Решить задачу коши примеры решений: Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с условиями: примеры

Решить задачу Коши. — примеры, решения

Пример 1:

Решить задачу Коши:

Учесть 5 членов разложения.

Решение от преподавателя:

Представим решение задачи степенным рядом с неопределёнными коэффициентами (рассматриваем 5 членов разложения):

Из начальных условий находим:

т.е. . Подставляя в уравнение, получаем:

Ответ: .

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Дано линейное ДУ – ищем решение в виде y=uv. Подставляя в уравнение, получаем:

Находим такую функцию v, для которой выражение в скобках тождественно равно нулю:

Подставляя найденную функцию в исходное уравнение, получаем:

Константу С находим из начального условия:

Ответ: .

Пример 3:

Решить задачу Коши:

Решение от преподавателя:

y’-y/x=x*sin(x)

Представим в виде:

y’-y/x = x*sin(x)

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*x, y’ = u’x + u.

u’x = x*sin(x)

Представим в виде:

u’ = sin(x)

Интегрируя, получаем:

Учитывая, что y = u*x, получаем:

y = u*x = Cx-x*cos(x)

Найдем частное решение при условии: y(pi/2) = 1

y(pi/2) = Cx-x*cos(x) = 1

Откуда: c1 = Cpi/2-pi/2cos(pi/2)

Таким образом, частное решение имеет вид:

y(pi/2) = cos(pi/2)+1/(pi/2)=2/pi

Пример 4:

Найти решение задачи Коши:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти решение задачи Коши:

Решение от преподавателя:

Представим в виде:

-y/(x+2)+y’ = x²+2x

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.

-u*v/(x+2)+u*v’+u’v = x²+2x или u(-v/(x+2)+v’) + u’v= x²+2x\

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

u(-v/(x+2)+v’) = 0

u’v = x²+2x

Приравниваем u=0, находим решение для:

-v/(x+2)+v’ = 0

Представим в виде:

v’ = v/(x+2)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(x+2)

v = x+2

Зная v, Находим u из условия: u’*v = x²+2*x

u’x+2u’ = x²+2x

u’ = x

Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:

y = u*v = (C+x²/2)*(x+2)

или

y = Cx+2C+x³/2+x²

Найдем частное решение при условии: y(-1) = 1. 5

y(-1) = (-1³)/2+-1²+-C+2C = 1.5

Откуда:

c₁ = (0.5(1³-2-1²+3))/(-1+2)0,5

Таким образом, частное решение имеет вид:

Y(x)=0,5x+1+x³/2+x²

Пример 6:

Решить задачу Коши: 

Решение от преподавателя:

Решение:

Это однородное уравнение. Представим его в виде:

или

Интегрируя, получаем:

Откуда:

y=C

Найдем частное решение при условии: y(1/4) = pi/3

Откуда:

C = -(x·ln(cos(2·y)-1))/2+x·ln(cos(y)²)/2+x·ln(2)/2+(ln(cos(2·y)-1))/4+ln(sin(2·y))/2-ln(cos(y)²)/4+cos(y)²-1/2-ln(2)/4

Таким образом, частное решение имеет вид:

x·ln(cos(2·y)-1)-x·ln(cos(y)²)-x·ln(2)-(ln(cos(2·y)-1))/2-(ln(sin(2·y)/2))/2-ln(sin(2·y))/2+ln(cos(y)²)/2-2·cos(y)²+1=0

Пример 7:

Найти решение задачи Коши: 

Решение от преподавателя:

x·yʹ+y²·(ln(x)+2)·ln(x)-y = 0

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*x, y’ = u’x + u.

u²·x²·(ln(x)+2)·ln(x)-u·x+x·(u+uʹ·x) = 0

или

u²·x²·ln(x)²+2·u²·x²·ln(x)+uʹ·x² = 0

Представим в виде:

uʹ = -u²·(ln(x)+2)·ln(x)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

Учитывая, что y = u*x, u=y/x получаем:

