Решение логарифмических уравнений | Онлайн калькулятор
Калькулятор для пошагового решения логарифмических уравнений онлайн (бесплатно). Данный калькулятор полностью заменит вам репетитора по математике, достаточно решить несколько уравнений с помощью данного калькулятора и вы сможете самостоятельно решать любые логарифмические уравнения.
Для решения вашего логарифмического уравнения достаточно вставить уравнение в окошко калькулятора и нажать кнопку «ответ«.
Для получения пошагового решения нажимаете еще одну кнопку «step-by-step» и получаете полное решение уравнения.
Пример решения логарифмического уравнения:
В окно калькулятора вставляем уравнение в виде (log[3,x])^2-8log[3,x^(1/4)]=8 и нажимаем кнопку «ответ«.
Для получения пошагового решения нажимаем еще одну кнопку «step-by-step» и получаем полное решение логарифмического уравнения
Правила ввода уравнения:
Основные константы
- Число : Pi
- Число : E
- Бесконечность : Infinity или inf
Основные функции
: x^a
модуль x: abs(x)
калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений
Вы искали калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и логарифмические уравнения онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений».
.jpg "калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений")
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений,логарифмические уравнения онлайн,логарифмическое уравнение онлайн,онлайн калькулятор решение логарифмических уравнений,онлайн решение логарифмических уравнений,онлайн решение логарифмических уравнений онлайн,онлайн решение логарифмических уравнений онлайн с подробным решением,онлайн решение уравнений с логарифмами,решение логарифмических,решение логарифмических уравнений онлайн,решение логарифмических уравнений онлайн с подробным решением,решение уравнений онлайн с логарифмами,решение уравнений с логарифмами онлайн,решение уравнений с логарифмами онлайн с подробным решением,решить логарифмическое уравнение онлайн,решить онлайн логарифмическое уравнение,решить уравнение онлайн с логарифмами,решить уравнение с логарифмами онлайн,уравнение с логарифмами решение онлайн,уравнения онлайн логарифмы,уравнения с логарифмами онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, логарифмическое уравнение онлайн).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений Онлайн?
Решить задачу калькулятор онлайн решение логарифмических уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Как решать логарифмические уравнения онлайн с решением
В математике уравнение именуется логарифмическим, если в нем есть логарифмическая составляющая \[\log.\] Например, следующие уравнения логарифмические:
\[\log_{2}x = 32 \]
\[\log_{3}x = \log_{3}9 \]
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Множество логарифмических уравнений содержат неизвестные внутри логарифмов. Весь процесс решения логарифмических уравнений сводится к поиску решений по избавлению от логарифмической составляющей. В самых простых уравнениях это возможно осуществить всего лишь за 1 операцию. Такое решение возможно только в том случае, если члены уравнения имеют одинаковые числовые основания, а также логарифмы левой и правой частей находятся без каких-либо коэффициентов.
