Исторические сведения о развитии тригонометрии
Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из отделов астрономии.
Насколько известно, способы решения треугольников (сферических) впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Н.Коперника.
Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса),минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян (см.II, §7)
Таблицы, составленные Птолемеем, содержали хорды всех дуг через каждые 1°/2*, вычисленные с точностью до секунды.
С помощью интерполяции по ним можно было найти с той же точностью хорду любой дуги. (Для упрощения интерполяции Птолемей дает поправки на 1′.) При вычислении таблиц Птолемей опирался на открытую им теорему о диагоналях вписанного четырехугольника (IV, Б, §19).
Значительной высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Как и греки, индийцы заимствовали вавилонское градусное измерение дуг. Но индийцы рассматривали не хорды дуг, а линии синусов и косинусов (т. е. линии РМ и ОР для дуги AM на рис. 1). Кроме того, рассматривалась линия РА, получившая позднее в Европе название «синус-верзус».
рис. 1
За единицу измерения отрезков МР, ОР, РА принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги АВ = 90° есть ОВ — радиус окружности; дуга AL, равная радиусу, содержит (округленно) 57°18′ = 3438′.
Поэтому синус дуги 90° считался равным 3438′.
Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4—5 веке н. э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45′ (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в 9—14 веках в трудах арабоязычных авторов. В 10 веке багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа, присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает также основные соотношения между этими линиями (соответствующие формулам §14). В руках знаменитого мусульманского ученого Насир эд-Дина из Туса (1201 —1274) тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин систематически рассматривал все случаи решения плоских и сферических треугольников и указал ряд новых способов решения.
В 12 веке был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, и по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией2. Однако со многими достижениями арабоязычной науки европейцам не удалось познакомиться своевременно. В частности, им осталась неизвестной работа Насир эд-Дина. Выдающийся немецкий астроном 15 века Региомонтан (1436—1476) через 200 лет после Насир эд-Дина заново открыл его теоремы.
Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами (а не 60-ричными дробями). До введения десятичных дробей оставался только один шаг. Но он потребовал более 100 лет (см.II, § 31).
За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514—1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в 1596 г.
его учеником Ото. Углы шли через 10″, а радиус делился на 1 ООО ООО ООО ООО ООО частей, так что синусы имели 15 верных цифр!
Буквенные обозначения (в алгебре они появились в конце 16 века) утвердились в тригонометрии лишь в середине 18 века благодаря русскому академику Л.Эйлеру (1707—1783). Этот великий математик придал всей тригонометрии ее современный вид. Величины sin х, cos х и т.д. он рассматривал как функции (VI, § 2) числа х — радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу х всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он ввел и обратные тригонометрические функции (§24).
*) Если взять центральный угол, опирающийся на половину рассматриваемой дуги, то хорда будет удвоенной линией синуса этого угла. Поэтому таблица Птолемея равносильна пятизначной таблице значений синуса через 1°/4.
2) В это «время появился латинский термин “синус”, что означает «пазуха» или «карман». Это — перевод арабского слова «джейб», имеющего то же значение.
Как появился этот арабский термин, неизвестно. Некоторые полагают, что он произошел из индийского (санскритского) слова «жиа» или «жила» (первое значение — тетива; в геометрии — хорда). Но синус в индийской терминологии именуется «ардха-жиа», т. е. полухорда.
Название “косинус” появилось только в начале 17 века как сокращение наименования complementi sinus (синус дополнения), указывающего, что косинус угла А есть синус угла, дополняющего угол А до 90°. Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие “касательная” и “секущая”) введены в 1583 г. немецким ученым Финком.
Гебхард, Курт / Триг Ноты
21 августа 2013 г.
Сцена из фильма «Чувство снега Смиллы» сравнивает человеческую жизнь с системой счисления:
.http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/smilla2.html
22 августа 2013 г.
Решение линейного уравнения:
Разложение на множители квадратного числа со старшим коэффициентом:
Решение рационального уравнения:
Проверить наличие посторонних решений. -2 делает выражение неопределенным (делится на 0).
Радикальное уравнение (возведите в квадрат обе стороны, чтобы исключить корень)
Если радикалов два, возвести в квадрат обе стороны дважды!
и проверьте решения.
26 августа 2013 г.
«Декартова плоскость»
Линейные уравнения
Примечания к формам линейных уравнений
Примечания #5 — «Функции»
29 августа 2012 г.
Определение функции написано синим цветом.
Функция может отображать числа из одного набора в другой с помощью диаграммы,
или таблица, или он может связывать входные и выходные значения с помощью уравнения, например, y = |x|.
Вы можете сказать, что график является функцией, потому что он проходит тест вертикальной линии.
Из таблицы можно узнать, есть ли повторяющиеся значения для x. В случае выше их нет.
В приведенном ниже случае имеются повторяющиеся значения x.
Этот круг не является функцией, поскольку некоторые значения x связаны с двумя значениями y.
Таким образом, график не прошел тест на вертикальную линию, и в таблице есть повторяющиеся значения x.
Домен и диапазон совпадают в этом отношении: {0, 3, 4, 5, -4, -3, -5}.
Это дискретные точки, так как мы можем их посчитать. Найдите уравнение круга, чтобы соединить его точки.
Для уравнения окружности областью определения является -5 ≤ x ≤ 5, а диапазон также равен |y| ≤ 5,
Если вам дали уравнения вместо графиков или таблиц, задайте эти два вопроса:
1) Какие значения x приводят к извлечению квадратного корня из отрицательного числа?