Найдем частное решение при условии: y(1) = 1

y(1): x·ln(x)² +С= 1

Откуда:

c₁ = 1

Таким образом, частное решение имеет вид:

Пример 8:

Найти решение задачи Коши:

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

• 22423 авторов готовы помочь тебе.
• 2402 онлайн

Ошибка

Перейти к основному содержанию

Вся размещенная на ресурсе информационная продукция предназначена для детей, достигших возраста шестнадцати лет (16+)

Извините, не удалось найти запрашиваемый Вами файл

Подробнее об этой ошибке

Перейти на. .. Перейти на…Новостной форумКомплексные числа (с приложениями к задачам электротехники)Лекционный материал по теме «Комплексные числа»Разбор типовых задач задач по теме «Комплексные числа»Примеры решения задач по теме «Комплексные числа»КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийТеория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеПрезентация по теме «Комплексные числа»Дополнительный материал к темеОсновы линейной алгебры с приложениями в других разделах математикиЛекционный материал по теме «Матрицы. Определители»Лекционный материал по теме «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Применение СЛАУ в экономике»Лекционный материал по теме «Линейные операторы»Примеры решения по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийЛинейная алгебра для экономистовМатрицы. ОпределителиВекторная алгебра.Аналитическая геометрияЛекционный материал по теме «Векторная алгебра.

