Система уравнений решение: Решение систем уравнений online

Способ решения системы уравнений методом сложения. Решение сложных систем уравнений

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.

Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Метод алгебраического сложения

Решить систему уравнений с двумя неизвестными можно различными способами — графическим методом или методом замены переменной.

В этом уроке познакомимся с ещё одним способом решения систем, который Вам наверняка понравится — это способ алгебраического сложения.

А откуда вообще взялась идея — что-то складывать в системах? При решении систем главной проблемой является наличие двух переменных, ведь решать уравнения с двумя переменными мы не умеем. Значит, надо каким-либо законным способом исключить одну из них. И такими законными способами являются математические правила и свойства.

Одно из таких свойств звучит так: сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, если при одной из переменных будут противоположные коэффициенты, то их сумма будет равна нулю и нам удастся исключить эту переменную из уравнения. Понятно, что складывать только слагаемые с нужной нам переменной мы не имеем право. Складывать надо уравнения целиком, т.

е. по отдельности складывают подобные слагаемые в левой части, затем в правой. В результате мы получим новое уравнение, содержащее только одну переменную. Давайте рассмотрим сказанное на конкретных примерах.

Мы видим, что в первом уравнении есть переменная у, а во втором противоположное число -у. Значит, это уравнение можно решить методом сложения.

Одно из уравнений оставляют в том виде, каком оно есть. Любое, какое Вам больше нравится.

А вот второе уравнение будет получено сложением этих двух уравнений почленно. Т.е. 3х сложим с 2х, у сложим с -у, 8 сложим с 7.

Получим систему уравнений

Второе уравнение этой системы представляет собой простое уравнение с одной переменной. Из него находим х = 3. Подставив найденное значение в первое уравнение, находим у = -1.

Ответ: (3; — 1).

Образец оформления:

Решить методом алгебраического сложения систему уравнений

В данной системе нет переменных с противоположными коэффициентами. Но мы знаем, что обе части уравнения можно умножать на одно и то же число. Давайте умножим первое уравнение системы на 2.

Тогда первое уравнение примет вид:

Теперь видим, что при переменной х есть противоположные коэффициенты. Значит, поступим так же, как и в первом примере: одно из уравнений оставим в неизменном виде. Например, 2у + 2х = 10. А второе получим сложением.

Теперь у нас система уравнений:

Легко находим из второго уравнения у = 1, а затем из первого уравнения х = 4.

Образец оформления:

Давайте подведём итоги:

Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения. Таким образом, нам теперь известны три основных метода решения таких систем: графический, метод замены переменной и метод сложения. Практически любую систему можно решить с помощью этих способов. В более сложных случаях применяют комбинацию этих приёмов.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А. Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений — это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор x n — переменные, а b n — свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 — некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения.

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Пример решения способом сложения

Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2

Получим следующую систему уравнений:

{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;

Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

10*x+6*y — (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;

Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

Очень часто ученики затрудняются с выбором способа решения систем уравнений.

В данной статье мы рассмотрим один из способов решения систем – способ подстановки.

Если находят общее решение двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например

Замечаем, что при х = 15 , а у = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел и есть решение системы уравнений. Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.

Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.

Как же решать системы способом подстановки? Если коэффициенты при каком – нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (если же не равны, то уравниваем), то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (в первое или во второе). Находим другое неизвестное. Давайте рассмотрим на примерах применение этого способа.

Пример 1. Решите систему уравнений

Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Давайте попробуем почленно сложить уравнения системы.

Полученное значение х=4, подставляем в какое–нибудь уравнение системы (например в первое) и находим значение у:

2 *4 +у = 11, у = 11 – 8, у = 3.

Наша система имеет решение х = 4, у = 3. Или же ответ можно записать в круглых скобках, как координаты точки, на первом месте х, на втором у.

Ответ: (4; 3)

Пример 2 . Решить систему уравнений

Уравняем коэффициенты при переменной х, для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим

Будьте внимательны при сложении уравнений

Тогда у = — 2. Подставим в первое уравнение вместо у число (-2), получим

4х + 3(-2) = — 4. Решаем это уравнение 4х = — 4 + 6, 4х = 2, х = ½.

Ответ: (1/2; — 2)

Пример 3. Решите систему уравнений

Умножим первое уравнение на (-2)

Решаем систему

получаем 0 = — 13.

Система решений не имеет, так ка 0 не равен (-13).

Ответ: решений нет.

Пример 4. Решите систему уравнений

Замечаем, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,

давайте разделим второе уравнение на три и мы получаем систему, которая состоит из двух одинаковых уравнений.

Эта система имеет бесконечно много решений, так как первое и второе уравнения одинаковы (мы получили всего одно уравнение с двумя переменными). Как же представить решение этой системы? Давайте выразим переменную у из уравнения х + у = 5. Получим у = 5 – х.

Тогда ответ запишется так: (х; 5-х), х – любое число.

Мы рассмотрели решение систем уравнений способом сложения. Если остались вопросы или что – то непонятно запишитесь на урок и мы с вами устраним все проблемы.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

определение, виды, примеры решения, что это такое

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2·x+y=-3,x=5.

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение 1

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x+y=5,2·x-3·y=1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2x+0·y+0·z=11

А другое уравнение x+0·y−3·z=0.

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x+y=3,1x+1y=25

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Определение 2

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Определение 3

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t2=4,5·(t+2)=0

Число -2 – решение уравнения, так как  (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.

Определение 4

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Определение 5

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Определение 6

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Системы линейных однородных уравнений онлайн

Системы линейных однородных уравнений — имеет вид ∑a^k_ix_i = 0. где m > n или m n.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB. Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется тривиальным.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Инструкция. Выберите размерность матрицы: количество переменных: 2345678 и количество строк 23456

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

1. Находим ранг матрицы.
2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример. Найти базис системы векторов (а₁, а₂,…,а_m), ранг и выразить векторы по базе. Если а₁=(0,0,1,-1), а₂=(1,1,2,0), а₃=(1,1,1,1), а₄=(3,2,1,4), а₅=(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:

0	0	1	-1
1	1	2	0
1	1	1	1
3	2	1	4
2	1	0	3
x1	x2	x3	x4

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
1	1	1	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	0	0	0
0	-1	-2	1
2	1	0	3

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	0
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Найдем ранг матрицы.

0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3
x1	x2	x3	x4

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	-1	-1
0	-1	-2	-1
2	1	0	-3
x1	x2	x3	x4

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
— x₃ = — x₄
— x₂ — 2x₃ = — x₄
2x₁ + x₂ = — 3x₄
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄, то есть нашли общее решение:
x₃ = x₄
x₂ = — x₄
x₁ = — x₄

Почему важно, что системы линейных уравнений решаются быстрее, чем множатся матрицы / Хабр

В 1998, когда Google только появился, его киллер-фичей был патентованный алгоритм PageRank для сортировки результатов поиска по популярности. Описанный стэнфордскими аспирантами Брином и Пейджем в научной статье, он сводится к очень простой идее:

—где — множество входящих ссылок на страницу , — число исходящих ссылок на этой странице, а — число страниц в интернете. Таким образом выражает вероятность оказаться на странице при случайном брожении по интернету, когда с вероятностью мы переходим на следующую страницу по случайно выбранной исходящей ссылке, и с вероятностью — закрываем текущую страницу и открываем случайно выбранную.

Разработав PageRank и основав Google, Брин и Пейдж бросили аспирантуру — дальнейшие математические изыскания им уже не были интересны. Однако вычисление PageRank ставит нетривиальную математическую задачу: у нас есть система из линейных уравнений с неизвестными. В 1998 исчислялся в миллионах, сегодня — в миллиардах. Как решать систему уравнений с десятком миллиардов неизвестных?

Все мы учили в школе алгоритм исключения неизвестных по одной: подставим выражение для во все остальные уравнения, получим систему из уравнений с неизвестными, и так далее. Этот метод решения системы уравнений прост как пробка, но у него есть пара проблем:

Во-первых, подстановка одного выражения в одно уравнение — это умножений рациональных чисел. Значит, полное исключение одной неизвестной — это умножений, а всё решение целиком — это умножений. Когда исчисляется в миллиардах, то последовательных умножений займут дольше, чем остаётся существовать нашей планете до того, как Солнце расширится и поглотит её. Дольше где-то в десять тысяч раз.

К счастью, на каждую страницу в интернете ведут совсем немного входящих ссылок — не миллиард и даже не миллион. На популярную статью в Википедии могут ссылаться десятки тысяч страниц, на эту статью на Хабре — хорошо если десятки. Иными словами, почти все коэффициенты в системе уравнений интернета — нули. Каждый ненулевой коэффициент подвергнется умножениям при подстановке содержащего его уравнения во все остальные. Если обозначить число ненулевых коэффициентов как , то всё решение потребует умножений; в худшем случае , но в случае интернета , и для всех умножений хватит десятка-другого тысяч лет компьютерного времени. Если построить распределённую систему из миллиона-другого серверов, как у Google, то система уравнений интернета решится за неделю. До распространения криптовалют можно было с уверенностью сказать, что большая часть вычислительных ресурсов планеты идёт на решение систем уравнений.

Во-вторых, решение последнего уравнения будет результатом цепочки из умножений и сложений рациональных чисел. Нам либо потребуется битов для точного представления этого результата (и каждого из промежуточных), либо результат каждой операции придётся округлять до значащих битов. Накапливающиеся так ошибки округления способны исказить решение системы уравнений до неузнаваемости. Google может довольствоваться неточными значениями PageRank, но математикам нужны хоть какие-то гарантии точности — например, что в найденных значениях неизвестных будет по стольку же верных битов, как в коэффициентах системы.

