Как находить корни по теореме виета: формула, примеры, как решать, доказательство

Содержание

формула, примеры, как решать, доказательство

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

631.6K

Многие ученые прошлых веков открыли то, что остается актуальным до сих пор. Один из них — французский математик Франсуа Виет. В этой статье расскажем о его теореме и зачем она нужна.

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

не имеют корней;
имеют один корень;
имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b² − 4ac. Его свойства:

если D < 0, корней нет;
если D = 0, есть один корень;
если D > 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике

теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Теорема Виета

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

x₁ + x₂ = −b,
x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Перемножаем числители и знаменатели между собой:
Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a² − b². Получаем:
Далее произведем трансформации в числителе:
Нам известно, что D = b² − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x

2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x² − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax² + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x².

Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x² + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x², то есть на 4.
Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:
Метод подбора помогает найти корни: −1 и

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Шпаргалки по математике

К следующей статье

292.5K

Как определить площадь квадрата

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

§ Как решать уравнения по теореме Виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов «a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните!

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x² + px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент «а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что «p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение	Коэффициенты	Вывод
x² − 7x + 1 = 0	a = 1 p = −7 q = 1	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3x² − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3x² + x − 1 = 0	a = 3 p = 1 q = −1	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x² = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x² + 3 − 2x = 0 −x² − 2x + 3 = 0	a = −1 p = −2 q = 3	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните!

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x² + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

	x₁ + x₂ = −p
	x₁ · x₂ = q

, где «x₁» и «x₂» — корни этого уравнения.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» — значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

p = 4
q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

	x₁ + x₂ = −4
	x₁ · x₂ = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

	x₁ + x₂ = −1
	x₁ · x₂ = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0 | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

	x₁ + x₂ = −(−8)
	x₁ · x₂ = −9

	x₁ + x₂ = 8
	x₁ · x₂ = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения «x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и «x₂» квадратного уравнения «x² + px + 3 = 0» удовлетворяют условию «x₂ = 3x₁». Найти «p», «x₁», «x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

x² + px + 3 = 0

	x₁ + x₂ = −p
	x₁ · x₂ = 3

По условию дано, что «x₂ = 3x₁». Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

	x₁ + 3x₁ = −p
	x₁ · 3x₁ = 3

	4x₁ = −p
	3x₁² = 3 \|(:3)

	4x₁ + p = 0
	x₁² = 1

	p = −4x₁
	x₁² = 1

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1» методом подбора и найдем «x₁».

x₁² = 1

(Первый корень) x₁ = 1
(Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁». Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1
Найдем «x₂»
x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3
Найдем «p»
x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;

(Второй корень) x₁ = −1
Найдем «x₂»
x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
−x₂ = 3 | ·(−1)
x₂ = −3
Найдем «p»
x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4) и (x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений, где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

	x₁ + x₂ =
	x₁ · x₂ =

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

	x₁ + x₂ =
	x₁ · x₂ =

	x₁ + x₂ = −1
	x₁ · x₂ = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в которых «a = 1». Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:


Отправить

Формула Виета — GeeksforGeeks

Алгебра является одним из основных разделов математики. Многочлены являются неотъемлемой частью алгебры. Формула Виета используется в многочленах. Эта статья о формуле Виета, которая связывает сумму и произведение корней с коэффициентом многочлена. Эта формула специально используется в алгебре.

Формула Виета

Формулы Виета – это те формулы, которые обеспечивают соотношение между суммой и произведением корней многочлена на коэффициенты многочленов. Формула Виета описывает коэффициенты многочлена в виде суммы и произведения его корня.

Формула Виета имеет дело с суммой и произведением корней и коэффициентом многочлена. Он используется, когда нам нужно найти многочлен, когда даны корни, или мы должны найти сумму или произведение корней.

