Sinx 0 решение: Решите уравнение sin(x)=0 (синус от (х) равно 0)

alexxlab / / Разное

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8
Найти точное значение		cos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15
Найти точное значение		csc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значение
tan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значение
sin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88		Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95
Найти точное значение		sin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. 2+x) $$
log(a,x)Логарифм x по основанию alog(3,cos(x))$$ log_3(cos(x)) $$
sh(x)Гиперболический синусsh(x-1)$$ sh(x-1) $$
ch(x)Гиперболический косинусch(x)$$ ch(x) $$
th(x)Гиперболический тангенсth(x)$$ th(x) $$
cth(x)Гиперболический котангенсcth(x)$$ cth(x) $$

Почему решение на английском языке?

При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного «забугорного» сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство — на английском языке, но это не большая цена за качество.

Некоторые пояснения по выводу решения.

ВыводПеревод, пояснение
Solve for x over the real numbersРешить относительно х в действительных числах (бывают ещё комплексные)
Multiply both sides by .Умножаем обе части на .
Simplify and substitute .Упрощаем и делаем подстановку .
Simplify trigonometric functionsУпрощаем тригонометрические функции
Bring . together using the commom denominator .Приводим . к общему знаменателю .
The left hand side factors into a product with two termsЛевая часть разбивается на множители как два многочлена
Split into two equationsРазделяем на два уравнения
Take the square root of both sidesИзвлекаем квадратный корень из обоих частей
Subtract . from both sidesВычитаем . из обеих частей уравнения
Add . (x)\)Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\)
\(sec(x)\)Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac\)
\(csc(x)\)Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac\)
\(cosh(x)\)Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac> \)
\(sinh(x)\)Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac> \)
\(tanh(x)\)Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac>> \)
\(coth(x)\)Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac \)

Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.

Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.

К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.

С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических неравенств онлайн. Тригонометрические неравенства – это неравенства, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие неравенства: sinx ▼a, cosx ▼a, tgx ▼a, ctgx ▼a. Знак ▼ означает любой знак сравнения (≤, ≥, >,

Основным способом решения любых тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим тригонометрическим неравенствам, которые указаны выше.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать все методы решения тригонометрических неравенств. Чтобы получить ответ, укажите исходное тригонометрическое неравенство. Основные примеры функций для данного калькулятора указаны ниже.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.


Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое неравенство
Решить неравенство

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac \).
Так как \( -1 \frac \).
Так как \( -1 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac + \pi k; \;\; \frac + \pi k\right), \; k \in \mathbb $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x \frac> \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac + \pi k \right), \; k \in \mathbb $$

Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb \)
3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb \)

Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x


Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x

Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x


Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac + \pi k \right), \; k \in \mathbb $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x

Тригонометрические неравенства

Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb \)
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac + 2\pi k, \; k \in \mathbb \)
4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.

Читайте также:

      
  • Восстановление выносливости ds2
    •   
  • Spotlight 5 какой уровень
    •   
  • Выпадение из мира в майнкрафт
    •   
  • Настольные игры для детей от 4 лет самые
    •   
  • Hard play герой щита

Решение тригонометрических уравнений

Репетиторы ❯ Математика ❯ Решение тригонометрических уравнений

Автор: Валентин В., онлайн репетитор по математике

●

06.11.2011

●

Раздел: Математика

Мы уже познакомились с формулами корней более простых тригонометрических уравнений
cos x = a, sin x = a, tg x = a. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большей части таких уравнений необходимо использование формул преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые способы и примеры решения тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратам

Задача 1.

Решить уравнение sin2 x + sin x – 2 = 0.

Решение.

Это уравнение является квадратным относительно sin x. Если мы обозначим sin x = у, то наше уравнение примет вид: у2 + у – 2 = 0. Решив это уравнение, мы получаем его корни: у1 = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = -2.

Корнем уравнения sin x = 1 является х = π/2 + 2πn, n € Z; уравнение sin x = -2 не имеет корней.

Ответ. х = π/2 + 2πn, n € Z.

Задача 2.

Решить уравнение 2 cos2x – 5 sin x + 1 = 0.

Решение.

Заменим cos2x на 1 – sin2 x и получим: 2(1 – sin2 x) – 5 sin x + 1 = 0, или 2 sin2 x + 5 sin x – 3 = 0.

Обозначив sin x = у, мы получили: 2у2 + 5у – 3 = 0, откуда у1 = -3, у2 = 1/2.

1) sin x = -3 – уравнение не имеет корней, так как |-3|> 1.

2) sin x = 1/2, х = (-1)n arcsin 1/2 + πn = = (-1)n π/6 + πn, n € Z.

Ответ. х = (-1)n π/6 + πn, n € Z.

2. Уравнения вида а sin x + b cosx = c

Задача 3.

Решить уравнение 2 sin x – 3 cosx = 0.

Решение.

Разделим на cos x обе части уравнения и получим 2 tg x – 3 = 0, tg x = 3/2, х = arctg 3/2 + πn, n € Z.

Ответ. х = arctg 3/2 + πn, n € Z.

При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x – 3 cosx = 0 были разделены на cos x. Мы должны помнить, что в результате деления уравнения на выражение, которое содержит неизвестное, корни могут быть потеряны. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos x = 0 корнями данного уравнения. Если cos x = 0, то из уравнения 2sin x – 3 cos x = 0 следует, что  sin x = 0. Однако sin x и cos х одновременно не могут быть равными нулю, в силу того что они связаны равенством sin2x + cos2x = 1. Следовательно, при делении уравнения а sin x + b cosx = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0, на cos x (или sin x) корни этого уравнения не теряются.

3. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие уравнения, в правой части которых располагается 0, решаются путем разложения на множители их левой части.

Задача 4.

Решить уравнение sin 2x – sinx = 0.

Решение.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и запишем уравнение в виде 2 sin x cosx – sin x = 0.

Общий множитель sin x вынесем за скобки и получим sin x(2 cosx – 1) = 0.

1) sin x = 0, х = πn, n € Z.

2) 2 cosx – 1 = 0, cosx = 1/2, х = +/-π/3 + 2πn, n € Z.

Ответ. х = +/-π/3 + 2πn, n € Z.

Задача 5.

Решить уравнение cos 3x + sin 5x = 0.

Решение.

Используя формулу приведения sin α = cos (π/2 – α), запишем уравнение в виде cos 3x + cos (π/2 – 5х)= 0.

Воспользуемся формулой для суммы косинусов и получим:

2 cos(π/4 – х) ∙ cos (4х – π/4)= 0.

1) cos(π/4 – х) = 0, х – π/4 = π/2 + πn, х = 3/4 π + πn, n € Z;

2) cos (4х – π/4)= 0, 4х – π/4 = π/2 + πn, х = 3/16 π + (πn)/4, n € Z.

Ответ. х = 3/4π + πn, х = 3/16π + (πn)/4, n € Z.

Задача 6.

Решить уравнение sin 7x + sin 3x = 3 cos 2х.