Линейные операции над векторами»Лекционный материал по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»Примеры решения задач по теме «Векторная алгебра. Линейные операции над векторами»Примеры решения задач по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРАВекторная алгебра и аналитическая геометрияПрезентация по теме «Векторная алгебра»Векторная алгебра.Аналитическая геометрияТеоретический материал по теме «Метод координат на плоскости и в пространстве»Лекционный материал по теме «Прямая на плоскости»Лекционный материал по теме «Кривые второго порядка»Лекционный материал по теме «Прямая в пространстве»Лекционный материал по теме «Плоскость в пространстве»Лекционный материал по теме «Поверхности второго порядка»Примеры решения задач по теме «Прямая на плоскости»Примеры решения задач по теме «Кривые второго порядка»Примеры решения задач по темам «Прямая и плоскость в пространстве»АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯВекторная алгебра и аналитическая геометрияСправочный материал «Прямая на плоскости»Справочный материал «Кривые второго порядка»Справочный материал «Прямая и плоскость в пространстве»Линейная алгебра для экономистовПрезентация по теме «Прямая на плоскости»Презентация по теме «Уравнения плоскости и прямой в пространстве»▶ Виртуальный тренажер «Прямая на плоскости» 👨‍🎓Введение в анализНачала анализаЛекционный материал по теме «Множества, функции, основные характеристики функций. Основные элементарные функции»Лекционный материал по теме «Предел функции, основные теоремы о пределах.Замечательные пределы. Бесконечно малые функции»Лекционный материал по теме «Непрерывность функции»Примеры решения задач по теме «Множества, функции, основные характеристики функций. Основные элементарные функции»Примеры решения задач по теме «Предел функции. Раскрытие математических неопределенностей»Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗУпражнения для самостоятельного решения Тест «Введение в анализ»Презентация по теме «Введение в анализ»1. Понятие функцииПрименение функций в экономической теории и практикеПрименение пределов в экономических расчетахПриложение понятия непрерывности функций в экономике▶ Виртуальная справочная «Тригонометрические функции» 👨‍🎓Дифференциальное исчисление функций одной переменнойПриложения дифференциального исчисления функции одной переменнойЛекционный материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»Лекционный материал по теме «Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя»Лекционный материал по теме «Формулы Тейлора и Маклорена»Лекционный материал по теме «Приложения дифференциального исчисления»Примеры решения задач по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙТест «Основные правила и формулы дифференцирования»Тест «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»Основы дифференцирования. Часть 1Основы дифференцирования. Часть 2Основы дифференцирования. Часть 3Приложения производной Исследование функций, Примеры решения задачПрименение производных при решении экономических задачИнтегральное исчисление функции одной переменнойЛекционный материал по теме «Неопределенный интеграл»Лекционный материал по теме «Определенный интеграл»Практическое занятие 1. Непосредственное интегрирование (неопределённый интеграл)Практическое занятие 2. Интегрирование заменой переменной (неопределённый интеграл)Практическое занятие 3. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный многочлен (неопределённый интеграл)Практическое занятие 4. Интегрирование рациональных дробей (неопределенный интеграл)Практическое занятие 5. Определенный интегралПримеры решения задач по теме «Неопределенный интеграл»Примеры решения задач по теме «Определенный интеграл»ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙТест «Таблица основных неопределенных интегралов»Тест «Интегрирование функций одной переменной»1. Неопределенный интеграл. Основы интегрирования2. Интегрирование иррациональных выражений 3. Интегрирование тригонометрических выражений 4. Определенный интегралДифференциальное исчисление функций нескольких переменныхЛекционный материал по теме «Функции нескольких переменных»Примеры решения задач по теме «Функции нескольких переменных»ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХТест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»1. Функции нескольких переменныхПрименение функций нескольких переменных в экономикеОбыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения и их приложенияДифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальные уравнения высших порядковСистемы дифференциальных уравнений и устойчивость их решенийЛекционный материал по теме «Дифференциальные уравнения 1-го порядка»Лекционный материал по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков»ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯТест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка2. Дифференциальные уравнения высших порядковСпециальные разделы высшей математикиСпециальные разделы высшей математики: практикум Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поляПоверхностные интегралы. Векторный анализЛекционный материал по теме «Двойные интегралы»Примеры решения задач по теме «Двойные интегралы»КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ2. Двойные интегралыРядыЛекционный материал по теме «Числовые ряды»Лекционный материал по теме «Функциональные ряды»Примеры решения задач по теме «Ряды»1. Числовые ряды2. Функциональные ряды3. Разложение функций в степенные рядыТеория функций комплексного переменного. Операционное исчисление.Основы теории функций комплексного переменногоОперационное исчисление.Теория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеТеория вероятностей Теория вероятностей (случайные события)Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаТеория вероятностей. Случайные процессы: практикумЛекционный материал по теме «Основные подходы к определению вероятности»Лекционный материал по теме «Алгебра событий. Основные теоремы о вероятности»Лекционный материал по теме «Дискретные случайные величины»Лекционный материал по теме «Непрерывные случайные величины»Лекционный материал по теме «Числовые характеристики случайных величин»Лекционный материал по теме «Моменты и другие характеристики распределений»Лекционный материал по теме «Нормальное распределение»Практическое занятие 1. КомбинаторикаПрактическое занятие 2. Действия над событиями. Вероятность событияПрактическое занятие 3. Теоремы умножения и сложения вероятностей событийПрактическое занятие 4. Формула полной вероятности Практическое занятие 5. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы ЛапласаПрактическое занятие 6. Дискретные случайные величины. Числовые характеристикиПрактическое занятие 7. Непрерывные случайные величины. Классические законы распределения НСВПримеры решения задач по теме «Комбинаторика»Примеры решения задач по теме «Классическое определение вероятности»Примеры решения задач по теме «Теоремы сложения и умножения»Примеры решения задач по теме «Формула полной вероятности. Формулы Байеса»Примеры решения задач по теме «Схема независимых испытаний Бернулли»Примеры решения задач по теме «Дискретные случайные величины»Примеры решения задач по теме «Основные числовые характеристики дискретных случайных величин»Примеры решения задач по теме «Непрерывные случайные величины»Примеры решения задач по теме «Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин»Примеры решения задач по теме «Классические законы распределения дискретных случайных величин»Примеры решения задач по теме «Классические законы распределения непрерывных случайных величин»Таблица значений функции ЛапласаТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙТест по разделу «Случайные события»Тест по теме «Числовые характеристики случайных величин»Тест по теме «Дискретные случайные величины»Тест по теме «Непрерывные случайные величины»Основные подходы к определению вероятностиАлгебра событий. Основные теоремы о вероятностиТеория вероятностей (Лыткина Е.М.,Чихачев А.С., 2013)Математическая статистикаОсновы математической статистикиМатематическая статистика: практикумПримеры решения задач по математической статистикиМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАТест по разделу «Математическая статистика». Тема «Статистическое распределение. Точечные и интервальные оценки параметров распределения»Тест по разделу «Математическая статистика». Тема «Статистические гипотезы. Корреляционный и регрессионный анализ»Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаСтатистический метод и основы его примененияВероятностно-статистические методы на примере задач исследования работы железнодорожного транспорта Марковские процессы и СМО. Учебное пособиеЛекционный материал по теме «Марковский процесс с дискретным временем»Лекционный материал по теме «Марковский процесс с непрерывным временем»Лекционный материал по теме «Системы массового обслуживания»Примеры решения задач по теме «Марковские процессы»СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫЛабораторные работы Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаТеория вероятностей. Случайные процессы. ПрактикумЛекция «Марковские процессы»Цепи МарковаСистемы массового обслуживания (СМО)СМОВыбор группы*Тест «Таблица основных неопределенных интегралов»*Тест «Интегрирование функций одной переменной»*Тест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»*Тест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»*Тест по разделу «Случайные события»*Тест по теме «Дискретные случайные величины»*Тест по теме «Непрерывные случайные величины»*Тест по теме «Числовые характеристики случайных величин»*Тест «Введение в анализ»*Тест «Основные правила и формулы дифференцирования»*Тест «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»*Экзаменационный тест «Таблица основных неопределенных интегралов»*Экзаменационный тест «Интегрирование функций одной переменной»*Экзаменационный тест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»*Экзаменационный тест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»Контрольная работа. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменныхКонтрольная работа. Неопределенный интеграл (методы интегрирования)Контрольная работа. Неопределенный интеграл (интегрирование рациональных дробей)Контрольная работа. Определенный интегралКонтрольная работа. Обыкновенные дифференциальные уравненияКонтрольная работа 1. Теория вероятностей (случайные события)Контрольная работа 2. Теория вероятностей (характеристики дискретной случайной величины)Контрольная работа 3. Теория вероятностей (характеристики непрерывной случайной величины)Контрольная работа 4. Теория вероятностей (классические законы распределения дискретной случайной величины)Контрольная работа 5. Теория вероятностей (классические законы распределения непрерывной случайной величины)Экзамен Математика (2 семестр). СОД.1,2,3-19-1 (И,З)ЭКЗАМЕН. Математика (3 семестр)_СОД.1,2,3-19 (з)

