Решить задачу Коши. — примеры, решения
Пример 1:
Решить задачу Коши:
Учесть 5 членов разложения.
Решение от преподавателя:
Представим решение задачи степенным рядом с неопределёнными коэффициентами (рассматриваем 5 членов разложения):
Из начальных условий находим:
т.е. . Подставляя в уравнение, получаем:
Ответ: .
Пример 2:
Решение от преподавателя:
Дано линейное ДУ – ищем решение в виде y=uv. Подставляя в уравнение, получаем:
Находим такую функцию v, для которой выражение в скобках тождественно равно нулю:
Подставляя найденную функцию в исходное уравнение, получаем:
Константу С находим из начального условия:
Ответ: .
Пример 3:
Решить задачу Коши:
Решение от преподавателя:
y’-y/x=x*sin(x)
Представим в виде:
y’-y/x = x*sin(x)
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*x, y’ = u’x + u.
u’x = x*sin(x)
Представим в виде:
u’ = sin(x)
Интегрируя, получаем:
Учитывая, что y = u*x, получаем:
y = u*x = Cx-x*cos(x)
Найдем частное решение при условии: y(pi/2) = 1
y(pi/2) = Cx-x*cos(x) = 1
Откуда: c1 = Cpi/2-pi/2cos(pi/2)
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(pi/2) = cos(pi/2)+1/(pi/2)=2/pi
Пример 4:
Найти решение задачи Коши:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Найти решение задачи Коши:
Решение от преподавателя:
Представим в виде:
-y/(x+2)+y’ = x2+2x
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.
-u*v/(x+2)+u*v’+u’v = x2+2x или u(-v/(x+2)+v’) + u’v= x2+2x\
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
u(-v/(x+2)+v’) = 0
u’v = x2+2x
Приравниваем u=0, находим решение для:
-v/(x+2)+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = v/(x+2)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, получаем:
ln(v) = ln(x+2)
v = x+2
Зная v, Находим u из условия: u’*v = x2+2*x
u’x+2u’ = x2+2x
u’ = x
Интегрируя, получаем:
Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = (C+x2/2)*(x+2)
или
y = Cx+2C+x3/2+x2
Найдем частное решение при условии: y(-1) = 1. 5
y(-1) = (-13)/2+-12+-C+2C = 1.5
Откуда:
c1 = (0.5(13-2-12+3))/(-1+2)0,5
Таким образом, частное решение имеет вид:
Y(x)=0,5x+1+x3/2+x2
Пример 6:
Решить задачу Коши:
Решение от преподавателя:
Решение:
Это однородное уравнение. Представим его в виде:
или
Интегрируя, получаем:
Откуда:
y=C
Найдем частное решение при условии: y(1/4) = pi/3
Откуда:
C = -(x·ln(cos(2·y)-1))/2+x·ln(cos(y)2)/2+x·ln(2)/2+(ln(cos(2·y)-1))/4+ln(sin(2·y))/2-ln(cos(y)2)/4+cos(y)2-1/2-ln(2)/4
Таким образом, частное решение имеет вид:
x·ln(cos(2·y)-1)-x·ln(cos(y)2)-x·ln(2)-(ln(cos(2·y)-1))/2-(ln(sin(2·y)/2))/2-ln(sin(2·y))/2+ln(cos(y)2)/2-2·cos(y)2+1=0
Пример 7:
Найти решение задачи Коши:
Решение от преподавателя:
x·yʹ+y2·(ln(x)+2)·ln(x)-y = 0
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:
y=u*x, y’ = u’x + u.
