Решение уравнений логарифмов: Решение логарифмических уравнений по определению логарифма — урок. Алгебра, 11 класс.

Логарифмические уравнения на примерах

Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения

Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов — положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида

Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)

В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнении

удобно сделать замену и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.

Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.

Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера

На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виде

Делаем замену

и переписываем

Умножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравнения

Вычисляем дискриминант

Корни уравнения приобретут значения

Возвращаемся к замене и находим


Уравнение имеет два решения

 

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмов

Учитывая что уравнение примет вид

Переносим слагаемое за знаком равенства в правую сторону


Оба множители приравниваем к нулю и находим

 

Пример 3. Решить уравнение.

Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения

делаем замену

и сводим уравнение к квадратному

Дискриминант такого уравнения принимает нулевое значение — уравнение имеет два одинаковых решения

Возвращаемся к замене которую делали выше

 

Пример 4. Решить уравнение.

Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравнения



Логарифмическое уравнение упростится до следующего

Поскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеем

Расписываем и решаем с помощью дискриминанта



Второй корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.

 

Пример 5. Найти решение уравнения .

Решение. Выполняем упрощения уравнения




По свойству переходим ко второй основы во втором логарифме



По правилу логарифмирования имеем

Сводим уравнение к квадратному и решаем его


Дискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два

 

Пример 6. Найти решение уравнения.

Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к виду

и подставим в уравнение

Поскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравнения

Выполняем замену и сводим к квадратному уравнению



Возвращаемся к замене и вычисляем

 

Пример 7. Найти решение уравнения.

Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.
Упростим сначала второй логарифм

Дальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифм

Приравниваем к правой части уравнения и упрощаем




Как видите — решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.

При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.

Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма

Цели урока:

• обучающие: закрепить основные способы решения логарифмических уравнений: по определению логарифма с учётом области определения, на основании свойств монотонности (потенцирование) с учётом равносильности перехода, переход к новому основанию, введение новой переменной; рассмотреть некоторые приемы быстрого решения уравнений рассматриваемого типа;
• развивающие: содействовать развитию логического мышления учащихся; развивать умения рассуждать, сравнивать, осмысливать материал; развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему; развивать навыки обобщения;
• воспитывающие: воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения; побуждение учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитание у учащихся уверенности в себе, веры в свои силы в нестандартной ситуации.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.

1. Организационный момент

(сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока), (на партах у каждого раздаточный материал см. Приложение 1).

Изучив основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов, овладев основными приемами решения логарифмических уравнений и неравенств, наша основная задача на сегодняшний урок – обобщить методы решения логарифмических уравнений, содержащих переменную в основании логарифма.

2. Активизация знаний учащихся.

Устная работа:

1. Найдите область определения функций:

 

 

 

Ответ: (0;1) U (1;∞)

(- 4; — 3) U (- 3; — 1) U (1;∞)

(-∞; — 2) U (- 2; 2)

2. Каким способом решается уравнение:

. Ответ: по определению логарифма. Решений нет!!

3. При каком значении параметра
   а функция определена на множестве (1; ∞); если изменить основание, значение параметра изменится?

Ответ: а ≥ 1

 

Ответ: а ≥ 1

 

Ответ: а > 1

3. Основная часть урока.

Слайд 2. Виды уравнений и методы решения

слайд 3.

На области определения  по определению логарифма

Или

слайд 4.

Пример  Решение:   x=6. Ответ: 6.

слайд 5.

На области определения  по определению логарифма

слайд 6.

Пример:

Решение: 7x-14=3-2x; 9x=17; x=17/9; НО!!!  промежутки не пересекаются, значит, решений нет!! Ответ: решений нет.

слайд 7.

Пример:Каким способом решается уравнение?

предполагаемый ответ учащихся: решаем, применяя определение логарифма (решение учеником письменно на доске и в тетрадях)

Решение:    

при х= 6  верно. Ответ: 6

Слайд 8

Слайд 10. На найденной области определения  

решим уравнение: , , х = 0 или х = 1,5

 Ответ: 1,5

Слайд 11 Следующий вид уравнения:

Одна и та же функция в основании логарифма

Вопрос: Каким способом решать?

Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к следствию  

Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 12. Одна и та же функция является подлогарифмическим выражением

Вопрос: Каким способом решать? Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к совокупности уравнений

 Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 13 .Пример

Решение:

 

Слайд 14. На промежутке  решаем совокупность уравнений:

  

Слайд 15. Проверяем на принадлежность этих чисел области определения, делаем вывод: решением уравнения являются числа: ; . Ответ: ;.

Слайд 16 Следующий вид уравнений:

Область определения достаточно объёмная

Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 17. Как вы думаете, каким способом лучше решать это уравнение?

Один из вариантов ответов: переход к новому основанию (числовому)

Слайд 18. или к буквенному  

Слайд 19. Пример:

(решение с подробным комментарием письменно на доске и в тетрадях).

Решение: Очевидно . Выполним преобразования основания и подлогарифмического выражения правой части уравнения

,

Перейдём в правой части уравнения к новому основанию х, применяя свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей по такому же основанию

 ,

Выполним замену переменных

Получим уравнение , ,

Выполнив обратную замену, получим

 Х= — 1.

Очевидно – 1 не входит в область определения заданного уравнения.

Или , , .

По свойству: если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что

a + c – b =0, то Х= — 1, Х= ½. Ответ: ½

Слайд 20   

Следующий тип уравнений

Слайд 21. Пример  

Решение:

  Ответ: 5,5.

Слайд 22 «Комбинированные» виды уравнений

Пример

Решение: очевидно   

  

Слайд 23  , ,  

(очевидно, последнее уравнение решений не имеет)

Слайд 24 , . Ответ:

Слайд 25 Уравнения, левая часть которых – сумма взаимно обратных слагаемых

Пример:  (*)

Очевидно, каждое слагаемое равно 1.

Получим систему, равносильную уравнению (*)

Слайд 26

  x = 2. Ответ: 2

Слайд 27. В чём отличие в решении следующего уравнения?

  (*)

Равенство взаимно обратных слагаемых верно при условии х > 0,5, х ≠ 1,5.

На рассматриваемом промежутке уравнение (*) равносильно совокупности

 

Слайд 28

Слайд 29

с учётом области определения:  Ответ: 1

Подведение итогов урока

4. Домашнее задание.

Слайд 30. Решите уравнения: ,

 

P. S. Урок проведён в 10 классе физико-химического профиля. Уложились за урок за счёт экономии времени: на партах лежали у каждого ученика листы с напечатанными типами уравнений, учащиеся записывали только метод решения (без области определения и решения). Эти листы ученики забрали с собой и вклеили в тетрадь.

В слабом классе лучше потратить на эту тему сдвоенный урок.

P. S. S. В кабинете один компьютер с выходом на экран телевизора. В связи с этим, на слайдах текст печатается очень крупно.

Список используемой литературы:

1. Балаян Э. Н. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вузов. — М: ИКЦ «МарТ»; Ростов-на-Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.
2. Балаян Э. Н. Математика. Серия «Единый госэкзамен». — Ростов н/Д: Феникс, 2004.
3. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. — М.: Айрис-пресс, 2004.
4. Математика: Варианты задач для вступительных испытаний в НГУЭУ. — Новосибирск: НГУЭУ, 2005.
5. Математика: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. — М.: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2004.
6. Уравнения и неравенства: Учеб. пособие / А. Г. Калашникова и др.— Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.

Презентация.

Решение логарифмических уравнений | ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к просмотру приведенных ниже рабочих примеров.

• Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм с каждой стороны уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы равными друг другу, а затем решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \color{blue}M и \color{red}N.

• Второй тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его как показательное уравнение и решить его.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения, рассмотрев несколько примеров.

---

Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило, если вы забыли.

• Дано

• Применить правило продукта из правил журнала.

• Распределить: \left( {x + 2} \right)\left( 3 \right) = 3x + 6

• Отбросьте логи, установите аргументы (в скобках) равными друг другу.

• Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что ты справился с этой частью!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА сверяйте полученные значения с исходным логарифмическим уравнением.

Помните:

• Это ОКЕЙ для x, чтобы быть 0 или отрицательным.
• Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при подстановке или вычислении в исходное логарифмическое уравнение.

ВНИМАНИЕ: Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля оба не определены .

{\log _b}\left({{\rm{отрицательное\,\,число}}} \right) = {\rm{undefined}}

{\log _b}\left( 0 \right) = {\rm{undefined}}

Давайте проверим наш ответ, чтобы убедиться, что x=7 является допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, дает ли оно верное утверждение.