Решение.

Применим формулу суммы синусов и запишем уравнение в виде

2 sin 5x ∙ cos 2х = 3 cos 2х, или 2 sin 5x ∙ cos 2х – 3 cos 2х = 0,

откуда cos 2х(sin 5x – 3/2) = 0.

Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х = π/4 + (πn)/2, а уравнение sin 5x = 3/2 не имеет корней.

Ответ. х = π/4 + (πn)/2, n € Z.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Математика

Курсы по математике 10 класс

Математика

Курсы по математике 9 класс

Математика

Математика 11 класс

Математика

Курсы по геометрии 7 класс

Математика

Курсы по алгебре 7 класс

Математика

Алгебра 8 класс

Математика

Курсы по геометрии 8 класс

Французский язык

Курсы французского языка для начинающих

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения Решить тригонометрическое уравнение sinx 1 2

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

3. Однородные уравнения

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

Ответ: 0.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х — угол, который нужно найти,
а — любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенса:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенса:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания «С» будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли…)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ. ) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) — одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это… того… из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т. п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да…) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово — два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там — два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Когда-то я стал свидетелем разговора двух абитуриентов:

– Когда надо прибавить 2πn, а когда – πn? Никак не могу запомнить!

– И у меня такая же проблема.

Так и хотелось им сказать: «Не запоминать надо, а понимать!»

Данная статья адресована прежде всего старшеклассникам и, надеюсь, поможет им с «пониманием» решать простейшие тригонометрические уравнения:

Числовая окружность

Наряду с понятием числовой прямой есть еще и понятие числовой окружности. Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность,с центром в точке (0;0) и радиусом 1, называется единичной. Вообразим числовую прямую тонкой нитью и намотаем ее на эту окружность: начало отсчета (точку 0), приставим к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось обмотаем против движения часовой стрелки, а отрицательную – по направлению (рис. 1). Такую единичную окружность называют числовой.

Свойства числовой окружности

  • Каждое действительное число находится на одной точке числовой окружности.
  • На каждой точке числовой окружности находятся бесконечно много действительных чисел. Так как длина единичной окружности равна 2π, то разность между любыми двумя числами на одной точке окружности равна одному из чисел ±2π ; ±4π ; ±6π ; …

Сделаем вывод: зная одно из чисел точки A, мы можем найти все числа точки A .

Проведем диаметр АС (рис. 2). Так как x_0 – одно из чисел точки А, то числа x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … и только они будут числами точки C. Выберем одно из этих чисел, скажем, x_0+π, и запишем с его помощью все числа точки C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈Z. Отметим, что числа на точках A и C можно объединить в одну формулу: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (при k = 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки C).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или C диаметра АС, мы можем найти все числа на этих точках.

  • Два противоположных числа находятся на симметричных относительно оси абсцисс точках окружности.

Проведем вертикальную хорду АВ (рис. 2). Так как точки A и B симметричны относительно оси Ox, то число -x_0 находится на точке B и, значит, все числа точки B задаются формулой: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и B запишем одной формулой: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или B вертикальной хорды АВ, мы можем найти все числа на этих точках. Рассмотрим горизонтальную хорду AD и найдем числа точки D (рис. 2). Так как BD – диаметр и число -x_0 принадлежит точке В, то -x_0 + π одно из чисел точки D и, значит, все числа этой точки задаются формулой x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа на этих точках.

Шестнадцать основных точек числовой окружности

На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис. 3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят окружность на 12 равных частей. Так как длина полуокружности равна π, то длина дуги A1A2 равна π/2, длина дуги A1B1 равна π/6, а длина дуги A1C1 равна π/3.

Теперь можем указать по одному числу на точках:

π/3 на С1 и

Вершины оранжевого квадрата – середины дуг каждой четверти, следовательно, длина дуги A1D1 равна π/4 и, значит, π/4 – одно из чисел точки D1. Воспользовавшись свойствами числовой окружности, мы можем записать с помощью формул все числа на всех отмеченных точках нашей окружности. На рисунке отмечены также и координаты этих точек (опустим описание их получения).

Усвоив выше сказанное, мы имеем теперь достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.

Решить уравнения

1) sinx=1⁄(2) .

– Что от нас требуется?

– Найти все те числа x, синус которых равен 1/2 .

Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x . На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2 . Это концы горизонтальной хорды B1B2 . Значит, требование «решить уравнение sinx=1⁄2 » равнозначно требованию «найти все числа на точке B1 и все числа на точке B2».

2) sinx=-√3⁄2 .

Нам надо найти все числа на точках C4 и C3.

3) sinx=1 . На окружности имеем только одну точку с ординатой 1 – точка A2 и, значит, нам надо найти только все числа этой точки.

Ответ: x=π/2+2πk , k∈Z .

4) sinx=-1 .

Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этой точки и будут конями уравнения.

Ответ: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окружности имеем две точки с ординатой 0 – точки A1 и A3 . Можно указать числа на каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположные, лучше объединить их в одну формулу: x=πk ,k∈Z .

Ответ: x=πk ,k∈Z .

6) cosx=√2⁄2 .

Вспомним определение косинуса: cosx — абсцисса точки числовой окружности на которой находится число x. На окружности имеем две точки с абсциссой √2⁄2 – концы горизонтальной хорды D1D4 . Нам нужно найти все числа на этих точках. Запишем их, объединив в одну формулу.

Ответ: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Надо найти числа на точках C_2 и C_3 .

Ответ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, значит, все числа на каждой из этих точках и будут решениями уравнения.
.

Решениями уравнения системы являются числа на точках B_3 и B_4 .Неравенству cosxОтвет: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Заметим,что при любом допустимом значении x второй множитель положителен и, следовательно,уравнение равносильно системе

Решениями уравнения системы являются чила точек D_2 и D_3 . Числа точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5 ,а числа точки D_3-удовлетворяют.


blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пример 2 (4.1)

Решите уравнение

Решение

1 — ,

t2 – 6t +5 = 0;

D = 36 – 20 = 16>0;

+

+

Пример 3 (5.1)

Решите уравнение — = .

Решение

— = ,

+

1 –

.

Обозначим

2t2 –t – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9,

t1 =

  1. = — ,

(-1)n+1 + ,

(-1)n+1 + .

  1. ,

+

(-1)n+1 + ,

    1. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

Данное выражение представляется в виде произведения нескольких сомножителей. В случае, когда выражение равно нулю, каждый из них приравнивается к нулю и уравнение сводится к более простому.

Пример 1 (4.27)

Решите уравнение

Решение

,

2) +

Ответ: +

Пример 2 (6.23)

Решите уравнение

1 + sin 3x =

Решение

1 + sin 3x =

1 + sin 3x = cos2 sin2

1 + sin3x = 1 – sinx,

sin 3x + sin x = 0,

2sin 2x cos x = 0,

sin2x = 0, 2x

cos x = 0, x = +

Ответ: +

2.

6 Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.

Его можно решать, выполнив деление на старшую степень косинуса (или синуса).