2) При каких значениях x существует деление на ноль?
4 сентября 2012 г.
П-6 «Графики функций»
6 сентября 2012 г.
«Преобразование функций»
Нажмите кнопку Y=.
Нажмите кнопку МАТЕМАТИКА. Нажмите стрелку вправо, чтобы выделить меню «NUM».
Нажмите 1, чтобы выбрать «abs(«. Нажмите клавишу X, затем «)». Нажмите кнопку МАСШТАБ.
Стрелка или нажмите «6». Нажмите клавишу GRAPH, чтобы построить график Y1. Нажмите кнопку МАСШТАБ и «6».
, чтобы получить график абсолютного значения в виде буквы «V».
Введите эти уравнения в калькулятор:
f(x) +2 хода f(x) = |x| до 2 ед. f(x+2) перемещает f(x) влево на 2 единицы.
Как бы f(x) переместиться вниз? Как можно сдвинуть f(x) вправо на 2 единицы?
-f(x) отражает f(x) = |x+2| по оси x. f(-x) отражает f(x) = |-(x+2)| над осью Y.
Почему |x| и |-х| тот же график?
Вертикальное растяжение умножает значения y f(x), подтягивая их вверх.
Сжатие толкает его вниз путем деления.
Горизонтальное сжатие смещает график «V» к центру. Горизонтальное растяжение вытягивает его в обе стороны.
На графике абсолютных значений |x|, 2f(x) = 2|x| = |2||х| = |2x| = f(2x), так что горизонтальное сжатие выглядит как вертикальное растяжение.
Аналогично для горизонтального растяжения и вертикального сжатия. Это справедливо для всех линейных функций. Итак, давайте изменим родительскую функцию f(x).
Можете ли вы определить график каждой функции?
Вертикальное растяжение = 4f(x) Вертикальное сжатие = f(x)/4 Горизонтальное растяжение = f(x/4) Горизонтальное сжатие = f(4x)
Умножение внешних скобок выполняет вертикальное растяжение, а деление внешних скобок — вертикальное сжатие.
Умножение внутри круглых скобок представляет собой горизонтальное сжатие, а деление внутри круглых скобок — горизонтальное растяжение.
Обратите внимание, что умножение внутри () имеет противоположный эффект по горизонтали, чем по вертикали.
Вертикальные преобразования совпадают с операциями за пределами ().
Горизонтальные преобразования включают операции внутри () .
Почему операции внутри скобок противоположны операциям снаружи?
Если y = f(x) + k, то y — k = f(x) сдвигает функцию вниз на k единиц.
Аналогично, если y = k*f(x), то y/k = f(x) является вертикальным растяжением, несмотря на деление на k.
Часть 1 Глава P
Блок 2A, главы 1.1–1.4
Блок 2B, главы 1.5–1.7
Блок 3, главы 1.8 и 3.1–3.3
Единица 4 Глава 2
Профессор Пи аппроксимирует число Пи с помощью вписанных и описанных многоугольников, используя синус и тангенс.
Раздел 4 Глава 2
Содержание
Урок 2.
4 Тригформулы
Урок 2.1 Идентификаторы триггеров
Косинус — четная функция.
Секанс — четная функция.
Все четыре триггерные функции с синусом являются нечетными.
Объединение этих трех треугольников в квадрант I единичной окружности показывает, почему …
…тангенс называется (это высота сегмента, который касается окружности в одной точке)
и секанс (продлите фиолетовую гипотенузу до QIII, где она пересечет единичную окружность во второй раз.)
Обратите внимание, что котангенс и касательная отрезки перпендикулярны
(прямой угол→90 градусов→дополнительный углы → тангенс (дополнение) = котангенс (θ). )
Косеканс — это гипотенуза красного треугольника, секанс — это гипотенуза пурпурного треугольника.
Высота коричневого треугольника равна синус , а его основанием является косинус
Все шесть тригонометрических соотношений являются длинами сторон этих трех треугольников, нарисованных на единичной окружности.
РАСШИРЕНИЕ. Итак, если θ равно 30 градусам или π/6 радианам, найдите все шесть длин.
Урок 2,4 Триг Формулы
COS (α-β) = COSαCOSβ+SINαSINβ
COS (α+β) = COSαCOSβSISISINβ
(α+β) = COSαCOSβSISISISISINβ
(α+β-SINαSISISISISISISISISISINβ
= COSαSISISISISISISINβ
= COSαCOSβSINβ
= COSαCOSβSINβ
= COSαCOSβSINβ
.
tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1-±tanαtanβ)
sin(2θ) = 2sinθcosθ
cos(2θ)= cos2θ-sin2θ = 1 -2sin2θ= 2cos2θ -1
tan(2θ) = (tan2θ)/(1-±tanαtanβ) 900×002 cos и sin (x/2)
tan (x/2)
котангентные формулы
Продукт. — Формулы суммы и разности для косинуса (α-β) и синуса (α±β)
Урок 2,4 Часть IIII-DOUBE для cos (x/2) и sin (x/2)
Урок 2.4 Часть V-Tan (x/2)
для Cot(α±β) и Cot(2θ)
Раздел 3 Главы 3.1-3.3 и 1.8
Урок 1.8A «Решение прямоугольных треугольников»
Урок 1.8B «Гармоническое движение»
Урок 3.1A «Закон синусов»
Урок 3.1B «Площадь треугольника SAS»
Урок 3.2 «Закон косинусов»
Урок 3.2B «Площадь» ССС Треугольник»
Урок 1. 8 «Гармоническое движение»
24 октября 2011 г.