Из школьного метода решения системы уравнений большего не выжать. Первокурсников учат более продвинутому матричному методу: систему PageRank можно записать в виде

или в ещё более общем виде: , и тогда вектор неизвестных выражается как . Иными словами, решение системы уравнений сводится к обращению матрицы коэффициентов и умножению обратной матрицы на вектор свободных членов.

Сам по себе матричный метод не даёт по сравнению со школьным ни большей скорости, ни большей точности: для обращения матриц тем способом, которому учат студентов, требуются всё те же умножений коэффициентов. За рамками вузовской программы, однако, существуют более эффективные методы: с 2005 известен вероятностный, а с 2019 — детерминированный алгоритм точного решения системы уравнений за перемножений матриц , и открытым остаётся вопрос об оптимальном алгоритме перемножения матриц. Лобовой способ («строка на столбец») требует умножений; алгоритм Штрассена (1969) —; алгоритм Копперсмита—Винограда (1987) —; его усовершенствования (последнее в 2020) — до . Поскольку для любого , то множитель не влияет на итоговую асимптотическую сложность решения системы уравнений; она получается равной асимптотической сложности умножения матриц. Само по себе умножение матриц — настолько часто встречающаяся практическая задача, что поиск для неё оптимального алгоритма интересовал всех и безотносительно решения систем уравнений: например, усовершенствование в 2020 позволило уменьшить степень асимптотической сложности меньше чем на 0.00001, и всё равно считается важным достижением. Равенство сложности решения системы уравнений, т.е. обращения матрицы, со сложностью умножения матриц — принималось как данность: оптимизация решения одной из этих задач казалась равносильной оптимизации решения второй.

Для практических целей алгоритм Копперсмита—Винограда, и тем более его усовершенствованные варианты, неприменимы: такие алгоритмы прозвали «галактическими», потому что вся Земля слишком мала для хранения матриц таких размеров, на которых эти алгоритмы дадут выигрыш в скорости по сравнению с более простыми. На практике самым важным оказывается частный случай, когда перемножаемые или обращаемые матрицы разрежены — почти все их элементы равны нулю, как и в матрице PageRank. Алгоритм умножения разреженных матриц, опубликованный в 2005, требует операций, и обгоняет Копперсмита—Винограда при ; а вот для обращения разреженных матриц не было известно более эффективных алгоритмов, чем для произвольных. Отчасти это связано с тем, что матрица, обратная разреженной, сама не будет разреженной, и на практике её будет просто негде сохранить.

Недавно на Хабре была опубликована заметка (с байками про рога и копыта, но без объяснения технической стороны вопроса) о том, что оба названных «психологических барьера» сломлены Сантошем Вемпалой и Ричардом Пенгом — парой математиков из Технологического института Джорджии, чья работа на ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms в январе 2021 была признана лучшей из 637 поданных. Для системы уравнений с их алгоритм находит точное решение за операций, опережая степень асимптотической сложности умножения матриц на 0.04. Как мы помним, «школьный» метод исключения неизвестных по одной при условии приходит к ответу за операций, но не гарантирует точность найденных значений неизвестных. В основе нового алгоритма — вероятностный подход: значения неизвестных «угадываются», оценивается величина ошибки, и «угадывание» повторяется более прицельно. Таким образом, оценка сложности в относится к «наиболее вероятным» случаям, а не к худшим. Другое новшество в алгоритме — то, что на каждой итерации оцениваются сразу несколько случайных «догадок», что позволяет сократить общее число итераций и тем самым сдержать рост размера точных результатов.

Нужно понимать, что алгоритм Вемпалы и Пенга на одном из этапов пользуется алгоритмом Копперсмита—Винограда для умножения матриц — и поэтому новый алгоритм ещё более «галактический». Важность алгоритма Вемпалы и Пенга совсем не в практической применимости, а в доказательстве того, что сложность решения систем уравнений не ограничена сложностью умножения матриц, а значит, новые эффективные алгоритмы для решения разреженных систем уравнений стоит искать в других направлениях — и они гарантированно найдутся. Но ни новый алгоритм, ни другие математические достижения последнего полувека никак не повлияли на практически применимые способы решения систем уравнений: Google и все остальные так и продолжат пользоваться простым, быстрым и неточным итеративным способом.

---

Наши серверы можно использовать для любых вычислений.

Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!

Метод сложения в системе уравнений

23 октября 2015

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

\[\left\{ \begin{align}& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end{align} \right.\]

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

\[12x=24\]

Решаем простейшую конструкцию:

\[x=2\]

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[5\cdot 2-4y=22\]

\[10-4y=22\]

Решаем:

\[-4y=22-10\]

\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

\[y=-3\]

Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

Задача № 2

\[\left\{ \begin{align}& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end{align} \right. \]

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

\[0-10y=-30\]

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

\[y=3\]

Теперь давайте найдем $x$:

\[6x-11\cdot 3=-5\]

\[6x=-51+33\]

\[6x=-18\]

\[x=-3\]

Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=…,y=…$, или в виде координаты точек — $\left( …;… \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

\[\left\{ \begin{align}& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end{align} \right.\]

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

\[10x+6x-3y+3y=5+27\]

\[16x=32\left| :16 \right.\]

\[x=2\]

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

\[10\cdot 2-3y=5\]

\[20-5=3y\]

\[15=3y\]

\[y=5\]

Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

Задача № 2

\[\left\{ \begin{align}& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end{align} \right.\]

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

\[0+6y=-22+4\]

\[6y=-18\left| :6 \right.\]

\[y=-3\]

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

\[5x+6=-4\]

\[5x=-4-6\]

\[5x=-10\left| :5 \right.\]

\[x=-2\]

Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

\[\left\{ \begin{align}& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end{align} \right.\]

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

\[\left\{ \begin{align}& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end{align} \right.\]

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

\[37x=148\]

\[x=4\]

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[5\cdot 4-9y=38\]

\[20-9y=38\]

\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

\[y=-2\]

Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

Пример № 2

\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end{align} \right.\]

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end{align} \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

\[118x=-136\]

\[x=-2\]

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

\[-22+4y=-18\]

\[4y=4\]

\[y=1\]

Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end{align} \right.\]

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end{align} \right.\]

Вычитаем уравнения друг из друга:

\[0-15,5n=62\]

\[n=\frac{65}{-15,5}=-\frac{124}{31}=-4\]

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

\[4m+12=32\]

\[4m=20\]

\[m=5\]

Ответ: $n=-4;m=5$

Пример № 2

\[\left\{ \begin{align}& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end{align} \right.\]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

\[\left\{ \begin{align}& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end{align} \right.\]

Применяем метод вычитания:

\[15,5k=-31\]

\[k=-\frac{31}{15,5}=-\frac{62}{31}=-2\]

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p+10=2\]

\[2p=-8\]

\[p=-4\]

Ответ: $p=-4;k=-2$.

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

\[n=-4\]

\[m=5\]

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\{ \begin{align}& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end{align} \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

Первая:

\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

\[6x-3y+5=-2x-6y+4\]

\[6x-3y+2x+6y=4-5\]

\[8x+3y=-1\]

Вторая:

\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

\[6y+6-1=10x-5+8\]

\[6y-10x=-5+8-6+1\]

\[-10x+6y=-2\]

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

\[\left\{ \begin{align}& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

\[\left\{ \begin{align}& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

\[26x=0\]

\[x=0\]

Теперь найдем $y$:

\[3y=-1\]

\[y=-\frac{1}{3}\]

Ответ: $\left( 0;-\frac{1}{3} \right)$

Система № 2

\[\left\{ \begin{align}& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end{align} \right. \]

Преобразуем первое выражение:

\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

\[4a-12b-2a=3b+12-11\]

\[4a-12b-2a-3b=12-11\]

\[2a-15b=1\]

Разбираемся со вторым:

\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

\[4a-4b=2\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

\[\left\{ \begin{align}& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

\[\left\{ \begin{align}& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

Вычитаем из первой конструкции вторую:

\[0-26b=0\]

\[-26b=0\]

\[b=0\]

Теперь найдем $a$:

\[2a-0=1\]

\[a=\frac{1}{2}\]

Ответ: $\left( a=\frac{1}{2};b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Как решать квадратные уравнения
2. Тест к уроку «Десятичные дроби» (1 вариант)
3. Не пишите единицы измерения в задаче B12
4. Наибольшее и наименьшее значение
5. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений

		Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений Поделиться:    Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений. Понятие системы уравнений. Система уравнений — набор уравнений с несколькими неизвестными. Решение системы уравнений — совокупность значений неизвестных, обращающих каждое из уравнений системы в тождество. Решить систему уравнений — найти все её решения или доказать, что их нет. Система не имеющая решений решений, называется несовместной. Равносильные системы — системы, множества решений которых совпадают. Все несовместимые системы — равносильны. Свойства систем уравнений: Линейные системы уравнений с двумя неизвестными: Линейные системы уравнений с двумя переменными — это система вида: Прямые — графики уравнений системы пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение: Прямые — графики уравнений системы — параллельны. Система не имеет решений. Прямые — графики уравнений системы совпадают. Система имеет бесконечно много решений: Основные методы решения систем уравнений: Графический метод: 1. Построить в одной системе координат графики обоих уравнений: 2. Найти координаты точек пересечения графиков. Метод подстановки: 1. Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений. 2. Подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной переменной. 3. Найти корни уравнения с одной переменной. 4. Подставить найденные корни в выражение для первой переменной и получить ее значение. Метод сложения (вычитания): 1. Сложить почленно уравнения системы, предварительно умножив каждое из уравнений на такой множитель: 2. Найти корни уравнения с одной переменной. 3. Подставить найденные корни в любое из уравнений системы и получить уравнение с одной неизвестной. 4. Найти корни этого уравнения. Метод введения новых переменных: 1. Вместо исходных переменных x и y ввести такие новые переменные: чтобы система с ними стала проще. 2. Решить систему с новыми переменными. 3. Найти значения исходных переменных. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Система уравнений — Методы решения системы уравнений

В математике система уравнений, также известная как набор одновременных или система уравнений, представляет собой конечный набор уравнений, для которых мы искали общие решения. Система уравнений может быть классифицирована так же, как отдельные уравнения. Система уравнений находит применение в нашей повседневной жизни в задачах моделирования, где неизвестные величины могут быть представлены в виде переменных.