Так же читайте нашу статью «Решить логическое уравнение онлайн»
Допустим, дано следующее уравнение:
\[2 \log_{4}x + 3\log_{x}4 = 5 \]
Использовав основное свойство логарифмов, преобразуем исходное уравнение в такой вид:
\[2 \log_{4}x + 3 \frac{1}{ \log_{4}x} = 5 \]
Далее выполним замену:
\[\log_{4}x = y \]
Преобразуем:
\[2y + \frac{3}{y} = 5 \]
Умножаем и записываем в виде квадратного уравнения:
\[2y^2 — 5y + 3 = 0 \]
Высчитываем дискриминант:
\[D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \]
Получим корни:
\[y_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 2} \Rightarrow y_1 = \frac{3}{2}; y_2 = 1 \]
Вернемся к замене и находим:
\[\log_{4}x = \frac{3}{2} \Rightarrow x_1 = 4^{\frac{3}{2}} = 2^{2\frac{3}{2}} = 8; \]
\[\log_{4}x =1 \Rightarrow x_2 = 4^1 = 4 \]
Исходя из этого видно, что уравнение имеет 2 решения:
\[x_1 = 8; x_2 = 4 \]
Где можно решить логарифмическое уравнение онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
| Функция | Описание | Пример ввода | Результат ввода |
|---|---|---|---|
| pi | Число \(\pi\) | pi | $$ \pi $$ |
| e | Число \(e\) | e | $$ e $$ |
| e^x | Степень числа \(e\) | e^(2x) | $$ e^{2x} $$ |
| exp(x) | Степень числа \(e\) | exp(1/3) | $$ \sqrt[3]{e} $$ |
| |x| abs(x) |
Модуль (абсолютное значение) числа \(x\) | |x-1| abs(cos(x)) |
\( |x-1| \) \( |\cos(x)| \) |
| sin(x) | Синус | sin(x-1) | $$ sin(x-1) $$ |
| cos(x) | Косинус | 1/(cos(x))^2 | $$ \frac{1}{cos^2(x)} $$ |
| tg(x) | Тангенс | x*tg(x) | $$ x \cdot tg(x) $$ |
| ctg(x) | Котангенс | 3ctg(1/x) | $$ 3 ctg \left( \frac{1}{x} \right) $$ |
| arcsin(x) | Арксинус | arcsin(x) | $$ arcsin(x) $$ |
| arccos(x) | Арккосинус | arccos(x) | $$ arccos(x) $$ |
| arctg(x) | Арктангенс | arctg(x) | $$ arctg(x) $$ |
| arcctg(x) | Арккотангенс | arcctg(x) | $$ arcctg(x) $$ |
| sqrt(x) | Квадратный корень | sqrt(1/x) | $$ \sqrt{\frac{1}{x}} $$ |
| root(n,x) | Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x) |
root(4,exp(x)) | $$ \sqrt[4]{ e^{x} } $$ |
| x^(1/n) | Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x) |
(cos(x))^(1/3) | $$ \sqrt[\Large 3 \normalsize]{cos(x)} $$ |
| ln(x) log(x) log(e,x) |
Натуральный логарифм (основание — число e) |
1/ln(3-x) | $$ \frac{1}{ln(3-x)} $$ |
| log(10,x) | Десятичный логарифм числа x | log(10,x^2+x) | $$ log_{10}(x^2+x) $$ |
| log(a,x) | Логарифм x по основанию a | log(3,cos(x)) | $$ log_3(cos(x)) $$ |
| sh(x) | Гиперболический синус | sh(x-1) | $$ sh(x-1) $$ |
| ch(x) | Гиперболический косинус | ch(x) | $$ ch(x) $$ |
| th(x) | Гиперболический тангенс | th(x) | $$ th(x) $$ |
| cth(x) | Гиперболический котангенс | cth(x) | $$ cth(x) $$ |
| Вывод | Перевод, пояснение | ||
| Solve for x over the real numbers | Решить относительно х в действительных числах (бывают ещё комплексные) | ||
| Cancel logarithms by taking exp of both sides | Убираем логарифмы с обоих сторон | ||
| Cross multiply | Перемножаем крест-накрест | ||
| Expand out terms of the left hand side | Раскрываем (упрощаем) многочлен в левой части | ||
| Multiply both sides by … | Умножаем обе части на … | ||
| Simplify and substitute … | Упрощаем и делаем подстановку … | ||
| Bring … together using the commom denominator … | Приводим … к общему знаменателю … | ||
| The left hand side factors into a product with two terms | Левая часть разбивается на множители как два многочлена | ||
| Split into two equations | Разделяем на два уравнения | ||
| Take the square root of both sides | Извлекаем квадратный корень из обоих частей | ||
| Subtract … from both sides | Вычитаем … из обеих частей уравнения | ||
| Add … to both sides | Прибавляем … к обоим частям уравнения | ||
| Multiply both sides by … | Умножаем обе части уравнения на … | ||
| Divide both sides by … | Делим обе части уравнения на … | ||
| Substitute … Then … | Делаем подстановку … Тогда … | ||
| Substitute back for … | Обратная подстановка для … | ||
| … has no solution since for all … | … не имеет решения для всех … | ||
| Take the inverse sine of both sides | Извлекаем обратный синус (арксинус) из обоих частей | ||
| Simplify the expression | Упрощаем выражение | ||