Да! Поскольку x = 7 проверок, у нас есть решение при \color{blue}x = 7.

---

  Пример 2: Решите логарифмическое уравнение.

Начните с объединения выражений журнала слева в единый логарифм, используя правило произведения. Мы хотим иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения. Будьте готовы решить квадратное уравнение, так как x будет иметь степень 2. 92} — 2x

• Отбросьте логи, установите аргументы (в скобках) равными друг другу

• Решите квадратное уравнение, используя метод факторинга. Но вам нужно переместить все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.

• Установите каждый коэффициент равным нулю, затем найдите x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Таким образом, возможные решения: x = 5 и x = — 2. Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно к исходному логарифмическому уравнению.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут правильными решениями.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x =-2 генерирует отрицательные числа внутри круглых скобок (логарифм нуля и отрицательных чисел не определен), что заставляет нас исключить x =-2 как часть нашего решения.

Таким образом, окончательное решение равно \color{blue}x=5. Мы пренебрегаем x=-2, потому что это лишнее решение.

---

Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем разность логарифмических выражений в обеих частях уравнения. Упростите или сократите журналы с обеих сторон, используя правило частного.

• Дано

• Разница в журналах говорит нам использовать правило частного. Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри круглых скобок. Проделайте это с обеими частями уравнений.

• Я думаю, что мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему, чтобы иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения.

• Отбросьте журналы и установите аргументы (в скобках) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить перекрестный продукт .

• Это выглядит так после получения перекрестного произведения.

• Упростить обе стороны с помощью Распределительного свойства. В этот момент мы понимаем, что это просто квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Переместите все в одну сторону, что заставит одну часть уравнения быть равной нулю.

• Это легко вычислить. Теперь установите каждый фактор равным нулю и найдите x.

• Итак, это наши возможные ответы.

Я оставлю это вам, чтобы сверить наши потенциальные ответы с исходным логарифмическим уравнением. Вы должны убедиться, что \color{blue}x=8 — единственное решение, а x =-3 — нет, поскольку оно создает сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Не хорошо!

---

Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что оно имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение. С левой стороны мы видим разницу в журналах, что означает, что мы применяем правило отношения, в то время как справа требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание с левой стороны. Вы видите этот коэффициент \Large{1 \over 2}\,?

Что ж, мы должны привести его в порядок, используя правило степени в обратном порядке.

• Дано

• Поднимите этот коэффициент \large{1 \over 2} как показатель степени (обратитесь к крайнему левому члену)

• Упростите показатель степени (по-прежнему ссылаясь на крайний левый член)

9 0004

Тогда , уплотните журналы по обе стороны уравнения. Используйте Частное правило слева и Правило произведения справа.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если не указано явно, предполагается, что она равна 10), можно установить их равными друг другу.

• Отбрасывание логов и просто приравнивание аргументов внутри скобок.

• На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну часть уравнения, а затем вынесите их за скобки.

• Приравняйте каждый множитель к нулю и найдите x.

Пришло время проверить ваши возможные ответы. Когда вы снова проверите x=0 в исходном логарифмическом уравнении, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, а это означает – нехорошо! Итак, мы должны проигнорировать или отбросить \color{red}x=0 в качестве решения.

Проверка \Large{x = {3 \over 4}} подтверждает, что \Large{\color{blue}{x = {3 \over 4}}} является единственным решением .

---

Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема связана с использованием символа \ln вместо \log для обозначения логарифма.

Думайте о \ln как о особом виде логарифма, использующего основание e, где e \ приблизительно 2,71828.

• Дано

• Использовать правило произведения справа

• Сначала запишите переменную, а затем константу, чтобы подготовить метод FOIL.

• Упростите два бинома, перемножив их вместе.

• В этот момент я просто закодировал выражение в скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.

• Ага! Здесь мы говорим, что материал внутри левой скобки равен материалу внутри правой скобки.

• Решите квадратное уравнение, используя метод квадратного корня. Вы делаете это, изолируя переменную в квадрате с одной стороны и константу с другой. Затем мы применяем квадратный корень с обеих сторон.

Не забудьте символ \pm .

• Упрощая далее, мы должны получить эти возможные ответы.