2.2.2: Задача Коши с начальным значением

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2169

• Эрих Мирземанн
• Университет Лейпцига
91\)-решение \(u=u(x,y)\) уравнения \((\star)\) такое, что \(u(x_0(s),y_0(s))=z_0(s)\), я. 1[s_1,s_2]\) и \( \Гамма\) нехарактерна.

Тогда существует окрестность \(\cal{C}\) такая, что существует ровно одно решение \(u\) начальной задачи Коши.

Доказательство. (i) Существование. Рассмотрим следующую начальную задачу для системы характеристических уравнений для (\(\star\)):
\begin{eqnarray*}
x'(t)&=&a_1(x,y,z)\\
y’ (t)&=&a_2(x,y,z)\\
z'(t)&=&a_3(x,y,z)
\end{eqnarray*}
с начальными условиями
\begin{eqnarray*}
x(s,0)&=&x_0(s)\\
y(s,0)&=&y_0(s)\\
z(s,0)&=&z_0(s) .
\end{eqnarray*}
Пусть \(x=x(s,t)\), \(y=y(s,t)\), \(z=z(s,t)\) будет решением , \(s_1\le s\le s_2\), \(|t|<\eta\) для \(\eta>0\). Мы покажем, что этот набор кривых, см. рис. 2.2.2.1, определяет поверхность. Чтобы показать это, рассмотрим функции, обратные \(s=s(x,y)\), \(t=t(x,y)\) функции \(x=x(s,t)\), \( y=y(s,t)\) и показать, что \(z(s(x,y),t(x,y))\) является решением исходной задачи Коши. Обратные функции \(s\) и \(t\) существуют в окрестности \(t=0\), так как
$$
\det \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\Big|_{t=0}=
\left|\begin{array}{cc}x_s&x_t\ \y_s&y_t\end{array}\right|_{t=0}
=x_0′(s)a_2-y_0′(s)a_1\not=0,
$$
и начальная кривая \(\Gamma\) нехарактерно по предположению.