Формула Виета для квадратного уравнения

Если f(x) = ax ² + bx + c является квадратным уравнением с корнями α и β Сумма корней =
Формула Виета для обобщенного уравнения
Если f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^{n-2 … + a 900. .. ₂ х ² + а ₁ х +а ₀} — квадратное уравнение с корнями 7 н-1 , r _n затем,
r ₁ + r ₂ + r ₃ +………. + r _n-1 + r _n = -a _n-1 /a _n
(r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ +….9 +r 9 0 097 н ) + (р ₂ r ₃ + r ₂ r ₄ +…….+r ₂ r _n ) + ……… + r _n-1 r _n /a _n
:
:
r ₁ r ₂ …r _n = (-1 8 n 9^{0 /a _n )}
Примеры задач
Задача 1. Если α , β корни уравнения : x ² – 10x + 5 = 0 (α , то найти значение ² + β ² )/(α ² β + αβ ² ).
Решение:
Дано Уравнение: x ² – 10x + 5 = 0
По формуле Виета 1 = 10
αβ = с/а = 5/1 = 5
As (α ² +β ² ) = (α + β ) ² – 2αβ
= (10) ² – 2×5
0 90
= 0 100 2 (α ² +β ² ) = 90
Теперь значение (α ² + β ² )/(α ² β + αβ ²
8 )
= + β ² )/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1,8
Задача 2. Если α , β являются корнями уравнения : х ² + 7x + 2 = 0 , затем найдите значение 14÷(1/α + 1/β).
Решение:
Данное уравнение: x ² + 7x + 2 = 0
По формуле Виета β = c/a = 2/1 = 2
Теперь (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/α + 1/β) = -7/2
Сейчас значение из 14÷(1/α + 1/β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Задача 3. Если α , β являются корнями уравнения: x ² + 10x + 2 = 0 , то найдите значение (α/β + β/α).
Решение:
Данное уравнение: x ² + 10x + 2 = 0
По формуле Виета 02 αβ = с/ а = 2/1 = 2
As (α ² +β ² ) = (α + β ) ² – 2αβ
= 10 ² – 0 9 – 2 0 9 0 2 9 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3
= 96
Теперь значение (α/β + β/α) = (α ² +β ² )/αβ
= 96/2
= 489
93 Проблема 4: Если α и β являются корнями уравнения и учитывая, что α + β = -100 и αβ = -20, найдите квадратное уравнение.
Решение:
Дано
Сумма корней = α + β = -1000002 х ² – (сумма корней)х + (произведение корней) = 0
х ² – (-100)х + (-20) = 0
х ² + 100х – 20 = 0
Задача 5. Если α , β и γ являются корнями уравнения и учитывая, что α + β + γ = 10, αβ + αγ + βγ = -1 и αβ γ = -6, то найдите кубическое уравнение.
Решение:
Дано,
Сумма корней = α + β + γ= 10,
Сумма произведения двух корней = αβ + αγ + βγ = -1
Произведение корней = αβγ = -6
Кубическое уравнение: = 0
х ³ – 10 х ² + (-1)х – (-6) = 0
х ³ – 10 х ² – х 9 9 001 = 9 9001 002 Проблема 6: Если α , β и γ являются корнями уравнения x ³ + 1569x ² – 3 = 0, то найдите значение [(1/α) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/α )] ³
Решение:
2 Дано3,
2
Сумма корней = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
Сумма произведения двух корней = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
Произведение корней = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Так как, (p ³ + q ³ + r ³ – 3pqr) = (p + q + r)( p ² +q ² + r ² – pq – qr – pr) ……(1)
Пусть, p = (1/α) + (1/β ) , q = (1/γ) + (1/β ) , r = (1/γ) + (1/α )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Из уравнения ( 1):
(p ³ + q ³ + r ³ – 3pqr) = 0
p ³ + q ³ + r 39011
[(1/α ) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/α )] ³ = 3[(1 /α) + (1/β)][(1/γ) + (1/β)][(1/γ) + (1/α)]
= 3(-1/γ)(-1/α) (-1/β )
= -3/αβγ = -3/3
= -1
Задача 7. Если α и β являются корнями уравнения x ² – 3x +2 =0, тогда найдите значение α ² – β ² .
Решение:
Дано,
Сумма корней = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
Произведение корней = αβγ = c/a = 2/ 1 = 2
As (α – β) ² = (α + β) ^{2 9{n-1}+\cdots+c_1 x+c_0$, можно рассматривать уравнения Виета, связывающие $n$ корней $x_k$ и $n$ оставшихся коэффициентов $c_j$, как систему совместных нелинейных уравнений, и тогда применить к ним многомерную версию Ньютона-Рафсона.}
Обратите внимание, что якобиан системы (для простоты я использую случай четвертой степени)
$$\begin{align*}x_1+x_2+x_3+x_4=&-c_3\\x_1 x_2+ x_3 x_2+x_4 x_2+x_1 x_3+x_1 x_4+x_3 x_4=&c_2\\x_1 x_2 x_3+x_1 x_4 x_3+x_2 x_4 x_3+x_1 x_2 x_4=&-c_1\\x_1 x_2 x_3 x_4=&c_0\end{выравнивание* }$$
равно
$$\begin{split}&\mathbf J(\mathbf x)=\mathbf J(x_1,x_2,x_3,x_4)=\\&\small\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_2+x_3+x_4 & x_1+x_3+x_4 & x_1+x_2+x_4 & x_1+x_2+x_3 \\ x_2 x_3+x_4 x_3+x_2 x_4 & x_1 x_3+x_4 x_3+x_1 x_4 & x_1 x_2+ x_4 x_2+x_1 x_4 & x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3 \\ x_2 x_3 x_4 & x_1 x_3 x_4 & x_1 x_2 x_4 & x_1 x_2 x_3\end{pmatrix}\end{split}$$
с обратным
$ $\begin{split}&\mathbf J^{-1}(\mathbf x)=\mathbf J^{-1}(x_1,x_2,x_3,x_4)=\\&\tiny \begin{pmatrix}\ frac{x_1^3}{(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} &\frac{x_1^2}{(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_4-x_1)} &\ frac{x_1}{(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} & \frac1{(x_2-x_1)(x_1-x_3) (x_1-x_4)} \\ \ frac{x_2^3} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} &\frac{x_2^2}{(x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} &\frac{x_2}{( x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \frac1{(x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} \\\frac{x_3^3}{(x_1-x_3) (x_2-x_3) (x_3-x_4)} &\frac{x_3^2}{(x_1-x_3) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} &\frac{x_3}{(x_1-x_3) (x_2 -x_3) (x_3-x_4)} & \frac1{(x_1-x_3)(x_3-x_2) (x_3-x_4)} \\\frac{x_4^3}{(x_4-x_1) (x_4-x_2) ( x_4-x_3)} &\frac{x_4^2}{(x_1-x_4) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} &\frac{x_4}{(x_4-x_1) (x_4-x_2) (x_4- x_3)} & \frac1{(x_1-x_4)(x_4-x_2) (x_4-x_3)}\end{pmatrix}\end{split}$$ 9{(0)}$ — начальные приближения (которые, как и в любом методе Ньютона-Рафсона, необходимы).
No related posts.