Пример 1( 4.35)

Найдите все решения уравнения принадлежащих отрезку [-2

Решение

делим уравнение почленно на cosx ( заметим: если в данное уравнение подставить cosx =0, то получим sinx = 0, что невозможно, значит, в результате деления на cosx не будет потери корней) и находим:

tg x = 1, x = +

n = 0, x = [-2

n = 1, x = [-2

n = -1, x = [-2

n = -2, x = [-2

Ответ:

Пример 2( 5. 13)

Решите уравнение

6sin2x + sin x cos x – cos2 x = 0.

Решение

6sin2x + sin x cos x – cos2 x = 0, так как cos 2 x 0. То делим почленно на cos2 x

6tg 2 x + tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда

6t 2 + t – 1 = 0; D = 1 + 24 = 25;

=

  1. tg x =

  2. tg x =

Ответ:

    1. Системы тригонометрических уравнений

Решение систем тригонометрических уравнений чаще всего сводится к решению алгебраических систем относительно sin x, cos x, tg x и т. п.

Необходимо отметить, что при решении простейших уравнений нужно писать различные целочисленные параметры n и k. Если бы мы использовали одну и ту же букву, было бы потеряно бесконечное множество решений.

Есть и иной способ решения систем, в котором может использоваться способ выражения одного переменного через другое и подстановка во второе уравнение.

Решение системы записывается в виде упорядоченных пар (x; y).

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (5.15)

Решите систему уравнений

Решение

4y + 10 – 2y = 19,

2y = 9,

y = 4,5;

x = (-1)n + ;

Ответ: ( (-1)n + .

2. Логарифмические выражения, уравнения, неравенства, системы

Справочный материал

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b, причем a >0, a ≠ 1, b > 0.

= c , (1)

Основное логарифмическое тождество

(2)

Логарифмическая функция

y=

Свойства

  1. D (y) = R+.

  2. E(y) = R.

  3. При a > 1 функция монотонно возрастает на R+ и при 0 <a <1 функция монотонно убывает на R+.

  4. При x= 1 значение функции y = 0.

Мэтуэй | Популярные задачи

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

Предварительное вычисление алгебры — Как бы вы решили уравнение формы $e^{-x} — \sin(x) = 0$?

Спросил

Изменено 2 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 913 раз

$\begingroup$

Я пытался сделать это целую вечность. Я беспокоюсь, что это невозможно, но я слышал, что это можно сделать вручную.

Пока я могу получить $x$ вручную, я, очевидно, могу рассчитать его стоимость с помощью калькулятора.

Пожалуйста, помогите, я так застрял и отчаянно нуждаюсь в помощи. 9{-x}$ [Синяя линия] и $\sin x$ [Красная линия].

Одним словом решения $x=0.589,3.096,6.285$ и т.д.

Надеюсь, это работает.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вы не можете найти замкнутую форму для нулей, но можете найти асимптотические приближения.

Пусть $x_n$ — нуль в $(\pi n-\frac \pi 2, \pi n+\frac \pi 2)$. Напишите $x_n=\pi n+\varepsilon_n$ с $|\varepsilon_n|<\frac \pi 2$. 9093}+\cdots$$

$$\слева( \begin{массив}{ccc} n & \text{приближение} & \text{решение} \\ 0 & 0,5625000000000000000 & 0,5885327439818610774 \\ 1 и 3,0963808805403588820 и 3,09636306461156 \\ 2 и 6,28504072431593 и 6,28504

825865338\ 3 и 9,4246972547386088459 и 9,4246972547385212191\ 4 и 12,5663741016870 и 12,5663741016877 \\ 5 и 15,707963117247215942 и 15,707963117247215942 \\ 6 и 18. 849555

1171524 и 18.849555

1171524\ 7 и 21,9

574847125823 и 21,9
574847125823 \\ 8 и 25.132741228730507464 и 25.132741228730507464\ 9 и 28,274333882307613598 и 28,274333882307613598 \\ 10 и 31,4155897
6 и 31,4155897
6 \конец{массив} \справа)$$

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

7.5 Решение тригонометрических уравнений. Предварительное исчисление 2e

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Решение линейных тригонометрических уравнений относительно синуса и косинуса.
  • Решите уравнения с одной тригонометрической функцией.
  • Решите тригонометрические уравнения с помощью калькулятора.
  • Решение тригонометрических уравнений квадратной формы.
  • Решите тригонометрические уравнения, используя фундаментальные тождества.
  • Решите тригонометрические уравнения с несколькими углами.
  • Решение задач на прямоугольный треугольник.

Рисунок 1 Египетские пирамиды стоят рядом с современным городом. (кредит: Oisin Mulvihill)

Фалес Милетский (около 625–547 гг. до н. э.) известен как основатель геометрии. Легенда гласит, что он рассчитал высоту Великой пирамиды в Гизе в Египте, используя теорию подобных треугольника , которые он разработал, измерив тень своего посоха. Основанная на пропорциях, эта теория находит применение в ряде областей, включая фрактальную геометрию, инженерию и архитектуру. Часто угол возвышения и угол наклона находят с помощью подобных треугольников.

В предыдущих разделах этой главы мы рассмотрели тригонометрические тождества. Тождества верны для всех значений в домене переменной. В этом разделе мы начинаем изучение тригонометрических уравнений для изучения реальных сценариев, таких как определение размеров пирамид.

Решение линейных тригонометрических уравнений с помощью синуса и косинуса

Тригонометрические уравнения, как следует из названия, включают в себя тригонометрические функции. Во многом подобно решению полиномиальных уравнений или рациональных уравнений, только определенные значения переменной будут решениями, если решения вообще есть. Часто мы будем решать тригонометрическое уравнение на заданном интервале. Однако столь же часто нас будут просить найти все возможные решения, а поскольку тригонометрические функции являются периодическими, решения повторяются в каждом периоде. Другими словами, тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное число решений. Кроме того, как и в случае с рациональными уравнениями, область определения функции должна быть рассмотрена, прежде чем мы предположим, что какое-либо решение является допустимым. Период как функции синуса, так и функции косинуса равен 2π,2π. Другими словами, через каждые 2π2π единиц y- значения повторяются. Если нам нужно найти все возможные решения, то мы должны добавить 2πk,2πk, где kk — целое число, к исходному решению. Вспомните правило, которое дает формат для формулировки всех возможных решений функции с периодом 2π:2π:

sinθ=sin(θ±2kπ)sinθ=sin(θ±2kπ)

Существуют аналогичные правила для указания всех возможных решений для других тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений требует тех же методов, что и решение алгебраических уравнений. Читаем уравнение слева направо, по горизонтали, как предложение. Мы ищем известные шаблоны, факторизуем, находим общие знаменатели и заменяем определенные выражения переменной, чтобы упростить процесс решения. Однако с тригонометрическими уравнениями у нас также есть преимущество использования тождеств, которые мы разработали в предыдущих разделах.

