Решение уравнений с неизвестным в степени: Как решать показательные уравнения. Методы и способы решения

Решение уравнений с неизвестным в 4 степени. Степенные или показательные уравнения

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме.

Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить

методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Решение Декарта — Эйлера

Сделав подстановку , получим уравнение в следующем виде (он называется «неполным»):

y 4 + p y 2 + q y + r = 0 .

Корни y 1 , y 2 , y 3 , y 4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

,

причём z 1 , z 2 и z 3 — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Основная статья : Метод Феррари

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x + E = 0,

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

если β = 0 , решив u 4 + αu 2 + γ = 0 и, сделав подстановку , найдём корни: . , (любой знак квадратного корня подойдёт) , (три комплексных корня, один из которых подойдёт) Два ± s должны иметь одинаковый знак, ± t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ± s ,± t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

См. также

• Легко решаемые типы уравнений 4 степени: Биквадратное уравнение , возвратное уравнение четвёртой степени

Литература

• Корн Г., Корн Т. (1974) Справочник по математике.

Ссылки

• Решение Феррари (англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Уравнение четвертой степени» в других словарях:

уравнение четвертой степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN quartic equation … Справочник технического переводчика

График многочлена 4 ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой… … Википедия

Уравнение вида: anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если an − k = ak, при k = 0, 1, …, n. Содержание 1 Уравнение четвёртой степени … Википедия

В котором неизвестный член в четвертой степени. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ от лат. bis, дважды, и quadratum, квадрат. Уравнение, в котором наибольшая степень… … Словарь иностранных слов русского языка

Вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.

А. Ефрона

Совокупность прикладных знаний, позволяющих авиационным инженерам на занятий в области аэродинамики, проблем прочности, двигателестроения и динамики полета летательных аппаратов (т.е. теории) создать новый летательный аппарат или улучшить… … Энциклопедия Кольера

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера

История технологий По периодам и регионам: Неолитическая революция Древние технологии Египта Наука и технологии древней Индии Наука и технологии древнего Китая Технологии Древней Греции Технологии Древнего Рима Технологии исламского мира… … Википедия

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… … Энциклопедия Кольера

Теорема Абеля Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах. 4+b=0$

Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.

Вскоре после того, как Кардано опубликовал способ решения кубических уравнений, его ученики и последователи нашли способы сведения общего уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Изложим наиболее простой способ, принадлежащий Л. Феррари.

При изложении способа нужно будет воспользоваться следующей элементарной леммой.

Лемма. Для того чтобы квадратный трехчлен был квадратом линейного двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда Достаточность. Пусть Тогда

Идея излагаемого способа состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для достижения цели левую часть представим в виде:

Здесь у — вспомогательная неизвестная, которую нужно подобрать так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. В силу леммы для этого необходимо и достаточно выполнения условия

Это условие есть уравнение третьей степени относительно у. После раскрытия скобок оно преобразуется к виду

Пусть — один из корней этого уравнения. Тогда при условие будет выполнено, так что имеет место

при некоторых k и I. Исходное уравнение примет вид

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, мы найдем четыре корня исходного уравнения.

Сделаем еще одно замечание. Пусть — корни первого сомножителя, и — корни второго. Тогда Сложив эти равенства, получим, что

Таким образом, мы получили выражение корня вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Пример. Решить уравнение . Согласно изложенному выше методу преобразуем левую часть:

Теперь положим . После образований получим уравнение

Легко видеть, что одним из корней этого уравнения является число . Подставив его в преобразованную левую часть исходного уравнения, получим:

Приравнивая сомножители нулю, получим

Что касается уравнений выше четвертой степени, то здесь были известны некоторые классы уравнений сравнительно частного вида, допускающих алгебраические решения в радикалах, т. е. в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня. Однако попытки дать решение общих уравнений пятой степени и выше были безуспешны, пока, наконец, в начале 19 в. Руффини и Абель не доказали, что решение такого рода для общих уравнений выше четвертой степени невозможно. Наконец, в 1830 г. гениальному французскому математику Э. Галуа удалось найти необходимые и достаточные условия (проверяемые довольно сложно) для разрешимости в радикалах конкретно заданного уравнения. При этом Галуа создал и использовал новую для своего времени теорию групп подстановок.




2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	5	-11	-20	12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12 2 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 — 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 — 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x 2 + 5x — 3)

Многочлен 2x 2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители.

49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.

I тип: уравнение вида

где (6.2)

Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:

Тогда

(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: Уравнение вида

где (6.4)

По свойству равенства степеней равносильно уравнению

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

(6.5)

Где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.

Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

И способы их решения

Всюду далее F(X), G(X), H(X) – Некоторые выражения с неизвестной X, F(X) > 0.

I тип: уравнение вида

(6. 6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида

(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

т. е.

Приходим к линейному уравнению

Откуда

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Пришли к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

По свойству степеней:

Получаем ответ: Х = 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:

Корнями последнего уравнения являются значения

Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

т. е.

Получили ответ: Х = 3.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:

Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда

Откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Рис. 6.12

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:

или

Заменим Получим

При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: Х = 2.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X = 2, 3, …, N, … .