| Answer | Ответ | ||
| \(log(x)\) | Натуральный логарифм, основание — число e. У нас пишут \(ln(x)\) | ||
| \(arccos(x)\) или \(cos^{-1}(x)\) | Арккосинус. У нас пишут \( arccos(x) \) | ||
| \(arcsin(x)\) или \(sin^{-1}(x)\) | Арксинус. У нас пишут \( arcsin(x) \) | ||
| \(tan(x)\) | Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}\) | ||
| \(arctan(x)\) или \(tan^{-1}(x)\) | Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\) | ||
| \(cot(x)\) | Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}\) | ||
| \(arccot(x)\) или \(cot^{-1}(x)\) | Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\) | ||
| \(sec(x)\) | Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac{1}{cos(x)}\) | ||
| \(csc(x)\) | Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac{1}{sin(x)}\) | ||
| \(cosh(x)\) | Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \) | ||
| \(sinh(x)\) | Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \) | ||
| \(tanh(x)\) | Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \) | ||
| \(coth(x)\) | Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac{1}{th(x)} \) |
Решение логарифмов в онлайн калькуляторе
Данная страница рассматривает способы решения логарифмов, как еще одну функцию в богатом арсенале, которым располагает бесплатный калькулятор на нашем сайте. Калькулятор, считающий логарифмы онлайн, станет незаменимым помощником для тех, кому нужно простое решение математических выражений. В нашем калькуляторе любой может легко и быстро посчитать логарифм, не зная логарифмических формул, и даже не представляя суть логарифма.
Буквально 20-30 лет назад решение логарифмов требовало серьезных знаний в математике и как минимум умения пользоваться таблицей логарифмов или логарифмической линейкой. Чтобы привести к табличному виду исходное выражение, часто приходилось осуществлять сложные преобразования, учитывая свойства логарифмов и их функций.
Сегодня же достаточно иметь доступ в интернет, чтобы без труда вычислять всевозможные логарифмические уравнения и неравенства любой сложности. Размещенный на нашем сайте онлайн калькулятор может любой логарифм вычислить за одно мгновение!
Решение логарифма logyx сводится к нахождению ответа на вопрос, в какую степень требуется возвести основание логарифма y, чтобы получилось значение равное x. Онлайн калькулятор логарифмов поможет рассчитать все виды логарифмов: двоичные, десятичные и натуральные логарифмы, а также логарифм комплексного числа и логарифм отрицательного числа и др.
Вычисление логарифмов в online калькуляторе записывается как log и выполняется с помощью четырех кнопок: нахождение двоичного логарифма, решение десятичных логарифмов, с произвольным основанием и вычисление натурального логарифма.
Некоторые кнопки могут использоваться для записи одного и того же действия. Возьмем, к примеру, расчет логарифмов с произвольным основанием. Понятно что, если указать основание 10, то рассчитается десятичный логарифм, а если 2, то двоичный. Учитывая, что математическое выражение можно и вручную набрать, тогда тот же самый десятичный логарифм посчитать можно тремя способами (точнее записать эту операцию в калькуляторе):
- используя кнопку log, тогда нужно указать только число,
- с помощью кнопки logyx, через запятую указываются число и основание логарифма,
- внести обозначение логарифма вручную.
Подробную информацию о том, как работать с клавиатурой калькулятора, а также обзор всех его возможностей, можно найти на страницах кнопки калькулятора и функции калькулятора.
Логарифм по основанию 2
Используйте эту кнопку, чтобы рассчитать логарифм, основание которого равно двум (его также называют двоичный логарифм).
В строке ввода отобразится запись log2(x), соответственно, вам остается внести число, без указания основания, и произвести расчет. В примере найден ответ, чему равен логарифм 8 по основанию 2.
Логарифм по основанию 2:
Десятичный логарифм
Эта кнопка поможет найти логарифм числа по основанию 10.
Логарифм десятичный онлайн калькулятор обозначает записью log(x x,y). На рисунке рассчитано, чему равен десятичный логарифм числа 10000.