Установить
$$
u(x,y):=z(s(x,y),t(x,y)),
$$
тогда \(u\) удовлетворяет начальному условию, так как
$$
u(x,y)|_{t=0}=z(s,0)=z_0(s).
$$
Следующее вычисление показывает, что \(u\) также является решением дифференциального уравнения (\(\star\)).
\begin{eqnarray*}
a_1u_x+a_2u_y&=&a_1(z_ss_x+z_tt_x)+a_2(z_ss_y+z_tt_y)\\
&=&z_s(a_1s_x+a_2s_y)+z_t(a_1t_x+a_2t_y)\\ 9003 s_xx_t+s_yy_t)+z_t(t_xx_t+t_yy_t)\\
&=&a_3
\end{eqnarray*}
, так как \(0=s_t=s_xx_t+s_yy_t\) и \(1=t_t=t_xx_t+t_yy_t\).

(ii) Уникальность. Предположим, что \(v(x,y)\) — второе решение. Рассмотрим точку \((x’,y’)\) в окрестности кривой \((x_0(s),y(s))\), \(s_1-\epsilon\le s\le s_2+\epsilon \), \(\epsilon>0\) маленький. Обратные параметры: \(s’=s(x’,y’)\), \(t’=t(x’,y’)\), см. рис. 2.2.2.2.

Рисунок 2.2.2.2: Доказательство единственности

Пусть
$$
{\mathcal{A}}:\ \ x(t):=x(s’,t),\ y(t):=y (s’,t),\ z(t):=z(s’,t)
$$
— решение указанной выше начальной задачи для характеристических дифференциальных уравнений с начальными данными
$$
x(s ‘,0)=x_0(s’),\ y(s’,0)=y_0(s’),\ z(s’,0)=z_0(s’).
$$
Согласно построению эта кривая лежит на поверхности \(\mathcal{S}\), определяемой \(u=u(x,y)\) и \(u(x’,y’)=z (с’,т’)\). Набор
$$
\psi(t):=v(x(t),y(t))-z(t),
$$
затем
\begin{eqnarray*}
\psi'(t)&= &v_xx’+v_yy’-z’\\
&=&x_xa_1+v_ya_2-a_3=0
\end{eqnarray*}
и
$$
\psi(0)=v(x(s’,0),y (s’,0))-z(s’,0) =0
$$
, так как \(v\) является решением дифференциального уравнения и по условию удовлетворяет начальному условию. Таким образом, \(\psi(t)\equiv0\), т.е. е.,
$$
v(x(s’,t),y(s’,t))-z(s’,t)=0.
$$
Установить \(t=t’\), затем
$$
v(x’,y’)-z(s’,t’)=0,
$$
что показывает, что \(v(x’,y’)=u(x’,y’)\) из-за \(z(s’,t’)=u(x’,y’)\ ).

\(\Box\)

Примечание. В общем случае уникальности нет, если исходная кривая \(\Gamma\) является характеристической кривой, см. упражнение и рис. 2.2.2.3, иллюстрирующий этот случай.