Урок 1.8 «Решение прямоугольных треугольников»
22 октября 2011 г.
Урок 3.1B
«Площадь треугольника (формула SAS)»
27 октября 2011 г.
Урок 3.1A
«Закон синусов»
25 октября 2011 г.
[ModuleInstance->Description]
Вам необходим Flash player не ниже 7 версии. Скачать последнюю версию здесь!
Урок 3.2
«Закон косинусов»
31 октября 2011 г.
[ModuleInstance->Description]
Необходим Flash player не ниже 7 версии. Скачать последнюю версию здесь!
Модуль 2B Глава 1. 5-1.7 «Графики триггеров»
Примечания 0 Нажатия клавиш графического калькулятора
Конспект 1 Урок 1.5А «Амплитуда и частота»
Конспект 2 Урок 1.5Б «Фазовые сдвиги»
Конспект 3 Урок 1.6 «Графики tan, cot, sec, csc»
Конспект 4 Урок 1.7А «Инверсное вступление»
Примечания 5 Урок 1.7B «ArcTrig»
Примечания #0 (дополнительно)
27 сентября 2011 г.
Нажатия клавиш графического калькулятора.
В любой момент нажмите 2nd MODE, чтобы вернуться на главный экран калькулятора.
Нажмите Y= , чтобы ввести уравнения для построения графика. Нажмите GRAPH , чтобы увидеть график.
Нажмите ZOOM и 7 ): ZTrig, чтобы установить окно в [-2π < x < 2π] на [-4 < y < 4],
или нажмите курсор со стрелкой вниз на «7» и нажмите ENTER .
Чтобы ввести значения единичного круга в СПИСОК, нажмите STAT , а затем ENTER.
Если в столбцах есть числа, переместите курсор на hilite L1 и т. д. и нажмите CLEAR .
Затем поместите курсор под L1 и введите каждое число и ENTER между каждым значением.
(т.е. запятые в этом списке {0, 30, 45, 60, 90, 135, 180, 270, 360})
Когда закончите, выйдите на главный экран (см. выше). Введите следующие нажатия клавиш: 9, / , 180 , СТО , 2-й , 2 , ВВОД . Вы должны увидеть L1*π/180 -> L2 на главном экране.
Вы можете вручную ввести значения y единичной окружности для синуса в L3, как и раньше, но SIN(L1) STO L3 ENTER выполняется быстрее.
(2-й, 3 — L3). Первый «(» автоматический, но вы должны ввести правильный » ) «.
На экране должно быть написано sin(L1) -> L2 , за которым следуют десятичные знаки в скобках {0 …} на следующей строке.
Прежде чем двигаться дальше, нажмите 2nd, STAT, ENTER, чтобы подтвердить записи в списках L1, L2 и L3.
Мы собираемся построить СТАТИСТИЧЕСКИЙ ГРАФИК этих значений. Нажмите 2nd, Y=, ENTER, чтобы войти в меню STAT PLOT.
Выберите Plot1 и нажмите ENTER, выберите «On» ENTER, затем выберите первый тип графика статистики (разброс).
Стрелка вниз к XList: и установите его на L2, нажав 2nd, 2. Выберите L3 для YList.
Оставьте маркер в виде квадрата (не точки или креста).
Убедитесь, что ваш калькулятор находится в радианном режиме, нажав MODE, выберите «Radian» или «Rad» и нажмите ENTER.
Затем нажмите ГРАФИК . Вы должны увидеть маленькие квадратики на графике.
Если вы получили ошибку DIM: MISMATCH, ваши списки L2 и L3 имеют разный размер (вы пропустили запись). Исправьте это и повторите попытку.
Если на графике есть другие линии, необходимо ОЧИСТИТЬ уравнения в меню Y=.
Нажмите Y=, ОЧИСТИТЕ все уравнения и введите sin(x) в Y1, нажав SIN и X,T,O,n и ГРАФИК. (Предполагается, что O – это тета). Если ваш график не отображается, убедитесь, что уравнение включено, нажав знак = после Y1.
Вы можете нажать ОКНО, чтобы настроить параметры просмотра графика.
Повторите процесс для косинуса на обратной стороне рабочего листа графиков синуса и косинуса. Распечатайте эту страницу, чтобы получить 1 дополнительный балл в пакете Notes 2B и для дальнейшего использования.
Фото ArcSine
Примечания № 5 ( 11 октября 2011 г. )
Сначала введите эти углы в список L1 и создайте эти списки для sin, cos и tan.
Включите Plot1 и постройте (ZOOM 7) график синуса для -90 < x < 180.
Затем поменяйте местами домен и диапазон на XList: L2 и YList: L1.
Перед построением графика установите для параметра ОКНО значение -4 < x < 4 на -360 < y < 360. Затем нажмите GRAPH.
Нанесенные на график точки не проходят тест вертикальной линии, поэтому обратное отношение не является функцией. 9(-1)(x) нажатием. Y=, 2nd, SIN, X, чтобы получить функцию обратного синуса.
Для косинуса мы сначала конвертируем в радианы, а затем повторяем процесс.
Опять же, отношение арккосинуса не является функцией. Однако
, если мы ограничим область угла от 0 до π радиан (180 градусов),
мы пробегаем по всем значениям x на единичном круге для косинуса.
Этот ограниченный косинус называется Cos(x), а его обратная функция — ArcCos(x).
(Называется дугой, поскольку возвращает угол или меру дуги на единичной окружности.)
Если угол тета составляет от 0 до 180 градусов (π радиан), охватываются все значения косинуса от -1 до 1.