u2·x2·(ln(x)+2)·ln(x)-u·x+x·(u+uʹ·x) = 0
или
u2·x2·ln(x)2+2·u2·x2·ln(x)+uʹ·x2 = 0
Представим в виде:
uʹ = -u2·(ln(x)+2)·ln(x)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, получаем:
Учитывая, что y = u*x, u=y/x получаем:
Найдем частное решение при условии: y(1) = 1
y(1): x·ln(x)2 +С= 1
Откуда:
c1 = 1
Таким образом, частное решение имеет вид:
Пример 8:
Найти решение задачи Коши:
Решение от преподавателя:
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Ошибка
Перейти к основному содержанию
Вся размещенная на ресурсе информационная продукция предназначена для детей, достигших возраста шестнадцати лет (16+)
Извините, не удалось найти запрашиваемый Вами файл
Подробнее об этой ошибке
Перейти на. .. Перейти на…Новостной форумКомплексные числа (с приложениями к задачам электротехники)Лекционный материал по теме «Комплексные числа»Разбор типовых задач задач по теме «Комплексные числа»Примеры решения задач по теме «Комплексные числа»КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийТеория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеПрезентация по теме «Комплексные числа»Дополнительный материал к темеОсновы линейной алгебры с приложениями в других разделах математикиЛекционный материал по теме «Матрицы. Определители»Лекционный материал по теме «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Применение СЛАУ в экономике»Лекционный материал по теме «Линейные операторы»Примеры решения по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийЛинейная алгебра для экономистовМатрицы. ОпределителиВекторная алгебра.Аналитическая геометрияЛекционный материал по теме «Векторная алгебра.
2.2.2: Задача Коши с начальным значением
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 2169
- Эрих Мирземанн
- Университет Лейпцига 91\)-решение \(u=u(x,y)\) уравнения \((\star)\) такое, что \(u(x_0(s),y_0(s))=z_0(s)\), я. 1[s_1,s_2]\) и \( \Гамма\) нехарактерна.
Профессор, доктор Эрих Мирземанн (Университет Лейпцига)
Интегрировано Джастином Маршаллом.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Эрих Мирземанн
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
Тогда существует окрестность \(\cal{C}\) такая, что существует ровно одно решение \(u\) начальной задачи Коши.
Доказательство. (i) Существование. Рассмотрим следующую начальную задачу для системы характеристических уравнений для (\(\star\)):
\begin{eqnarray*}
x'(t)&=&a_1(x,y,z)\\
y’ (t)&=&a_2(x,y,z)\\
z'(t)&=&a_3(x,y,z)
\end{eqnarray*}
с начальными условиями
\begin{eqnarray*}
x(s,0)&=&x_0(s)\\
y(s,0)&=&y_0(s)\\
z(s,0)&=&z_0(s) .
\end{eqnarray*}
Пусть \(x=x(s,t)\), \(y=y(s,t)\), \(z=z(s,t)\) будет решением , \(s_1\le s\le s_2\), \(|t|<\eta\) для \(\eta>0\). Мы покажем, что этот набор кривых, см. рис. 2.2.2.1, определяет поверхность. Чтобы показать это, рассмотрим функции, обратные \(s=s(x,y)\), \(t=t(x,y)\) функции \(x=x(s,t)\), \( y=y(s,t)\) и показать, что \(z(s(x,y),t(x,y))\) является решением исходной задачи Коши. Обратные функции \(s\) и \(t\) существуют в окрестности \(t=0\), так как
$$
\det \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\Big|_{t=0}=
\left|\begin{array}{cc}x_s&x_t\ \y_s&y_t\end{array}\right|_{t=0}
=x_0′(s)a_2-y_0′(s)a_1\not=0,
$$
и начальная кривая \(\Gamma\) нехарактерно по предположению.
Установить
$$
u(x,y):=z(s(x,y),t(x,y)),
$$
тогда \(u\) удовлетворяет начальному условию, так как
$$
u(x,y)|_{t=0}=z(s,0)=z_0(s).
$$
Следующее вычисление показывает, что \(u\) также является решением дифференциального уравнения (\(\star\)).
\begin{eqnarray*}
a_1u_x+a_2u_y&=&a_1(z_ss_x+z_tt_x)+a_2(z_ss_y+z_tt_y)\\
&=&z_s(a_1s_x+a_2s_y)+z_t(a_1t_x+a_2t_y)\\ 9003 s_xx_t+s_yy_t)+z_t(t_xx_t+t_yy_t)\\
&=&a_3
\end{eqnarray*}
, так как \(0=s_t=s_xx_t+s_yy_t\) и \(1=t_t=t_xx_t+t_yy_t\).
(ii) Уникальность. Предположим, что \(v(x,y)\) — второе решение. Рассмотрим точку \((x’,y’)\) в окрестности кривой \((x_0(s),y(s))\), \(s_1-\epsilon\le s\le s_2+\epsilon \), \(\epsilon>0\) маленький. Обратные параметры: \(s’=s(x’,y’)\), \(t’=t(x’,y’)\), см. рис. 2.2.2.2.
