃ = 5 и x ₄ = 4.
Итак, сбалансированный
Уравнение — C ₅ H ₈ + 7O ₂ → 5CO ₂ + H ₂ O.
Пример 1.40
, если система
уравнений px + by + cz = 0, ax + qy + cz = 0, ax + by + rz = 0 имеет нетривиальную
решения и p ≠ a, q ≠ b, r ≠ c, докажите, что

Решение
Предположим, что система
px + by + cz = 0, ax + qy + cz = 0, ax + by + rz = 0 имеет нетривиальное решение
Итак, имеем =
0.
Применение R ₂ → R ₂ − R ₁ и R ₃ → R ₃ − R ₁ и выше
уравнение,
получаем

Теги : определение, теорема, формулы, решенные примеры задач | Применение матриц: непротиворечивость системы линейных уравнений ранговым методом, 12-я математика: РАЗДЕЛ 1: Применение матриц и определителей
Учебный материал, Лекционные заметки, Задание, Справочник, Вики-описание, объяснение, краткая информация
12-я математика: РАЗДЕЛ 1: Применение матриц и определителей: Матрица: Однородная система линейных уравнений | определение, теорема, формулы, решенные примеры задач | Приложения матриц: непротиворечивость системы линейных уравнений ранговым методом
Ранг однородной системы линейных уравнений
Зависимости:
Система линейных уравнений
Ранг матрицы
RREF уникален
Уравнения с матрицами, эквивалентными строкам, имеют один и тот же набор решений.
Основа векторного пространства
Пусть $AX = 0$ — система линейных $m$ уравнений от $n$ переменных.
Тогда $\operatorname{rank}(A) = n \iff$ единственным решением является $X = 0$.
Если $\operatorname{rank}(A) < n$, то $AX = 0$ имеет бесконечно много решений.
($\operatorname{rank}(A) > n$ невозможно.)
Кроме того, $\dim(\{x: Ax = 0\}) = n — \operatorname{rank}(A)$. 9{\textrm{th}}$ pivot $\alpha_i$ будет наименьшим $j$, для которого $R[i, j]$ не равно нулю,
где $0 \le i \le \operatorname{rank}(A)$.
Поскольку $R$ находится в RREF, $\alpha_i < \alpha_{i+1}$ и
\[ R[k, \alpha_i]
= \begin{cases}0 & k \neq i \\ 1 & k = i \end{cases} \]
Пусть $P$ — множество опорных точек, а $Q$ — индексы столбцов, которые не являются опорными.
$|П| = \operatorname{rank}(A)$ и $|Q| = n — \operatorname{rank}(A)$.
Для $j \in P$ определим $X_j$ как опорную переменную
а для $j \in Q$ $X_j$ не является основной переменной.
Это определение корректно, потому что $P$ и $Q$ содержат элементы в диапазоне от 1 до $n$. {\textrm{th}}$.
Если $z$ — ненулевое решение $AX = 0$, то $\beta z$ также является решением $AX = 0$
для любого $\beta\in\mathbb{R}$. Следовательно, если $AX = 0$ имеет ненулевое решение,
то существует бесконечное множество решений.
Если $\operatorname{rank}(A) < n$, то $Q \neq \{\}$.
Следовательно, ненулевое решение существует, поскольку неосновные переменные могут принимать ненулевые значения.
Если $\operatorname{rank}(A) = n$, каждый столбец является сводным, поэтому $Q = \{\}$.
\[ X[\alpha_i, 1] = — \sum_{j \in Q} R[i, j] X[j, 1] = 0 \]
Следовательно, $X = 0$. 9{(i)}: 1 \le i \le |Q|\}$ линейно независим.
Следовательно, это базис $\{x: Ax = 0\}$, поэтому $\dim(\{x: Ax = 0\}) = |Q| = n — \operatorname{rank}(A)$.
Зависимость для:
Крайняя точка тогда и только тогда, когда BFS
Ограниченное сечение заостренного конуса
Условие существования BFS в многограннике
Размер многогранника
Указание многогранника
Точка в многограннике является выпуклой комбинацией BFS
BFS является вершиной
Каждая комплексная матрица имеет собственное значение
Характеристический многочлен матрицы
Квадратная матрица полного ранга обратима
AB = I подразумевает BA = I
Однородные линейные уравнения с большим количеством переменных, чем уравнения
Информация:
Глубина: 8
Количество транзитивных зависимостей: 36
Переходные зависимости:
/линейная-алгебра/векторные-пространства/условие-для-подпространства
/линейная-алгебра/матрицы/гаусс-джордан-алго 909:40
/множества-и-отношения/эквивалентность-отношение Группа
Звенеть
Полиномиальный
Интегральный домен
Сравнение коэффициентов многочлена с непересекающимися переменными
Поле
Векторное пространство
Линейная независимость
Охватывать
полукольцо
Матрица
Укладка
Система линейных уравнений
Произведение сложенных матриц
Умножение матриц ассоциативно
Уменьшенная форма эшелона строк (RREF)
Матрицы над полем образуют векторное пространство
Пространство строки
Элементарная операция строки
Каждая элементарная операция строки имеет уникальную обратную
Эквивалентность строк матриц 909:40
Матрицы, эквивалентные строкам, имеют одинаковое пространство строк.No related posts.}}