Чтобы охватить все значения синуса по оси y, угол должен изменяться от -90 градусов до 90 градусов (или от -π/2 до π/2 рад).
Для касательной, какие углы должны быть покрыты, чтобы линия, проходящая через единичную окружность, принимала все значения наклона?
Ограничить домен графическим изображением только одной ветви касательной. Вызовите новую функцию Tan(x) с большой буквы T.
Затем его обратный ArcTan(x) строится в виде графика от перестановки значений x и y.
Домен [-π/2, π/2] Tan становится диапазоном ArcTan и
Диапазон [-∞, ∞] Tan становится Доменом ArcTan.
Примечания № 4 ( 10 октября 2011 г. )
Теперь, когда мы можем найти триггерные значения заданных углов, давайте сделаем это в обратном порядке.
значит
Этот метод «отмены» того, что делает sin, cos или tan, называется «обратным».
В обозначении «-1» означает обратную, а не показатель степени для обратной.
(Вы бы не отменили сложение делением, и мы не отменим синус делением по той же причине.
Это разные уровни инверсий — сложение и вычитание, умножение и деление, синус и обратный синус и т. д.)
и еще
И sin(π/4), и sin(π/4) имеют значение 0,7071. Итак, какой угол будет обратным синусом 0,7071 на выходе?
Упрощение радикалов с Mr. Happy Face!
Примечания № 3 ( 6 октября 2011 г. )
Для использования графического калькулятора с графическим листом tan-cot/sec-csc:
Это график функции тангенса. у = тангенс (х)
Обратите внимание на точки пересечения, где sin(x) = 0, и асимптоты, где cos(x) = 0.
Что это за значения x? Чтобы построить график y = cot(x), введите 1/tan(x) или cos(x)/sin(x).
Назовите точки пересечения и асимптоты. Где они?
Завершите график косеканса на рабочем листе.
Давайте подытожим домен и диапазон всех шести триггерных функций:
Примечания № 2 ( 4 октября 2011 г. )
Примечания №1 ( 3 октября 2011 г.)
Амплитуда и частота
График y = sin(x) . Затем график y = 2sin(x) с коэффициентом вертикального растяжения 2.
Тогда график y = -sin(x) . Коэффициент растяжения -1 отражает по оси x .
На исходный диапазон sin(x) [-1, 1] не влияет отражение поверх x -ось.
Однако 2sin(x) имеет диапазон -2 < y < 2. А как насчет y = -2sin(x) ?
Амплитуда – это абсолютное значение коэффициента растяжения. А = |а| если y = asin(x) и |-2| = 2.
При делении на 3 вертикальное сжатие дает тот же результат, что и умножение на 1/3.
Таким образом, график косинуса будет зажат между y = 1/3 и y = -1/3.
Теперь давайте посмотрим на f(kx), коэффициент сжатия по горизонтали.
При y = cos(2x) косинус дважды повторял свою волну за 2π по оси x.
Обычно период косинуса равен 2π, , но здесь P = 2π/2 = π.
Если y = a sin( b x), то амплитуда A = | a |, частота = b , а его период = 2π/ f .
Раздел 2А Главы 1.1-1.4 «Тригонометрия»
[ModuleInstance->Description]
Требуется Flash player не ниже 7 версии. Скачать последнюю версию здесь!
Урок 1-1 «Измерение в радианах»
Урок 1-2 «Единичная окружность»
Урок 1-3 «Триггерные функции»
Урок 1-4 «Тождества прямоугольного треугольника»
Примечания 6 «Опорные углы»
Примечания #6, Урок 2-4
26 сентября 2011 г.
Три правила для запоминания координат единичной окружности:
Составьте таблицу опорных углов относительно синуса, косинуса и тангенса.
(Примечание: эта таблица перенесена из таблицы Unit Circle PDF и примечаний ниже. )
В QII опорный угол = 180 — θ или π — θ .
В QIII формула для опорного угла = θ — 180 или θ — π.
В QI опорный угол равен θ . В QIV это 2π — θ или ( 360 — θ ) для положительной теты.
Например, если θ = 330, то ref angle = 360-330 = 30 градусов.
Для отрицательного тета-угла просто возьмите абсолютное значение: например, |-45| = 45 градусов.
В этом случае у нас есть отрицательное значение θ в QIII, поэтому ref angle = 180 — |-135| = 45 градусов.
Косинус отрицательный, потому что таковы координаты x в квадранте III.
Примечания периода 3
На этот раз я покрасил таблицу так, чтобы она соответствовала единичному кругу из примечаний к 2. 2.
Градусы, Радианы, Координаты, с нулями в фиолетовом цвете, таблицей в коричневом цвете и коэффициентами триггера в черном.
Кроме того, при таком расположении отношения тангенса sin/cos легко получить, поскольку
значения синуса на самом деле находятся прямо над значениями косинуса. Обратите внимание на форму простого радикала
.для загара (30), а также то, как 1/2 сокращаются в загаре (60). И да, корень (3) = тангенс (60) = 1,732…
Урок 2.4 «Тождества прямоугольного треугольника»
сентября 24 сентября 2011 г.
Применить теорему Пифагора к треугольнику с
сторон косинуса (θ), синуса (θ) и гипотенузы 1.
Постройте аналогичный треугольник, разделив все три стороны на cos(θ), чтобы смежное основание было равно 1.
Разделите все три стороны первого треугольника на синус (θ) так, чтобы высота, противоположная углу тета, была равна 1,
Пять эталонных углов в градусах и радианах для трех триггерных функций синуса, косинуса и тангенса.