1.	Что такое система уравнений?
2.	Решения системы уравнений
3.	Решение системы уравнений
4.	Решение системы уравнений с использованием матриц
5.	Применение системы уравнений
6.	Часто задаваемые вопросы по системе уравнений

Что такое система уравнений?

В алгебре система уравнений состоит из двух или более уравнений и ищет общие решения уравнений. «Система линейных уравнений — это набор уравнений, которым удовлетворяет один и тот же набор переменных».

Пример системы уравнений

Система уравнений, описанная выше, представляет собой набор уравнений, которые ищут общее решение для включенных переменных. Следующий набор уравнений является примером системы уравнений,

• 2х — у = 12
• х — 2у = 48

Решения системы уравнений

Решение системы уравнений означает нахождение значений переменных, используемых в системе уравнений. Мы вычисляем значения неизвестных переменных, все еще уравновешивая уравнения с обеих сторон. Основная причина решения системы уравнений состоит в том, чтобы найти значение переменной, которое удовлетворяет условию всех заданных уравнений. У данной системы уравнений могут быть разные типы решений,

• Уникальное решение
• Нет решения
• Бесконечное множество решений

Единственное решение системы уравнений

Единственное решение системы уравнений означает, что существует только одно значение переменной или точка пересечения прямых, представляющих эти уравнения, при подстановке которых L. H.S и R.H.S всех заданных уравнений системы становятся равными.

Например, мы знаем, что линейное уравнение с одной переменной всегда будет иметь одно решение. Давайте поймем концепцию уникального решения, используя линейное уравнение с одной переменной, 4x = 8 имеет единственное решение x = 2, для которого LHS равно RHS.

Аналогично, для системы линейных уравнений с двумя переменными единственным решением является упорядоченная пара (x, y), которая удовлетворяет обоим уравнениям системы.

Нет решения

Система уравнений не имеет решения, если не существует точки, в которой прямые пересекаются друг с другом, или графики уравнений параллельны.

Бесконечное множество решений

Система уравнений может иметь бесконечное множество решений, если существует множество решений, состоящее из бесконечных точек, для которых левая и правая стороны уравнения становятся равными, или на графике прямые линии перекрывают друг друга.

Решение системы уравнений

Любую систему уравнений можно решить разными способами. Чтобы решить систему уравнений с 2 ​​переменными, нам нужно как минимум 2 уравнения. Аналогично, для решения системы уравнений с 3 переменными нам потребуется как минимум 3 уравнения. Давайте разберемся с тремя способами решения системы уравнений, если уравнения представляют собой линейные уравнения с двумя переменными.

• Метод замены
• Метод устранения
• Графический метод

Решение системы уравнений с помощью метода подстановки

Для решения системы уравнений с помощью метода подстановки, учитывая два линейных уравнения относительно x и y, выразите y через x в одном из уравнений, а затем подставьте его во второе уравнение. Рассмотрим

3x − y = 23 → (1)

4x + 3y = 48 → (2)

Из (1) получаем:

y = 3x − 23 → 3

Подставим y в (2 ),

4x + 3 (3x — 23) = 48

13x − 69 = 48

13x = 117

⇒x = 9

Теперь подставим x = 9 в (1)

y = 3 × 9 − 23 = 4

и, следовательно, x = 4

y = 4 является решением данной системы уравнений.

Решение системы уравнений с помощью метода исключения

Используя метод исключения для решения системы уравнений, мы исключаем одно из неизвестных, умножая уравнения на подходящие числа так, чтобы коэффициенты одной из переменных стали одинаковыми. Рассмотрим

2x + 3y = 4 → (1) и 3x + 2y = 11 → (2)

Коэффициенты y равны 3 и 2; LCM (3, 2) = 6

Умножая уравнение (1) на 2 и уравнение (2) на 3, мы получаем

4x + 6y = 8 → (3)

9x + 6y = 33 → (4)

Вычитая (3) из (4), получаем

5x = 25

⇒x = 5

Подставляя x = 5 в (2), получаем

15 + 2y = 11

⇒y = − 2

Следовательно, x = 5, y = −2 — решение.

Решение системы уравнений графическим методом

В этом методе решение одновременных уравнений получается путем построения их графиков. «Точка пересечения двух прямых есть решение системы уравнений графическим методом».

Пример: 3x + 4y = 11 и -x + 2y = 3

Найдите не менее двух значений x и y, удовлетворяющих уравнению 3x + 4y = 11

8

x	1	3
г	2	0,5

Итак, у нас есть 2 точки A (1,2) и B (3, (1/2)).

Аналогичным образом найдите не менее двух значений x и y, удовлетворяющих уравнению -x + 2y = 3

x	-3	3
у	0	3

У нас есть две точки C(-3, 0) и D(3, 3).
Нанеся эти точки на график, мы можем получить линии в координатной плоскости, как показано ниже.

Мы видим, что две линии пересекаются в (1,2). Итак, x = 1, y = 2 является решением данной системы уравнений. Методы I и II представляют собой алгебраический способ решения одновременных уравнений, а метод III — графический метод.

Решение системы уравнений с использованием матриц

Решение системы уравнений можно решить с помощью матриц. Чтобы решить линейное уравнение с помощью матриц, запишите данные уравнения в стандартной форме с переменными и константами на соответствующих сторонах. для данных уравнений,

a\(_1\)x + \(b_1\)y + \(c_1\)z = \(d_1\)

a\(_2\)x + \(b_2\)y + \(c_2\)z = \(d_2\)

a\(_3\)x + \(b_3\)y + \(c_3\)z = \(d_3\)

мы можем выразить их в виде вид матриц как,

\(\left[\begin{массив}{ccc}
а_1х+б_1у+с_1 з\
а_2х+б_2у+с_2 з\
a_3x + b_3y + c_3 z
\end{массив}\right] = \left[\begin{массив}{ccc}
д_1\
д_2\
д_3
\end{массив}\right]\)

⇒\(\left[\begin{массив}{ccc}
а_1&b_1&c_1\
а_2&b_2&c_2\
а_3 и б_3 и с_3
\end{массив}\right] + \left[\begin{массив}{ccc}
х\
у\
я
\end{массив}\right] = \left[\begin{массив}{ccc}
д_1\
д_2\
д_3
\end{массив}\right]\)

⇒ AX = B

Здесь

A = \(\left[\begin{array}{ccc}
а_1&b_1&c_1\
а_2&b_2&c_2\
а_3 и б_3 и с_3
\end{массив}\right]\), X = \(\left[\begin{массив}{ccc}
х\
у\
я
\end{массив}\right]\), B = \(\left[\begin{массив}{ccc}
д_1\
д_2\
д_3
\end{массив}\right]\)

⇒ X = A ^-1 B

Применение системы уравнений

Системы уравнений являются очень полезным инструментом и находят применение в нашей повседневной жизни для моделирования реальных жизненных ситуаций и анализа связанных с ними вопросов. Для применения понятия системы уравнений нам необходимо перевести данную ситуацию в два линейных уравнения с двумя переменными, затем далее решить, чтобы найти решение задач линейного программирования. Любой метод решения системы уравнений, подстановки, исключения, графические и т.п. методы. Следуйте приведенным ниже шагам, чтобы применить систему уравнений для решения проблем в нашей повседневной жизни,

• Чтобы перевести и представить заданную ситуацию в виде системы уравнений, выделить в задаче неизвестные величины, представить их переменными.
• Напишите систему уравнений, моделирующую условия задачи.
• Решите систему уравнений.
• Проверить и выразить полученное решение.

☛Статьи по теме

Проверьте эти статьи, связанные с концепцией системы уравнений.

• Уравнение
• Решения линейного уравнения
• Одновременные линейные уравнения
• Калькулятор решения линейных уравнений
• Калькулятор формул
• Калькулятор системы уравнений

Часто задаваемые вопросы о системе уравнений

Что такое система уравнений в математике?

Система уравнений в математике, также известная как совокупность одновременных уравнений или система уравнений, представляет собой конечную совокупность уравнений, для которых мы искали общие решения.

Как решить систему уравнений?

Решение системы уравнений вычисляет неизвестные переменные, все еще уравновешивая уравнения с обеих сторон. Решаем систему уравнений, чтобы найти значение переменной, удовлетворяющее условию истинности всех заданных уравнений. Существуют различные методы решения системы уравнений,

• Графический метод
• Метод замены
• Метод исключения
• Метод перекрестного умножения

Как создать систему уравнений с двумя переменными?

Чтобы составить систему уравнений с двумя переменными:

• Сначала определите две неизвестные величины в данной задаче.
• Затем найдите два заданных условия и уравнения системы координат для каждого из них.

С помощью этих двух шагов создается система уравнений с двумя переменными.