Рисунок 2. 2.2.3: Множественные решения

Примеры

Пример 2.2.2.1:

Рассмотрим задачу Коши с начальными значениями1\mbox{-функция}.
$$
Эти исходные данные нехарактеристичны, так как \(y_0’a_1-x_0’a_2=-1\). Решение связанной системы характеристических уравнений
$$
x'(t)=1,\ y'(t)=1,\ u'(t)=0
$$
при начальных условиях
$$
x(s,0)=x_0(s),\ y(s,0)=y_0(s),\ z(s,0)=z_0(s)
$$
определяется как
$$
x= t+x_0(s),\ y=t+y_0(s),\ z=z_0(s) ,
$$
i. е.,
$$
x=t+s,\ y=t+1,\ z=z_0(s).
$$
Из этого следует, что \(s=x-y+1,\ t=y-1\) и что \(u=z_0(x-y+1)\) является решением начальной задачи Коши. 9{-k_1x}+k_2\right)(1-u)
$$
с начальными данными
$$
u(x,0)=0,\ x>0,\\mbox{and}\ u(0, у)=и_0(у),\у>0.
$$
Здесь константы \(k_j\) положительны, эти константы определяют скорость рассматриваемых реакций и функция \(u_0(y)\) задана. Переменная \(х\) — это время, а \(у\) — высота трубы, например, в которой происходит химическая реакция, а \(и\) — концентрация химического вещества. 1\). Проекция \({\mathcal C}_1\cup {\mathcal C}_2\) исходной кривой на \((x,y)\)-плоскость имеет угол в начале координат, см. рис. 2.2.2.4. 9{-k_1x}+k_2\справа)(1-z).
$$
Отсюда следует \(x=t+c_1\), \(y=t+c_2\) с константами \(c_j\). Таким образом, проекцией характеристических кривых на \((x,y)\)-плоскость являются прямые, параллельные \(y=x\). Задачи с начальными значениями будем решать в доменах \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\), см. рис. 2.2.2.4, отдельно.

(i) Проблема начального значения в \(\Omega_1\). Исходные данные:
$$
x_0(s)=s,\ y_0(s)=0, \ z_0(0)=0,\ s\ge 0.
$$
Отсюда следует 9{-k_1x}-k_2x-\frac{k_0}{k_1}\right).
\end{eqnarray*}
Если \(u_0(0)>0\), то \(u_1

Примечание. Такая задача с разрывными начальными данными называется задачей Римана . См. упражнение для другой задачи Римана.

Случай, когда известно решение уравнения

Здесь мы увидим, что мы немедленно получаем решение начальной задачи Коши, если решение однородное линейное уравнение
$$
a_1(x,y)u_x+a_2(x,y)u_y=0
$$
известно.

Пусть
$$
x_0(s),\ y_0(s),\ z_0(s),\ s_1 $$
начальные данные и \(u=\phi(x,y )\) — решение дифференциального уравнения. Предположим, что
$$
\phi_x(x_0(s),y_0(s))x_0′(s)+\phi_y(x_0(s),y_0(s))y_0′(s)\not=0
$
$ доволен. Установите
$$
g(s)=\phi(x_0(s),y_0(s))
$$
и пусть \(s=h(g)\) будет обратной функцией.

Решение исходной задачи Коши задается выражением \(u_0\left(h(\phi(x,y))\right)\).

Это следует из того, что в рассматриваемой задаче композиция решения снова является решением, см. упражнение, а так как
$$
u_0\left(h(\phi(x_0(s),y_0(s))\ right)=u_0(h(g))=u_0(s).
\]

Пример 2.2.2.3:

Рассмотрим уравнение
$$
u_x+u_y=0
$$
с начальными данными
$$
x_0(s)=s,\ y_0(s)=1,\ u_0(s)\ \mbox{данная функция}.
$$
Решением дифференциального уравнения является \(\phi(x,y)=x-y\). Таким образом,
$$
\phi((x_0(s),y_0(s))=s-1
$$
и
$$
u_0(\phi+1)=u_0(x-y+1)
$ $
— это решение проблемы

Авторы и ссылки

• Профессор, доктор Эрих Мирземанн (Университет Лейпцига)

• Интегрировано Джастином Маршаллом.