Пример 1

Решение линейного тригонометрического уравнения с косинусом

Найдите все возможные точные решения уравнения cosθ=12.cosθ=12.

Решение

Из единичного круга мы знаем, что

cosθ=12     θ=π3,5π3cosθ=12     θ=π3,5π3

Это решения в интервале [0,2π].[0,2π]. Все возможные решения задаются как

π3±2kπ и 5π3±2kππ3±2kπ и 5π3±2kπ

, где kk — целое число.

Пример 2

Решение линейного уравнения с функцией синуса

Найдите все возможные точные решения уравнения sint=12.sint=12.

Решение

Решение для всех возможных значений t означает, что решения включают углы вне периода 2π,2π. Из рисунка 2 видно, что решения равны π6π6 и 5π6,5π6. Но проблема заключается в том, чтобы указать все возможные значения, которые решают уравнение. Поэтому ответ

π6±2πk и 5π6±2πkπ6±2πk и 5π6±2πk

, где kk — целое число.

Как

Дано тригонометрическое уравнение, решить с помощью алгебры .

  1. Ищите шаблон, который предполагает алгебраическое свойство, такое как разность квадратов или факторинговая возможность.
  2. Замените тригонометрическое выражение одной переменной, например xx или u.u.
  3. Решите уравнение так же, как решали бы алгебраическое уравнение.
  4. Замените тригонометрическое выражение на переменную в результирующих выражениях.
  5. Найдите угол.

Пример 3

Решение тригонометрического уравнения в линейной форме

Точное решение уравнения: 2cosθ−3=−5,0≤θ<2π.2cosθ−3=−5,0≤θ<2π.

Решение

Используйте алгебраические методы для решения уравнения.

2cosθ−3=−5      2cosθ=−2         cosθ=−1             θ=π2cosθ−3=−5       2cosθ=−2         cosθ=−1              0909

Попытайся #1

Решите точно следующее линейное уравнение на отрезке [0,2π):2sinx+1=0.[0,2π):2sinx+1=0.

Решение уравнений с одной тригонометрической функцией

Когда нам даны уравнения, включающие только одну из шести тригонометрических функций, их решения включают использование алгебраических методов и единичной окружности (см. рис. 2). Нам нужно сделать несколько соображений, когда уравнение включает тригонометрические функции, отличные от синуса и косинуса. Проблемы, связанные с обратными величинами основных тригонометрических функций, необходимо рассматривать с алгебраической точки зрения. Другими словами, мы напишем обратную функцию и найдем углы, используя эту функцию. Кроме того, уравнение, включающее функцию тангенса, немного отличается от уравнения, содержащего функцию синуса или косинуса. Во-первых, как мы знаем, период касательной равен π, π, а не 2π,2π. Далее, областью определения тангенса являются все действительные числа, за исключением нечетных целых чисел, кратных π2,π2, если, конечно, проблема не накладывает свои ограничения на область определения.

Пример 4

Решение задачи с одной тригонометрической функцией

Точно решить задачу: 2sin2θ−1=0,0≤θ<2π.2sin2θ−1=0,0≤θ<2π.

Решение

Так как эту задачу не так просто решить, мы будем решать ее, используя свойство квадратного корня. Во-первых, мы используем алгебру, чтобы изолировать sinθ.sinθ. Потом найдем углы.

2sin2θ — 1 = 0 2sin2θ = 1 sin2θ = 12 sin2 = ± 12 sinθ = ± 12 = ± 22 θ = π4,3π4,5π4,7π42sin2θ — 1 = 0 2sin2 = 1 sin2θ = 12 sin2θ = ± 12 sinθ = ± ± ± ± ± ± ± ± 0 = 0 12=±22              θ=π4,3π4,5π4,7π4

Пример 5

Решение тригонометрического уравнения с косекансом

Точно решить следующее уравнение: cscθ=−2,0≤θ<4π. cscθ=−2,0≤θ<4π.

Решение

Нам нужны все значения θθ, для которых cscθ=−2cscθ=−2 в интервале 0≤θ<4π,0≤θ<4π.

cscθ=-21sinθ=-2sinθ=-12     θ=7π6,11π6,19π6,23π6cscθ=–21sinθ=–2sinθ=–12     θ=7π6,11π6,19π6,23π6

Анализ

Поскольку sinθ=−12,sinθ=−12, обратите внимание, что все четыре решения находятся в третьем и четвертом квадрантах.

Пример 6

Решение уравнения с касательной

Точно решить уравнение: tan(θ−π2)=1,0≤θ<2π.tan(θ−π2)=1,0≤θ<2π.

Решение

Напомним, что тангенс функции имеет период π.π. На интервале [0,π),[0,π) и под углом π4,π4 тангенс имеет значение 1. Однако искомый угол равен (θ−π2).(θ−π2) . Таким образом, если tan(π4)=1,tan(π4)=1, то

θ−π2=π4θ=3π4±kπθ−π2=π4θ=3π4±kπ

На интервале [0,2π),[0 ,2π), имеем два решения:

3π4 и 3π4+π=7π43π4 и 3π4+π=7π4

Попытайся #2

Найдите все решения для tanx=3. tanx=3.

Пример 7

Найти все решения уравнения с касательной

Найти все точные решения уравнения 2(tanx+3)=5+tanx,0≤x<2π.2(tanx+3)=5+tanx,0≤x <2π.

Решение

Мы можем решить это уравнение, используя только алгебру. Изолируйте выражение tanxtanx слева от знака равенства.

2(tanx)+2(3)=5+tanx2tanx+6=5+tanx2tanx-tanx=5-6tanx=-12(tanx)+2(3)=5+tanx2tanx+6=5+tanx2tanx-tanx =5−6tanx=−1

На единичной окружности есть два угла, тангенс которых равен −1:θ=3π4−1:θ=3π4 и θ=7π4.θ=7π4.

Решение тригонометрических уравнений с помощью калькулятора

Не все функции можно решить точно, используя только единичный круг. Когда мы должны решить уравнение, включающее угол, отличный от одного из специальных углов, нам нужно будет использовать калькулятор. Убедитесь, что он установлен в правильном режиме, либо в градусах, либо в радианах, в зависимости от критериев данной задачи.

Пример 8

Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с синусом

Использование калькулятора для решения уравнения sinθ=0,8,sinθ=0,8, где θθ выражено в радианах.

Решение

Убедитесь, что для режима установлено значение в радианах. Чтобы найти θ, θ, используйте функцию обратного синуса. На большинстве калькуляторов вам потребуется нажать кнопку 2 ND , а затем кнопку SIN, чтобы вызвать функцию sin-1sin-1. На экране отображается sin-1(.sin-1(. Калькулятор готов к вводу в скобках. Для этой задачи мы вводим sin-1(0.8),sin-1(0.8) и нажимаем ENTER Таким образом, до четырех знаков после запятой,

sin−1(0,8)≈0,9273sin−1(0,8)≈0,9273

Решение

0,9273±2πk0,9273±2πk

Измерение угла в градусах: −53,1∘  ≈126,9∘θ≈53,1∘θ≈180∘−53,1∘  ≈126,9∘

Анализ

Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или IV для функции синуса, так как это диапазон обратного синуса. Другой угол получается с помощью π−θ.π−θ.