Как решить систему уравнений методом подстановки?

Метод подстановки — один из способов решения системы уравнений с двумя переменными по заданной системе линейных уравнений. В этом методе мы подставляем значение переменной, найденное одним уравнением, во второе уравнение.

Как решить систему уравнений методом исключения?

Метод исключения используется для решения системы линейных уравнений. В методе исключения мы исключаем одну из двух переменных и пытаемся решить уравнения с одной переменной.

Как решить систему уравнений графическим методом?

Чтобы решить систему уравнений, заданную системой линейных уравнений графически, нам нужно найти по крайней мере два решения для соответствующих уравнений. Мы наблюдаем за рисунком линий после построения точки, чтобы сделать вывод, является ли она последовательной, зависимой или непоследовательной. Если две прямые пересекаются в одной и той же точке, то эта точка дает единственное решение системы уравнений. Если две прямые совпадают, то в этом случае решений бесконечно много, а если две прямые параллельны, то в этом случае решения нет.

Как решить систему уравнений методом перекрестного умножения?

При решении системы уравнений методом перекрестного умножения числитель одной дроби умножается на знаменатель другой и знаменатель первого члена на числитель другого члена.

Как решить систему уравнений, используя 2 уравнения с 3 переменными?

Уравнение с 3 переменными представляет плоскость.

• Шаг 1) Чтобы решить систему из 2 уравнений с 3 переменными, скажем, x, y и z, мы рассмотрим первые два уравнения и исключим одну из переменных, скажем, x, чтобы получить новое уравнение.
• Шаг 2) Затем мы записываем вторую переменную, y, через z из нового уравнения и подставляем ее в третье уравнение.
• Шаг 3) Предполагая z = a, мы получим значения x и y также через a.
• Шаг 4) Зная значение a, мы можем найти значения x, y и z.

Сколькими способами можно решить систему уравнений?

Существует три основных метода решения системы уравнений:

• Метод замены
• Метод устранения
• Графический метод

Обзор системных решений | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Определите три возможных типа решений системы двух линейных уравнений.
• Используйте график, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтбордов, мы должны признать, что имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, с более чем одним уравнением. А система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное число решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальности решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y&=15\\[1mm] 3x-y&=5\end{align}[/latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными: любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс](4,7)[/латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы нахождения такого решения, если оно существует.

[латекс]\begin{align}2\left(4\right)+\left(7\right)&=15 &&\text{True} \\[1mm] 3\left(4\right)-\ left(7\right)&=5 &&\text{True} \end{align}[/latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. непротиворечивая система уравнений имеет хотя бы одно решение. Непротиворечивая система считается независимой системой , если она имеет единственное решение, как в примере, который мы только что рассмотрели. Две линии имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке плоскости. Непротиворечивая система считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые и -перехваты. Другими словами, прямые совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же прямую. Каждая точка на прямой представляет собой пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное множество решений.

Другим типом системы линейных уравнений является противоречивая система , в которой уравнения представляют две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные г- перехватов. Нет общих точек для обеих прямых; следовательно, система не имеет решений.

A Общее примечание: Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

• Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс]. Точка пересечения двух прямых является единственным решением.
• Несовместимая система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.
• Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приведено сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как: Имея систему линейных уравнений и упорядоченную пару, определить, является ли упорядоченная пара решением.

1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение в системе.
2. Определить, верны ли утверждения в результате замены в обоих уравнениях; если да, то упорядоченная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс] решением данной системы уравнений.

[латекс]\begin{align}x+3y&=8\\ 2x-9&=y \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\левый(8,5\правый)[/латекс] решением следующей системы.

[латекс]\begin{gathered}5x — 4y=20\\ 2x+1=3y\end{gathered}[/latex]

Показать решение

Решение систем уравнений с помощью графика

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив график системы уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью графика

Решите следующую систему уравнений с помощью графика. Определите тип системы.

[латекс]\begin{align}2x+y&=-8\\ x-y&=-1\end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с помощью графика.

[латекс]\begin{gathered}2x — 5y=-25 \\ -4x+5y=35 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать графики, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы, чтобы определить тип системы и решения. Если две прямые параллельны, то система не имеет решений и несовместна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечные решения и является зависимой системой.

Try IT

Постройте график трех разных систем с помощью онлайн-инструмента для построения графиков. Классифицируйте каждое решение как последовательное или непоследовательное. Если система непротиворечива, определите, зависима она или независима. Возможно, вам будет проще построить каждую систему по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс]5x-3y = -19[/латекс]
[латекс]x=2y-1[/латекс]

2)
[латекс]4x+y=11[/латекс]
[латекс ]-2y=-25+8x[/latex]

3)
[латекс]y = -3x+6[/latex]
[латекс]-\frac{1}{3}y+2=x[/ латекс]

Показать Показать Решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

5.3: Решение систем уравнений методом исключения

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

30523

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решать систему уравнений методом исключения
• Решение приложений систем уравнений методом исключения
• Выберите наиболее удобный способ решения системы линейных уравнений

Примечание

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Упростить −5(6−3a).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 1. 10.43.
2. Решите уравнение \(\frac{1}{3}x+\frac{5}{8}=\frac{31}{24}\).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 2.5.1.

Мы решили системы линейных уравнений с помощью графика и подстановки. Графики хорошо работают, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целые значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему подстановкой, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добраться туда.

Решение системы уравнений методом исключения

Метод исключения основан на свойстве сложения равенства. Свойство сложения равенства говорит о том, что, когда вы добавляете одно и то же количество к обеим частям уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство равенства сложения, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим частям уравнения, результаты равны.

Для любых выражений a , b , c и d ,

\[\begin{array}{lc} \text{ if } & a=b \\ \text { and } & c=d \\ \text { then } &a+c = b+d \end{array}\]

Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начинаем с обоих уравнений в стандартной форме. Затем мы решаем, какую переменную будет проще всего исключить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

\[\begin{массив}{l} 3x+y=5 \\ \underline{2x-y=0} \\ 5x\quad\quad=5\end{массив}\]

y прибавляем к нулю и получаем одно уравнение с одной переменной.

Попробуем другой:

\[\left\{\begin{array}{l}{x+4 y=2} \\ {2 x+5 y=-2}\end{array}\right .\]

На этот раз мы не видим переменную, которую можно сразу исключить, если добавить уравнения.

Но если мы умножим первое уравнение на −2, мы получим коэффициенты x противоположностей. Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на −2.

Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будут исключены, когда мы сложим эти два уравнения.

Сложите уравнения самостоятельно — результат должен быть −3 y = −6. И это кажется легко решить, не так ли? Вот как это будет выглядеть.

Сделаем еще один:

\[\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=10} \\ {3 x+5 y=-7}\end {массив}\справа.\]

Не похоже, что мы можем сделать коэффициенты одной переменной противоположными, умножив одно из уравнений на константу, если только мы не используем дроби. Поэтому вместо этого нам придется умножить оба уравнения на константу.

Мы можем сделать коэффициенты x противоположными, если умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, так что мы получим 12 x и -12 x .

Это дает нам два новых уравнения:

\[\left\{\begin{align} 12 x-9y &=30 \\-12 x-20 y &=28 \end{aligned}\right.\]

Когда мы складываем эти уравнения,

\[\[\left\{\begin{array}{r }{12 x-9 y=30} \\ {\underline{-12 x-20 y=28}} \\\end{array}\right.\\\quad\qquad {-29 y=58}\ ]\]

x исключены, и мы просто имеем −29 y = 58.

Получив уравнение только с одной переменной, мы решаем его. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную. И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы посмотрим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решали с помощью графика и подстановки.

Упражнение \(\PageIndex{1}\): Как решить систему уравнений методом исключения

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{array}\right.\)

Ответ

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{массив}}{l}{3 x+y=5} \\ {2 x-3 y=7}\end{массив}\right.\)

Ответить

(2,−1)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{4 x+y=-5} \\ {-2 x-2 y=-2}\end{array}\right.\)

Ответить

(−2,3)

Шаги перечислены ниже для удобства.

КАК РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ИСКЛЮЧЕНИЕМ.

1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробями, очистите их.
2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
   • Решите, какую переменную вы удалите.
   • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны.
3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
4. Найдите оставшуюся переменную.
5. Подставьте решение шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Сначала мы сделаем пример, в котором мы можем сразу исключить одну переменную.

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=10} \\ {xy=12}\end{array}\right. \)

Ответ

x – y = 12 becomes 11 – (-1) = 12 and 12 = 12. The figure then states, “The solution is (11, -1).»>

Оба уравнения имеют стандартную форму.
Коэффициенты и уже противоположны.
Сложите два уравнения, чтобы исключить y . Полученное уравнение имеет только 1 переменную, x .
Решите для x оставшейся переменной. Подставьте x = 11 в одно из исходных уравнений.
Найдите другую переменную, y .
Запишите решение в виде упорядоченной пары.	Упорядоченная пара (11, −1).
Убедитесь, что заказанная пара является решением 9от 0241 до оба исходных уравнения . \(\begin{array}{rllrll} x+y &=&10 &x-y&=&12\\ 11+(-1) &\stackrel{?}{=}&10 & 11-(-1) &\stackrel {?}{=}&12\\ 10 &=&10 \checkmark & ​​12 &=&12 \checkmark \end{массив}\)
	Решение (11, −1).

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Решить систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{2 x+y=5} \\ {xy=4}\end{array}\right.\)

Ответ

(3,−1)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=3} \\ {-2 xy=-1 }\end{массив}\right.\)

Ответ

(−2,5)

В упражнении \(\PageIndex{7}\) мы сможем сделать коэффициенты одной переменной противоположными, умножив одно уравнение на константу.

