Первообразная и неопределенный интеграл — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Определение: Функция F(х) называется первообразной
функции f(х) на промежутке Х, если
x X
F ( x) f ( x)
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x X ,то
для f(х) существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является
необходимым для существования первообразной.
Пример
разрывной функции, имеющей первообразную:
х 0,
0,
f ( x)
1
1
2 х sin x cos x , х 0.
х 0,
0,
F ( х) 2
1
х
sin
, х 0.
x
Пример:
f ( x) x 1 2 x 1 на R.
Найдите первообразную функции
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
2 x 2 3 x 1, если x 1,
f x
2 x 2 3 x 1, если x 1.
2
3
F1 ( x) x 3 x 2 x C1 , если x 1;
3
2
2 3 3 2
F2 ( x)
x x x C2 , если x 1.
3
2
Найдем соотношение между С1 и С2 , при котором F1 (1) F2 (1) :
1
С1 С2 .
3
1
2 3 3 2
3 x 2 x x 3 C , если x 1,
F ( x)
2 x3 3 x 2 x C,
если x 1.
3
2
Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке
Х и в точке
то есть
x0 X имеет разрыв в
lim f ( x) lim f ( x)
x x0 0
виде скачка,
x x0 0
,
то функция f(x) не имеет первообразной на любом
промежутке, содержащем точку x0 .
Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x),
на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке
имеет вид F(x)+C.
Определение: Множество всех первообразных функции
f(x) называется неопределенным интегралом от функции
f(x) на этом промежутке и обозначается
f ( x) dx
Основные свойства неопределенного
интеграла.
1.
f ( x)dx f ( x).
2. f x dx f ( x) C.
3. kf ( x) dx k f ( x) dx.
4. f1 x f 2 ( x) dx f1 ( x) dx f 2 ( x) dx.
1
5. f kx b dx F kx b C.
k
6. f x d g x f x g x g x d f x .
1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.
Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
1. sin 3x cos x
1
1
1
sin
4
x
sin
x
dx
cos
4
x
cos 2 x C.
2
8
4
dx
cos 2 5 x sin 2 5 x dx
1
1
2. 2
dx
2
2
2
2
2
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
1
1
ctg 5 x tg 5 x C.
5
5
x 4 3x 2 1
1
1 3
2
3.
dx
x
2
dx
x 2 x arctg x C.
2
2
x 1
x 1
3
Интегрирование методом замены переменной.
3
2
1
1
1 t
1 2
2
2
1. x 3 x 1 dx t dt C 3 x 1 3 x 2 1 C.
6
6 3
9
2
1
2
Пусть
3
x
1
t
,
тогда
6
x
dx
dt
,
т
.
е
.
x
dx
dt .
6
sin 2 x dx
1 7
1 t 6
1
2.
t dt
C
C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
1
Пусть
cos
2
x
t
,
тогда
dt
2
sin
2
x
dx
,
т
.
е
.
sin
2
x
dx
dt .
2
е x dx
dt
x
3.
tg
t
C
tg
e
1 C.
2
x
2
cos e 1
cos t
Пусть
e x 1 t , тогда dt e x dx .
Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.
t 2 1
1 4 2
1 5 1 3
1.
x 2 x 1 dx t t dt t t dt t t C
2
2
10
6
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Пусть
t 2 1
2 x 1 t , тогда x
, dx t dt .
2
x dx
2 t
2. 3
2 x
2
3t dt 3 4t 4t
t
3 2
2
4
t 7 dt
12 5 3 8
6t t t C
5
8
12
3
2
2
2
3
2 x 2 x 2 x 3 2 x C.
5
8
2
63 2 x
2
Пусть
3
2 x t , тогда x 2 t 3 ,
т. е. dx 3t 2 dt
Интегрирование алгебраических дробей.
x 3
1. 2
dx
x 4
1 5
1
1
dx 5 ln x 2 ln x 2 C.
4 x 2 x 2
4
x 3
a
b
;
2
x 4 x 2 x 2
x 3 a x 2 b x 2 ;
x 3 a b x 2a 2b;
5
a 4 ;
а b 1;
2
a
2
b
3
.
b 1 ;
4
x 3 1 5
1
.