Пример 9

Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с секущей

С помощью калькулятора решите уравнение secθ=−4,secθ=−4, дав ответ в радианах.

Решение

Мы можем начать с алгебры.

secθ=−41cosθ=−4cosθ=−14secθ=−41cosθ=−4cosθ=−14

Убедитесь, что MODE указан в радианах. Теперь используйте функцию арккосинуса.

COS -1 (−14) ≈1,8235 θдоля1,8235+2πkcos — 1 (−14) ≈1,8235 θдоля 1,8235+2πk

с π2,1,57π2 3,57 и πt3,14, π233, 1,57π2,1,57 и πt3,14,14, π233, 1,57 год. эти два числа, таким образом, θ≈1,8235θ≈1,8235 находится в квадранте II. Косинус также отрицателен в квадранте III. Обратите внимание, что калькулятор будет возвращать только угол в квадрантах I или II для функции косинуса, так как это диапазон арккосинуса. См. рис. 2.

Рисунок 2

Итак, нам также нужно найти меру угла в третьем квадранте. В квадранте III опорный угол равен θ’≈π−1,8235≈1,3181,θ’≈π−1,8235≈1,3181. Другое решение в квадранте III равно π+1,3181≈4,4597,π+1,3181≈4,4597.

Решения: 1,8235±2πk1,8235±2πk и 4,4597±2πk.4,4597±2πk.

Попытайся #3

Решите cosθ=-0,2.cosθ=-0,2.

Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

Решение квадратного уравнения может быть более сложным, но опять же, мы можем использовать алгебру, как и для любого квадратного уравнения. Посмотрите на схему уравнения. Есть ли в уравнении более одной тригонометрической функции или только одна? Какая тригонометрическая функция является квадратом? Если представлена ​​только одна функция и один из ее членов возведен в квадрат, подумайте о стандартной форме квадратного числа. Замените тригонометрическую функцию переменной, такой как xx или u.u. Если подстановка делает уравнение похожим на квадратное уравнение, то мы можем использовать те же методы решения квадратного уравнения для решения тригонометрических уравнений.

Пример 10

Решение тригонометрического уравнения в квадратной форме

Точно решить уравнение: cos2θ+3cosθ−1=0,0≤θ<2π.cos2θ+3cosθ−1=0,0≤θ<2π.

Решение

Начнем с подстановки и замены cos θθ на x.x. Нет необходимости использовать подстановку, но это может облегчить визуальное решение проблемы. Пусть cosθ=x.cosθ=x. У нас есть

x2+3x−1=0x2+3x−1=0

Уравнение нельзя разложить на множители, поэтому мы будем использовать квадратичную формулу x=−b±b2−4ac2a.x=−b±b2−4ac2a.

х=-3±(3)2-4(1)(-1)2 =-3±132x=-3±(3)2-4(1)(-1)2 =-3±132

Замените xx на cosθ, cosθ и решите. Таким образом,

cosθ=-3±132     θ=cos-1(-3+132)cosθ=-3±132     θ=cos-1(-3+132)

Обратите внимание, что используется только знак +. Это связано с тем, что мы получаем ошибку, когда решаем θ=cos−1(−3−132)θ=cos−1(−3−132) на калькуляторе, поскольку область определения функции арккосинуса равна [−1,1 ]. [−1,1]. Однако есть и второе решение:

cos−1(−3+132) ≈1,26cos−1(−3+132) ≈1,26

Эта конечная сторона угла лежит в квадранте I. Поскольку косинус положителен и в квадранте IV, второе решение равно 132)  ≈5.02

Пример 11

Решение тригонометрического уравнения в квадратной форме с помощью факторизации

Точно решить уравнение: 2sin2θ−5sinθ+3=0,0≤θ≤2π.2sin2θ−5sinθ+3=0,0≤θ≤2π.

Решение

Используя группировку, этот квадрат можно разложить на множители. Либо сделайте реальную замену, sinθ=u,sinθ=u, либо вообразите ее, поскольку мы факторизуем:

   2sin2θ−5sinθ+3=0(2sinθ−3)(sinθ−1)=0   2sin2θ−5sinθ+3=0(2sinθ−3)(sinθ−1)=0

Теперь приравняем каждый фактор к нулю.

2sinθ — 3 = 0 2sinθ = 3 sinθ = 32 sinθ — 1 = 0 sinθ = 12sinθ — 3 = 0 2sinθ = 3 sinθ = 32 sinθ = 0 sinθ = 1

. θ:sinθ≠32, так как диапазон функции синуса равен [−1,1].[−1,1]. Однако sinθ=1,sinθ=1, что дает решение π2. π2.

Анализ

Обязательно проверьте все решения в данной области, так как некоторые факторы не имеют решения.

Попытайся #4

Решить sin2θ=2cosθ+2,0≤θ≤2π.sin2θ=2cosθ+2,0≤θ≤2π. [Подсказка: сделайте замену, чтобы выразить уравнение только через косинус.]

Пример 12

Решение тригонометрического уравнения с помощью алгебры

Точное решение:

2sin2θ+sinθ=0;0≤θ<2π2sin2θ+sinθ=0;0≤θ<2π

Решение

Эта задача должна показаться знакомой, так как она похожа на квадратичную. Пусть sinθ=x.sinθ=x. Уравнение принимает вид 2×2+x=0,2×2+x=0. Начнем с факторинга:

   2×2+x=0x(2x+1)=0   2×2+x=0x(2x+1)=0

Установить каждый коэффициент равным нулю.

           x=0  (2x+1)=0           x=−12            x=0  (2x+1)=0           x=−12

Затем подставьте обратно в уравнение исходное выражение sinθsinθ для x. x. Таким образом,

sinθ=0     θ=0,πsinθ=−12     θ=7π6,11π6sinθ=0     θ=0,πsinθ=−12     θ=7π6,11π6

Решения в области 0≤θ<2π0≤θ< 2π равны 0,π,7π6,11π6. 0,π,7π6,11π6.

Если мы предпочитаем не заменять, мы можем решить уравнение, следуя той же схеме разложения на множители и приравняв каждый множитель к нулю.

2sin2θ+sinθ = 0sinθ (2sinθ+1) = 0 sinθ = 0 θ = 0, π 2sinθ+1 = 0 2sinθ = −1 sinθ = −12 θ = 7π6,11π6 2sin2+sinθ = 0sinθ (2sinθ+1) = 0 sinθ = 0 θ = 0, π 2sinθ+1 = 0 2sinθ = −1 sinθ = −12 θ = 7π6,11π6

Анализ

Решения представлены на графике на рис. 3. На интервале 0≤θ<2π,0≤θ<2π график пересекает x- ось четыре раза, при отмеченных решениях. Обратите внимание, что тригонометрические уравнения в квадратной форме могут давать до четырех решений вместо ожидаемых двух, которые можно найти с помощью квадратных уравнений. В этом примере каждое решение (угол), соответствующее положительному значению синуса, даст два угла, которые дадут это значение.