Урок 2.3 «Функции запуска»
Сентябрь 22 февраля 2011 г.
Существует шесть тригонометрических функций, потому что есть шесть способов выбрать две стороны из трех.
Так как порядок имеет значение в отношении, мы используем перестановку выбора k объектов из n .
на XY -GRID, три стороны треугольника становятся R = Гипотеновая = θ.
Включение обратных величин трех тригонометрических соотношений синуса, косинуса и тангенса из геометрии дает новые отношения косеканса (= csc), секанса (= sec) и котангенса (= cot).
Каждая из трех «новых» триггерных функций является обратной по отношению к одной из трех исходных. Итак, загар = 1/кроватка.
Какое соотношение получится из cos/sin ?
Урок 2.2 «Единичный круг»
Объединение кругов из 8 и 12 частей из прошлого урока:
Поскольку при делении круга на восемь и двенадцать секторов получаются углы, кратные 30 и 45, мы можем уместить 30-60-90 и 45-45-90 треугольников из геометрии в единичный круг. Масштабируйте каждый треугольник так, чтобы каждая гипотенуза была равна 1 единице длины. Это означает деление на исходную гипотенузу 2 или √2.
Преобразуйте каждую сторону треугольника в простую радикальную форму, рационализировав каждый знаменатель.
При необходимости умножьте верхнюю и нижнюю часть дроби на √2.
Тогда координаты (x,y) получаются путем вложения в окружность специальных прямоугольных треугольников:
и вставка знаков + и — для x — и y -координаты в зависимости от квадранта:
, чтобы получить завершенный единичный круг.
Урок 2.1 «Радианы и градусы»
12 сентября 2011 г.
Сначала разделите круг радиусом 1 с центром в начале координат на 8 равных частей. Перечислите каждую градусную меру:
Один полный оборот равен 2 пи радианам и 360 градусам. Таким образом, коэффициент преобразования:
2pi/360 = pi/180 для перехода от градусов к радианам. Умножьте на 180/pi, чтобы преобразовать обратно в градусы.
Разделите еще один единичный круг на двенадцать равных частей. Первый квадрант (QI) будет выглядеть так:
.И все это выглядит как
HW: Объедините оба круга в один гигантский круг, чтобы мы могли найти упорядоченные парные координаты (x,y).
Проверка коэффициента пересчета:
Примечания периода 3
Восьмые
Двенадцатые
Раздел 1 Глава «Предпосылки»
Урок P.9 «Инверсия» (Примечания №9)
Урок P.8 «Функциональные композиции» (примечания №8)
Модуль 4 Глава 3 «Решение треугольников»
STAR TRIG
Урок 3-1 «Закон синусов» (23. 11.2010)
[ModuleInstance->Description]
Необходима версия Flash player не ниже 7 . Скачать последнюю версию здесь!
Урок 3-2 «Закон косинусов» (30.11.2010)
[ModuleInstance->Description]
Необходим Flash player не ниже 7 версии. Скачать последнюю версию здесь!
Тригонометрия во втором веке – E-World
[закрыть]
Содержимое
- Введение
- Эквивалентность таблицы аккордов и таблицы синусов
- Специальные уголки
- Таблица 1: Хорды специальных углов
- Теорема Птолемея
- Следствие 1: хорда разности двух дуг
- Следствие 2: хорда половины дуги
- Следствие 3: хорда суммы двух дуг
- Неравенство Аристарха
- Аппроксимация малых хорд
- Шестидесятые
- Таблица аккордов
- Таблица 2: Страница 1 из Таблицы аккордов
- Таблица 3: Сравнение Таблицы аккордов с десятиразрядным калькулятором
- Заключение
- Постскриптумы
- Насколько точна Таблица аккордов?
- Сноски
- Источники
Введение
Хотя это, конечно, не первая тригонометрическая таблица 1 , Птолемея О размере хорд, вписанных в круг (2 век н. э.), безусловно, является самой известной. В значительной степени основанный на более ранней работе Гиппарха (ок. 140 г. до н.э.), он был включен в окончательный Математический синтаксис , более известный под своим арабским названием Альмагест 2 . В этой статье я опишу геометрические теоремы, использованные при построении этой таблицы, и попытаюсь связать их с их современными тригонометрическими аналогами.
Эквивалентность таблицы аккордов и таблицы синусов
Рисунок 1Имея круг, диаметр и длина окружности которого разделены на 120 и 360 частей соответственно, Птолемей смог вычислить соответствующую длину хорды для каждого центрального угла до 180° с интервалом в полградуса. Учитывая, что на диаграмме справа
| грех | θ | = | утра | = | 2 часа ночи | = | АБ | = | crd θ |
| 2 | ОА | 2ОА | диаметр | 120° |
(где crd θ – длина хорды, описываемой центральным углом, образующим дугу, состоящую из θ частей окружности), Таблица хорд , составленная Птолемеем, эквивалентна таблице синусов для каждого угла вверх до 90° с интервалом в четверть градуса.
Специальные уголки
Птолемей начал свою речь с вычисления длин хорд для центральных углов, соответствующих сторонам правильного вписанного десятиугольника, шестиугольника, пятиугольника, квадрата и треугольника. Он определил первые три из этих хорд, используя рисунок ниже со следующим доказательством 3 .
Рисунок 2- Дано
- круг ABC с центром D
BD ⟂ ADC
DE = EC и EF = BE - Докажи
- CD — сторона правильного вписанного шестиугольника
DF — сторона правильного вписанного десятиугольника
BF — сторона правильного вписанного пятиугольника
Используя эти результаты, Птолемей рассчитал длины хорд для центральных углов.