Логарифм по основанию 10:
Натуральный логарифм
Клавишей ln выполняется решение натуральных логарифмов, основанием которых является число е. Основание натурального логарифма е — число Эйлера — равно 2.71828182845905.
Онлайн калькулятор может определить, чему равен натуральный логарифм любого числа. На рисунках в качестве примера найдены значения натурального логарифма: слева — ln логарифм числа 8, справа — натуральный логарифм от числа 50.
Натуральные логарифмы, примеры решения:
Как решать логарифмы с произвольным основанием?
Конечно, калькулятор, позволяет решить логарифм онлайн не только по определенному, но по любому основанию. Чтобы найти значение логарифмов с произвольным основанием для любого числа, используйте предназначенную для этого кнопочку logyx, она подставляет в строке ввода запись log(x x,y).
Определение логарифма числа:
Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе. Функции онлайн калькулятора >>
Решение логарифмов в онлайн калькуляторе was last modified: 3 марта, 2016 by Admin
Логарифмические уравнения Решения. Разбор примеров..
Важное замечание!Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Сегодня в этой статье мы обсудим с тобой как решать простые логарифмические уравнения. Для этого тебе понадобятся некоторые минимальные знания:
- Свойства логарифмов
- Свойства степени
- Формулы сокращенного умножения
- Решение линейных и квадратных уравнений.
Обрати внимание в статья написана для учеников разного уровня подготовки, от ничего не знающих до супер продвинутых.
Ну что, в принципе, это все, что нам понадобится. Что же такое логарифмические уравнения?
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов.
Например:
А вот уравнение нельзя называть логарифмическим.
Я думаю, тебе вполне ясно, почему?
Верно, все потому, что не находится внутри никакого логарифма. Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода.
Как же решать логарифмические уравнения?
Логарифмические уравнения. Методы решения
На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями…
Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения
к простейшему виду:,
а затем уже решать уравнение без логарифмов:
То есть правило такое:
| Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение. |
Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм определен только тогда, когда
то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:
В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!
Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки!
Согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!
Теперь давай потренируемся на решении 6-ти примеров, взятых из банка задач ЕГЭ, B7.
6 примеров, взятых из банка задач ЕГЭ, B7.
Давай разбираться с каждым примером по-отдельности.
Правило умножения на единицу
Пример №1
1.
Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – нет. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию , а затем просто откинуть логарифмы.
Как этого добиться? Я люблю применять волшебное правило:
Правило умножения на единицу!
Вот в чем его соль: я умножу на
Однако, мне же нужен логарифм! Что я знаю:
Мне же нужно основание , поэтому я возьму , тогда
Пол дела сделано! Теперь мне нужно засунуть внутрь логарифма. Это я сделаю, воспользовавшись следующим правилом:
Применительно к моей ситуации это даст:
Тогда мое исходное логарифмическое уравнение станет вот таким:
Ура! Избавляемся от логарифмов! Получим простейшее уравнение
Но это еще не конец! Обещанная проверка:
так как , то последнее выражение истинное, и – на самом деле является корнем.
Запишем ответ:
Пример №2
2.
Задача полностью аналогичная предыдущей: воспользуюсь правилом умножения на единицу для числа :
Тогда исходное уравнение станет вот таким:
Зачеркиваем логарифмы:
Делаем проверку:
Верно!
Пример №3
3.
А здесь о нас с тобой уже заранее позаботились! Зачеркиваем логарифмы и получим:
Делаем проверку:
Все верно!
Пример №4
4.
Опять воспользуемся волшебным правилом!
Если последняя выкладка была не особо понятной, то еще раз повтори свойства степеней, особенно отрицательных!
Теперь все стало ясно? Отлично, тогда убираем логарифмы:
Не забываем о проверке!
Так как
то снова все верно!
Правило «превращения единицы»
Пример №5
5.
Воспользуемся правилом «превращения единицы», которым мы уже пользовались в правиле «умножения на единицу»! Смотри как оно работает:
Тогда исходное уравнение станет вот таким:
Что дальше? Если ты видишь с одной стороны уравнения сумму (или разность, но лучше сумму!) логарифмов с одним основанием, то пользуйся вот такой формулой (тебе уже известной!)