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=-2} \\ {5 x-6 y=10}\end{array}\right.\)

Ответ

” The two equations are -9x + 6y = 6 and 5x – 6y = 10. The figure then says, “Add the two equations in eliminate y.” The two equations added together becomes -4x = 16. The figure then says, “Solve for the remaining variable x.” Thus x = -4. The figure then instructs, “Substitute x = -4 into one of the original equations. Thus 3x – 2y = -2 becomes 3 times -4 – 2y = -2. The figure then instructs, “Solve for y.” The equation becomes -12 — 2y = 2 or -2y = 10. Thus y = -5. The figure then says, “Write the solution as an ordered pair. The ordered pair is (-4, -5).” The figure then says, “Check that the ordered pair is a solution to both original equations.” Thus 3x -2y = -2 becomes 3 times -4 — 2 times -5 = -2 or -12 +10 = -2 or -2y = -2. It also shows that 5x – 6y = 10 becomes 3 times -4 – 6 times -5 = 10 or -20 + 30 = 10. Thus 10 = 10. The figure then says, ‘The solutions is (-4, -5). «>

Оба уравнения имеют стандартную форму.
Ни один из коэффициентов не является противоположным.
Мы можем сделать коэффициенты y противоположными, умножив первое уравнение на −3.
Упрощение.
Сложите два уравнения, чтобы исключить y .
Найдите оставшуюся переменную, x . Замена x = −4 в одно из исходных уравнений.
Найдите y .
Запишите решение в виде упорядоченной пары.	Упорядоченная пара (−4, −5).
Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений. \(\begin{array}{rllrll} 3x-2y &=&-2 &5x-6y&=&10\\ 3(-4)-2(-5) &\stackrel{?}{=}&-2 & 5(-4)-6(-5) &\stackrel{?}{=}&10\\ -12+10&\stackrel{?}{=}&-2 &-20+30&\stackrel{?}{= }&10\\-2 &=&-2 \checkmark & ​​10 &=&10 \checkmark \end{массив}\)
	Решение: (−4, −5).

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=1} \\ {5 x-9 y =-4}\end{массив}\right.\)

Ответ

(1,1)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Решите систему методом исключения.\(\left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=2} \\ {6 x+5 y=8}\end{массив}\right.\)

Ответ

(−2,4)

Теперь сделаем пример, где нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=9} \\ {7 x+2 y=-6}\end{array}\right.\)

Ответ

В этом примере мы не можем умножить только одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на константу, чтобы получить противоположности.

The figure then says, “Both equations are in standard form. To get opposite coefficients of y, we will multiply the first equation by 2 and the second equation by 3.” It then shows the equations as 2 times (4x – 3y) = 2 times 9 and 3 times (7x + 2y) = 3 times -6. The figure then says, “Simplify.” The equations then become 8x – 6y = 18 and 21x + 6y = -18. The figure then says, “Add the two equations to eliminate y. After adding, the answer is 39x = 0. The figure then says, “Solve for x.” Thus, x = 0. The figure then reads, “Substitute x = 0 into one of the original equations.” Thus 7x +2y = -6 becomes 7 times 0 + 2y = -6. The figure then says, “Solve for y.” It then says, 2y = -6 and thus 2y = -3. The figure then reads, “Write the solution as an ordered pair. The ordered pair is (0, -3).” The figure then instructs, “Check that the ordered pair is a solution to both original equations. Thus 4x – 3y = 9 becomes 4 times 0 – 3 times -3 = 9 or 9 = 9. Thus 7x + 2y = -6 becomes 7 times 0 + 2 times -3 = -6 or -6 = -6. The figure then says, “The solution is (0, -3).”»>

Оба уравнения имеют стандартную форму. Чтобы получить противоположные коэффициенты y , мы умножим первое уравнение на 2 , а второе уравнение на 3.
Упрощение.
Добавьте два уравнения, чтобы исключить y .
Решить для x . Подставьте x = 0 в одно из исходных уравнений.
Найдите y .
Запишите решение в виде упорядоченной пары.	Упорядоченная пара (0, −3).
Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений. \(\begin{array}{rllrll} 4x-3y &=&9 &7x+2y&=&-6\\ 4(0)-3(-3) &\stackrel{?}{=}&9 & 7(0 )+2(-3) &\stackrel{?}{=}&-6\\9 &=&9 \checkmark & ​​-6 &=&-6 \checkmark \end{массив}\)
	Решение (0, −3).

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-4 y=-9} \\ {5 x+3 y=14}\end{array}\right.\)

Ответ

(1,3)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{массив}}{l}{7 x+8 y=4} \\ {3 x-5 y=27}\end{массив}\right.\)

Ответить

(4,−3)

Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на его ЖК-дисплей.

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2} y=6} \\ {\frac{3}{2} x+\frac{2}{3} y= \frac{17}{2}}\end{массив}\right.\)

Ответ

В этом примере оба уравнения содержат дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на его ЖК-дисплей, чтобы очистить дроби.

The figure then says, “Write the solution as an ordered pair. The ordered pair is (3, 6). The figure then says, “Check the ordered pair is a solution to both original equations. Thus x + (1/2)y = 6 becomes 3 + (1/2) times 6 = 6 or 3 + 6 = 6. Thus 6 = 6. The second equation is (3/2)x + (2/3)y = 17/2 or (3/2) times 3 + (2/3) times 6 = 17/2. This becomes 9/2 + 4 = 17/2 or 9/2 + 8/2 = 17/2. Thus 17/2 = 17/2. The figure then says, “The solution is (3, 6).”»>

Чтобы очистить дроби, умножьте каждое уравнение на его ЖК-дисплей.
Упрощение.
Теперь мы готовы удалить одну из переменных. Обратите внимание, что оба уравнения имеют стандартную форму.
Мы можем исключить y умножение верхнего уравнения на −4.
Упростить и добавить. Подставьте x = 3 в одно из исходных уравнений.
Найдите y .
Запишите решение в виде упорядоченной пары.	Заказанная пара (3, 6).
Убедитесь, что упорядоченная пара является решением — обоих исходных уравнений. \(\begin{array}{rllrll} x+\frac{1}{2}y &=&6 &\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y&=&\frac{17} {2}\\ 3+\frac{1}{2}(6) &\stackrel{?}{=}&6 &\frac{3}{2}(3) + \frac{2}{3}( 6)&\stackrel{?}{=}&\frac{17}{2}\\ 3 + 3 &\stackrel{?}{=}&6 & \frac{9}{2 }+4 &\stackrel{?}{=} & \frac{17}{2}\\ 6 &=&6 \checkmark & ​​\frac{9}{2} + \frac{8}{2} &\stackrel{?}{=} & \frac{17}{2}\\ && & \frac{17}{2} &=&\frac{17}{2} \checkmark \end{массив}\)
	Решение (3, 6).

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y=1} \\ {\frac{3}{4} xy= \frac{5}{2}}\end{массив}\right.\)

Ответить

(6,2)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{3}{5} y=-\frac{1}{5}} \\ {-\frac{1}{2} x- \frac{2}{3} y=\frac{5}{6}}\end{массив}\right.\)

Ответ

(1,−2)

В разделе «Решение систем уравнений с помощью графика» мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют в качестве решения одну упорядоченную пару. Когда два уравнения действительно представляли собой одну прямую, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные прямые, решения не было. Мы назвали это непоследовательной системой.

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Решите систему методом исключения.\(\left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {y=3- \frac{3}{4} x}\end{массив}\right.\)

Ответ

\(\begin{array} {ll} & \left\{\begin{align} 3 x+4 y &=12 \\ y &=3-\frac{3}{4} x \end{align} \right. \\\\\text{Запишите второе уравнение в стандартной форме.} & \left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {\frac{3}{ 4} x+y=3}\end{массив}\right.\\ \\ \text{Очистите дроби, умножив второе уравнение на 4.} & \left\{\begin{align} 3 x+4 y & =12 \\ 4\left(\frac{3}{4} x+y\right) &=4(3) \end{выравнивание}\right. \\\\ \text{Упрощение.} & \left\ {\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {3 x+4 y=12}\end{array}\right.\\\\ \text{Чтобы исключить переменную, мы умножьте второе уравнение на −1.} & \left\{\begin{array}{c}{3 x+4 y=12} \\ \underline{-3 x-4 y=-12} \end{array} \right.\\ &\qquad\qquad\quad 0=0 \\ \text{Упростить и добавить.} \end{массив}\)

Это верное утверждение. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики были бы одной линией. Система имеет бесконечно много решений.

После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, вы заметили, что два уравнения были одинаковыми? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{5 x-3 y=15} \\ {y=-5+\frac{5}{3} x}\end{array}\right.\ )

Ответить

бесконечно много решений

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=6} \\ {y=-\frac{1}{2} x+3}\end{array}\right.\)

Ответить

бесконечно много решений

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{массив}}{l}{-6 x+15 y=10} \\ {2 x-5 y=-5}\end{массив}\right. \)

Ответить

\(\begin{array} {ll} \text{Уравнения в стандартной форме.}& \left\{\begin{align}-6 x+15 y &=10 \\ 2 x-5 y &= -5 \end{aligned}\right. \\\\ \text{Умножьте второе уравнение на 3, чтобы исключить переменную.} & \left\{\begin{array}{l}{-6 x+15 y= 10} \\ {3(2 x-5 y)=3(-5)}\end{массив}\right. \\\\ \text{Упрощение и добавление.} & \left\{\begin{align} {-6 x+15 y =10} \\ \underline{6 x-15 y =-15} \end{выравнивание}\right.\\ & \qquad \qquad \quad0\neq 5 \end{array}\ )

Это утверждение неверно. Уравнения несовместимы, поэтому их графики будут параллельными линиями.