Проверьте, являются ли потенциальные ответы, найденные выше, возможными ответами, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

Вы должны быть уверены, что ЕДИНСТВЕННОЕ правильное решение — это \large{\color{blue}x = {1 \over 2}}, что делает \large{\color{red}x = -{1 \over 2}} посторонний ответ.

---

Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас есть

. Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

• Дано

• Я выделил цветом части логарифмического уравнения, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.

• Синее выражение остается на своем текущем месте, но красное число становится показателем степени основания логарифма, равного 3. 94} = 81.

• В завершение решим возникающее линейное уравнение, состоящее из двух шагов.

Вы должны убедиться, что значение \color{blue}x=12 действительно является решением логарифмического уравнения.

---

Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

Соберите все логарифмические выражения в одной части уравнения (оставьте ее слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило отношения, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в круглых скобках логарифма.

• Дано

• Переместите все логарифмические выражения влево от уравнения, а константу вправо.

• Используйте правило отношения, чтобы сжать выражения журнала в левой части.

• Приготовьтесь записать логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму.

• Синее выражение остается на своем текущем месте, но красная константа оказывается показателем степени основания журнала.
9{\цвет{красный}1}=5.

• Это рациональное уравнение из-за присутствия переменных в числителе и знаменателе.

Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но я должен сначала выразить правую часть уравнения с явным знаменателем 1. То есть 5 = ​​{\large{{5 \over 1}}}

• Выполнить перекрестное умножение, а затем решить полученное линейное уравнение.

Когда вы сверяете x=1 с исходным уравнением, вы должны согласиться с тем, что \large{\color{blue}x=1} является решением логарифмического уравнения.

---

Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

Эта задача очень похожа на №7. Соберем все логарифмические выражения слева, сохранив константу справа. Поскольку у нас есть разница в журналах, мы будем использовать правило частного.

• Дано

• Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.

• Примените правило частного, так как они являются разницей журналов.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, куда они идут после перезаписи в экспоненциальной форме.

• Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем местоположении, а \color{red}5 становится показателем степени основания.

• Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.

• Упростим правую часть по распределительному свойству. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.

• Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону просто нулевой.

Вынесите трехчлен на множители. Установите каждый фактор равным нулю, затем найдите x.

• Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как возможные решения.

Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

Согласитесь, \color{blue}x=-32 — единственное решение. Это делает \color{red}x=4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.

---

Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

Надеюсь, теперь вы уловили основное представление о том, как решать задачи такого типа. Здесь мы видим три логарифмических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

• Давайте сохраним выражения журнала слева, а константу справа.

• Начните с сокращения выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.

• Затем еще больше уплотните выражения журнала, используя правило отношения, чтобы справиться с разницей журналов.

• На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что я готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.

• Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \color{red}1 справа в качестве показателя степени основания 7.

• Решите это рациональное уравнение, используя векторное произведение. Выразите 7 как \large{7 \over 1}.

• Крест умножить.

• Переместите все члены в левую часть уравнения. Вынеси трехчлен. Затем установите каждый фактор равным нулю и найдите x.

• Это ваши возможные ответы. Всегда проверяйте свои значения.

Очевидно, что если снова подставить x=-8 в исходное уравнение, получится логарифм с отрицательным числом. Поэтому вы исключаете \color{red}x=-8 как часть своего решения.

Таким образом, единственным решением является \color{blue}x=11.

---

Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

• Оставьте выражение журнала слева, а все константы переместите справа.

• Упрощение.

• Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в показательное уравнение.

• Выражение в круглых скобках остается на своем текущем местоположении, а константа 3 становится показателем степени логарифмической базы 3. 93}=27. Здесь мы имеем простое радикальное уравнение.

Посмотрите этот отдельный урок, если вам нужно освежить знания о том, как решать различные типы радикальных уравнений.

• Чтобы избавиться от радикала в левой части, возведите в квадрат обе части уравнения.

• После возведения обеих сторон в квадрат получается линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

Сделав это, вы должны убедиться, что \color{blue}x=-104 действительно верное решение.

---

Вас также может заинтересовать:

Сокращенные логарифмы

Раскрывающиеся логарифмы

Объяснение логарифмов

Правила логарифмирования

Алгебра — решение уравнений логарифмов

Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Экспоненциальные и логарифмические функции / Решение логарифмических уравнений

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.