Применительно к моей ситуации это даст:
Ну все, слева и справа у нас – логарифмы и ничего более. Убираем их.
Проверка:
Верно!
Кстати, а ты понял, откуда у нас взялся ноль справа? Ты асболютно прав:
Использование свойств логарифма
Пример №6
6.
Здесь у нас есть два возможных пути:
первый – это как всегда правило умножения на единицу (ты можешь попытаться его проделать самостоятельно, ты ведь знаешь, как решать показательные уравнения?),
второй – воспользоваться одним из свойств логарифма:
но читать я ее буду справа налево:
Теперь разберемся с числом
Здесь нам понадобится еще одно хорошо известное тебе свойство:
Что она даст в нашем случае? Так как , то
Тогда левая часть уравнения примет вид:
Проверка!
Все верно!
Ну что же, во всех предыдущих примерах, так уж выходило (абсолютно случайно, кстати), что логарифмические уравнения имели корни, притом единственные, и все они нам подходили.
Так бывает далеко не всегда, увы! Но прежде чем я приведу тебе соответствующие примеры, я еще раз хочу напомнить тебе какие формулы очень нужны для решения логарифмических уравнений:
Формулы необходимые для решения логарифмических уравнений
Не так уж и много, правда?
Но тем не менее, эти формулы нам ЖИЗНЕННО НЕОБХОДИМЫ! Без них мы не сможем решить даже простейший пример.
Ну а далее обещанные примеры, где все не очень хорошо с корнями!
3 примера логарифмических уравнений, где все «не очень хорошо» с корнями!
Пример №1
1. Решение стандартно – воспользуемся правилом умножения на 1:
Теперь удаляем логарифмы:
Перемножим крест-накрест:
Проверка
Подходит!
Проверка
И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!
Пример № 2
2.
Тройку нашим любимым методом представим в виде
Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов.
Пример №3
Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в (я напомню, что – десятичный логарифм, или логарифм по основанию ), и произведем действия между логарифмами слева и справа:
теперь уберем логарифмы слева и справа:
\left( {x} -2 \right)\left( {x} -3 \right)=2
Проверка:
Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда не является корнем.
так как , то
Верно!
Ответ:
Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!
Логарифмическое уравнение с переменным основанием
Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием.
До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными: и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от , например и т. д.
Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается! Суди сам:
Пример №1
Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу :
Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:
Применю формулу разности квадратов:
Проверка:
Верно!
Какой делаем вывод? Неверно! Число не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!
Ответ: .
Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!
Давай
Логарифмические уравнения и их системы
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида \(\log_a x = b\).
Утверждение 1. Если \(a > 0, a ≠ 1\), уравнение \(\log_a x = b\) при любом действительном \(b\) имеет единственное решение \(x = a^b\).
Утверждение 2. Уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще): \(\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \end{cases} \ или \ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \end{cases}\).
Утверждение 3. Уравнение \(\log_{\varphi (x)} f(x) = \log_{\varphi (x)} g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end{cases} \ или \ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end{cases} \).
При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т. к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З. Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.
При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.
Логарифмировать алгебраическое выражение – значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.
Метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат.
Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.
Использование определения логарифма
Пример 1. Решить уравнение: \(\log_{0,1}x=3\).
Решение: ОДЗ: \(x>0\).
Для нахождения решения возведем основание логарифма в степень, равную 3 (правая часть уравнения), получим: \(x=(0,1)^3 \Rightarrow x=0,001\). Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому \(x=0,001\) – решение исходного уравнения.
Ответ: 0,001.
Использование свойств логарифма
Пример 2. Решить уравнение: \(\log_2(x − 2) +\log_2(x − 3) = 1\).
Решение: Оба логарифма одновременно определены при выполнении системы неравенств: \(\begin{cases} x-2>0, \\ x-3>0. \\ \end{cases} \)
ОДЗ нашего уравнения есть множество \(x > 3\). Найдя ОДЗ, переходим к преобразованиям уравнения. Имеем: \(\log_2 (x − 2)(x − 3) = 1 \Rightarrow\log_2 (x − 2)(x − 3) = \log_22 \Rightarrow\)
\((x-2)(x-3)=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=4\).
