Длина отрезка: Ошибка 403 — доступ запрещён

Отрезок. Длина и середина отрезка. Сравнение отрезков

• Длина отрезка
• Равные отрезки
• Сравнение отрезков
• Середина отрезка

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок  AB  или  BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные  1 мм,  1 см,  1 дм,  1 м  или  1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

AB = 6 см.

Свойства длин отрезков:

• Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

• Длины равных отрезков равны.
• Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка  CD  и  LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка  C  была над точкой  L,  то станет видно, что точка  D  располагается над точкой  М:

Значит длины отрезков равны, следовательно  CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например  C,  в одну сторону два отрезка  CA  и  CB  и точка  A  окажется между точками  C  и  B,  то отрезок  CA  меньше отрезка  CB  (или  CB  больше отрезка  CA):

CA < CB   или   CB > CA.

Если точка  B  окажется между точками  C  и  A,  то отрезок  CA  больше отрезка  CB  (или  CB  меньше отрезка  CA):

CA > CB   или   CB < CA.

Если точки  A  и  B  совпадут, то отрезки  CA  и  CB  равны:

CA = CB.

Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.

При сравнении отрезков путём измерения их длин больше будет тот отрезок, у которого больше длина.

Пример. Сравнить длину отрезков  AB  и  AC.

Так как отрезок  AB  имеет большую длину, чем отрезок  AC,  то

AB > AC.

---

Так как отрезки   AB  и  AC  имеют одинаковую длину, то

AB = AC.

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Длина отрезка / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Начальные геометрические сведения
5. Длина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, которая имеет начало и конец, значит отрезки можно измерять.

Измерить отрезок — значит найти его длину (расстояние между его концами)

.

Для того, чтобы найти длину отрезка, его сравнивают с отрезком принятым за единицу измерения, который носит название единичный отрезок.

Если за единицу измерения принять сантиметр, то, чтобы определить длину отрезка, нужно узнать сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рис.1 в отрезке СD сантиметр укладывается ровно три раза, значит, длина отрезка СD равна 3 см, можно записать СD = 3 см. В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.

Бывает, что единичный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, тогда единичный отрезок делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна десятая часть укладывается в остатке измеряемого отрезка. На

рис.2 в отрезке СВ сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 3 раза укладывается одна десятая часть сантиметра, значит, длина отрезка СВ равна 3,3 см или, учитывая что для сантиметра десятая часть равна миллиметру, 3 см 3 мм, т.е. можно записать СВ = 3,3 см (СВ = 3 см 3 мм).

Может получится так, что и в миллиметрах остаток не укладывается целое число раз, тогда:

• Если точность измерения не имеет большой роли, то, как видно на Рис.3, в отрезке СК сантиметр укладывается два раза с остатком, в остатке миллиметр укладывается 6 раз с остатком, говорят о приближенных значениях, т. е. длина отрезка приближенно равна 2,6 см
  или 2 см 6 мм, и записывают длина отрезка СК 2,6 см (СК 2 см 6 мм).

         

• Если нужны более точные измерения, то процесс деления продолжается, т.е. миллиметр также можно разделить на 10 равных частей и т.д. Такая точность в повседневной жизни не нужна, поэтому пользуются приближенными значениями, но имеет важную роль при проведении каких-либо исследований для совершения научных открытий.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и другие отрезки, например, дециметр, метр и т.д.

Длина отрезка — это всегда какое-то положительное число.

Свойства длин отрезков:

1. Равные отрезки имеют равные длины.
2. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Так на Рис.4 точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Приложим линейку и видим, что АС = 4,5 см, СВ = 2,5 см, АВ = 7 см, т.е. АС + СВ = АВ.

         

3. Если длина одного отрезка MN в n раз больше длины другого отрезка PQ, то записывают MN = nPQ. На Рис.5 даны два отрезка MN и PQ, приложим к ним линейку и видим, что MN = 8 см, PQ = 2 см, т.е. MN больше PQ в 4 раза, тогда можно записать, что MN = 4PQ.

         

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 31, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 74, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 75, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 76, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 322, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1276, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Длина сегмента: определение, формула и примеры

Кто любит альпинизм? Я помню, как часть нашего поступления в колледж, мы, новички, должны были преодолевать большие расстояния, включая альпинизм. Чтобы мы не упали в обморок в пути, это долгое путешествие было разделено на несколько остановок, которые назывались «альпинистскими сегментами». В этой статье будет рассмотрено все, что вам следует знать о длине сегмента .

Что означает длина сегмента?

Расстояние между двумя точками на отрезке прямой равно длине отрезка.

Это очень краткое определение. Короче говоря, длина сегмента — это «от одной точки до другой». Вспомните альпинистские отрезки, это были лишь части общей дистанции, которую нам предстояло преодолеть.