е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6.4: Решение логарифмических уравнений

В этом разделе мы рассмотрим решение логарифмических уравнений или уравнений с логарифмами в них. Здесь мы рассмотрим два конкретных типа уравнений. В частности, мы рассмотрим уравнения, в которых каждый член является логарифмом, а также мы рассмотрим уравнения, в которых все члены уравнения, кроме одного, являются логарифмами, а член без логарифма будет константой. Кроме того, мы будем предполагать, что логарифмы в каждом уравнении будут иметь одно и то же основание. Если в логарифмах уравнения более одного основания, процесс решения становится намного сложнее.

Прежде чем мы приступим к решению, нам нужно помнить, что мы можем подставлять только положительные числа в логарифм. Это будет важно в будущем, поэтому мы не можем об этом забывать.

Теперь давайте начнем с уравнений, в которых каждый член является логарифмом, а все основания логарифмов одинаковы. В этом случае мы будем использовать тот факт, что

\[{\mbox{Если}}{\log _b}x = {\log _b}y{\mbox{тогда}}x = y\]

Другими словами, если у нас в задаче два логарифма, по одному по обе стороны от знака равенства и оба с коэффициентом, равным единице, то мы можем просто отбросить логарифмы.

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 1. Решите каждое из следующих уравнений.

1. \(2{\log _9}\left({\sqrt x} \right) — {\log _9}\left({6x — 1} \right) = 0\)
2. \(\log x + \log \left( {x — 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\)
3. \(\ln 10 — \ln \left( {7 — x} \right) = \ln x\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(2{\log _9}\left({\sqrt x } \right) — {\log _9}\left({6x — 1} \right) = 0\) Показать решение

В этом уравнении есть только два логарифма, поэтому легко получить по обе стороны от знака равенства. Нам также нужно будет разобраться с коэффициентом перед первым членом. 92} & = {\log _9}\left({6x — 1} \right)\\ {\log _9}x & = {\log _9}\left({6x — 1} \right)\end{align *}\]

Теперь, когда у нас есть два логарифма с одинаковым основанием и коэффициентами 1 по обе стороны от знака равенства, мы можем отбросить логи и решить.

\[\begin{align*}x & = 6x — 1\\ 1 & = 5x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{1}{5}\end{align*} \]

Теперь нам нужно побеспокоиться о том, не приведет ли это решение к отрицательным числам или нулям в логарифмах, поэтому следующим шагом будет вставить это в исходное уравнение и посмотреть, получится ли.

\[2{\log _9}\left({\sqrt {\frac{1}{5}}} \right) — {\log _9}\left({6\left({\frac{1}{5} }} \right) — 1} \right) = 2{\log _9}\left( {\sqrt {\frac{1}{5}} } \right) — {\log _9}\left({\frac {1}{5}} \справа) = 0\]

Обратите внимание, что здесь нам не нужно делать чек до конца.

Нам просто нужно убедиться, что после подстановки \(x\) у нас не будет отрицательных чисел или нулей в логарифмах. Поскольку в данном случае у нас нет решения, это \(x = \frac{1}{5}\).

b \(\log x + \log \left( {x — 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\) Показать решение

Итак, в этом уравнении три логарифма, а может быть только два. Итак, мы видели, как выполнять такую ​​работу, в наборе примеров в предыдущем разделе, поэтому нам просто нужно сделать то же самое здесь. На самом деле не имеет значения, как мы это делаем, но поскольку на одной стороне уже есть один логарифм, мы могли бы также объединить журналы на другой стороне. 92} — 4x — 12 & = 0\\ \left( {x — 6} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} х = — 2,\,\,х = 6\конец{выравнивание*}\]

Теперь, прежде чем мы объявим их решениями, мы ДОЛЖНЫ проверить их в исходном уравнении.

\(х = 6\, :\)

\[\begin{align*}\log 6 + \log \left( {6 — 1} \right) & = \log \left( {3\left( 6 \right) + 12} \right)\\ \ журнал 6 + \ журнал 5 & = \ журнал 30 \ конец {выравнивание *} \]

Нет логарифмов отрицательных чисел и нет логарифмов нуля, так что это решение.