При этом число 1 не принадлежит ОДЗ и поэтому не является корнем исходного уравнения. Число 4 входит в ОДЗ и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.
Ответ: 4.
Метод подстановки
Пример 3. Решить уравнение: \(\log_2^2(3-x)+3\log_2(3-x)=4\).
Решение: Введем замену \(\log_2(3-x)=t\), тогда получим: \(t^2+3t=4 \Rightarrow t^2+3t-4=0\).
Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь: \(D=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=25=5^2 \Rightarrow t_1=1, t_2=-4\).
Делаем обратную замену:
\(1) \ \log_2(3-x)=1 \Rightarrow 3-x=2^1 \Rightarrow x_1=1; \\2) \ \log_2(3-x)=-4 \Rightarrow 3-x=2^{-4} \Rightarrow x_2=2\frac{15}{16}.\)
Ответ: \(1;2 \frac{15}{16}\).
Метод логарифмирования
Пример 4. Решить уравнение: \(6^{\log_6^2x}+x^{\log_6x}=12\).
Решение: ОДЗ: \(x>0\).
Преобразуем первое слагаемое так: \(6^{\log_6^2x}=6^{\log_6x\cdot \log_6x}=(6^{\log_6x})^{\log_6x}=x^{\log_6x}\). Отсюда, \(x^{\log_6x}+x^{\log_6x}=12 \\2x^{\log_6x}=12 \ |:2 \\x^{\log_6x}=6\)
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6: \(\log_6x^{\log_6x}=\log_66\).
В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой – вычисляем значение логарифма: \(\log_6x\cdot \log_6x=1 \Rightarrow \log_6^2x=1\). Пусть \(\log_6x=t \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t_1=1,t_2=-1\).
Обратная замена: \(1) \ \log_6x=1 \Rightarrow x_1=6^1=6; \\2) \ \log_6x=-1\Rightarrow x_2=6^{-1}=\frac16.\)
Ответ: \(6;\frac16\).
Метод потенцирования
Пример 5. Решить уравнение: \(\log_3 (x^2 – 3x – 5) = \log_3 (7 – 2x)\).
Решение: ОДЗ: \(\begin{cases} x^2-3x-5>0 \\ 7-2x>0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-\frac{3+\sqrt{29}}2)(x+\frac{3-\sqrt{29}}2)>0 \\ x<\frac72 \\ \end{cases} \).
Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов: \(x^2-3x-5=7-2x\).
Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: \(x^2-3x-5-7+2x=0 \Rightarrow x^2-x-12=0\).
Решив квадратное уравнение, находим его корни: \(x_1=4, x_2=-3\).
4 не является решением уравнения, так как не входит в ОДЗ. Значит, –3 является единственным решением уравнения.
Ответ: –3.
При решении систем логарифмических уравнений применяются те же способы и приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств.
Пример 6. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} x+y=4, \\ \log_2x+\log_2y=\log_23. \\ \end{cases}\)
Решение: ОДЗ: \(x > 0, y > 0\).
Из первого уравнения можно сделать подстановку:
\(\begin{cases} x+y=4 \\ \log_2x+\log_2y=\log_23 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=4-x \\ \log_2x+\log_2(4-x)=\log_23 \\ \end{cases} \Rightarrow\)\(\begin{cases} y=4-x \\ x(4-x)=3 \\ \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} y=4-x \\ x^2-4x+3=0 \\ \end{cases} \Rightarrow x_1=1, x_2=3\).
Находим соответствующие значения у: \(y_1 = 4 – 1 = 3, y_2 = 4 – 3 = 1\).
Все найденные решения входят в ОДЗ.
Ответ: \((1; 3), (3; 1)\).
г \)Используя логарифмическую идентичность, перепишем уравнение:
\ (\ log_ {10} x = y \ cdot \ log_ {10} b \)
Деление обеих сторон полено b:
\ (y = \ dfrac {\ log_ {10} x} {\ log_ {10} b} = \ dfrac {\ log _ {} x} {\ log _ {} b} \)
Обратите внимание, что запись журнала без нижнего индекса для основания предполагается, что это журнал с основанием 10, как в журнале 10 .