Система не имеет решения.

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Решите систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{-3 x+2 y=8} \\ {9 x-6 y=13}\end{array}\right.\)

Ответ

нет решения

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Решить систему методом исключения. \(\left\{\begin{array}{l}{7 x-3 y=-2} \\ {-14 x+6 y=8}\end{array}\right.\)

Ответить

нет решения

Решение приложений систем уравнений путем исключения

Некоторые прикладные задачи переводятся непосредственно в уравнения в стандартной форме, поэтому для их решения мы будем использовать метод исключения. Как и прежде, мы используем нашу Стратегию решения проблем, чтобы оставаться сосредоточенными и организованными.

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Сумма двух чисел равна 39. Их разница равна 9. Найдите эти числа.

Ответить

\(\begin{array} {ll} \textbf{Шаг 1. Прочтите}\text{ проблему}& \\ \textbf{Шаг 2. Определите} \text{ что мы ищем.} & \text{ Ищем два числа.} \\\textbf{Шаг 3. Имя} \text{ то, что ищем.} & \text{Пусть n = первое число.} \\ & \text{ m = второе number} \\\textbf{Шаг 4. Преобразуйте} \text{ в систему уравнений. }& \\ & \text{Сумма двух чисел равна 39.} \\ & n+m=39\\ & \text{Их разница равна 9.} \\ & n−m=9 \\ \\ \text{Система:} & \left\{\begin{ array}{l}{n+m=39} \\ {n-m=9}\end{массив}\right. \\\\ \textbf{Шаг 5. Решите} \text{ систему уравнений. } & \\ \text{Чтобы решить систему уравнений, используйте} \\ \text{исключение. Уравнения имеют стандартную} \\ \text{форму, а коэффициенты при m} & \\ \text{противоположны. Добавить.} & \left\{\begin{массив}}{l}{n+m=39} \\ \underline{nm=9}\end{массив}\right. \\ &\quad 2n\qquad=48 \\ \\\text{Найти n.} & n=24 \\ \\ \text{Подставить n=24 в одно из исходных} &n+m=39\\ \text{уравнения и форма решения.} & 24+m=39 \\ & m=15 \\ \textbf{Шаг 6. Проверьте}\text{ ответ.} & \text{Поскольку 24+15=39 и 24−15=9, ответы проверяются.}\\ \textbf{Шаг 7. Ответ} \text{ на вопрос.} & \text{Числа 24 и 15.} \end{массив}\)

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Сумма двух чисел равна 42. Их разница равна 8. Найдите числа.

Ответить

Цифры 25 и 17.

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Сумма двух чисел равна −15. Их разница составляет −35. Найдите числа.

Ответить

Числа -25 и 10.

Упражнение \(\PageIndex{25}\)

Каждый день по пути на работу Джо заходит в бургерную. В понедельник он заказал один средний картофель фри и две маленькие газированные напитки, в которых было в общей сложности 620 калорий. Во вторник у него было два заказа картофеля фри среднего размера и одна маленькая газировка, всего 820 калорий. Сколько калорий в одном заказе картофеля фри среднего размера? Сколько калорий в одной маленькой газировке?

Ответить

Name what we are looking for. Let f = the number of calories in 1 order of medium fries. s = the number of calories in 1 small soda. Step 4. Translate into a system of equations: one medium fries and two small sodas had a total of 620 calories. f + 2s = 620. Two medium fries and one small soda had a total of 820 calories. 2f + s = 820. Our syste is f + 2s = 620 and 2f + s = 820. Step 5. Solve the system of equations. To solve the system of equations, use elimination. The equations are in standard form. To get opposite coefficients of f, multiply the top equation by -2.” The equations are -2(f + 2s) = -2 times 620 and 2f + s =820. The figure then says, “Simplify and add.” Thus -2f – 4s = -1240 plus 2f + s = 820 equals -3s = -420. The figure then says, “Solve for s.” Thus s = 140. The figure then reads, “Substitute s = 140 into one of the original equations and then solve for f. Thus, f + 2s = 620 becomes f + 2 times 140 = 620 or f +280 = 620. Thus f = 340. The figure then reads, “Step 6. Check the answer. Verify that these numbers make sense in the problem and that they are solutions to both equations. We leave this to you! Step 7. Answer the question. The small soda has 140 calories and the fries have 340 calories.”»>

Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что мы ищем.	Ищем количество калорий в одном заказе среднего картофеля фри и в одной маленькой газировке.
Шаг 3. Назовите то, что мы ищем.	Пусть f = количество калорий в 1 порции среднего картофеля фри.   s = количество калорий в 1 маленькой газировке.
Шаг 4. Переведем в систему уравнений:	один средний картофель фри и две маленькие газированные напитки содержали всего 620 калорий
	у двух средних картошек фри и одной маленькой газировки было всего 820 калорий.
Наша система:
Шаг 5. Решить систему уравнений. Чтобы решить систему уравнений, используйте исключение . Уравнения представлены в стандартной форме . Чтобы получить противоположные коэффициенты f , , умножьте верхнее уравнение на -2.
Упростить и добавить.
Найдите s .
Подставьте s = 140 в одно из исходных уравнений и затем найдите f .
Шаг 6. Проверьте ответ.	Убедитесь, что эти числа имеют смысл в задаче и являются решениями обоих уравнений. Мы оставляем это вам!
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	В маленькой газировке 140 калорий, а в картофеле фри 340 калорий.

Упражнение \(\PageIndex{26}\) ​​

Малик останавливается в продуктовом магазине, чтобы купить пакет подгузников и 2 банки детского питания. Всего он тратит 37 долларов. На следующей неделе он останавливается и покупает 2 пакета подгузников и 5 банок со смесью на общую сумму 87 долларов. Сколько стоит мешок подгузников? Сколько стоит банка смеси?

Ответить

Пакет с подгузниками стоит 11 долларов, а банка со смесью — 13 долларов.

Упражнение \(\PageIndex{27}\)

Чтобы получить дневную норму фруктов, Саша съедает в среду банан и 8 ягод клубники, что составляет 145 калорий. В следующую среду она съедает два банана. и 5 ягод клубники, всего 235 калорий на фрукты. Сколько калорий в банане? Сколько калорий в клубнике?

Ответить

В банане 105 калорий, а в клубнике 5 калорий.

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

Когда вам придется решать систему линейных уравнений на последнем уроке математики, вам обычно не говорят, какой метод использовать. Вам нужно будет принять это решение самостоятельно. Таким образом, вы захотите выбрать метод, который проще всего сделать и сводит к минимуму вероятность ошибок.

Упражнение \(\PageIndex{28}\)

Для каждой системы линейных уравнений решите, как удобнее решать ее подстановкой или исключением. Поясните свой ответ.

1. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+8 y=40} \\ {7 x-4 y=-32}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{5 x+6 y=12} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.\ )

Ответить

1. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+8 y=40} \\ {7 x-4 y=-32}\end{array}\right.\)

Так как оба уравнения имеют стандартную форму, наиболее удобным будет использование метода исключения.

2. \(\left\{\begin{array}{l}{5 x+6 y=12} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right .\)

Так как одно уравнение уже решено для y , наиболее удобным будет использование подстановки.

Упражнение \(\PageIndex{29}\)

Для каждой системы линейных уравнений решите, удобнее ли решать ее подстановкой или исключением. Поясните свой ответ.

1. \(\left\{\begin{array}{l}{4 x-5 y=-32} \\ {3 x+2 y=-1}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{массив}}{l}{x=2 y-1} \\ {3 x-5 y=-7}\end{массив}\right.\)

Ответить

1. Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, наиболее удобным будет использование исключения.
2. Так как одно уравнение уже решено относительно xx, наиболее удобным будет использование подстановки.

Упражнение \(\PageIndex{30}\)

Для каждой системы линейных уравнений решите, как удобнее решать ее подстановкой или исключением. Поясните свой ответ.

1. \(\left\{\begin{array}{l}{y=2 x-1} \\ {3 x-4 y=-6}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{6 x-2 y=12} \\ {3 x+7 y=-13}\end{array}\right.\)

Ответить

1. Так как одно уравнение уже решено относительно yy, наиболее удобным будет использование подстановки;
2. Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, наиболее удобным будет использование метода исключения.

Note

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных уравнений методом исключения.

• Учебное видео по решению систем уравнений методом исключения
• Учебное видео-решение методом исключения
• Учебные видеосистемы для решения задач методом исключения

Основные понятия

• Решение системы уравнений методом исключения
  1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробями, очистите их.
  2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
     • Решите, какую переменную вы удалите.
     • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны.
  3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
  4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Подставьте решение шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
  6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Показать страницу Содержание

   да

   Включено

   да

2. Теги

   1. устранение
   2. источник[1]-math-15153

Объяснение решений систем уравнений! — Mashup Math

Это бесплатное пошаговое руководство научит вас всему, что вам нужно знать о решении систем математических уравнений.

Решение систем уравнений: все, что вам нужно знать

Решение систем уравнений может показаться пугающим, особенно когда на графике отображается более одного уравнения. Однако если вы умеете строить график функции на координатной плоскости или на графическом калькуляторе, то можете стать мастером решения систем уравнений.

Это руководство также включает в себя очень удобный решатель системы уравнений , который вы можете использовать для проверки своей работы и графического построения линейных систем на вашем компьютере.

