Решение сложной производной функции онлайн: Нахождение производной по определению

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию –

внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю

неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим: Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет

выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример 3

Найти производную функции Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение

выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:

, значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции

следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень,

его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых

– это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования

частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного

, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем

обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции

сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.

А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие –

вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2:

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 11:

Пример 13:

Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степеннопоказательной функции

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. В ходе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими «кандидатами» для этого являются производные простейших из сложных функций, например:

По правилу дифференцирования сложной функции :

При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил:

«Чему равна производная тангенса двух икс?». На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ: .

Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.

Пример 1

Найти следующие производные устно, в одно действие, например: . Для выполнения задания нужно использовать только

таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась). Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции.

, , ,

, , ,

, , ,

Производная функции. Мини-курс. 11 видео уроков. — Math

Производная функции. Мини-курс. 11 видео уроков.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Что такое предел функции? Базовое понятие и определение предела функции. Как посчитать предел? Вычислить предел функции. Предел функции в точке. Найти предел функции. Неопределенность в математике. Что называют неопределенностью? Что избавиться от неопределенности? Неопределенность (0/0) — как ее раскрыть? Способы раскрытия неопределенности. Что такое лимит. Лимит функции. Как вычислить лимит функции. Что значит «стрелочка» в лимитах (пределах). Сопряженные множители. Как домножить на сопряженные множители. Как избавиться от иррациональности при раскрытии неопределенности? Как разложить многочлен на множители, чтобы избавиться от иррациональности и посчитать предел? Теория. Определение предела функции: Предел (лимит) это значение к которому стремится функция, когда х стремится к х0. Примеры с решением. Задания с объяснением.

• Пример 1: Вычислить предел функции.
• Пример 2: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) разложением числителя и знаменателя на множители.
• Пример 3: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) умножением на сопряженный множитель.
• Пример 4: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) преобразовав выражение.

 

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной. Приращение аргумента. Приращение функции. Нахождение производной функции, используя определение производной. Примеры с решениями.

• Пример 1: Найти приращение функции.
• Пример 2: Найти производную функции, используя ее определение.

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Производной функции у = f(х) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (можно обозначить у’ или f'(х)). Операция нахождения производной называется дифференцированием.

 

Урок 2.

Производная элементарной степенной функции.

Как брать производную от икс в степени n. Таблица производных. Производная элементарной степенной функции. Как правильно преобразовать функцию прежде чем брать производную. Свойства степени. Алгебра 10, 11 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением.

 

 Урок 3. Производная суммы. Правила дифференцирования.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ.  Производная суммы. Правила дифференцирования. Примеры с решениями.

• Пример 1: Найти производную функции.
• Пример 2: Найти производную функции в точке.

 

Урок 4. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Производная функции. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования. 

 

Урок 5. Производная сложной степенной функции. Найти производную в точке х0.

Сложная функция. Какая функция называется сложной? Производная сложной функции. Правила дифференцирования. Производная сложной степенной функции. Найти производную функции в точке х0. Алгебра 10, 11 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением.

• Пример 1: Найти производную функции.
• Пример 2: Найти производную функции в точке.

 Урок 6. Производные тригонометрических функций.

Высшая математика. Математический анализ. Правила дифференцирования. Производная. Производная тригонометрических функций. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную суммы тригонометрических функций.
• Пример 2: Найти производную произведения тригонометрических функций.
• Пример 3: Найти производную частного тригонометрических функций. 

 

Урок 7. Производная сложной тригонометрической функции.

Правила дифференцирования. Производная. Производная сложных тригонометрических функций. Какая функция называется сложной? Производная сложной функции. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную сложной тригонометрической функции.
• Пример 2: Найти производную косинуса трех икс под корнем.
• Пример 3: Найти производную произведения.
• Пример 4: Найти производную тангенса в квадрате.
• Пример 5: Найти производную частного. 

 Урок 8. Производные сложных тригонометрических функций в точке.

Правила дифференцирования. Производная. Производная сложных тригонометрических функций. Какая функция называется сложной?Производная сложной функции. Производная сложной тригонометрической функции в точке. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную сложной тригонометрической функции.
• Пример 2: Найти производную тангенса икс квадрат.
• Пример 3: Найти производную произведения.
• Пример 4: Найти производную тангенса в квадрате.
• Пример 5: Найти косинус икс куб и косинус куб икс. 

 

 Урок 9. Производная показательной функции. Правила нахождения производных.

Производная показательной и сложной показательной функции. Алгебра 10, 11 класс. Какая функция называется показательной? Формулы для нахождения производной показательной функции. Что такое натуральный логарифм? Какой логарифм называется натуральным. Чему равно число е. Что является аргументом показательной функции. Правила нахождения производных. Правило суммы, произведения и частного для производных. Формулы для производных. Как взять производную показательной функции. Примеры с решением.

• Пример 1: Найти производную показательной функции с экспонентой в основании.
• Пример 2: Найти производную сложной показательной функции.
• Пример 3: Производная произведения с показательной функцией.
• Пример 4: Производная частного с показательной функцией.
• Пример 4: Производная показательной функции с тангенсом.
• Пример 5: Производная показательной функции у которой синус в основании.
• Пример 6: Производная синуса у которого аргумент показательная функция.  