DF — сторона правильного десятиугольника.
| DE 2 + DB 2 | = | БЭ 2 |
| 30° 2 + 60° 2 | = | БЭ 2 |
| БЭ | = | 67°4’55» |
| БЭ | = | ЭФ |
| ДФ | = | EF − DE |
| ДФ | = | 67°4’55» − 30° |
| ДФ | = | 37°4’55» |
таким образом crd 36° = 37°4’55»
BF — сторона правильного пятиугольника
| DF 2 + DB 2 | = | БФ 2 |
| (37°4’55») 2 + 60° 2 | = | БФ 2 |
| БФ | = | 70°32’3″ |
, таким образом, crd 72° = 70°32’3″
(об этом сообщалось как 70°32’4″ в Таблица аккордов . )
DC – сторона правильного шестиугольника.
| DC = | АС | = | 120° | = 60° |
| 2 | 2 |
таким образом crd 60° = 60°
Аналогично, поскольку квадрат стороны вписанного квадрата в два раза больше квадрата радиуса, а квадрат стороны вписанного равностороннего треугольника в три раза больше квадрата радиуса, мы получаем
crd 090° = √(2 × 60° 2 ) = 084°51’10»
crd 120° = √(3 × 60° 2 ) = 103°55’23»
Зная эти углы, Птолемей затем показал, как можно вывести другие длины хорд, используя тот факт, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90°. Следовательно, по теореме Пифагора
crd 108° = √(120° 2 − − crd 2 72°) = 097°4’56» 0
crd 144° = √(120° 1 cr 2
Хорды особых углов приведены в Таблице 1 ниже. Для остальных аккордов нам нужно создать новые математические инструменты.
| уголок | крд |
|---|---|
| 36° | 37°4’55» |
| 60° | 60° |
| 72° | 70°32’3″ |
| 90° | 84°51’10» |
| 108° | 97°4’56» |
| 120° | 103°55’23» |
| 144° | 114°7’37» |
| 180° | 120° |
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений пар противоположных сторон.
Рисунок 3- Дано
- вписанный четырехугольник ABCD
выбрать точку E так, чтобы ∠ABE = ∠DBC - Доказать
- AC × BD = AB × CD + AD × BC
С помощью этой теоремы Птолемей вывел три следствия, из которых можно было вычислить больше длин хорд: хорду разности двух дуг, хорду половины дуги и хорду суммы двух дуг. Теперь я представлю эти следствия и последующие доказательства, данные Птолемеем. Я также выведу формулу из каждого следствия, которую можно использовать для вычисления дополнительных хорд. (Птолемей не привел никаких формул.) Кроме того, я покажу, что три следствия эквивалентны тригонометрическим тождествам для синуса разности двух углов, синуса половины угла и синуса суммы двух углов. соответственно.
Следствие 1: хорда разности двух дуг
Рисунок 4- Дано
- полуокружность ABCD диаметром AD
Хорды AC и AB известной длины
[α и β, как показано, но также
пусть AC = crd θ и AB = crd φ] - Доказать
- до н.э. можно найти
[найти формулу хорды разности двух дуг и показать ее эквивалентность тождеству синуса разности двух углов]
Путем последовательного применения этой теоремы к хордам, приведенным в таблице 1, можно вычислить все длины хорд для углов от 6° до 180° с интервалами в 6°. Таким образом
crd 12° = crd(72° − 60°) = 12°32’36»
crd 6° = crd(18° − 12°) = 6°16’50»
и так далее…
Эти значения находятся в пределах 1 дюйма от значений, найденных в Таблице аккордов . Когда есть несоответствие, это обычно происходит из-за ошибок округления. Похоже, что либо компьютеры Птолемея (лица, нанятые для выполнения черных расчетов) не несли их работа выходит за пределы секунды, или они никогда не верили в округление. Это было верно для многих значений, которые я рассчитал.0005
Следствие 2: хорда половины дуги
Рисунок 5- Дано
- полуокружность ABCD диаметром AC
BC хорда известной длины
дуга BC делится пополам в точке D
DF ⟂ AC
пусть AE = AB
[½α, как показано, но также пусть BC = crd θ, так что BD = DC = crd ½θ] - Доказать
- CF = ½(AC − AB)
[найдите формулу хорды половины дуги и покажите ее эквивалентность тождеству для синуса половины угла]
Эта теорема позволяет вычислять хорды со все меньшим шагом. Таким образом…
crd 3° = crd(½ × 6°) = 3°8’28»
crd 1½° = crd(½ × 3°) = 1°34’15»
crd ¾° = crd(½ × 1½°) = 0°47’8″
и т. д.…
Следствие 3: хорда суммы двух дуг
Рисунок 6- Дано
- окружность ABCDE с центром F
диаметры AFD и BFE
хорды AB и BC известной длины
[α и β показаны, но также пусть AB = crd θ и BC = crd φ] - Доказать
- AC можно найти
[приведите формулу хорды суммы двух дуг и покажите ее эквивалентность тождеству синуса суммы двух углов]
Последовательным применением этой теоремы к хордам, найденным с помощью первых двух следствий, можно вычислить все длины хорд для углов от 0° до 180° с шагом 1½°. Таким образом…
crd 19½° = crd(18° + 1½) = 20°19’20»
crd 21° = crd(18° + 3°) = 21°52’6″
crd 22½° = crd(21 + 1½° ) = 23°24’40»
и так далее…
Опять же, эти значения находятся в пределах 1 дюйма от рассчитанных Птолемеем.