Но сначала…

Если вам нужно освежить в памяти базовые навыки, необходимые для понимания того, как решать системы уравнений, вам могут пригодиться следующие бесплатные ресурсы по алгебре:

• Intro to Slope и форма y=mx+b (видео )

• Как построить линию в виде точки пересечения (видео)

• Краткое руководство по наклону: параллельные и перпендикулярные линии

цвета, чтобы различать различные функции (эта стратегия очень полезна для того, чтобы ваши мысли были организованы и предотвращали путаницу). Если вы используете миллиметровую бумагу, настоятельно рекомендуется использовать цветные маркеры или маркеры. Однако это только предложение, и вы все равно можете научиться решать системы уравнений с помощью ручки или карандаша.

 Вы готовы начать?

Система уравнений Определение

Система уравнений состоит из двух или более уравнений, которые используют одни и те же переменные.

 Например, вот система уравнений для двух линейных функций:

y = x + 1 & y=-2x + 1

 Обратите внимание, что оба эти уравнения показаны на графике на рис. 1. 

(Опять же, если вам нужно напомнить, как строить графики в форме y=mx+b , посмотрите этот краткий видеоурок)

Рисунок 1 (график предоставлен desmos.com/calculator)

Решением системы уравнений является точка (или точки), в которой пересекаются прямые.

 Итак, в этом примере решением системы уравнений является точка (0,1) , так как именно здесь пересекаются две линии.

Рисунок 2: Что общего между боями на световых мечах и линейными системами?

Каждая ли система уравнений имеет решение?

На самом деле существует три вида решений системы уравнений:

Рисунок 3

Основные выводы:

Одно решение: Системы пересекаются только в одной точке.

Нет решения: Линии параллельны и пересекаются (и никогда не будут)

Бесконечно много решений: Два или более одинаковых и перекрывающихся графа, которые пересекаются везде!

Запутались? Все нормально. Просто помните о трех типах решений, пока мы работаем с примерами каждого типа решений, которые помогут вам лучше понять, как решать системы линейных уравнений.

Пример 01: одно решение

Найдите решение следующей системы уравнений:

Первым шагом к решению этой системы уравнений является построение обеих линий следующим образом:

Обратите внимание, что ЕДИНСТВЕННАЯ точка пересечения этой системы уравнений находится в точке (2,5).

Помните, что (2,5) — это координата (x,y), где x=2 и y=5. Чтобы убедиться, что вы ответили правильно, вы можете подставить x=2 и y=5 в оба уравнения, чтобы увидеть, соответствует ли ваш ответ следующим образом.

Обратите внимание, что, поскольку эта система уравнений имеет только одно решение, (2,5) — единственная точка, которая будет работать. Вы можете попробовать заменить значения x и y на любую другую координату, и вы никогда не найдете другую подходящую.

Окончательный ответ: Решение (2,5)

Пример 02: Нет решения

Найдите решение следующей системы уравнений:

Как и в предыдущем примере, изобразите оба уравнения на координатной плоскости следующим образом:

Обратите внимание, что оба уравнения имеют одинаковый наклон (+5/4). Поскольку параллельных линий имеют одинаковый наклон , логично предположить, что линии графика параллельны друг другу. А, поскольку параллельных прямых никогда не пересекаются с , эти две прямые никогда не пересекутся, а значит, у этой системы уравнений нет решения.

Окончательный ответ: Нет решения (поскольку прямые параллельны)

Пример 03. Бесконечное множество решений

Найдите решение следующей системы уравнений:

Обратите внимание, что второе уравнение не находится в форме y=mx+b, поэтому вам придется перестроить его, чтобы изолировать y, прежде чем вы сможете построить график:

Изолируйте y, вычитая 3 с обеих сторон.

Что вы заметили?

Теперь у нас в системе два уравнения: y=-4x-3 и… y=-4x-3. После преобразования второго уравнения мы видим, что оба уравнения идентичны.

Что это означает для графика и решения нашей линейной системы? Давайте выясним это, построив первое уравнение (рисунок 5), а затем второе уравнение (рисунок 6)

Рисунок 5

Рисунок 6

Поскольку уравнения идентичны, линии наносятся друг на друга и пересекаются везде в каждой точке, через которую проходят обе линии.

Таким образом, каждая точка на прямой является решением, а поскольку на прямых имеется бесконечное число точек, эта система имеет бесконечное число решений.

Окончательный ответ: Бесконечно много решений

Когда вы впервые научитесь решать системы уравнений, мы рекомендуем использовать миллиметровую бумагу и линейку для построения графиков уравнений и поиска решения (и использовать подстановку для проверки своей работы, как мы делали в примере 01).

Однако после того, как вы освоите работу с системами уравнений, вы можете воспользоваться инструментом решения систем уравнений, например графическим калькулятором, для построения графиков линий и быстрого поиска точек пересечения.

Если у вас нет графического калькулятора, вы можете воспользоваться потрясающим БЕСПЛАТНЫМ калькулятором решения системы уравнений на сайте www.desmos.com/calculator.

*Обратите внимание, что для работы решателя систем уравнений Desmos необходимо вводить уравнения в форме y=.

Например, вы можете использовать Desmos Systems of Equations Solver, чтобы найти решение системы:

y=(3/5)x-8 & y=(-8/5)x+3

1.) Введите каждое уравнение в левый столбец

2.) Найдите точку пересечения (может потребоваться уменьшить масштаб)

3.) Нажмите на точку пересечения, чтобы найти координаты.

Решение (5,-5)

Скриншот Desmos. com/calculator

Видеоурок по системам уравнений

Если вы визуальный ученик и хотели бы просмотреть это пошаговое руководство по решению систем уравнений в качестве видеоурока, ознакомьтесь с этими бесплатными уроками:

Продолжайте учиться с помощью этих бесплатных руководств по математике:

Поделитесь своими идеями, вопросами и комментариями ниже!

(Never miss a Mashup Math blog—click here to get our weekly newsletter!)

By Anthony Persico

Anthony is the content crafter and head educator for YouTube’s  MashUp Math  . Вы часто можете увидеть, как я с радостью разрабатываю анимированные уроки математики, которыми я делюсь на моем канале YouTube  . Или проводить слишком много времени в тренажерном зале или играть на своем телефоне.

1 Комментарий

Системы линейных уравнений

Цели

1. Понять определение Rn и что означает использование Rn для обозначения точек на геометрическом объекте.
2. Картинки: решений систем линейных уравнений, наборы параметризованных решений.
3. Словарные слова: согласованные , несогласованные , набор решений .

В первой половине этого учебника мы будем в первую очередь заниматься пониманием решений систем линейных уравнений.

Определение

Уравнение с неизвестными x,y,z,… называется линейным , если обе части уравнения представляют собой сумму (постоянных) кратных x,y,z,… плюс необязательная константа.

Например,

3x+4y=2z-x-z=100

— это линейные уравнения, а

3x+yz=3sin(x)−cos(y)=2

нет.

Обычно мы переносим неизвестные в левую часть уравнения, а константы — в правую.

Система линейных уравнений представляет собой набор нескольких линейных уравнений, таких как

Ax+2y+3z=62x−3y+2z=143x+y−z=−2.(1.1.1)

Определение (наборы решений)

• Решение системы уравнений представляет собой список чисел x,y,z,. .., которые делают все уравнения истинными одновременно.
• Набор решений системы уравнений представляет собой совокупность всех решений.
• Решить систему означает найти все решения с формулами, включающими некоторое количество параметров.

Система линейных уравнений может не иметь решения. Например, не существует чисел x и y, для которых одновременно верны следующие два уравнения:

Сх+2у=3х+2у=-3.

В этом случае набор решений пуст . Поскольку это довольно важное свойство системы уравнений, оно имеет собственное название.

Определение

Система уравнений называется несовместимой , если она не имеет решений. Он называется последовательным иначе.

Решением системы уравнений с n переменными является список из n чисел. Например, (x,y,z)=(1,−2,3) является решением (1.1.1). Поскольку в этом тексте мы будем изучать решения систем уравнений, самое время закрепить наши представления о списках чисел.

Мы используем R для обозначения множества всех действительных чисел, т. е. числовой прямой. Он содержит такие числа, как 0,32,−π,104,…

.

Определение

Пусть n — целое положительное число. Определяем

Rn=все упорядоченные n-наборы вещественных чисел(x1,x2,x3,…,xn).

Набор из n действительных чисел называется точкой Rn.

Другими словами, Rn — это просто набор всех (упорядоченных) списков n действительных чисел. Через мгновение мы нарисуем Rn, но имейте в виду, что это определение . Например, (0,32,−π) и (1,−2,3) являются точками R3.

Пример (числовая строка)

Когда n=1, мы просто возвращаем R: R1=R. Геометрически это числовая линия.

−3−2−10123

Пример (евклидова плоскость)

Когда n=2, мы можем думать о R2 как о плоскости xy. Мы можем это сделать, потому что каждая точка на плоскости может быть представлена ​​упорядоченной парой действительных чисел, а именно ее координатами x и y.

(1,2)(0,−3)

Пример (3-пробел)

Когда n=3, мы можем думать о R3 как о пространстве , в котором мы (кажется) живем. Мы можем сделать это, потому что каждая точка в пространстве может быть представлена ​​упорядоченной тройкой действительных чисел, а именно ее x-, y- и z-координаты.

(1,−1,3)(−2,2,2)

Интерактив: Точки в трехмерном пространстве

Так что же такое R4? или Р5? или Рн? Их труднее визуализировать, поэтому вам придется вернуться к определению: Rn — это множество всех упорядоченных n-кортежей действительных чисел (x1,x2,x3,…,xn).