Иллюстрация сегментов линии с дорогой, StudySmarter Originals

Между тем, невозможно понять длину сегмента, не принимая во внимание перспективные точки, потому что вы должны определить, где сегмент начинается, а также где он заканчивается.

Какова длина отрезка между двумя точками?

Длина отрезка между двумя точками — это расстояние между двумя точками. Одна точка служит отправной точкой, с которой начинается измерение. Между тем, другой — это конечная точка, в которой останавливается измерение. Иногда это имя с маленькой буквы или с буквами в верхнем регистре. Например, если есть две точки А и В, мы можем назвать отрезок длины, существующий между А и В, или с, или мы можем просто назвать отрезок прямой АВ.

Изображение длины отрезка, StudySmarter Originals

Какие координаты существуют на длине отрезка между двумя точками?

Поскольку мы имеем дело с точками, нам необходимо знать их положение на декартовой плоскости. Другими словами, мы должны знать положение начальной и конечной точки по осям x и y. Это положение называется координатами точек отрезка длины и записывается в виде (x ₁ , y ₁ ) и (х ₂ , у ₂ ).

Здесь

x ₁ означает положение начальной точки по оси X,

y ₁ означает положение начальной точки по оси Y,

x ₂ означает положение начальной точки по оси Y. положение конечной точки по оси x

и

y ₂ означает положение конечной точки по оси y.

На изображении ниже это ясно показано.

Графическое изображение двух точек длины отрезка с указанием их координат, StudySmarter Originals

Теперь мы можем видеть отрезок длины не только как расстояние, но теперь мы рассматриваем точки, определяющие это расстояние.

Теперь вы должны подумать о том, как определить длину отрезков, когда вы знаете их начальную и конечную точки.

Какова формула для длины отрезка между двумя координатами?

Чтобы найти длину отрезка, мы можем создать прямоугольный треугольник и, следовательно, использовать теорему Пифагора для определения расстояния:

На изображении показано использование теоремы Пифагора для вычисления длины отрезка по двум точкам, StudySmarter Оригиналы

Мы видим, что ∆y — это расстояние по вертикали между точками A и B. ∆x — это расстояние по горизонтали между точками A и B. Следовательно, мы можем составить треугольник Пифагора, подставив расстояние между точками A и B как d.

Используя теорему Пифагора, мы знаем:

d2=∆y2+∆x2

Поскольку расстояние между двумя точками не может быть отрицательным, мы знаем:

d=+∆y2+∆x2

Для точек A=(x1 ,y1) и B=(x2,y2):

∆y=y2-y1 и ∆x=x2-x1

Следовательно:

d=+(y2-y1)2+(x2-x1)2

Обратите внимание, что, поскольку ∆y и ∆x возводятся в квадрат, нет необходимости брать абсолютное значение этих чисел как их возведение в квадрат. превращает их в положительные. Также обратите внимание, что квадратный корень не отменяет того факта, что ∆y и ∆x возводятся в квадрат, поскольку уравнение добавляет эти члены, а не умножает их.

Найти расстояние между точками A=(5, 0) и B=(3,7)

Решение:

Подставив координаты в уравнение для длины отрезка:

d=+(7-0)2+(3-5)2

d=+72+(-2)2

d=+49+4

d=+53

d=7,28( 2d. p.)

Если не указано иное, вы можете оставить свой ответ в точной или числовой форме.

Длина сегмента с конечными точками

В некоторых случаях вам могут быть заданы только конечные и средние точки, и вам потребуется определить длину всего сегмента.

Середина — это точка на полпути между начальной и конечной точками.

Когда это происходит, первым делом нужно найти начальную точку, которая не была указана изначально. Итак, для начальной точки A(x ₁ , y ₂ ), середины M (x _м , y _м ) и конечной точки B (x ₂ , y ₂ ) средняя точка для ось x рассчитывается как:

xm=x1+x22

, а середина оси y рассчитывается как:

ym=y1+y22

заданы конечная точка и середина. В этом случае вам просто нужно сделать в соответствующих случаях х ₁ или у ₁ предмет формулы. Это означает, что координата начальной точки по оси x x ₁ равна:

x1=2xm-x2

Решается как

xm=x1+x22xm=x1+x222xm=x1+x2x1=2xm- x2

и координата начальной точки по оси Y, y ₁ равна:

y1=2ym-y2

Решается как

ym=y1+y22ym=y1+y222ym=y1+ym2y1=2y1+y2y1=2ym-y2

-y2

Если Нонсо находится в путешествии, в котором его путь является линейным, и в настоящее время он преодолел половину расстояния. Если его текущая координата (4, -2) и его путешествие заканчивается в K (9, 5), найти длину отрезка всего пути.

