Решить методом крамера системы уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Метод Крамера для решения системы двух линейных уравнений: алгоритм следования, примеры.

Квадратная матрица 2-го порядка и её определитель

Квадратной матрицей 2-го порядка A называется таблица из 4-х чисел вида: $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} $$

В квадратной матрице 2-го порядка две строки и два столбца.

Например: $ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2,5 & 3 \\ \end{vmatrix} $

Например: $\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2,5 & 3 \\ \end{vmatrix} = 1\cdot3-2,5\cdot(-4) = 3+10 = 13$

Метод Крамера для решения системы 2-х линейных уравнений

Дана система 2-х линейных уравнений:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2 \end{array} \right.} $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 b_2-a_2 b_1 $$

и вспомогательные определители:

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = c_1 b_2-c_2 b_1, \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 c_2-a_2 c_1 $$

Тогда решение системы:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \end{array} \right. } $$

Соотношение коэффициентов уравнений, значений определителей, расположения прямых и количества решений:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

$ \Delta \neq 0 $

$ \Delta = 0, \Delta _x \neq 0, \Delta_y \neq 0 $

$ \Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Одно решение

Нет решений

Бесконечное множество решений

Метод Крамера для N=3 (три уравнения, три переменных) рассмотрен в §49 данного справочника.

Алгоритм исследования системы 2-х линейных уравнений по методу Крамера

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом Крамера:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 2 & -3 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot(-3)-2\cdot(-4) = -15+8 =-7 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -3 \\ \end{vmatrix} = 3\cdot(-3)-4\cdot(-4) = -9+16 = 7 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot4-2\cdot3 = 20-6 = 14 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{7}{-7} = -1, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{14}{-7} = -2 $$

Ответ: (-1;-2)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ 3x-4y = 0 \end{array} \right. } $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot(-4)-3\cdot(-3) = -16+9 = -7 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 0 & -4 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot(-4)-0\cdot(-3) = -28 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 0 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot0-3\cdot7 = -21 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-28}{-7} = 4, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-21}{-7} = 3 $$

Ответ: (4;3)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ 2a+3b = -1 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot3-2\cdot(-4) = 15+8 = 23 $$

$$ \Delta_a = \begin{vmatrix} 9 & -4 \\ -1 & -3 \\ \end{vmatrix} = 9\cdot3-(-1)\cdot(-4) = 27-4 = 23 $$

$$ \Delta_b = \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot(-1)-2\cdot9 = -5-18 = -23 $$

$$ a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{23}{23} = 1, b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-23}{23} = -1 $$

Ответ: (1;-1)

$ r) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 \end{array} \right. 2+5a-5}{a-5} \\ y = \frac{4a+25}{a-5} \end{array} \right.} $

Ответ: 1) $a \neq \pm5$; 2) a = 5; 3) a = -5

как методом крамера решить систему уравнений

как методом крамера решить систему уравнений

Вы искали как методом крамера решить систему уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти дискриминант матрицы по методу крамера, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как методом крамера решить систему уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.

Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как методом крамера решить систему уравнений,как найти дискриминант матрицы по методу крамера,как решать линейные уравнения методом крамера,как решать матрицу методом крамера,как решать матрицы методом крамера,как решать метод крамера,как решать методом крамера,как решать методом крамера линейные уравнения,как решать методом крамера матрицы,как решать систему уравнений методом крамера,как решить матрицу методом крамера,как решить методом крамера систему,как решить методом крамера систему уравнений,как решить систему линейных уравнений методом крамера,как решить систему методом крамера,как решить систему уравнений методом крамера,крамер матрица,крамер метод,крамер формулы,крамера,крамера матрица,крамера метод пример,крамера метод это,линейные уравнения методом крамера,матрица крамер,матрица крамера,матрица метод крамера,матрица методом крамера,матрицу решить методом крамера,матрицы метод крамера,матрицы метод крамера примеры,матрицы примеры метод крамера,матрицы теорема крамера,метод гаусса и крамера,метод гаусса и метод крамера,метод гаусса крамера и,метод гаусса крамера и матричный метод,метод гаусса метод крамера матричный метод,метод крамер,метод крамера,метод крамера 4 на 4,метод крамера 4х4,метод крамера гаусса и,метод крамера для матрицы 4 порядка,метод крамера для решения систем линейных уравнений,метод крамера для чайников,метод крамера и гаусса,метод крамера и матричный метод,метод крамера и метод гаусса,метод крамера и метод гаусса решения систем линейных уравнений,метод крамера как решать,метод крамера матрица,метод крамера матрицы,метод крамера матрицы примеры,метод крамера метод гаусса,метод крамера метод гаусса и,метод крамера метод гаусса матричный метод,метод крамера пример,метод крамера примеры,метод крамера примеры с решением,метод крамера решение,метод крамера решение матриц,метод крамера решение систем линейных уравнений,метод крамера решения,метод крамера решения систем линейных уравнений,метод крамера система линейных уравнений,метод крамера системы линейных уравнений,метод крамера слау,метод крамера теория,метод крамера формула,метод крамера формулы,метод крамера это,метод обратной матрицы метод крамера,метод решение крамера,метод решения крамера,метод слау крамера,метода крамера,методом крамера,методом крамера как решать,методом крамера матрица,методом крамера решить,методом крамера решить матрицу,методом крамера решить системы уравнений,методом крамера решить уравнение,по крамеру решение,по формулам крамера,по формулам крамера решить систему,по формулам крамера решить систему линейных уравнений,по формулам крамера решить систему уравнений,по формуле крамера решить систему,по формуле крамера решить систему линейных уравнений,по формуле крамера решить систему уравнений,правила крамера,правило крамера,правило крамера решения систем,правило крамера решения систем линейных уравнений,пример метод крамера,примеры линейных уравнений решение методом крамера,примеры метод крамера,примеры решение линейных уравнений методом крамера,примеры формула крамера,решение линейных систем уравнений по формулам крамера,решение линейных уравнений методом крамера,решение линейных уравнений методом крамера примеры,решение матриц метод крамера,решение матриц методом крамера,решение матриц по методу крамера,решение матрицы методом крамера,решение метод крамера,решение методом крамера,решение по крамеру,решение по формуле крамера,решение систем линейных уравнений метод крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера,решение систем линейных уравнений методом крамера методом гаусса,решение систем линейных уравнений по формулам крамера,решение систем методом крамера,решение систем по формулам крамера,решение систем уравнений методом крамера,решение систем уравнений методом крамера примеры с решением,решение систем уравнений по формулам крамера,решение системных уравнений методом крамера,решение системы линейных уравнений методом крамера,решение системы методом крамера,решение системы по формулам крамера,решение системы уравнений методом крамера,решение слау методом крамера,решение уравнений методом крамера,решение уравнений по формулам крамера,решение уравнения методом крамера,решения метод крамера,решите систему линейных уравнений методом крамера,решите систему уравнений методом крамера,решите систему уравнений по формулам крамера,решить матрицу методом крамера,решить методом крамера,решить методом крамера системы уравнений,решить методом крамера слау,решить методом крамера уравнение,решить по правилу крамера систему,решить по правилу крамера систему уравнений,решить по формулам крамера систему,решить по формулам крамера систему уравнений,решить по формуле крамера систему,решить по формуле крамера систему уравнений,решить систему алгебраических линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений методом крамера,решить систему линейных уравнений по формулам крамера,решить систему линейных уравнений по формуле крамера,решить систему методом гаусса и методом крамера,решить систему методом крамера,решить систему методом крамера и методом гаусса,решить систему по правилу крамера,решить систему по формулам крамера,решить систему по формуле крамера,решить систему уравнений методом крамера,решить систему уравнений по правилу крамера,решить систему уравнений по формулам крамера,решить систему уравнений по формуле крамера,решить системы уравнений методом крамера,решить слау методом крамера,решить уравнение методом крамера,система крамера,система линейных уравнений метод крамера,система линейных уравнений методом крамера,система уравнений методом крамера,систему линейных уравнений решить по формулам крамера,систему уравнений решить по правилу крамера,системы линейных уравнений метод крамера,слау метод крамера,слау методом крамера,способ крамера,теорема крамера матрицы,теория крамера,теория метод крамера,уравнение крамера,уравнение методом крамера,формула крамера,формула крамера для решения,формула крамера для решения системы,формула крамера для решения системы линейных уравнений,формула крамера примеры,формула метод крамера,формулам крамера,формулы крамер,формулы крамера,формулы крамера для решения систем,формулы крамера для решения систем линейных уравнений,формулы метод крамера. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как методом крамера решить систему уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать линейные уравнения методом крамера).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как методом крамера решить систему уравнений Онлайн?