---

Эта страница под названием 2.2.2: Задача Коши с начальным значением распространяется по незаявленной лицензии, ее автором, ремиксом и/или куратором был Эрих Мирземанн.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Эрих Мирземанн

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Задача Коши для дифференциального уравнения

В этом разделе мы рассмотрим пример решения задачи с начальным значением (или задачи Коши) для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Проблема начального значения обычно возникает при анализе процессов, для которых известны дифференциальный закон эволюции и начальное состояние. Например, рассмотрим задачу подсчета населения. После многих лет наблюдений и обработки данных ученые придумали несколько дифференциальных уравнений, с помощью которых мы можем описать количество людей на Земле. Это называется популяционной моделью, и на самом деле существует несколько различных подходов к этой проблеме. Предположим, мы хотим узнать, сколько людей будет там до 2120 года. И здесь возникает проблема с начальным значением. Мы знаем текущую численность населения (наше начальное значение) и имеем дифференциальное уравнение, поэтому, чтобы найти будущее количество людей, мы должны решить задачу Коши. 2x 9{rx} и получаем характеристическое уравнение.

Как вы могли заметить, фактически мы получили квадратное уравнение для $r$. Его решения следующие:

r_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2 }=\frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}

, где i=\ sqrt{-1} — мнимая единица. Вспомните комплексные числа, если это звучит для вас незнакомо.

Таким образом, у нас есть два комплексных корня. В этом случае общее решение записывается в виде: 9{i=N}y_i

Давайте подробнее рассмотрим наше уравнение. В нашем случае неоднородным членом является g(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos{2x}. Таким образом, мы можем разбить это неоднородное уравнение на два уравнения:

y” + y’ + y =\frac{1}{2} и y” + y’ + y =-\frac{1}{2} \ cos{2x}

Нам нужно найти частные решения этих уравнений, а затем сложить их, чтобы получить частное решение нашего исходного уравнения.

 

Рассмотрим первое уравнение y” + y’ + y =\frac{1}{2}

В этом случае \alpha=\beta=0

Следовательно, частным решением будет y=C

Подставим его в рассматриваемое уравнение:

C»+C’+C=\frac{1}{2 }  => C=\frac{1}{2}.

Таким образом, частным решением этого уравнения является y=\frac{1}{2}.

 

Перейдем ко второму  y” + y’ + y =-\frac{1}{2}\cos{2x}

В этом случае \alpha=0, \beta=2i и характеристическими корнями являются r_ {1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i. Итак, запишем частное решение в виде: 9*:

y’=2A\cos{2x}-2B\sin{2x}

y”=-4A\sin{2x}-4B\cos{2x}

Теперь подставьте их в уравнение:

y” + y’ + y = -\frac{1}{2}\cos{2x}

-4A\sin{2x}-4B\cos{2x}+2A\cos{2x}-2B\sin{ 2x}+A\sin{2x}+B\cos{2x}=-\frac{1}{2}\cos{2x}

Перед \sin{2x} имеем: -4A-2B+A =0

Рядом \cos{2x}: -4B+2A+B=-\frac{1}{2}

Имеем систему двух линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов A,B:

\left\ { \begin{align}-4A-2B+A=0\\-4B+2A+B=-\frac{1}{2}\end{align}\right.

\left\{ \begin{align}A=-\frac{2}{3}B\\-3B-\frac{4}{3}B=-\frac{1}{2}\end{ выровнено}\справа.

\left\{ \begin{align}A=-\frac{2}{3}B=-\frac{1}{13}\\B=\frac{3}{26}\end{align} \верно.

Следовательно, частное решение для второго уравнения: y=-\frac{1}{13}\sin {2x}+\frac{3}{26} \cos{2x}

 

Мы нашли частное решения для обоих уравнений, так что теперь мы можем построить частное решение для всего исходного уравнения в виде суммы двух полученных:{\ frac {1} {2} x}  \ sin ({\ frac {\ sqrt {3}} {2} x}) + \ frac {1} {2} — \ frac {1} {1} 3 \cos{2x}+\frac{3}{26}\sin{2x}

 

ШАГ 4.  Начальные условия

Мы нашли решение с произвольными константами. По сути, это не одно решение, а куча. Однако, применяя начальные условия, мы можем зафиксировать значения этих констант.

