Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Гаусса, пример № 11
СЛАУ 3-его порядка:
1 —
2 —
3 —
4 —
5 —
6 —
7 —
8 —
9 —
10 —
11 —
12
СЛАУ 4-ого порядка:
1 —
2 —
3 —
4 —
5 —
6 —
7 —
8 —
9 —
10 —
11 —
12
Условие
|
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс
Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом —
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются
элементарными преобразованиями матрицы.
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.
Проведём следующие действия:
- Поменяем местами строку № 1 и строку № 2
Получим:
Проведём следующие действия:
- Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 1)
- Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 — 4 × строка 1)
Проведём следующие действия:
- Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
- Поменяем местами строку № 2 и строку № 3
Получим:
Проведём следующие действия:
- К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 (Строка 3 + 11 × строка 2)
Получим:
Проведём следующие действия:
- Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)
Получим:
Проведём следующие действия:
- Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3
- Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)
Получим:
Проведём следующие действия:
- Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)
Получим:
В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы.
В правом столбце получаем решение:
х1 = 1
х2 = 2
х3 = 3
Вы поняли, как решать? Нет?
Другие примеры
описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.
Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Краткий обзор статьи.
Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.
Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.
В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.
Навигация по странице.
Основные определения и обозначения.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.
Основные определения и обозначения.
Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n): где — неизвестные переменные, — числа (действительные или комплексные), — свободные члены.
Если , то система линейных алгебраических уравнений называетсяоднородной, в противном случае – неоднородной.
Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ.
Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной
Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид .
Эта система в матричной форме записи имеет вид , где — основная матрица СЛАУ, — матрица столбец неизвестных переменных, — матрица свободных членов.
Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.
Следует оговорить следующий момент.
Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия
поменять местами два уравнения,
умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,
к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,
то
получится эквивалентная система, которая
имеет такие же решения (или также как и
исходная не имеет решений).