Решить задачу как методом крамера решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными | Колледж Алгебра |

Решение систем по правилу Крамера

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей

вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right ]А=⎣

⎡​a1​a2​a3​b1​b2​b3​c1​c2​c3​⎦

⎤​

1. Дополните

   AAA

   первыми двумя столбцами.

   det(A)=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1a2a3b1b2b3∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& { c}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& { c}_{3}\end{массив}|\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{массив} \begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив}|det(A)=∣a1​a2​a3 b1​b2​b3​c1​c2​c3​∣a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​∣

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом: }_{3}+{b}_{1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}- {a}_{3}{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3 }{a}_{2}{b}_{1}∣A∣=a1​b2​c3​+b1​c2​a3​+c1​a2​b3​−a3​b2​c1​−b3​c2 ​a1​−c3​a2​b1​

Пример 3. Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по данным

A=[0213−11401]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array }\right]A=⎣

⎡​034​2−10​111​⎦

⎤​

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

∣A∣=∣0213−11401∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6\begin{массив}{l}|A|=|\begin{массив}{ ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{c}0\\ 3\\ 4\end{массив}\begin{массив}{c} 2\\ -1\\ 0\end{массив}|\qquad \\ =0\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)+2\влево(1\вправо)\влево(4\вправо) )+1\влево(3\вправо)\влево(0\вправо)-4\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)-0\влево(1\вправо)\влево(0\вправо) -1\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =0+8+0+4 — 0-6\qquad \\ =6\qquad \end{массив}∣A∣=∣ 034​2−10​111​∣034​2−10​∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1) −0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6​

Попробуйте 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det(A)=∣1−371111−23∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{array}|det(A)=∣111​−31−2​713​∣

Решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

и

3 × 3\text{3}\text{ }\times \text{ }33 × 3

матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y }}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D},D\ne 0x=DDx​,y=DDy​​,z=DDz​​,D=0

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель

Dx{D}_{x}Dx​

, мы заменяем столбец

xxx

столбцом констант. Если мы записываем определитель

Dy{D}_{y}Dy​

, мы заменяем столбец

yyy

постоянным столбцом. Если мы записываем определитель

Dz{D}_{z}Dz​

, мы заменяем столбец

zzz

постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4. Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x — 2y+z=-5\\ x+3y — 2z=14\end{массив}x+y−z=63x−2y+z=−5x+3y−2z=14​

Решение

Используйте правило Крамера.

D=∣11−13−2113−2∣,Dx=∣61−1−5−21143−2∣,Dy=∣16−13−51114−2∣,Dz=∣1163−2−51314∣D =|\begin{массив}{ccc}1& 1& -1\\ 3& -2& 1\\ 1& 3& -2\end{массив}|,{D}_{x}=|\begin{массив}{ccc} 6& 1& -1\\ -5& -2& 1\\ 14& 3& -2\end{массив}|,{D}_{y}=|\begin{массив}{ccc}1& 6& -1\\ 3& -5& 1\\ 1& 14& -2\end{массив}|,{D}_{z}=|\begin{массив}{ccc}1& 1& 6\\ 3& -2& -5\\ 1& 3& 14\end{массив }|D=∣131​1−23​−11−2​∣,Dx​=∣6−514​1−23​−11−2​∣,Dy​=∣131​6−514​−11− 2​∣,Dz​=∣131​1−23​6−514​∣

Тогда

x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2\begin{array}{l}x=\frac{{D}_{ x}}{D}=\frac{-3}{-3}=1\qquad \\ y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{-9}{-3} =3\qquad \\ z=\frac{{D}_{z}}{D}=\frac{6}{-3}=-2\qquad \end{array}x=DDx​=−3 −3​=1y=DDy​=−3−9​=3z=DDz​=−36​=−2​

Решение:

(1,3,−2)\left(1,3,-2\right)(1,3,−2)

.

Попробуйте 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4\begin{array}{r}\qquad x — 3y+7z=13\\ \qquad x+y+z=1\ \ \qquad x — 2y+3z=4\end{массив}x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4​

Решение

Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решить систему уравнений по правилу Крамера.