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:

Вводим замену

Получаем квадратное уравнение откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X ¹ 2.

Решением является совокупность

Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: X = 1, X = 3.

< Предыдущая		Следующая >

7.1.5: Использование уравнений для решения неизвестных углов

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Идентификатор страницы

  38723

• Иллюстративная математика
• OpenUp Resources

Урок

Давайте вычислим недостающие углы с помощью уравнений.

Упражнение \(\PageIndex{1}\): этого достаточно?

Тайлер считает, что у этого рисунка достаточно информации, чтобы вычислить значения \(a\) и \(b\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Вы согласны? Объясните свои рассуждения.

Упражнение \(\PageIndex{2}\): как это выглядит?

Елена и Диего написали уравнения для представления этих диаграмм. Для каждой диаграммы решите, с каким уравнением вы согласны, и решите его. Вы можете предположить, что углы, которые выглядят как прямые углы, действительно являются прямыми углами.

1. Елена: \(x=35\)

Диего: \(x+35=180\)

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

2. Елена: \(35+w+41= 180\)

Диего: \(w+35=180\)

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

3. Елена: \(w+35=90\)

Диего: \(2w+35 =90\)

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

4. Елена: \(2w+35=90\)

Диего: \(w+35=90\)

Рисунок \(\PageIndex{5 }\)

5. Елена: \(w+148=180\)

Диего: \(x+90=148\)

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Упражнение \(\PageIndex{3} \): вычислить меру

Найдите неизвестные величины углов. Покажите свое мышление. Организуйте его так, чтобы за ним могли следить другие.

Рисунок \(\PageIndex{7}\)Рисунок \(\PageIndex{8}\)

Линии \(l\) и \(m\) перпендикулярны.

Рисунок \(\PageIndex{9}\)Рисунок \(\PageIndex{10}\)

Готовы ли вы к большему?

Диаграмма состоит из трех квадратов. Нарисованы три дополнительных отрезка, соединяющих углы квадратов. Мы хотим найти точное значение \(a+b+c\).

Рисунок \(\PageIndex{11}\)
1. С помощью транспортира измерьте три угла. Используйте свои измерения, чтобы сделать предположение о значении \(a+b+c\).
2. Найдите точное значение \(a+b+c\), рассуждая о диаграмме.

Резюме

Чтобы найти неизвестную угловую меру, иногда бывает полезно написать и решить уравнение, которое представляет ситуацию. Например, предположим, что мы хотим узнать значение \(x\) на этой диаграмме.

Рисунок \(\PageIndex{12}\)

Используя наши знания о вертикальных углах, мы можем написать уравнение \(3x+90=144\), чтобы представить эту ситуацию. Тогда мы можем решить уравнение.

\(\begin{align} 3x+90&=144 \\ 3x+90-90&=144-90 \\ 3x&=54 \\ 3x\cdot\frac{1}{3}&=54\cdot\frac {1}{3} \\ x&=18\end{aligned}\)

Записи глоссария

Определение: Смежные углы

Смежные углы имеют общую сторону и вершину.

На этой диаграмме угол \(ABC\) примыкает к углу \(DBC\).

Рисунок \(\PageIndex{13}\)

Определение: Дополнительный

Сумма дополнительных углов равна 9{\circ}\) являются дополнительными.

Рисунок \(\PageIndex{14}\)Рисунок \(\PageIndex{15}\)

Определение: Прямой угол

Прямой угол составляет половину прямого угла. Он измеряет 90 градусов.

Рисунок \(\PageIndex{16}\)

Определение: прямой угол

Прямой угол — это угол, образующий прямую линию. Он измеряет 180 градусов.

Рисунок \(\PageIndex{17}\)

Определение: Дополнительный

Дополнительные углы имеют размеры, которые в сумме составляют 180 градусов. 9{\circ}\). Найдите значение \(х\).

Рисунок \(\PageIndex{21}\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Линия \(l\) перпендикулярна линии \(m\). Найдите значение \(x\) и \(w\).

Рисунок \(\PageIndex{22}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Если бы вы знали, что два угла дополняют друг друга, и вам была задана мера одного из этих углов, смогли бы вы найти мера другого угла? Объясните свои рассуждения.

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Для каждого неравенства решите, представлено ли решение как \(x<4,5\) или \(x>4,5\).

1. \(-24>-6(х-0,5)\)
2. \(-8x+6>-30\)
3. \(-2(х+3,2)<-15,4\)

(Из Раздела 6.3.3)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Бегун пробежал \(\frac{2}{3}\) 5-километровый забег за 21 минуту. Всю гонку они бежали с постоянной скоростью.

1. Сколько времени ушло на весь забег?
2. Сколько минут нужно, чтобы пробежать 1 километр?

(из раздела 4.1.2)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Джада, Елена и Лин прошли на прошлой неделе в общей сложности 37 миль. Джада прошла на 4 мили больше, чем Елена, а Лин прошла на 2 мили больше, чем Джада. На диаграмме представлена ​​следующая ситуация:

Рисунок \(\PageIndex{23}\)

Найдите количество миль, которое каждый из них прошел. Объясните или покажите свои рассуждения.