Пример 1: Решите относительно y в следующем логарифмическом уравнении
Если у нас
\ (\ log_ {3} 5 = y \)
, то верно и то, что
\ (3 ^ {\ log_ {3} 5} = 3 ^ {y} \)
Используя логарифмическую функцию, мы можем переписать левую часть уравнения и получить
\ (5 = 3 ^ {y} \)
Чтобы найти y, сначала возьмите бревно с обеих сторон:
\ (\ log _ {} 5 = \ log _ {} 3 ^ y \)
По тождеству log x y = y · log x получаем:
\ (\ log _ {} 5 = y \ cdot \ log _ {} 3 \)
Делим обе стороны бревном 3:
\ (y = \ dfrac {\ log _ {} 5} {\ log _ {} 3} \)
Используя калькулятор, мы можем найти, что log 5 ≈ 0.69897 и log 3 ≈ 0,4771 2, тогда наше уравнение принимает вид:
\ (n = \ dfrac {\ log _ {} 5} {\ log _ {} 3} = \ dfrac {0,69897} {0,47712} = 1,46497 \)
Следовательно, возвращая y в исходное уравнение
\ (\ log_ {3} 5 = 1,46497 \)
Пример 2: Решите относительно b в следующем логарифмическом уравнении
Если у нас
\ (\ log_ {b} 16 = 2 \)
, то верно и то, что
\ (b ^ {\ log_ {b} 16} = b ^ {2} \)
Используя логарифмическую функцию, мы можем переписать левую часть уравнения и получить
\ (16 = b ^ {2} \)
Решение относительно b путем извлечения корня 2-й степени из обеих частей уравнения
\ (b = \ sqrt [2] {16} = 4 \)
Следовательно, возвращая b в исходное уравнение
\ (\ log_ {4} 16 = 2 \)
,Калькулятор уравнений — Solumaths
Резюме:
Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестной с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.
Equation_solver онлайнОписание:
Уравнение — это алгебраическое равенство, включающее одно или несколько неизвестных.Решение уравнения — это то же самое, что и определение неизвестных или неизвестных. Неизвестное также называют переменной. Этот калькулятор уравнений может решать уравнения с неизвестными, Калькулятор может решать уравнений с переменными с обеих сторон , а также уравнений с круглыми скобками :
- Решение линейного уравнения
- Решение квадратного уравнения
- Решение кубического уравнения
- Решение уравнения нулевого произведения
- Решение уравнения абсолютного значения (уравнения с функцией abs)
- Решение экспоненциального уравнения
- Решение логарифмического уравнения (уравнения, включающего логарифмы)
- Решение тригонометрического уравнения (уравнения с косинусом или синусом)
- Решить онлайн-дифференциальное уравнение первой степени
- Решить онлайн дифференциальное уравнение второй степени
Уравнение первой степени — это уравнение вида «ax = b».Этот тип уравнения также называется линейным уравнением .
Для решения этих уравнений мы используем следующую формулу `x = b / a`.
линейное решение уравнения вида ax = b s выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите , уравнение с по , решите , а затем нажмите «Решить», затем результат возвращается решателем . Также отображаются подробности расчетов, которые привели к разрешению линейного уравнения.Чтобы решить линейное уравнение после 3x + 5 = 0, просто введите выражение 3x + 5 = 0 в области вычислений, затем нажмите кнопку «решить», возвращается результат «[x = -5 / 3]«. также можно решить уравнения в форме `(ax + c) / g (x) = 0` или уравнения, которые могут быть в этой форме , g (x) представляет функцию. Когда вы вводите выражение без знака ‘=’; функция возвращает, когда возможны значения, для которых выражение равно нулю.Например, введите x + 5, вернитесь к x + 5 = 0 и решите.