Заданы следующие начальные условия: y(0)=1, y'(0)= -\frac{9}{2}:

Начиная с первого:

9{\ frac {1} {2} \ cdot 0}  \ sin ({\ frac {\ sqrt {3} \ cdot 0} {2}}) + \ frac {1} {2} — \ frac {1} {13}\sin ({2\cdot 0})+\frac{3}{26} \cos(2\cdot 0)=&\\C_1\cdot 1+C_2\cdot 0+\frac{1}{ 2}–\frac{1}{13}\cdot0+\frac{3}{26}\cdot1=C_1+\frac{1}{2}+\frac{3}{26}=1\end{выровнено}

откуда

C_1=1-\frac{1}{2}-\frac{3}{26}=\frac{26-13-3}{26}=\frac{10}{26}=\frac {5}{13}

 

Чтобы применить второе условие, мы сначала должны найти производную y'(x):

\begin{aligned} y’=-\frac{1}{2}C_1 e^ {-\frac{1}{2} x}  \cos(\frac{\sqrt{3}x}{2})-\frac{\sqrt{3}}{2} C_1 e^{-\frac{ 1}{2}x}  \sin(\frac{\sqrt{3} x}{2})-\frac{1}{2} C_2 e^{-\frac{1}{2} x}  \sin (\frac{\sqrt{3} x}{2})+&\\\frac{\sqrt{3} x}{2}C_2 e^{-\frac{1}{2} x} \cos( \frac{\sqrt{3} x}{2})-\frac{2}{13}  \cos{2x}-\frac{3}{13}  \sin{2x}\end{align} 9{-\frac{1}{2}\cdot 0} \cos(\frac{\sqrt{3}\cdot 0}{2})-\frac{2}{13} \cos(2\cdot 0) -\frac{3}{13} \sin(2\cdot 0)=-\frac{1}{2}C_1+\frac{\sqrt{3}}{2}C_2-\frac{2}{13} =-\frac{9}{2}\end{aligned}

откуда

\frac{\sqrt{3}}{2}C_2=-\frac{9}{2}+\frac{1}{ 2} C_1+\frac{2}{13}=-\frac{9}{2}+\frac{5}{26}+\frac{2}{13}=\frac{-9\cdot 13+5 +4}{26}=-\frac{108}{26}=-\frac{54}{13}

Наконец, мы можем найти значение второй константы C_2:

C_2=-\frac{54 }{13}\cdot  \frac{2}{\sqrt{3} }=-\frac{108}{13\sqrt{3}} 9{-\frac{1}{2} x}  \sin(\frac{\sqrt{3}x}{2})+\frac{1}{2}-\frac{1}{13}\sin{ 2x}+\frac{3}{26} \cos{2x}

, и это наш ответ.

 

Подведение итогов.

Если вас попросили решить задачу Коши для дифференциального уравнения, вот основные шаги:

1. Решите дифференциальное уравнение и получите общее решение.

2. Примените начальные условия, чтобы зафиксировать значения констант.

Хорошо, теперь немного подробнее о пункте 1. Сначала проверьте, однородно ли ваше уравнение. Если нет, то посмотрите на неоднородный термин. Помните, что описанный выше метод работает только для неоднородностей специального вида. Допустимые формы g(x) перечислены выше. Если это так, то вы можете продолжить.

 

Шаг 1. Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения.

Шаг 2. Найти частное решение методом неопределенных коэффициентов.

Шаг 3. Найдите все решение, сложив результаты шагов 1 и 2.

Шаг 4. Задайте начальные условия, зафиксируйте значения констант.

Шаг 5. Подставляем все необходимое и получаем решение задачи Коши.

Когда закончите, проверьте свои ответы.

No related posts.