Рисунок 2.2.2.2: Доказательство единственности
Пусть
$$
{\mathcal{A}}:\ \ x(t):=x(s’,t),\ y(t):=y (s’,t),\ z(t):=z(s’,t)
$$
— решение указанной выше начальной задачи для характеристических дифференциальных уравнений с начальными данными
$$
x(s ‘,0)=x_0(s’),\ y(s’,0)=y_0(s’),\ z(s’,0)=z_0(s’).
$$
Согласно построению эта кривая лежит на поверхности \(\mathcal{S}\), определяемой \(u=u(x,y)\) и \(u(x’,y’)=z (с’,т’)\). Набор
$$
\psi(t):=v(x(t),y(t))-z(t),
$$
затем
\begin{eqnarray*}
\psi'(t)&= &v_xx’+v_yy’-z’\\
&=&x_xa_1+v_ya_2-a_3=0
\end{eqnarray*}
и
$$
\psi(0)=v(x(s’,0),y (s’,0))-z(s’,0) =0
$$
, так как \(v\) является решением дифференциального уравнения и по условию удовлетворяет начальному условию. Таким образом, \(\psi(t)\equiv0\), т.е. е.,
$$
v(x(s’,t),y(s’,t))-z(s’,t)=0.
$$
Установить \(t=t’\), затем
$$
v(x’,y’)-z(s’,t’)=0,
$$
что показывает, что \(v(x’,y’)=u(x’,y’)\) из-за \(z(s’,t’)=u(x’,y’)\ ).
\(\Box\)
Примечание. В общем случае уникальности нет, если исходная кривая \(\Gamma\) является характеристической кривой, см. упражнение и рис. 2.2.2.3, иллюстрирующий этот случай.
Рисунок 2. 2.2.3: Множественные решения
Примеры
Пример 2.2.2.1:
Рассмотрим задачу Коши с начальными значениями1\mbox{-функция}.
$$
Эти исходные данные нехарактеристичны, так как \(y_0’a_1-x_0’a_2=-1\). Решение связанной системы характеристических уравнений
$$
x'(t)=1,\ y'(t)=1,\ u'(t)=0
$$
при начальных условиях
$$
x(s,0)=x_0(s),\ y(s,0)=y_0(s),\ z(s,0)=z_0(s)
$$
определяется как
$$
x= t+x_0(s),\ y=t+y_0(s),\ z=z_0(s) ,
$$
i. е.,
$$
x=t+s,\ y=t+1,\ z=z_0(s).
$$
Из этого следует, что \(s=x-y+1,\ t=y-1\) и что \(u=z_0(x-y+1)\) является решением начальной задачи Коши. 9{-k_1x}+k_2\right)(1-u)
$$
с начальными данными
$$
u(x,0)=0,\ x>0,\\mbox{and}\ u(0, у)=и_0(у),\у>0.
$$
Здесь константы \(k_j\) положительны, эти константы определяют скорость рассматриваемых реакций и функция \(u_0(y)\) задана. Переменная \(х\) — это время, а \(у\) — высота трубы, например, в которой происходит химическая реакция, а \(и\) — концентрация химического вещества. 1\). Проекция \({\mathcal C}_1\cup {\mathcal C}_2\) исходной кривой на \((x,y)\)-плоскость имеет угол в начале координат, см. рис. 2.2.2.4. 9{-k_1x}+k_2\справа)(1-z).
$$
Отсюда следует \(x=t+c_1\), \(y=t+c_2\) с константами \(c_j\). Таким образом, проекцией характеристических кривых на \((x,y)\)-плоскость являются прямые, параллельные \(y=x\). Задачи с начальными значениями будем решать в доменах \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\), см. рис. 2.2.2.4, отдельно.