При нынешнем положении вещей мы все еще не можем вычислить хорды для двух третей значений в нашей предполагаемой таблице. Однако, если бы мы знали значения crd ½° и crd 1°, мы могли бы многократно применить следствие 3 к уже известным хордам и закончить таблицу. Если бы трисекция угла была геометрически возможна, мы могли бы использовать crd 1½°, чтобы алгебраически найти crd ½°, а затем применить следствие 2, чтобы найти crd 1°. Учитывая хорошо известную невозможность этого трисекции, Птолемей вместо этого решил аппроксимировать значение crd 1° с помощью «небольшой леммы, которая, хотя и может оказаться недостаточной для определения хорд вообще, все же может в случае очень малых те, держите их неотличимыми от строго определенных аккордов» (Птолемей 28). Эта лемма, приписываемая Аристарху, приводится вместе с доказательством ниже.
Неравенство Аристарха
Рисунок 7- Дано
- окружность ABCD
BA и BC хорды разной длины (BA < BC)
∠ABC делится пополам BD
DFH ⟂ AC в точке F
DFH = DE = DG
[пусть α и β — углы на отдельных вписанных прямоугольных треугольниках, такая что хорда BC и AB являются противоположными углами α и β соответственно, таким образом α > β] - Доказать
до н.э. < дуга г. до н.э.ВА дуги BA ⎡
⎢
⎣и тот грех α < α ⎤
⎥
⎦sinβ β
Аппроксимация малых хорд
Рисунок 8- Дано
- окружность ABC
две хорды AB и AC такие, что AC > AB - Найти
- ось 1°
ось 1/2°
Шестидесятые
Птолемей продолжил свою работу, разделив интервал между последовательными аккордами на тридцатые доли. Это эффективно позволяет вычислять любую хорду между 0° и 180° с интервалом в одну секунду. Хотя значения шестидесятых не вырабатываются строго, по словам Птолемея, «точны с точки зрения смысла» (Птолемей 32).
Таблица аккордов
Часть таблицы аккордов показана в таблице 2 ниже.
Таблица 2: Страница 1 из Таблица хорд 5
| Дуги | Аккорды | Шестидесятые | Дуги | Аккорды | Шестидесятые | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 00½ | 00 31 25 | 0 1 2 50 | 12½ | 12 32 36 | 0 1 2 28 | |
| 01½ | 01 02 50 | 0 1 2 50 | 12½ | 13 03 50 | 0 1 2 27 | |
| 01½ | 01 34 15 | 0 1 2 50 | 13½ | 13 35 04 | 0 1 2 25 | |
| 02½ | 02 05 40 | 0 1 2 50 | 13½ | 14 06 16 | 0 1 2 23 | |
| 02½ | 02 37 04 | 0 1 2 48 | 14½ | 14 37 27 | 0 1 2 21 | |
| 03½ | 03 08 28 | 0 1 2 48 | 14½ | 15 08 38 | 0 1 2 19 | |
| 03½ | 03 38 52 | 0 1 2 48 | 15½ | 15 39 47 | 0 1 2 17 | |
| 04½ | 04 11 16 | 0 1 2 48 | 15½ | 16 10 56 | 0 1 2 15 | |
| 04½ | 04 42 40 | 0 1 2 47 | 16½ | 16 42 03 | 0 1 2 13 | |
| 05½ | 05 14 04 | 0 1 2 47 | 16½ | 17 13 09 | 0 1 2 10 | |
| 05½ | 05 45 27 | 0 1 2 46 | 17½ | 17 44 14 | 0 1 2 07 | |
| 06½ | 06 16 49 | 0 1 2 45 | 17½ | 18 15 17 | 0 1 2 05 | |
| 06½ | 06 48 11 | 0 1 2 43 | 18½ | 18 46 19 | 0 1 2 02 | |
| 07½ | 07 19 33 | 0 1 2 42 | 18½ | 19 17 21 | 0 1 2 00 | |
| 07½ | 07 50 54 | 0 1 2 41 | 19½ | 19 48 21 | 0 1 1 57 | |
| 08½ | 08 22 15 | 0 1 2 40 | 19½ | 20 19 19 | 0 1 1 54 | |
| 08½ | 08 53 35 | 0 1 2 39 | 20½ | 20 50 16 | 0 1 1 51 | |
| 09½ | 09 24 51 | 0 1 2 38 | 20½ | 21 21 11 | 0 1 1 48 | |
| 09½ | 09 56 13 | 0 1 2 37 | 21½ | 21 52 06 | 0 1 1 45 | |
| 10½ | 10 27 32 | 0 1 2 35 | 21½ | 22 22 58 | 0 1 1 42 | |
| 10½ | 10 58 49 | 0 1 2 33 | 22½ | 22 53 49 | 0 1 1 39 | |
| 11½ | 11 30 05 | 0 1 2 32 | 22½ | 23 24 39 | 0 1 1 36 | |
| 11½ | 12 01 21 | 0 1 2 30 |
Случайная выборка синусов, полученных из Таблицы аккордов , была сопоставлена с данными, полученными с помощью карманного калькулятора с точностью до десяти разрядов. Результаты обобщены в Таблице 3 ниже.