2
x 4 4 x 2 x 2
Интегрирование по частям.
1. x cos x dx x d sin x x sin x sin x dx x sin x cos x C.
2. x e 2 x dx
1
1
1 2x 1 2x
2x
2x
2x
x
de
x
e
e
dx
x e e C.
2
2
2
4
1 2
1 2
2
x
d
cos
2
x
x
cos
2
x
cos
2
x
dx
2
2
1 2
1 2
1
x cos 2 x x cos 2 x dx x cos 2 x x d sin 2 x
2
2
2
1 2
1
x cos 2 x x sin 2 x sin 2 x dx
2
2
1 2
1
1
x cos 2 x x sin 2 x cos 2 x C.
2
2
4
3. x 2 sin 2 x dx
4. e x sin x dx sin x de x e x sin x e x d sin x
e x sin x e x cos x dx e x sin x cos x d e x
e x sin x e x cos x e x d cos x
e x sin x cos x e x sin x dx.
Получили :
x
x
x
e
sin
x
dx
e
sin
x
cos
x
e
sin x dx.
Таким образом : 2 e x sin x dx e x sin x cos x C ,
x
e
значит e x sin x dx sin x cos x C.
2
Используемая литература:
1. Л.И.Звавич; А.Р. Рязановский; А.М.Поташник
«Сборник задач по алгебре и математическому
анализу для 10-11 классов» (учебное пособие
для учащихся школ и классов с углубленным
изучением математики.
Москва Новая школа, 1996.2. Н.Я. Виленкин; О.С. Ивашев-Мусатов; С.И.
Шварцбург «Алгебра и математический анализ для
10 классов». М.:Просвещение, 1995.
3. Н.Я. Виленкин; О.С. Ивашев-Мусатов; С.И.
11 классов». М.:Просвещение, 1995.
English Русский Правила
4.2 Лекция 8 Интеграл и его приложения
4.2.1 Первообразная. Правила отыскания первообразных.
4.2.2 Неопределенный интеграл.
4.2.3 Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
4.2.4 Приложения определенного интеграла.
4.2.1 На предыдущей лекции мы рассмотрели вопросы, связанные с нахождением производных различных функции.
Нахождение производной данной функции называется дифференцированием этой функции.
В математике
приходится решать и обратную задачу:
по заданной производной находить
функцию.
Эта операция называется
интегрированием ( от латинского слова
integrare-
восстанавливать).
Определение. Функцию y= F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на заданном промежутке X, если для всех x из X выполняется равенство F/(x) = f(x).
Примеры
1 Функция y= x2 является первообразной для функции y= 2x, поскольку для всех x справедливо равенство (x2)/ = 2x.
2 Функция y= x3 является первообразной для функции y= 3x2, поскольку для всех x справедливо равенство
3 Функция y= sinx является первообразной для функции y= cosx, поскольку для всех x справедливо равенство (sinx)/= cosx.
Правила отыскания первообразных.
Правило 1. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют на промежутке X первообразные, соответственно, y=F(x) и y=G(x), то сумма функций y= f(x)+g(x) имеет на этом промежутке первообразную
y= F(x)+G(x).Пример — Найти первообразную для функции y= 2x+cosx.
Решение. Первообразной
для функции 2x
служит x2,
для cosx
служит sinx.
Значит, первообразной для данной функции
будет функция y=x2+
sinx+C,
где C-const.
Правило 2. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.
Пример — Найти первообразную для функции y=5sinx.
Решение. Первообразной для sinx служит –cosx, значит, для функции
y= -5sinx первообразной будет y=- 5cosx.
Правило 3. Если y=F(x)- первообразная для функции
Пример —Найти первообразную для y= sin2x.
Решение. Первообразной для sinx служит –cosx, значит, для функции y= sin2x первообразной будет функция
4.
2.2 Теорема. Если F(x)-
первообразная для f(x)
на некотором промежутке, то функция y= F(x)+C,
где C— const,
также является первообразной для f(x)
на этом промежутке.