Рисунок 3

Мы также можем проверить решения на единичной окружности на рис. 2.

Пример 13

Решение квадратного тригонометрического уравнения в форме

Точно решить квадратное уравнение в форме: 2sin2θ−3sinθ+1=0,0≤θ<2π.2sin2θ−3sinθ+1=0,0≤θ<2π.

Решение

Мы можем факторизовать, используя группировку. Значения решения θθ можно найти на единичном кругу:

(2sinθ — 1) (sinθ — 1) = 0 2sinθ — 1 = 0 sinθ = 12 θ = π6,5π6 sinθ = 1 θ = π2 (2sinθ — 1) (sinθ — 1) = 0 2sinθ — 1 = 0 sinθ = 12 θ = π6,5π6 sinθ = 1 θ = π2

Попытайся #5

Решите квадратное уравнение 2cos2θ+cosθ=0,2cos2θ+cosθ=0.

Решение тригонометрических уравнений с использованием фундаментальных тождеств

Хотя алгебру можно использовать для решения ряда тригонометрических уравнений, мы также можем использовать фундаментальные тождества, поскольку они упрощают решение уравнений. Помните, что методы, которые мы используем для решения, отличаются от методов проверки личности. Здесь применяются основные правила алгебры, в отличие от переписывания одной стороны тождества, чтобы она соответствовала другой стороне. В следующем примере мы используем два тождества для упрощения уравнения.

Пример 14

Использование тождеств для решения уравнения

Использование тождеств для точного решения тригонометрического уравнения в интервале 0≤x<2π,0≤x<2π.

cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=32cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=32

Решение

Обратите внимание, что левая часть уравнения представляет собой формулу разности для косинуса.

cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=32                       cos(x−2x)=32Формула разности для косинуса                                     cos(−x)=32Используйте отрицательный угол. cosx=32cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=32                      cos(x−2x)=32Разностная формула для косинуса                                              cos(−x)=32. Используйте тождество отрицательного угла. cosx=32

Из единичного круга на рисунке 2 видно, что cosx=32cosx=32, когда x=π6,11π6.x=π6,11π6.

Пример 15

Решение уравнения с использованием формулы двойного угла

Точное решение уравнения с использованием формулы двойного угла: cos(2θ)=cosθ.cos(2θ)=cosθ.

Решение

У нас есть три варианта выражения для замены двойного угла косинуса. Поскольку проще решать одну тригонометрическую функцию за раз, мы выберем тождество двойного угла, включающее только косинус:

cos (2θ) = cosθ 2cos2θ — 1 = cosθ 2cos2θ -cosθ -1 = 0 (2cosθ+1) (cosθ -1) = 0 2cosθ+1 = 0 cosθ = −12 cosθ -1 = 0 cosθ = 1 cos (2θ) = cosθ 2cos2θ —1 = cosθ 2cos2θ — cosθ — 1 = 0 (2cosθ+1) (cosθ — 1) = 0 2cosθ+1 = 0 cosθ = −12 cosθ — 1 = 0 cosθ = 1

Итак, если cosθ=−12,cosθ=−12, то θ=2π3±2πkθ=2π3±2πk и θ=4π3±2πk;θ=4π3±2πk; если cosθ=1,cosθ=1, то θ=0±2πk.θ=0±2πk.

Пример 16

Решение уравнения с помощью тождества

Решите уравнение точно с помощью тождества: 3cosθ+3=2sin2θ,0≤θ<2π.3cosθ+3=2sin2θ,0≤θ<2π.

Решение

Если мы перепишем правую часть, мы можем записать уравнение через косинус: =0(2 cosθ+1)(cosθ+1)=02 cosθ+1=0cosθ=−12θ=2π3,4π3cosθ+1=0cosθ=−1θ=π3 cosθ+3=2 sin2θ3 cosθ+3=2(1− cos2θ)3 cosθ+3=2−2cos2θ2cos2θ+3 cosθ+1=0(2 cosθ+1)(cosθ+1)=02 cosθ+1=0cosθ=−12θ=2π3,4π3cosθ+1=0cosθ=−1θ= №

Наши решения: 2π3,4π3,π.2π3,4π3,π.

Решение тригонометрических уравнений с несколькими углами

Иногда невозможно решить тригонометрическое уравнение с тождествами, имеющими кратные углы, например sin(2x)sin(2x) или cos(3x).cos(3x). Столкнувшись с этими уравнениями, вспомните, что y=sin(2x)y=sin(2x) — это горизонтальное сжатие в 2 раза функции y=sinx.y=sinx. На интервале 2π,2π мы можем изобразить два периода y=sin(2x),y=sin(2x), а не один цикл y=sinx. y=sinx. Это сжатие графика приводит нас к мысли, что 9 может быть в два раза больше.1043 x — перехваты или решения для sin(2x)=0sin(2x)=0 по сравнению с sinx=0.sinx=0. Эта информация поможет нам решить уравнение.

Пример 17

Решение тригонометрического уравнения с несколькими углами

Решите точно: cos(2x)=12cos(2x)=12 на [0,2π).[0,2π).

Решение

Мы видим, что это уравнение является стандартным уравнением с кратным углу. Если cos(α)=12,cos(α)=12, мы знаем, что αα находится в квадрантах I и IV. Хотя θ=cos-112θ=cos-112 даст решения только в квадрантах I и II, мы понимаем, что решения уравнения cosθ=12cosθ=12 будут в квадрантах I и IV.

Следовательно, возможные углы равны θ=π3θ=π3 и θ=5π3.θ=5π3. Итак, 2x=π32x=π3 или 2x=5π3,2x=5π3, значит, x=π6x=π6 или x=5π6.x=5π6. Имеет ли это смысл? Да, потому что cos(2(π6))=cos(π3)=12.cos(2(π6))=cos(π3)=12.

Возможны ли другие ответы? Вернемся к нашему первому шагу.

В квадранте I 2x=π3,2x=π3, так что x=π6x=π6, как уже отмечалось. Давайте снова вернемся по кругу:

2x=π3+2π    =π3+6π3    =7π32x=π3+2π    =π3+6π3    =7π3

, значит, x=7π6.x=7π6.

Еще одно вращение дает

2x=π3+4π    =π3+12π3    =13π32x=π3+4π    =π3+12π3    =13π3

x=13π6>2π,x=13π6>2π, поэтому это значение для xx больше чем 2π,2π, так что это не решение на [0,2π).[0,2π).

В квадранте IV 2x=5π3,2x=5π3, поэтому x=5π6x=5π6, как было отмечено. Давайте снова вернемся по кругу:

2x=5π3+2π    =5π3+6π3    =11π32x=5π3+2π    =5π3+6π3    =11π3

, значит, x=11π6.x=11π6.

