Формула крамера для решения системы линейных уравнений онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Похожие презентации:

Решение СЛАУ методом Крамера

Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом (вопросы)

Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)

Системы линейных уравнений

Метод решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера

Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Цель работы:
-изучить решение систем линейных уравнений с помощью методом Крамера ;
-научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех
линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

Системы линейных уравнений
Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные
только в первой степени и не содержит произведений переменных.
Система m линейных уравнений с n переменными:
Числа
называются коэффициентами при переменных, а
свободными членами.
Совокупность чисел
называется решением системы линейных уравнений, если при
подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в
верные равенства.
В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и
способ сложения.
В курсе высшей математике решают методом Крамера ,методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера
Сведения из истории
Крамер является одним из
создателей линейной алгебры.
Одной из самых известных его
работ является «Введение в
анализ алгебраических
кривых», опубликованный на
французском языке в 1750
году. В ней Крамер строит
систему линейных уравнений и
решает её с помощью
алгоритма, названного позже
его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве
(Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих
сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал
завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года
Крамер выставил свою кандидатуру на должность
преподавателя в Женевском университете. Юноша так
понравился магистрату, что специально для него и ещё
одного одного кандидата на место преподавателя была
учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и
работал в последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у
знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и
Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и
Клеро в Париже и других. Со многими из них он продолжал
переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в
Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе
Парижской Академии и занимает второе место.
Талантливый учёный написал множество статей на самые
разные темы: геометрия, история, математика, философия. В
1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить
к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует
сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный
сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а
также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном
Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны
учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен
от нуля, то система линейных уравнений имеет одно
единственное решение, причём неизвестное равно
отношению определителей. В знаменателе –
определитель системы, а в числителе – определитель,
полученный из определителя системы путём замены
коэффициентов при этом неизвестном свободными
членами. Эта теорема имеет место для системы
линейных уравнений любого порядка.
Дана система
Формулы Крамера
………….
Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей
переменной свободными членами:
Решение системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными методом Крамера
1)
Ответ: (1;-1)
2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в
минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение
прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная
прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из
отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
Тогда условие задачи можно записать в виде системы:
Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения — 4 млн усл. ед., второго
— 8 усл.ед.
б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,
второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.
При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество
решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:
Система называется несовместной, если у неё нет ни одного
решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система уравнений, имеющая только одно решение,
называется определённой, а более одного – неопределённой.
Решение системы трех линейных уравнений с
тремя двумя неизвестными методом Крамера
Решение. Находим определители системы:
Ответ: (1; 0; -1) .
Решите системы:

English     Русский Правила

1.

3. Системы линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(1.3)

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком виде:

(1.4)

если 0. Здесь

(1.5)

Это есть формулы Крамерарешения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.6.Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы:

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить метод Крамера. Вычислим остальные определители:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Теорема Крамера. Квадратная система линейных неоднородных уравнений n-го порядка с отличным от нуля определителем основной матрицы системы

(0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам:

где  – определитель основной матрицы, _i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

1.4. Матричный метод. Обратная матрица

Матрица А^–1называетсяобратнойматрицей по отношению к матрицеА, если выполняется равенствоAA^–1=A^–1A=E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Для того чтобы матрицаАимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля:detA0.

Пример 1.7.Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

.

Тогда решение можно формально записать в виде:

.

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

.

Найдем ее

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

2) Транспонируем матрицу .

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

,	,	,
,	,	,
,	,	.

4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:

5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Сделаем проверку:

.

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.

1.5. Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

(1.5)

В общем случае nm.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая. 1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. 2) Система имеет хотя бы одно решение. такие системы называютсясовместными. 3) Система имеет только одно решение. Такие системы называютсяопределёнными.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения находим значение z и подставляем его во второе уравнение. После этого из второго уравнения находим y. Найденные значения y и z подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x:

Эта тройка чисел будет являться единственным решением системы.

Пример 1.9.Решить систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна.

Пример 1.10. Найти общее решение методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

-1

4

3

3

:15

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений:

Пусть переменные x₄ и x₅ будут свободными, тогда переменные x₁, x₂ и x₃ будут основными (или базисными). Их мы оставим в левой части:

Разрешая эту систему относительно x₁, x₂ и x₃ получим

Это есть общее решение системы. Запишем это решение в параметрическом виде. Пусть x₄=a и x₅=5b. Тогда общее решение системы запишется в виде:

Давая числам a и b различные значения, будем получать частные решения. Например, если a=0, b=1, то x₁=–7, x₂=–2, x₃=4, x₄=0, x₅=5.

3×3 Калькулятор системы линейных уравнений

---

Этот онлайн-калькулятор системы линейных уравнений 3×3 решает систему из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, используя правило Крамера. Введите значения коэффициентов для каждого линейного уравнения системы в соответствующие поля калькулятора. Все поля, оставленные пустыми, будут интерпретироваться как коэффициенты с нулевыми значениями. После нажатия кнопки «Рассчитать» вы получите значения неизвестных.

---

а ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁

a ₂ x + b _{2 9000 9 у + с 2 z = d 2}

A ₃ X + B ₃ Y + C ₃ Z = D ₃

---

В математике система линейных уравнений представляет собой набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым числом переменных. (или неизвестные). Рассматриваемая здесь линейная система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:
$${ a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }z={ d }_{ 1 }$$ $${ a }_{ 2 }x+{ b } _{ 2 }y+{ c }_{ 2 }z={ d }_{ 2 }$$ $${ a }_{ 3 }x+{ b }_{ 3 }y+{ c }_{ 3 }z= { d }_{ 3 },$$ где \(x, y, z\) — неизвестные, \(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3\) — коэффициенты система, а \(d_1, d_2, d_3\) — постоянные условия.

Решение линейной системы уравнений — это поиск таких значений неизвестных \(x, y, z\), что каждое из уравнений удовлетворяется. Существует ряд методов решения системы линейных уравнений. Этот калькулятор линейной системы уравнений использует правило Крамера. Он выражает решение системы через определители матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее заменой одного столбца вектором-столбцом правых постоянных членов уравнений.

Обозначим через \(D\) определитель матрицы коэффициентов системы:
$$D=\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ {а}_{ 2} & {б}_{ 2} & {в}_{ 2} \\ {а}_{ 3} & {б}_{ 3} & {в}_{ 3 } \end{vmatrix}.$$

Тогда определители матриц, полученных из матрицы коэффициентов заменой одного столбца на вектор-столбец правых частей уравнений, будут:

$$ {D_x = \left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{array}\right|,} \hspace{0.3em}
{D_y = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{array}\right|,} \hspace{0. 3 em}
{D_z = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{array}\right|.} $$

Правило Крамера утверждает, что в случае \(D\neq 0\) система имеет единственное решение, индивидуальные значения неизвестных которого задаются следующими формулами:

$$x = \frac{D_x}{D} , \hspace{0,2em} y = \frac{D_y}{D}, \hspace{0,2em} z = \frac{D_z}{D}.$$

В зависимости от значения \(D\) линейная система уравнений может вести себя одним из трех возможных способов:

• Если \(D\neq 0\) система имеет единственное единственное решение, представленное выше.
• Если \(D = 0\) и \({D_x}\neq 0\) (или \({D_y}\neq 0\) или \({D_z}\neq 0\)) система не имеет решения (линейная система несовместна).
• Если \(D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0\), то система имеет бесконечно много решений.

Связанные калькуляторы

Ознакомьтесь с другими нашими алгебраическими калькуляторами, такими как калькулятор системы линейных уравнений 2×2.