Решение:

Судя по предоставленной информации, Нонсо в настоящее время находится в середине всего пути, который является длиной отрезка пути. Поскольку K — это место, где заканчивается путешествие, это означает, что у нас есть конечная точка. Теперь мы можем найти координаты нашей начальной точки как

x1=2xm-x2xm=4×2=9×1=2(4)-9×1=8-9×1=-1

и

y1=2ym-y2ym= -2y2=5y1=2(-2)-5y1=-4-5y1=-9

Это означает, что Нонсо начал свое путешествие в точке (-1,-9).

Теперь мы знаем его начальную точку, мы можем рассчитать длину отрезка пути как:

d=+(y2-y1)2+(x2-x1)2d=+(5-(-9)) 2+(9-(-1))2d=+(5+9)2+(9+1)2d=+142+102d=+196+100d=296d=17,2

Какова длина отрезка круг?

Отрезок окружности ограничен дугой и хордой. Линейный сегмент круга может быть либо диаметром круга, когда линия проходит через центр круга, либо хордой, если линия проходит в любом другом месте, кроме центра круга.

Чтобы вычислить длину сегмента окружности, когда он проходит через центр, умножьте заданный радиус на 2. Однако, когда он проходит вне центра, тогда длина сегмента окружности равна длине хорды, вычисляемой как

d=2r×sin(θ2)

Где r — радиус, а θ — угол, образуемый сектором, образующим сегмент.

Эта формула была получена из описания изображения ниже;

Изображение, иллюстрирующее получение длины сегмента окружности, StudySmarter Originals

из изображения с помощью SOHCATOA получаем

sin(θ2)=d2rr×sin(θ2)=d2d=2r×sin(θ2)

Найдите длину отрезка окружности радиусом 10 см, который стягивается на 120° в центре.

Решение:

Пример отрезка в круге, StudySmarter Originals

Длина отрезка равна

d=2r×sin(θ2)d=2×10см×sin(120°2)d =2×10 см×sin(60°)d=20 см×0,866d=17,32 см

Длина сегмента — основные выводы

• Сегмент линии — это расстояние между двумя координатами.
• Рассчитывается по теореме Пифагора.
• Длину сегмента можно рассчитать, если заданы конечная и средняя точки.
• Отрезок окружности представляет собой либо диаметр, либо хорду, в зависимости от того, проходит ли линия через центр окружности.

Нахождение длины и середины отрезка — Криста Кинг Математика

Что такое середина отрезка?

В этом уроке мы рассмотрим, как алгебраически найти длину отрезка прямой, когда у нас есть информация и измерения частей отрезка прямой.

Помните, что отрезок — это конечный отрезок линии, названный по его концам. Например, отрезок ???\overline{AB}??? может выглядеть так:

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Отрезки и расстояние

Расстояние между двумя точками на отрезке называется длиной отрезка. Обычно мы используем тот же символ для длины отрезка, что и для самого отрезка. Итак ???\overline{AB}??? может использоваться для представления самого сегмента, а также длины сегмента.

В этом примере расстояние между точками ???A??? и ???Б???

???\overline{AB}=|3-(-2)|???

???\overline{AB}=|3+2|???

???\overline{AB}=|5|???

???\overline{AB}=5???

В этом примере вы также можете считать от ???A??? в ???Б??? и получить расстояние ???5???. Как видите, иногда бывает полезно нарисовать числовую линию, чтобы визуализировать длину отрезка.

Нахождение длины отрезка, а затем его середины

Пройти курс

Хотите узнать больше о геометрии? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Узнать больше

Использование числовой прямой для решения задач средней точки

Пример

Точки ???S???, ???T???, ???U???, ???V???, и ???В??? лежат по порядку на числовой прямой. Точка ???U??? находится в ???-2???. Где находятся остальные точки?

???\overline{ST}=2???

???\overline{TU}=1???

???\overline{UV}=3???

???\overline{VW}=2???

Если мы нанесем точку ???U??? в ???-2???, затем ???S???, ???T???, ???U???, ???V???, и ???W?? ? должно быть нанесено таким образом:

Мы знаем точку ???U??? находится на ???-2??? и ???\overline{TU}=1???. Это позволяет нам найти точку ???T??? в 3???. Теперь мы можем использовать ???\overline{ST}=2??? найти, что ???S=-5??? и ???\overline{UV}=3??? найти, что ???V=1???. Теперь мы можем найти точку ???W??? используя ???\overline{VW}=2???, поэтому ???W=3???.

Давайте посмотрим на другой пример.

Расстояние между двумя точками на отрезке называется длиной отрезка.

Пример

Найти ???\overline{AB}???, если ???\overline{AC}=12??? и ???\overline{BC}=7???.