(i) Проблема начального значения в \(\Omega_1\). Исходные данные: Примечание. Такая задача с разрывными начальными данными называется задачей Римана . См. упражнение для другой задачи Римана. Случай, когда известно решение уравнения Здесь мы увидим, что мы немедленно получаем решение начальной задачи Коши, если решение однородное линейное уравнение Пусть Решение исходной задачи Коши задается выражением \(u_0\left(h(\phi(x,y))\right)\). Это следует из того, что в рассматриваемой задаче композиция решения снова является решением, см. упражнение, а так как Пример 2.2.2.3: Рассмотрим уравнение Эта страница под названием 2.2.2: Задача Коши с начальным значением распространяется по незаявленной лицензии, ее автором, ремиксом и/или куратором был Эрих Мирземанн. В этом разделе мы рассмотрим пример решения задачи с начальным значением (или задачи Коши) для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Проблема начального значения обычно возникает при анализе процессов, для которых известны дифференциальный закон эволюции и начальное состояние. Например, рассмотрим задачу подсчета населения. После многих лет наблюдений и обработки данных ученые придумали несколько дифференциальных уравнений, с помощью которых мы можем описать количество людей на Земле. Это называется популяционной моделью, и на самом деле существует несколько различных подходов к этой проблеме. Предположим, мы хотим узнать, сколько людей будет там до 2120 года. И здесь возникает проблема с начальным значением. Мы знаем текущую численность населения (наше начальное значение) и имеем дифференциальное уравнение, поэтому, чтобы найти будущее количество людей, мы должны решить задачу Коши. 2x 9{rx} и получаем характеристическое уравнение. Как вы могли заметить, фактически мы получили квадратное уравнение для $r$. Его решения следующие: r_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2 }=\frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2} , где i=\ sqrt{-1} — мнимая единица. Вспомните комплексные числа, если это звучит для вас незнакомо. Таким образом, у нас есть два комплексных корня. В этом случае общее решение записывается в виде: 9{i=N}y_i Давайте подробнее рассмотрим наше уравнение. В нашем случае неоднородным членом является g(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos{2x}. Таким образом, мы можем разбить это неоднородное уравнение на два уравнения: y” + y’ + y =\frac{1}{2} и y” + y’ + y =-\frac{1}{2} \ cos{2x} Нам нужно найти частные решения этих уравнений, а затем сложить их, чтобы получить частное решение нашего исходного уравнения. Рассмотрим первое уравнение y” + y’ + y =\frac{1}{2} В этом случае \alpha=\beta=0 Следовательно, частным решением будет y=C Подставим его в рассматриваемое уравнение: C»+C’+C=\frac{1}{2 } => C=\frac{1}{2}. Таким образом, частным решением этого уравнения является y=\frac{1}{2}. Перейдем ко второму y” + y’ + y =-\frac{1}{2}\cos{2x} В этом случае \alpha=0, \beta=2i и характеристическими корнями являются r_ {1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i. Итак, запишем частное решение в виде: 9*: y’=2A\cos{2x}-2B\sin{2x} y”=-4A\sin{2x}-4B\cos{2x} Теперь подставьте их в уравнение: y” + y’ + y = -\frac{1}{2}\cos{2x} -4A\sin{2x}-4B\cos{2x}+2A\cos{2x}-2B\sin{ 2x}+A\sin{2x}+B\cos{2x}=-\frac{1}{2}\cos{2x} Перед \sin{2x} имеем: -4A-2B+A =0 Рядом \cos{2x}: -4B+2A+B=-\frac{1}{2} Имеем систему двух линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов A,B: \left\ { \begin{align}-4A-2B+A=0\\-4B+2A+B=-\frac{1}{2}\end{align}\right. \left\{ \begin{align}A=-\frac{2}{3}B\\-3B-\frac{4}{3}B=-\frac{1}{2}\end{ выровнено}\справа. \left\{ \begin{align}A=-\frac{2}{3}B=-\frac{1}{13}\\B=\frac{3}{26}\end{align} \верно. Следовательно, частное решение для второго уравнения: y=-\frac{1}{13}\sin {2x}+\frac{3}{26} \cos{2x} Мы нашли частное решения для обоих уравнений, так что теперь мы можем построить частное решение для всего исходного уравнения в виде суммы двух полученных:{\ frac {1} {2} x} \ sin ({\ frac {\ sqrt {3}} {2} x}) + \ frac {1} {2} — \ frac {1} {1} 3 \cos{2x}+\frac{3}{26}\sin{2x} ШАГ 4. Начальные условия Мы нашли решение с произвольными константами. По сути, это не одно решение, а куча. Однако, применяя начальные условия, мы можем зафиксировать значения этих констант. Заданы следующие начальные условия: y(0)=1, y'(0)= -\frac{9}{2}: Начиная с первого:
$$
x_0(s)=s,\ y_0(s)=0, \ z_0(0)=0,\ s\ge 0.
$$
Отсюда следует 9{-k_1x}-k_2x-\frac{k_0}{k_1}\right).
