Симметрия относительно оси y: Mathway | Популярные задачи

2

Что такое осевая и центральная симметрия?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

262.1K

Осевая и центральная симметрия — тема для перфекционистов, любителей снимков в отражении и противников заваленного горизонта. Симметрично — значит красиво? Тогда давайте разберемся, что такое симметрия с точки зрения математики.

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

 

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой AB

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.


2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.


3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.


4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.


5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

 

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.


2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.


3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.


4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

 

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.


2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.


3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.


4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.


5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.


2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).


3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.


4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.


2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.


3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.


4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.


5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

247.7K

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

К следующей статье

129.2K

Как сокращать алгебраические дроби?

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

1.2: Графики и симметрия — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

226

• Ларри Грин
• Общественный колледж Лейк-Тахо

Симметрия (геометрия)

Определение: Симметричный относительно оси y

Мы говорим, что граф является симметричным относительно оси y , если для каждой точки \((a,b)\) на на графике также есть точка \((-a,b)\) на графике; следовательно \[f(x,y) = f(-x,y). \]

Визуально мы видим, что ось y действует как зеркало для графика. Мы продемонстрируем несколько функций для проверки симметрии графически с помощью графического калькулятора.

Определение: Симметричный относительно оси x

Мы говорим, что граф является симметричным относительно оси x , если для каждой точки \((a,b)\) на графике также существует точка \((a,-b)\) на графике; следовательно \[f(x,y) = f(x,-y).\]

Визуально мы видим, что ось x действует как зеркало для графика. Мы продемонстрируем несколько функций для проверки симметрии графически с помощью графического калькулятора.

Определение: Симметрия относительно начала координат

Говорят, что граф симметричен относительно начала координат, если для каждой точки \((a,b)\) на графике существует также точка \((-a,-b)\) на графике ; следовательно \[f(x,y) = f(-x,-y).\]

Визуально мы имеем, что для данной точки \(P\) на графике, если мы проводим отрезок \(PQ\) через \(P\) и начало координат такое, что начало координат является серединой \(PQ\), то \(Q\) также находится на графике.

Мы воспользуемся графическим калькулятором для проверки всех трех симметрий.

Симметрия (алгебра)

Симметрия по оси x

Чтобы алгебраически проверить, симметричен ли график относительно оси x, мы заменяем все \(y\) на \(-y\) и посмотрим, получим ли мы эквивалентное выражение.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Для

\[x — 2y = 5 \]

мы заменяем на

\[ x — 2(-y) = 5.\]

Упрощение мы получаем

\[x+2y=5.\]

Что не эквивалентно исходному выражению. Так 92+ x — 2\]

Решение

Мы устанавливаем \(x = 0\), чтобы получить:

\[y = 0 + 0 — 2 = -2.\]

Следовательно, точка пересечения y равна в \((0,-2)\).

Авторы и авторство

---

Эта страница под названием 1.2: Графики и симметрия распространяется по незаявленной лицензии, ее автором, ремиксом и/или куратором был Ларри Грин.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Ларри Грин

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. симметрия относительно начала координат 95}\конец{выравнивание*}\]

      Помните, что если мы возведем отрицательное число в нечетную степень, перед ним может оказаться знак минус. Итак, после упрощения мы получаем, что левая часть идентична исходному уравнению, но правая часть теперь имеет противоположный знак от исходного уравнения, поэтому это не эквивалентно исходному уравнению, и поэтому у нас нет симметрии относительно \(y\)-ось.

      No related posts.