Уравнения с переменными с обеих сторон
Калькулятор может решать уравнения с переменными с обеих сторон следующим образом: `3x + 5 = 2x`, просто введите 3x + 5 = 2x, чтобы получить результат.Уравнения в скобках
Калькулятор может решать уравнения в круглых скобках, например: `6 * (3x + 5) = 5 * (2x + 3)`, просто введите 6 * (3x + 5) = 5 * (2x + 3), чтобы получить результат.Уравнение с переменной в знаменателе
- `(x-1) / (x ^ 2-1) = 0` возвращает сообщение no solution, при расчете учитывается определение домена,
числитель допускает x = 1 в качестве корня, но знаменатель равен нулю для x = 1, 1 не может быть решением уравнения.2-4ac`.
Дискриминант — это число, определяющее количество решений уравнения.- При положительном дискриминанте уравнение второй степени допускает два решения, которые даются формулой `(-b-sqrt (Delta)) / (2a)` и `(-b + sqrt (Delta)) / (2a)`;
- Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение допускает только одно решение, оно называется двойным корнем, который задается формулой `(-B) / (2a)`;
- Когда дискриминант отрицательный, полиномиальное уравнение степени 2 не допускает решения.2-1) / (x-1) = 0` возвращает -1, все определение учитывается, так как при вычислении числитель допускает два корня 1 и -1, но знаменатель равен нулю для x = 1, 1 не может быть решением уравнения.
Калькулятор уравнений решает некоторые кубические уравнения . В случаях, когда уравнение допускает очевидное решение, калькулятор умеет находить корни многочлена третьей степени. Таким образом, у калькулятора не будет проблем с решением уравнения третьей степени, подобного этому: Equal_solver (`-6 + 11 * x-6 * x ^ 2 + x ^ 3 = 0`).
И снова решения кубического уравнения будут сопровождаться пояснениями, которые позволили найти результат.
Свойство нулевого произведения используется для решения уравнений вида A * B = 0, что это уравнение равно нулю, только если A = 0 или B = 0. Чтобы решить , этот тип уравнения может быть выполнен, если A и B являются многочленами степени меньше или равной 2. Также отображаются подробные сведения о расчетах, которые привели к разрешению уравнения.2-1) (x + 2) (x-3) = 0` возвращает `[1; -1; -2; 3]`.
Решатель позволяет решить уравнение с использованием абсолютного значения он может решать линейные уравнения, используя абсолютные значения, квадратные уравнения, включающие абсолютные значения, но также и другие многие типы уравнений с абсолютными значениями.
Вот два примера использования калькулятора уравнений для решения уравнения с абсолютным значением:
- `abs (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с абсолютным значением.2-4) = 4`, решатель показывает шаги расчета для решения квадратного уравнения с абсолютным значением.
Калькулятор уравнений позволяет решать уравнение с использованием экспоненты он может решать линейные уравнения с использованием экспоненты, квадратные уравнения, включающие экспоненциальные, но также и другие многие типы уравнений с экспоненциальной.
Вот два примера использования калькулятора для решения уравнения с экспонентой:
- `exp (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с экспонентой.2-4) = 4`, решатель показывает этапы расчета для решения квадратного уравнения с экспонентой.
Решите логарифмическое уравнение , т.е. возможно несколько уравнений, содержащих логарифмы. Помимо результата, калькулятор предоставляет подробные инструкции и расчеты, которые привели к разрешению логарифмического уравнения. Чтобы решить следующее логарифмическое уравнение ln (x) + ln (2x-1) = 0, просто введите выражение в области расчета, затем нажмите кнопку «Рассчитать».
Калькулятор уравнений позволяет решать круговые уравнения , он может решить уравнение с косинусом формы cos (x) = a или уравнение с синусом вида sin (x) = a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать уравнения вроде `Сов (х) = 1 / 2` или `2 * Sin (х) = SQRT (2)` с шагами расчета.
Функция Equation_solver может решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y ‘+ y = 0, вы должны ввести формулу_выражения (`y’ + y = 0; x`).
Функция Equation_solver может решать дифференциальное уравнение второго порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y » — y = 0, необходимо ввести формул_переход (`y ‘- y = 0; x`).
Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестными с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.