\end{eqnarray*}
Если \(u_0(0)>0\), то \(u_1
$$
a_1(x,y)u_x+a_2(x,y)u_y=0
$$
известно.
$$
x_0(s),\ y_0(s),\ z_0(s),\ s_1 $$
начальные данные и \(u=\phi(x,y )\) — решение дифференциального уравнения. Предположим, что
$$
\phi_x(x_0(s),y_0(s))x_0′(s)+\phi_y(x_0(s),y_0(s))y_0′(s)\not=0
$
$ доволен. Установите
$$
g(s)=\phi(x_0(s),y_0(s))
$$
и пусть \(s=h(g)\) будет обратной функцией.
$$
u_0\left(h(\phi(x_0(s),y_0(s))\ right)=u_0(h(g))=u_0(s).
\]
$$
u_x+u_y=0
$$
с начальными данными
$$
x_0(s)=s,\ y_0(s)=1,\ u_0(s)\ \mbox{данная функция}.
$$
Решением дифференциального уравнения является \(\phi(x,y)=x-y\). Таким образом,
$$
\phi((x_0(s),y_0(s))=s-1
$$
и
$$
u_0(\phi+1)=u_0(x-y+1)
$ $
— это решение проблемы Авторы и ссылки
Задача Коши для дифференциального уравнения
откуда
C_1=1-\frac{1}{2}-\frac{3}{26}=\frac{26-13-3}{26}=\frac{10}{26}=\frac {5}{13}
Чтобы применить второе условие, мы сначала должны найти производную y'(x):
\begin{aligned} y’=-\frac{1}{2}C_1 e^ {-\frac{1}{2} x} \cos(\frac{\sqrt{3}x}{2})-\frac{\sqrt{3}}{2} C_1 e^{-\frac{ 1}{2}x} \sin(\frac{\sqrt{3} x}{2})-\frac{1}{2} C_2 e^{-\frac{1}{2} x} \sin (\frac{\sqrt{3} x}{2})+&\\\frac{\sqrt{3} x}{2}C_2 e^{-\frac{1}{2} x} \cos( \frac{\sqrt{3} x}{2})-\frac{2}{13} \cos{2x}-\frac{3}{13} \sin{2x}\end{align} 9{-\frac{1}{2}\cdot 0} \cos(\frac{\sqrt{3}\cdot 0}{2})-\frac{2}{13} \cos(2\cdot 0) -\frac{3}{13} \sin(2\cdot 0)=-\frac{1}{2}C_1+\frac{\sqrt{3}}{2}C_2-\frac{2}{13} =-\frac{9}{2}\end{aligned}
откуда
\frac{\sqrt{3}}{2}C_2=-\frac{9}{2}+\frac{1}{ 2} C_1+\frac{2}{13}=-\frac{9}{2}+\frac{5}{26}+\frac{2}{13}=\frac{-9\cdot 13+5 +4}{26}=-\frac{108}{26}=-\frac{54}{13}
Наконец, мы можем найти значение второй константы C_2:
C_2=-\frac{54 }{13}\cdot \frac{2}{\sqrt{3} }=-\frac{108}{13\sqrt{3}} 9{-\frac{1}{2} x} \sin(\frac{\sqrt{3}x}{2})+\frac{1}{2}-\frac{1}{13}\sin{ 2x}+\frac{3}{26} \cos{2x}
, и это наш ответ.
Подведение итогов.
Если вас попросили решить задачу Коши для дифференциального уравнения, вот основные шаги:
1. Решите дифференциальное уравнение и получите общее решение.
2. Примените начальные условия, чтобы зафиксировать значения констант.
Хорошо, теперь немного подробнее о пункте 1. Сначала проверьте, однородно ли ваше уравнение. Если нет, то посмотрите на неоднородный термин. Помните, что описанный выше метод работает только для неоднородностей специального вида. Допустимые формы g(x) перечислены выше. Если это так, то вы можете продолжить.
Шаг 1. Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения.
Шаг 2. Найти частное решение методом неопределенных коэффициентов.
Шаг 3. Найдите все решение, сложив результаты шагов 1 и 2.
Шаг 4. Задайте начальные условия, зафиксируйте значения констант.
Шаг 5. Подставляем все необходимое и получаем решение задачи Коши.
Когда закончите, проверьте свои ответы.