Еще одно вращение дает

2x=5π3+4π    =5π3+12π3    =17π32x=5π3+4π    =5π3+12π3    =17π3

x=17π6>2π,x=17π6>2π, поэтому это значение для xx больше, чем 2π,2π, поэтому это не решение на [0,2π).[0,2π).

Наши решения: π6,5π6,7π6 и 11π6,π6,5π6,7π6 и 11π6. Обратите внимание, что всякий раз, когда мы решаем задачу в виде sin(nx)=c,sin(nx)=c, мы должны пройти единичный круг nn раз.

Решение задач на прямоугольный треугольник

Теперь мы можем использовать все изученные нами методы для решения задач, связанных со свойствами прямоугольных треугольников и теоремой Пифагора. Мы начинаем со знакомой теоремы Пифагора, a2+b2=c2,a2+b2=c2, и моделируем уравнение, соответствующее ситуации.

Пример 18

Использование теоремы Пифагора для моделирования уравнения

Использование теоремы Пифагора и свойств прямоугольных треугольников для моделирования уравнения, соответствующего задаче.

Необходимо заменить один из тросов, которыми колесо обозрения London Eye крепится к земле. Центр колеса обозрения находится на высоте 69,5 метров над землей, а второй якорь на земле — в 23 метрах от основания колеса обозрения. Приблизительно какой длины кабель и каков угол подъема (от земли до центра колеса обозрения)? См. рис. 4.

Рисунок 4

Решение

Используя предоставленную информацию, мы можем нарисовать прямоугольный треугольник. Длину кабеля можно найти по теореме Пифагора.

A2+B2 = C2 (23) 2+ (69,5) 2≈5359 5359, 73,2 м A2+B2 = C2 (23) 2+ (69,5) 2,5359 5359, 73,2 м

Угол элевации равен θ ,θ, образованный вторым анкером на земле и кабелем, достигающим центра колеса. Мы можем использовать функцию тангенса, чтобы найти его меру. Округлить до двух знаков после запятой.

TANθ = 69,523TAN — 1 (69,523) ≈1,2522 ≈71,69∘ TANθ = 69,523TAN — 1 (69,523) ≈1,2522 ≈71,69∘

Угла поднимая поднимает 71,7∘ 71.7. составляет 73,2 метра.

Пример 19

Использование теоремы Пифагора для моделирования абстрактной задачи

Правила техники безопасности OSHA требуют, чтобы основание лестницы располагалось на расстоянии 1 фута от стены на каждые 4 фута длины лестницы. Найдите угол, под которым лестница любой длины образует землю, и высоту, на которой лестница касается стены.

Решение

Для любой длины лестницы основание должно находиться на расстоянии от стены, равном одной четвертой длины лестницы. Эквивалентно, если основание лестницы находится на расстоянии « а» фута от стены, длина лестницы будет равна 4 а фута. См. рис. 5.

Рис. 5

Сторона, примыкающая к θθ, равна a , а гипотенуза равна 4a.4a. Таким образом,

        cosθ=a4a=14cos−1(14)≈75,5∘        cosθ=a4a=14cos−1(14)≈75,5∘

Высота лестницы образует с землей угол 75,5∘75,5∘. Высоту, на которой лестница касается стены, можно найти с помощью теоремы Пифагора: 4a)2        b2=(4a)2−a2        b2=16a2−a2        b2=15a2          b=15a

Таким образом, лестница касается стены на высоте 15a15a футов от земли.

7.5 Секционные упражнения

Устный

1.

Всегда ли будут решения уравнений тригонометрических функций? Если нет, опишите уравнение, которое не имеет решения. Объясните, почему да или почему нет.

2.

Всегда ли при решении тригонометрического уравнения, включающего более одной тригонометрической функции, мы пытаемся переписать уравнение, чтобы оно выражалось в терминах одной тригонометрической функции? Почему или почему нет?

3.

При решении линейных триггерных уравнений только с помощью синуса или косинуса, как мы узнаем, будут ли решения?

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите все решения точно на интервале 0≤θ<2π.0≤θ<2π.

4.

2sinθ=−22sinθ=−2

5.

2sinθ=32sinθ=3

6.

2cosθ=12cosθ=1

7.

2cosθ=−22cosθ=−2

8.

tanθ=-1tanθ=-1

9.

тангенс=1тангенс=1

10.

котх+1=0котх+1=0

11.

4sin2x-2=04sin2x-2=0

12.

csc2x-4=0csc2x-4=0

Для следующих упражнений решите точно на [0,2π).[0,2π).

13.

2cosθ=22cosθ=2

14.

2cosθ=−12cosθ=−1

15.

2sinθ=−12sinθ=−1

16.

2sinθ=−32sinθ=−3

17.

2sin(3θ)=12sin(3θ)=1

18.

2sin(2θ)=32sin(2θ)=3

19.

2cos(3θ)=−22cos(3θ)=−2

20.

потому что (2θ) = −32 cos (2θ) = −32

21.

2sin(πθ)=12sin(πθ)=1

22.

2cos(π5θ)=32cos(π5θ)=3

Для следующих упражнений найдите все точные решения на [0,2π). [0,2π).

23.

сек(х)sin(x)−2sin(x)=0сек(x)sin(x)−2sin(x)=0

24.

tan(x)−2sin(x)tan(x)=0tan(x)−2sin(x)tan(x)=0

25.

2cos2t+cos(t)=12cos2t+cos(t)=1

26.

2tan2(t)=3сек(t)2tan2(t)=3сек(t)

27.

2sin(x)cos(x)−sin(x)+2cos(x)−1=02sin(x)cos(x)−sin(x)+2cos(x)−1=0

28.

cos2θ=12cos2θ=12

29.

сек2х=1сек2х=1

30.

tan2(x)=-1+2tan(-x)tan2(x)=-1+2tan(-x)

31.

8sin2(x)+6sin(x)+1=08sin2(x)+6sin(x)+1=0

32.

tan5(x)=tan(x)tan5(x)=tan(x)

Для следующих упражнений решите методами, показанными в этом разделе, точно на интервале [0,2π). [0,2π).

33.

sin(3x)cos(6x)−cos(3x)sin(6x)=−0,9sin(3x)cos(6x)−cos(3x)sin(6x)=−0,9

34.

sin(6x)cos(11x)−cos(6x)sin(11x)=−0,1sin(6x)cos(11x)−cos(6x)sin(11x)=−0,1

35.

cos(2x)cosx+sin(2x)sinx=1cos(2x)cosx+sin(2x)sinx=1

36.

6sin(2t)+9sint=06sin(2t)+9sint=0

37.

9cos(2θ)=9cos2θ−49cos(2θ)=9cos2θ−4

38.

sin(2t)=costsin(2t)=стоимость

39.

cos(2t)=sintcos(2t)=sint

40.

потому что (6х) — потому что (3х) = 0 потому что (6х) — потому что (3х) = 0

Для следующих упражнений решите точно на интервале [0,2π).[0,2π). Используйте квадратичную формулу, если уравнения не учитывают.

