| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
геометрия — элегантное доказательство того, что $\sin(x)\cdot\cos(x)=\sin(2x)/2$
спросил
Изменено 9 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Несколько дней я пытался доказать тождество $\sin(x)\cos(x)=\frac{\sin(2x)}{2}$ и наконец получил следующее доказательство.
Я хотел знать, знает ли кто-нибудь более простой или элегантный способ доказать это.
$$\begin{align}\dfrac{\cos(\phi)}{\frac{1+\cos(2\phi)}{2}}&=\dfrac{1}{\sqrt{ \frac{(1+\cos(2\phi))²+\sin²(2\phi)}{4}}} ~~~~~~~~~~~~~~~*\frac{1+ \cos(2\фи)}{2}\\ \ cos (\ phi) & = \ dfrac {\ frac {1+ \ cos (2 \ phi)} {2}} {\ sqrt {\ frac {1 + 2 \ cos (2 \ phi) + \ cos² (2 \фи)+sin²(2\фи)}{4}}}\\ \ cos (\ phi) & = \ dfrac {\ frac {1+ \ cos (2 \ phi)} {2}} {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos (2 \ phi)} {2}}} \\ \cos(\phi)&=\sqrt{\frac{1+\cos(2\phi)}{2}}\\ \cos²(\phi)&=\frac{1+\cos(2\phi)}{2}\end{align}$$
\frac{1+\cos(2\phi)}{2}}\\
\ frac {\ sin (\ phi)} {\ cos (\ phi)} & = \ dfrac {\ frac {\ sin (2 \ phi)} {2}} {\ cos² (\ phi)} \\
\sin(\phi)\cos(\phi)&=\frac{\sin(2\phi)}{2}\end{align}$
Я также пробовал это:
показывает это, но не управлять. Буду рад, если у кого-то есть идеи по этому поводу.
- геометрия
- тригонометрия
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Хороший аргумент.
В качестве альтернативы, по крайней мере, для $0\lt 2\varphi\lt \pi$ пусть $ABC$ будет треугольником с $AB=AC=1$ и $\angle CAB=2\varphi$.
Опустите перпендикуляр из точки $A$ в точку $BC$, пересекающий точку $BC$ в точке $M$. Обратите внимание, что $AM=\cos\varphi$ и $BM=\sin\varphi$. Итак, $BC=2\sin\varphi$, поэтому площадь $\треугольника ABC$ равна $\cos\varphi\sin\varphi$.
Но площадь $\треугольника ABC$ равна $\frac{1}{2}\sin 2\varphi$. 9{-2ix}}{2i}$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Чисто геометрическое доказательство может быть сделано следующим образом:
Постройте треугольник $\triangle$ABC так, чтобы он был прямым углом при B и углом $\theta$ при A. Постройте подобный треугольник $\triangle$BCD так, чтобы B снова прямой угол, а D — угол $\theta$. Наконец, постройте треугольник $\triangle$ADE, продолжив AC так, чтобы угол при E был прямым.
Пусть AC = CD = 1.