\(х = — 2\, :\)

\[\log \left( { — 2} \right) + \log \left( { — 2 — 1} \right) = \log \left( {3\left( { — 2} \right) + 12} \верно)\]

Дальше идти не надо, в первом члене стоит логарифм отрицательного числа (остальные тоже отрицательные) и это все, что нам нужно, чтобы исключить это как решение.

Будьте осторожны. Мы не исключаем \(x = — 2\), потому что оно отрицательное, проблема не в этом. Мы исключаем его, потому что, как только мы подставим его в исходное уравнение, мы получим логарифмы отрицательных чисел. Возможны отрицательные значения \(x\) для решения этих проблем, так что не перепутайте причину исключения этого значения.

Кроме того, в том же духе мы взяли \(x = 6\) в качестве решения не потому, что оно было положительным, а потому, что оно не давало никаких отрицательных чисел или нулей в логарифмах при подстановке. Положительные числа могут не быть решениями. 2} — 7x + 10 & = 0\ \ \left( {x — 5} \right)\left( {x — 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 2,\,\,x = 5\конец{выравнивание*}\]

У нас есть два возможных решения для проверки.

\(х = 2 :\)

\[\begin{align*}\ln 10 — \ln \left( {7 — 2} \right) & = \ln 2\\ \ln 10 — \ln 5 & = \ln 2\end{align*} \]

С этим все в порядке.

\(х = 5 :\)

\[\begin{align*}\ln 10 — \ln \left( {7 — 5} \right) & = \ln 5\\ \ln 10 — \ln 2 & = \ln 5\end{align*} \]

Этот тоже подойдет.

В этом случае оба возможных решения, \(x = 2\) и \(x = 5\), на самом деле являются решениями. Нет причин ожидать, что всегда придется выбрасывать одно из двух в качестве решения.

Теперь нам нужно взглянуть на второй вид логарифмического уравнения, которое мы будем решать. В этом уравнении будут все члены, но один будет логарифмическим, а один член, не имеющий логарифма, будет константой. 2} — 6x} \right) = 3 + {\log _2}\left({1 — x} \right)\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \({\log _5}\left({2x + 4} \right) = 2\) Показать решение

Чтобы решить их, нам нужно привести уравнение к тому виду, в котором оно находится. Нам нужен один логарифм в уравнении с коэффициентом, равным единице, и константой по другую сторону от знака равенства. Как только мы получим уравнение в этой форме, мы просто преобразуем его в экспоненциальную форму.

Итак, давайте сделаем это с этим уравнением. Экспоненциальная форма этого уравнения: 92} = 25\]

Обратите внимание, что это уравнение мы можем легко решить.

\[2x = 21\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}x = \frac{{21}}{2}\]

Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно снова подключить это к исходному уравнению и посмотреть, будет ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение.

\[\ begin{align*}{\log _5}\left( {2\left( {\ frac {{21}}{2}} \right) + 4} \right) & = 2\\ {\log _5}\left( {25} \right) & = 2\end{align*}\]

Только положительные числа в логарифме, поэтому \(x = \frac{{21}}{2}\) на самом деле является решением.

b \(\log x = 1 — \log \left( {x — 3} \right)\) Показать решение

В этом случае у нас есть два логарифма в задаче, поэтому нам нужно объединить их в один логарифм, как мы сделали в первом наборе примеров. Выполнение этого для этого уравнения дает

\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x — 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x — 3} \right)} \ справа) & = 1\end{align*}\]

Теперь, когда уравнение приведено в правильную форму, мы преобразуем его в экспоненциальную форму. 2} — 3x — 10 & = 0\\ \left( {x — 5 } \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = — 2,\,\,x = 5\end{align*} \]

Итак, у нас есть два возможных решения. Давайте проверим их обоих.

\(*х = — 2:\)

\[\log \left( { — 2} \right) = 1 — \log \left( { — 2 — 3} \right)\]

У нас есть отрицательные числа в логарифмах, поэтому это не может быть решением.

\(х = 5:\)

\[\begin{align*}\log 5 & = 1 — \log \left( {5 — 3} \right)\\ \log 5 & = 1 — \log 2\end{align*}\]

Нет отрицательных чисел или нулей в логарифмах, так что это решение.

Следовательно, у нас есть единственное решение этого уравнения, \(x = 5\).

Опять же, помните, что мы не исключаем потенциальное решение, потому что оно отрицательное, и не включаем потенциальное решение, потому что оно положительное.