Определение. Множество всех первообразных для функции y=f(x) заданной на промежутке X, называют неопределенным интегралом от функции y=f(x) и обозначают .
Ниже приведена таблица 4.2 основных неопределенных интегралов.
Таблица 4.2
Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:
Правило 2.
Постоянный множитель можно вынести за
знак интеграла:
Правило 3. Если , то
4.2.3 Рассмотрим фигуру, ограниченную осью x, прямыми x=a, x=b (a<b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b] функции y=f(x). Назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Поставим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.
Для решения этой задачи
1) разбивают отрезок [a;b] на n равных частей;
2) составляют сумму
Sn= f(x0)x0+f(x1)x1+……+f(xn-1)xn-1;
3) находят
Этот предел в курсе математического анализа называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
Следовательно,
Sтр
=
.
В математическом анализе доказано, что теорема . Это равенство носит название формулы Ньютона-Лейбница.
Свойства определенного интеграла
Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
Свойство 2. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак:
Свойство 3. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:
Свойство 4. Для любого числа с Є [a;b]:
По формуле Ньютона-Лейбница:
Свойство 5. Определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждого слагаемого:
4.
Определенный
интеграл находит широкое применение
при решении задач различного характера.
1) Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций
у = f(x), y = g(x) непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для всех х отрезка [a; b] выполняется неравенство g(x) f(x), вычисляется по формуле
.
Пример — Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,
у = 5 – х, х = 1, х = 2.
Решение. Воспользовавшись формулой получим
S =
2) Работу, производимую силой, находят по формуле:
,
где F – сила,
действующая на материальную точку,
движущуюся по прямой.
3) Вычисление пути, пройденного материальной точкой производят по формуле:
,
где — скорость точки при движении ее по некоторой линии за промежуток времени [t1, t2]
4) Вычисление объемов тел.
Объем тела можно вычислить по формуле:
,
где S(x)- площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной отрезку [a;b] .
Контрольные вопросы.
Что называется первообразной? Перечислите правила отыскания первообразных.
Что называется неопределенным интегралом?
Сформулируйте правила интегрирования?
Что называется определенным интегралом? Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
При решении каких задач находит применение определенный интеграл?
Упражнения.
1 Вычислить определенный интеграл.
a) x3 dx; б)
в) ; г)
д) е)
2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
а) y=x2 , y=0, x=4.
б) y=x3+2, y=0, x=0, x=2; в) y=-x2+4x, y=0.
г) y=1-x2, y=-x-1; д) y=x2-3x+2, y=x-1.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Найти анти-производную (или интеграл) следующих функций методом инспекции.
sin 2xNCERT-INTEGRALS-EXERCISE 7.1
20 видеоРЕКЛАМА
Ab Padhai karo bina ads ke
ProDN дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!
Обновлен: 27 июня 2022 г.0923 ⇒sin2x=ddx(−12cos2x)
Ответ
Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в решении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.
Стенограмма
найти первообразную или интеграл следующей функции методом проверки функции sin2x Samay, полученной с помощью метрической функции ka program dekhna n t b dam of cos theta минус sin theta cos theta sin theta в терминах milega to DY DX причины из 2 x минус sin 2x a bi изменить, чтобы слушать, чтобы быть умноженным, так что это означает знак 2 x минус 1 на 2 d на DX, конечно, двумя неделями ранее, это формула использует Karenge для знака 2x Ho Jayega d на DX на минус 1 на 2 cos 2x, что означает и или
офисные функции по заданному sin2x минус 1 на 2 причина 2 x 2 Хамара ответ
Родственные видео
Найти антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом инспекции.
cos 3x
Найти антипроизводная (или интеграл) следующих функций методом проверки.sin2x−4e3x
Найти антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
грех 2x
515792514
Найти антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
cos 3x
515792515
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
e2x
515792516
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
sin 2x
515798443
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
sin 2x
516971425
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
e2x
516971429
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
sin 2x
517566906
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.
cos 3x
517566907
Найдите антипроизводную (или интеграл) следующих функций методом проверки.