 

Урок 10. Производная логарифма. Производная логарифмической функции.

Производная логарифмической функции. Производная сложной логарифмической функции. Производная частного. Производная произведения. Натуральный логарифм, десятичный логарифм. Производная логарифма. Число е. Производная натурального логарифма. Производная ln. Производная lg. Производная десятичного логарифма. Алгебра 10, 11 класс. Математический анализ. Мат анализ. Матан. Правила дифференцирования. Примеры с решением. Производная сложной функции. Производная от логарифма в степени. Производная ln в степени. Производная лн. Производная лг. Производная логарифма функции. Производная сложного логарифма. Производная логарифма сложной функции. Производная функция натурального логарифма. Сложная производная натурального логарифма. Производная логарифма примеры. Производная натурального логарифма сложной функции. Производная логарифм х. Производная натурального логарифма примеры. Производная логарифма формула. Производная натурального логарифма в степени. Производная от логарифма. Найти производную. Найти производную функции. Найти производную логарифма.

 Полезные материалы: 

 Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс.

Информация о материале

Автор: Math

Категория: Высшая математика

• Вперед

Добавить комментарий

Частные производные функций многих переменных от трех и более переменных — Криста Кинг Математика

Частные производные функций многих переменных

Иногда нам нужно найти частные производные для функций с тремя и более переменными, и мы будем делать это так же, как находили частные производные для функций с двумя переменными.

Мы возьмем производную функции по каждой переменной отдельно, что означает, что мы получим одну частную производную для каждой из наших переменных.

Когда мы берем производную по одной переменной, мы будем рассматривать все остальные переменные как константы.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Как вычислять частные производные функций многих переменных по трем и более переменным

92???

???\partial f/\partial x??? является частной производной функции ???f??? относительно ???x???, ???\partial f/\partial y??? является частной производной функции ???f??? относительно ???y???, и ???\partial f/\partial z??? является частной производной функции ???f??? относительно ???z???.

Давайте попробуем более сложный пример с более чем тремя переменными.

Мы возьмем производную функции по каждой переменной отдельно, что означает, что мы получим одну частную производную для каждой из наших переменных. 93}???

???\partial f/\partial w??? является частной производной функции ???f??? относительно ???w???, ???\partial f/\partial x??? является частной производной функции ???f??? относительно ???x???, ???\partial f/\partial y??? является частной производной функции ???f??? относительно ???y???, и ???\partial f/\partial z??? является частной производной функции ???f??? относительно ???z???.

Получить доступ к полному курсу Calculus 3

Начать

Learn mathКриста Кинг 28 сентября 2020 г. математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление iii, вычисление 3, исчисление iii, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, частные производные, частное дифференцирование, частные производные функций трех переменных, частные производные функций четырех переменных, исчисление 3

0 лайков

3.7: Производные обратных функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2496

• Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Цели обучения

• Вычисление производной обратной функции.
• Распознавать производные стандартных обратных тригонометрических функций.

В этом разделе мы исследуем связь между производной функции и производной обратной функции. Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение, чтобы найти производные обратных функций, не прибегая к предельному определению производной. В частности, мы будем применять формулы производных обратных функций к тригонометрическим функциям. Эта формула также может быть использована для распространения правила степени на рациональные показатели. 9{−1}(x)\big)}.\label{inverse1} \]

Альтернативно, если \(y=g(x)\) является инверсией \(f(x)\), то

\[g'(x)=\dfrac{1}{f’\big(g(x)\big)}. \label{inverse2} \]

Пример \(\PageIndex{1}\): применение теоремы об обратной функции

Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную \(g(x)=\dfrac{x+2 }{Икс}\). Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

Решение

Обратное выражение \(g(x)=\dfrac{x+2}{x}\) равно \(f(x)=\dfrac{2}{x−1}\). 9{−1/3} \nonumber \]

и

\[\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{x=8}=\frac{1}{3}\nonumber \]

наклон касательной к графику в точке \(x=8\) равен \(\frac{1}{3}\).

Подставив \(x=8\) в исходную функцию, получим \(y=4\). Таким образом, касательная проходит через точку \((8,4)\). Подставляя в формулу точки-наклона прямой, получаем касательную

\[y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}. \nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{3}\) 9{−1/2}\)

Производные обратных тригонометрических функций

Обратимся теперь к нахождению производных обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся бесценными при изучении интегрирования далее в этом тексте. Производные обратных тригонометрических функций довольно удивительны тем, что их производные на самом деле являются алгебраическими функциями. Ранее было доказано, что производные алгебраических функций являются алгебраическими функциями, а производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями. Здесь мы впервые видим, что производная функции не обязательно должна быть того же типа, что и исходная функция. 9{−1}x\) в \(x=0.\)

Подсказка

\(f′(0)\) — наклон касательной.

Ответить

\(у=х\)

Ключевые понятия

• Теорема об обратной функции позволяет вычислять производные от обратных функций без использования предельного определения производной.
• Мы можем использовать теорему об обратной функции, чтобы вывести формулы дифференцирования для обратных тригонометрических функций. 92−1}}\)

  Участники и авторство

  ---

  Эта страница под названием 3.7: Производные обратных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  No related posts.