3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)\begin{array}{l}3x — 2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x — 4y=0\ text{ }\left(2\right)\end{array}3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)​

Решение

Начнем с нахождения определителей

D,Dx и DyD,{D}_{x},\text{и {D}_{y}D,Dx​, и Dy​

.

D=∣3−26−4∣=3(−4)−6(−2)=0D=|\begin{массив}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{массив}|= 3\влево(-4\вправо)-6\влево(-2\вправо)=0D=∣36​−2−4​∣=3(−4)−6(−2)=0

Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение (1) на

   −2-2−2

   .
2. Добавьте результат к уравнению

   (2)\влево(2\вправо)(2)

   .

−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8\begin{matrix} \qquad-6x+4y=-8 \\ \qquad6x-4y=0 \\ \qquad\text{ —————} \\ \qquad 0=8\end{matrix}−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8​

Получаем уравнение

0=−80=-80=−8

, что неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии.

Рис. 5

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)\begin{массив}{rr}\qquad x — 2y+3z=0& \ qquad \left(1\right)\\ \qquad 3x+y — 2z=0& \qquad \left(2\right)\\ \qquad 2x — 4y+6z=0& \qquad \left(3\right)\end {массив}x−2y+3z=03x+y−2z=02x−4y+6z=0​(1)(2)(3)​

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

∣1−2331−22−46 ∣1−2312−4∣|\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 3& \qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 2& \qquad -4& \qquad 6\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{rr}\qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 3& \qquad 1\\ \ qquad 2& \qquad -4\end{массив}|∣132​−21−4​3−26​ ∣ 132​−21−4​∣

Тогда

1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=01\влево(1\вправо)\влево(6\вправо)+\влево(-2\вправо)\влево(-2\вправо)\влево(2\вправо) )+3\влево(3\вправо)\влево(-4\вправо)-2\влево(1\вправо)\влево(3\вправо)-\влево(-4\вправо)\влево(-2\вправо) )\влево(1\вправо)-6\влево(3\вправо)\влево(-2\вправо)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3) (−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0

Так как определитель равен нулю, то решений либо нет, либо их бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (1) на

   −2-2−2

   и добавьте результат к уравнению (3):

   −2x+4y−6x=02x−4y+6z=00=0\frac{\begin{ array}{r}\qquad -2x+4y — 6x=0\\ \qquad 2x — 4y+6z=0\end{массив}}{0=0}0=0-2x+4y-6x=02x-4y +6z=0

2. Получение ответа

   0=00=00=0

   , утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой.

Рисунок 6

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, конкретное авторство

• Precalculus. Автор : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция

Предыдущая

Следующая

линейная алгебра — Использование правила Крамера для системы уравнений с четырьмя переменными

Задавать вопрос

спросил 3 года, 2 месяца назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 317 раз

$\begingroup$

Учитывая следующую систему уравнений: \начать{выравнивать*} ш + х + у &= 3 \\ х + у + г &= 4 \\ х + у + 2z &= 10 \\ ш + х + г &= 20 \конец{выравнивание*} Найдите $w$ по правилу Крамера.
Ответ:
\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = 1 — (1 — 2) + (0 — 1) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= — \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = -(0 — 2) + (0-1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= — \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} = — ( 0 — 2) + (0 — 1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 — 1 + 1 = 1 \\ ш &= \ гидроразрыв { \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 } = \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} \конец{выравнивание*} \начать{выравнивать*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 0 и 0 и 1 \\ 0 и -1 и 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ -1 и 1 \end{vmatrix} = ( 0 — 1 (-1) ) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4 \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \\ \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 6 и 2 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 6 и 1 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} = 4(1-2) — (6 — 40) + 6 — 20 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4(-1) — 6 + 40 + 6 — 20 = 16 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -4 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 и -4 \\ \end{vmatrix} = 4( 2 + 2 ) = 16 \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3( 1 ) — 16 + 16 = 3 \\ W &= \frac{3}{1} \\ Вт &= 3 \конец{выравнивание*} У меня есть веская причина решить эту систему уравнений: $(ш,х,у,г) = (5,9,-11,6)$

Где я ошибся?

• линейная алгебра
• системы уравнений
• определитель

$\endgroup$

$\begingroup$

Должно быть: $$w= \фракция{ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 }=$$

$$ = 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix}= $$ $$=3(1+2+0-1-1-0)-(4+40+0-20-10-0)+$$ $$+(4+40+10-20-10-8)=3-14+16=5.