(Из модуля 6.2.6)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Выберите все выражения, эквивалентные \(-36x+54y-90\).

1. \(-9(4x-6y-10)\)
2. \(-18(2x-3y+5)\)
3. \(-6(6x+9y-15)\)
4. \(18(-2x+3y-5)\)
5. \(-2(18x-27y+45)\)
6. \(2(-18x+54y-90)\)

(из модуля 6.4.2)

---

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип артикула

   Раздел или Страница

   Автор

   Иллюстративная математика

   Лицензия

   СС BY

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Решение квадратных уравнений 2-й степени

Уравнения второй степени — это квадратные уравнения, где наивысшая степень в уравнении равна 2, и будет два решения для 2-х ^-й -й степени уравнений. Стандартной формой уравнения второй степени является ax ² +bx+c, которое представляет собой трехчлен, поскольку уравнение состоит из трех членов. Но каждое уравнение второй степени не обязательно должно быть трехчленным, потому что оно может даже состоять из двух членов, причем наибольшая степень в нем равна двум. Пример:- x ² +2x-1, 2x ² -4, 3x ² +x+3

Для решения уравнений второй степени можно использовать квадратную формулу для уравнения ax ² +bx+c=0

Где

b ² -4ac дискриминант

, если дискриминант положительный, это указывает есть два действительных решения

если ноль, то только одно решение

если отрицательное мы получим комплексные решения

Примеры вопросов

Вопрос 1: Решите уравнение x ² +3x-4=0?

Решение:

Данное уравнение:

x ² +3x-4=0

Сравните данное уравнение с ax ² +bx+c=0 и обратите внимание а, б, в значения

a=1, b=3, c=-4

Чтобы решить уравнение второй степени, используется квадратичная формула, а перед этим найдите значение дискриминанта, чтобы найти, сколько решений возможно для уравнения.

√(b ² -4ac)=√(3 ² -(4×1×(-4)))

=√(9-(-16))

=√(9+16)

=√25

=5>0

Итак, два возможных действительных решения

 =(-3+5)/(2×1)

 =2/ 2

x=1

=(-3-5)/(2×1)

=-8/2

x=-4

Вкл. решая уравнение, возможные решения равны x =1,-4

Вопрос 2: Решить уравнение x ² -3x-10=0?

Решение:

Данное уравнение:

x ² -3x-10=0

Сравните данное уравнение с ax ² +bx+c=0 и обратите внимание на значения a, b, c

a=1, b= -3, c=-10

Чтобы решить уравнение второй степени, используется квадратичная формула, а перед этим найдите значение дискриминанта, чтобы найти, сколько решений возможно для уравнения.

=√(9+40)

=√49

=7>0

Итак, два возможных действительных решения

=(-(-3)+7)/(2×1)

=10/2

x=5

=(-(-3)-7)/(2×1)

=(3-7)/2

=-4/2

x=-2

При решении уравнения возможные решения: x=5,-2

Вопрос 3: Решить уравнение второй степени 2x ² -6=0

Решение:

Учитывая 2x ² -6=0

2x ² =6

x ² =6/2

x ² =3

x=±√3

Уравнения второй степени также можно решить, следуя формуле факторизации трехчлена. Поскольку уравнение второй степени может иметь три члена.

Триномиальные бывают двух типов. Это

1. Трехчлен Perfect Square
2. Несовершенный квадрат Trinomial

Трехчлен Perfect Square Trinomial , если он имеет форму ² +2ab+b ² или a ² -2ab+b ² , тогда их можно записать в виде-

a ² +2ab+b ² =(a+ б) ²

a ² -2ab+b ² =(a-b) ²

топор ² + бх+с. Ниже приведены шаги, которые необходимо выполнить, чтобы найти факторы.

Этапы решения

Шаг 1: Найдите a, b, c и вычислите a × c

Шаг 2: Найдите два числа, произведение которых равно ac, а сумма равна b.

Шаг 3: Разделите средний член на сумму двух чисел, полученных на предыдущем шаге.

Шаг 4: Решите уравнение.

Примеры вопросов

Вопрос 1. Решите уравнение x ² +6x+9=0

Решение:

Данное уравнение

x ² +6x+9=0

Это можно записать в виде- x ² +2(3)(x)+3 ² =0

Уравнение выше в форма a ² +2ab+b ² 

Таким образом, a=x, b=3

Из формулы- a ² +2ab+b ² =(a+b) ²

(x+3) ² =0

(x+3)(x+3)=0

Итак, x=-3,-3

Здесь мы получили только одно решение.

Это можно проверить, вычислив дискриминант, который обсуждался выше.

√(b ² -4ac)=√(6 ² -4(1)(9))

=√(36-36)

=0 указывает, что будет только одно решение уравнения .

Итак, x=-3 является решением уравнения x ² +6x+9=0

Вопрос 2: Решите уравнение x ² -10x+21=0?

Решение:

Указано x ² -10x+21 = 0

.

No related posts.