Таблица 3: Сравнение таблицы аккордов с десятиразрядным калькулятором
| θ | crd θ | (crd θ)/120° | sin (θ/2) | ∆ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 16½° | 17°13’9″ | 0,1434930556 | 0,1434926220 | 0,0000004336 | ||
| 49° | 49°45’48» | 0,4146944444 | 0,4146932427 | 0,0000012017 | ||
| 64° | 63°35’25» | 0,529 | 15 | 0,529 | 42 | 0,0000002827 |
| 83½° | 79°54’21» | 0,6658819444 | 0,6658816660 | 0,0000002784 | ||
| 110½° | 98°35’32» | 0,8216018519 | 0,8216469379 | 0,0000450860 | ||
| 126° | 106°55’15» | 0,89444 | 0,85242 | 0,0000004202 | ||
| 155° | 117°9’20» | 0,9762962963 | 0,9762960071 | 0,0000002892 | ||
| 176½° | 119°56’39» | 0,9995347222 | 0,9995335908 | 0,0000011314 |
Как видно из таблицы, результаты Птолемея согласуются со значениями современных калькуляторов с точностью до пяти или шести знаков после запятой. (Подробнее о точности Таблицы аккордов см. в постскриптуме.)
Остаток Альмагеста состоит из астрономических расчетов: положения солнца, луны и планет в разное время относительно неподвижных звезд. Таблица аккордов сыграла важную роль в их составлении.
Заключение
Более ранний трактат Гиппарха из 12 книг о построении Таблицы аккордов исчез где-то после четвертого века, потому что его заменил гораздо более полный Альмагест . Альмагест безраздельно властвовал как трактат по практической тригонометрии примерно тысячу лет. В десятом веке исламский математик Абу’л-Вефа вычислил значения синусов и тангенсов угла с интервалом в четверть градуса и по существу воспроизвел Таблицу аккордов в современной форме. В шестнадцатом веке тевтонский математик Джордж Иоахим Ретикус в течение двенадцати лет с помощью нанятых компьютеров вычислил значения всех шести тригонометрических функций с точностью до десяти знаков и функции синуса с точностью до пятнадцати разрядов с интервалом в десять секунд. . С повсеместным распространением программируемых калькуляторов и персональных компьютеров вычислительные возможности продвинулись до такой степени, что большие слои населения Земли могут воспроизвести по требованию труд жизнедеятельности древних. Технология сделала работу таких математиков ненужной почти так же, как Альмагест уничтожил все двенадцать томов Гиппарха.
Постскриптумы
Насколько точна Таблица аккордов?
Все 360 значений из Таблицы аккордов Птолемея сравнивались с их «фактичными» значениями, рассчитанными в Google Таблицах.
| абсолютная ошибка | = | значение Птолемея – |
На приведенном ниже графике показано, что значения в таблице , как правило, должны быть немного больше, чем они должны быть крошечными битами. Среднеквадратическая ошибка, рассчитанная таким образом, составляет 0,000136°, что означает, что Таблица точна до трех знаков после запятой, а не до пяти или шести, которые я указал в основной части статьи. Поскольку мы больше не вычисляем хорды и не используем шестидесятеричное правило для деления диаметра на части по 120°, это число может оказаться бесполезным. На приведенном ниже графике также показана тенденция к увеличению абсолютной ошибки, вызванная, без сомнения, увеличением значения записей по мере чтения таблицы. Чем больше угол, тем больше хорды. Чем больше хорды, тем больше ошибка.
Относительная ошибка может быть более полезным способом проверки работы Птолемея.
| относительная ошибка | = | Значение Птолемея — |
| значение электронной таблицы |
На приведенном ниже графике показано, что относительная погрешность максимальна для малых углов и остается почти постоянной после 60°. Это имеет смысл, так как точность записи градус-минута-секунда Птолемея всегда одинакова — с точностью до секунды. Ошибка в одну секунду больше по отношению к маленькому углу, чем к большому. Среднеквадратическая ошибка, рассчитанная таким образом, составляет 0,00000737 или 7,37 частей на миллион.
Сноски
- Самая ранняя известная тригонометрическая таблица, состоящая из пятнадцати секущих от 30° до 45°, содержится в знаменитой вавилонской табличке Plimpton 322 (ок. 1900–1600 гг. до н.э.).
- Комментаторы идентифицировали Mathematike Syntaxis (математическая композиция или компиляция) по превосходной степени «ta megiste» (величайший). Впоследствии это было транслитерировано арабскими учеными как al-magiste, затем Almagestum латиноязычными европейскими учеными, а затем, в конечном итоге, Almagest англоязычными учеными.
- В шестидесятеричном представлении, используемом Птолемеем, символ градусов (°) относится к единице измерения, символ минут (‘) к 1 / 60 единицы, а символ секунд («) к 1 / 3,600 единицы. Таким образом, 0°37’5″ представляет 0 + 37 / 60 + 5 / 3,600 = 0,618055556.
Обозначения в равной степени применяются к длинам дуг (угловая мера) и отрезков прямой (линейная мера). До наших дней дошло только угловое использование этого обозначения. - По какой-то причине crd 144° было указано как 114°7’47» в таблице .
- Шестидесятеричная система ведется на один разряд дальше в шестидесятом столбце. Таким образом, 0 ° 1’2 «50 » ‘представляет 0+ 1 / 60 + 2 / 3600 + 50 / 216 000 = 0,017455377. 216 000 = 0,0174553777.
Источники
- Бунт, Лукас Н.Х., Джонс, Филип С. и Бедьен, Джек Д. Исторические корни элементарной математики . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Довер, 1988. .
- Евс, Ховард. Введение в историю математики . шестое издание. Форт-Уэрт, Техас: Харкорт Брейс Йованович, 1990. .
- Евс, Ховард. Великие моменты в математике (до 1650 г.): Математические изложения Дольчиани, номер пять . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1980.