41.

tan2x-3tanx=0tan2x-3tanx=0

42.

sin2x+sinx-2=0sin2x+sinx-2=0

43.

sin2x-2sinx-4=0sin2x-2sinx-4=0

44.

5cos2x+3cosx-1=05cos2x+3cosx-1=0

45.

3cos2x-2cosx-2=03cos2x-2cosx-2=0

46.

5sin2x+2sinx-1=05sin2x+2sinx-1=0

47.

tan2x+5tanx-1=0tan2x+5tanx-1=0

48.

cot2x=-cotxcot2x=-cotx

49.

−tan2x−tanx−2=0−tan2x−tanx−2=0

Для следующих упражнений найдите точные решения на интервале [0,2π).[0,2π). Ищите возможности использовать тригонометрические тождества.

50.

sin2x-cos2x-sinx=0sin2x-cos2x-sinx=0

51.

sin2x+cos2x=0sin2x+cos2x=0

52.

sin(2x)−sinx=0sin(2x)−sinx=0

53.

cos(2x)−cosx=0cos(2x)−cosx=0

54.

2tanx2-sec2x-sin2x=cos2x2tanx2-sec2x-sin2x=cos2x

55.

1-cos(2x)=1+cos(2x)1-cos(2x)=1+cos(2x)

56.

сек2х=7сек2х=7

57.

10sinxcosx=6cosx10sinxcosx=6cosx

58.

−3sint=15costsint−3sint=15costsint

59.

4cos2x−4=15cosx4cos2x−4=15cosx

60.

8sin2x+6sinx+1=08sin2x+6sinx+1=0

61.

8cos2θ=3−2cosθ8cos2θ=3−2cosθ

62.

6cos2x+7sinx-8=06cos2x+7sinx-8=0

63.

12sin2t+затраты-6=012sin2t+затраты-6=0

64.

tanx=3sinxtanx=3sinx

65.

cos3t=costcos3t=стоимость

Графический

В следующих упражнениях алгебраически точно определите все решения тригонометрического уравнения, затем проверьте результаты, построив уравнение на графике и найдя нули.

66.

6sin2x−5sinx+1=06sin2x−5sinx+1=0

67.

8cos2x-2cosx-1=08cos2x-2cosx-1=0

68.

100tan2x+20tanx-3=0100tan2x+20tanx-3=0

69.

2cos2x-cosx+15=02cos2x-cosx+15=0

70.

20sin2x−27sinx+7=020sin2x−27sinx+7=0

71.

2tan2x+7tanx+6=02tan2x+7tanx+6=0

72.

130tan2x+69tanx-130=0130tan2x+69tanx-130=0

Технология

В следующих упражнениях используйте калькулятор, чтобы найти все решения до четырех знаков после запятой.

73.

sinx=0,27sinx=0,27

74.

sinx=-0,55sinx=-0,55

75.

tanx=-0,34tanx=-0,34

76.

cosx=0,71cosx=0,71

В следующих упражнениях решите уравнения алгебраически, а затем с помощью калькулятора найдите значения на интервале [0,2π).[0,2π). Округлите до четырех знаков после запятой.

77.

tan2x+3tanx-3=0tan2x+3tanx-3=0

78.

6tan2x+13tanx=-66tan2x+13tanx=-6

79.

tan2x-secx=1tan2x-secx=1

80.

sin2x-2cos2x=0sin2x-2cos2x=0

81.

2tan2x+9tanx-6=02tan2x+9tanx-6=0

82.

4sin2x+sin(2x)secx−3=04sin2x+sin(2x)secx−3=0

Удлинители

Для следующих упражнений найдите в точности все решения уравнений на отрезке [0,2π).[0,2π).

83.

csc2x-3cscx-4=0csc2x-3cscx-4=0

84.

sin2x-cos2x-1=0sin2x-cos2x-1=0

85.

sin2x(1−sin2x)+cos2x(1−sin2x)=0sin2x(1−sin2x)+cos2x(1−sin2x)=0

86.

3sec2x+2+sin2x-tan2x+cos2x=03sec2x+2+sin2x-tan2x+cos2x=0

87.

sin2x−1+2cos(2x)−cos2x=1sin2x−1+2cos(2x)−cos2x=1

88.

tan2x-1-sec3xcosx=0tan2x-1-sec3xcosx=0

89.

sin(2x)sec2x=0sin(2x)sec2x=0

90.

грех(2x)2csc2x=0sin(2x)2csc2x=0

91.

2cos2x-sin2x-cosx-5=02cos2x-sin2x-cosx-5=0

92.

1sec2x+2+sin2x+4cos2x=41sec2x+2+sin2x+4cos2x=4

Реальные приложения

93.

Бензина у самолета хватит только на то, чтобы долететь до города в 200 милях к северо-востоку от его текущего местоположения. Если пилот знает, что город находится в 25 милях к северу, сколько градусов к северу от востока должен лететь самолет?

94.

Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 4 фута, а длина рампы составляет 15 футов, какой угол образует рампа с землей?

95.

Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 2 фута, а длина рампы составляет 20 футов, какой угол образует рампа с землей?

96.

Женщина наблюдает за запуском ракеты на высоте 11 миль. Если она стоит в 4 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит вверх от горизонтали?

97.

Космонавт находится в запущенной ракете на высоте 15 миль. Если человек стоит в 2 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит на него сверху вниз? (Подсказка: это называется углом депрессии.)

98.

Женщина стоит в 8 метрах от 10-метрового здания. Под каким углом она смотрит на крышу здания?

99.

Мужчина стоит в 10 метрах от 6-метрового здания. Кто-то наверху здания смотрит на него сверху вниз. Под каким углом на него смотрит человек?

100.

Здание высотой 20 футов имеет тень длиной 55 футов. Каков угол возвышения солнца?

101.

Здание высотой 90 футов имеет тень длиной 2 фута. Каков угол возвышения солнца?

102.

909:06 Прожектор на земле в 3 метрах от человека ростом 2 метра отбрасывает 6-метровую тень на стену в 6 метрах от человека. Под каким углом свет?

103.

Прожектор на земле в 3 футах от женщины ростом 5 футов отбрасывает тень высотой 15 футов на стену в 6 футах от женщины. Под каким углом свет?

В следующих упражнениях найдите решение задачи со словами алгебраически. Затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы проверить результат. Округлите ответ до десятых долей градуса.

104.

Человек делает стойку на руках, касаясь ногами стены и руками на расстоянии 1,5 фута от стены. Какой угол составляют ноги человека со стеной, если его рост 6 футов?

105.

Человек делает стойку на руках, ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 3 футов от стены. Если рост человека 5 футов, какой угол составляют его ступни со стеной?

106.

23-футовая лестница расположена рядом с домом. Если лестница соскальзывает на расстоянии 7 футов от дома из-за недостаточного сцепления, какой угол должна составлять лестница с землей, чтобы избежать соскальзывания?

Помогите! Решите 2cosx-sinx=0 для 0

carpe_diem
Участник