Они по-прежнему являются «геометрическими» пространствами в том смысле, что наша интуиция относительно R2 и R3 часто распространяется на Rn.

Мы дадим определения и сформулируем теоремы, которые применимы к любому Rn, но мы будем рисовать только для R2 и R3.

Сила использования этих пространств заключается в возможности обозначать различные интересующие объекты, такие как геометрические объекты и решения систем уравнений, точками Rn.

Пример (цветовое пространство)

Пример (поток трафика)

Пример (QR-коды)

В приведенных выше примерах было полезно с психологической точки зрения заменить список из четырех чисел (представляющих транспортный поток) или 841 числа (представляющих QR-код) одним фрагментом данных: точкой в ​​некотором Rn. Это мощная концепция; начиная с раздела 2.2, мы почти исключительно будем записывать решения систем линейных уравнений таким образом.

Перед обсуждением того, как решить систему линейных уравнений ниже, будет полезно увидеть некоторые изображения того, как эти наборы решений выглядят геометрически.

Одно уравнение с двумя переменными

Рассмотрим линейное уравнение x+y=1. Мы можем переписать это как y=1−x, что определяет линию на плоскости: наклон равен −1, а точка пересечения с осью x равна 1.

Определение (линии)

Для наших целей линия — это луч, который прямой и бесконечный в обоих направлениях.

Одно уравнение с тремя переменными

Рассмотрим линейное уравнение x+y+z=1. Это неявное уравнение для плоскости в пространстве.

Определение (плоскости)

Плоскость представляет собой плоский лист, бесконечный во всех направлениях.

Два уравнения с двумя переменными

Теперь рассмотрим систему двух линейных уравнений

Сх-3у=-32х+у=8.

Каждое уравнение индивидуально определяет линию на плоскости, показанную ниже.

Решением системы обоих уравнений является пара чисел (x,y), которая делает оба уравнения истинными одновременно. Другими словами, это как точка, лежащая одновременно на обеих прямых. На картинке выше видно, что есть только одна точка пересечения прямых: следовательно, эта система имеет ровно одно решение. (Это решение (3,2), как может убедиться читатель.)

Обычно две линии на плоскости пересекаются в одной точке, но, конечно, это не всегда так. Рассмотрим теперь систему уравнений

Сх-3у=-3х-3у=3.

Они определяют параллельных линий на плоскости.

Тот факт, что линии не пересекаются, означает, что система уравнений не имеет решения. Конечно, это легко увидеть алгебраически: если x−3y=−3, то не может быть и так, что x−3y=3.

Есть еще одна возможность. Рассмотрим систему уравнений

Сх-3у=-32х-6у=-6.

Второе уравнение кратно первому, поэтому эти уравнения определяют та же строка в самолете.

В этом случае существует бесконечно много решений системы уравнений.

Два уравнения с тремя переменными

Рассмотрим систему двух линейных уравнений

Вх+у+г=1х-г=0.

Каждое уравнение индивидуально определяет плоскость в пространстве. Решениями системы обоих уравнений являются точки, лежащие на обеих плоскостях. На картинке ниже мы видим, что плоскости пересекаются по прямой. В частности, эта система имеет бесконечно много решений.

Рисунок 21. Плоскости, определяемые уравнениями x+y+z=1 и x−z=0, пересекаются по красной линии, которая является набором решений системы обоих уравнений.

Согласно этому определению, решение системы уравнений означает запись всех решений в терминах некоторого числа параметров. Мы дадим систематический способ сделать это в разделе 1.3; пока мы даем параметрические описания в примерах предыдущего пункта.

строк

Рассмотрим линейное уравнение x+y=1 из этого примера. В этом контексте мы называем x+y=1 числом 9.0438 неявное уравнение линии. Мы можем записать ту же строку в параметрической форме следующим образом:

(x,y)=(t,1−t)для любого t∈R.

Это означает, что каждая точка на прямой имеет вид (t,1−t) для некоторого действительного числа t. В этом случае мы называем t параметром , так как он параметризует точек на линии.

t=0t=1t=−1

Теперь рассмотрим систему двух линейных уравнений

Вх+у+г=1х-г=0

этого примера. В совокупности они образуют неявных уравнений для линии в R3. (Для определения линии в пространстве необходимы как минимум два уравнения. ) Эта линия также имеет параметрическую форму с одним параметром t:

(х, у, г) = (т, 1-2т, т).

Рисунок 24. Плоскости, определяемые уравнениями x+y+z=1 и x−z=0, пересекаются по желтой линии, которая параметризуется выражением (x,y,z)=(t,1−2t,t). Переместите ползунок, чтобы изменить параметризованную точку.

Обратите внимание, что в каждом случае параметр t позволяет нам использовать R до метка точек на линии. Однако ни одна из прямых не совпадает с числовой прямой R: действительно, каждая точка первой строки имеет две координаты, например точка (0,1), а каждая точка второй строки имеет три координаты, например (0,1 ,0).

Самолеты

Рассмотрим линейное уравнение x+y+z=1 из этого примера. Это неявное уравнение плоскости в пространстве. Эта плоскость имеет уравнение в параметрической форме : мы можем записать каждую точку на плоскости как

(x,y,z)=(1−t−w,t,w)для любого t,w∈R.

В данном случае нам нужны два параметра t и w для описания всех точек на плоскости.

Рисунок 26. Плоскость в R3 определяется уравнением x+y+z=1. Эта плоскость параметризуется двумя числами t,w; переместите ползунки, чтобы изменить параметризованную точку.

Обратите внимание, что параметры t,w позволяют нам использовать R2 для меток точек на плоскости. Однако эта плоскость , а не , такая же, как плоскость R2: действительно, каждая точка на этой плоскости имеет три координаты, как и точка (0,0,1).

При наличии единственного решения, как в этом примере, нет необходимости использовать параметры для описания набора решений.

Комментарии, исправления или предложения? (Требуется бесплатная учетная запись GitHub)

Как найти решение системы уравнений

Как найти решение системы уравнений — Алгебра 1

—>

• Войти
• Биографии репетитора
• Подготовка к тесту

  СРЕДНЯЯ ШКОЛА

  • ACT Репетиторство
  • SAT Репетиторство
  • Репетиторство PSAT
  • ASPIRE Репетиторство
  • ШСАТ Репетиторство
  • Репетиторство STAAR

  ВЫСШАЯ ШКОЛА

  • MCAT Репетиторство
  • Репетиторство GRE
  • Репетиторство по LSAT
  • Репетиторство по GMAT

  К-8

  • Репетиторство AIMS
  • Репетиторство по HSPT
  • Репетиторство ISEE
  • Репетиторство ISAT
  • Репетиторство по SSAT
  • Репетиторство STAAR

  Поиск 50+ тестов

• Академическое обучение

  репетиторство по математике

  • Алгебра
  • Исчисление
  • Элементарная математика
  • Геометрия
  • Предварительное исчисление
  • Статистика
  • Тригонометрия

  репетиторство по естественным наукам

  • Анатомия
  • Биология
  • Химия
  • Физика
  • Физиология

  иностранные языки

  • французский
  • немецкий
  • Латинский
  • Китайский язык
  • Испанский

  начальное обучение

  • Чтение
  • Акустика
  • Элементарная математика

  прочие

  • Бухгалтерский учет
  • Информатика
  • Экономика
  • Английский
  • Финансы
  • История
  • Письмо
  • Лето

  Поиск по 350+ темам

• О
  • Обзор видео
  • Процесс выбора наставника
  • Онлайн-репетиторство
  • Мобильное обучение
  • Мгновенное обучение
  • Как мы работаем
  • Наша гарантия
  • Влияние репетиторства
  • Обзоры и отзывы
  • Освещение в СМИ
  • О преподавателях университета

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все ресурсы по алгебре 1

10 диагностических тестов 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 Следующая →

Алгебра 1 Справка » Уравнения / Неравенства » Системы уравнений » Уравнения/наборы решений » Как найти решение системы уравнений

Куб имеет объем . Если его ширина  , длина  и высота  , найдите .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Поскольку рассматриваемый объект является кубом, все его стороны должны быть одинаковой длины. Следовательно, чтобы получить объем  , каждая сторона должна быть равна кубическому корню из , который равен  см.

Затем мы можем установить каждое выражение равным .

Первое выражение  может быть решено либо  или , но два других выражения делают очевидным, что решение .

Сообщить об ошибке

Решите систему для  и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Самый простой метод решения систем уравнений состоит в том, чтобы преобразовать одно из уравнений таким образом, чтобы оно допускало сокращение переменной. В этом случае мы можем умножить на , чтобы получить .

 Тогда мы можем добавить к этому уравнению доходность , так что .

Мы можем подставить это значение в любое из исходных уравнений; Например, .

Итак, тоже.

Сообщить об ошибке

Каково решение следующей системы уравнений:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

4 903

Объяснение:

Решив одно уравнение для и заменив это выражение в другом уравнении, вы получите уравнение только с 1 переменной, которое легко решить.

Сообщить об ошибке

Решите эту систему уравнений для :

 

Возможные ответы:

Ни один из других вариантов не является правильным.

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножьте нижнее уравнение на 5, затем добавьте к верхнему уравнению:

Отчет о ошибке

Решите эту систему уравнений для:

Возможные ответы:

Ни один из других выборов.

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножьте верхнее уравнение на :

Теперь добавить:

Отчет о ошибке

Решите эту систему уравнений для:

Возможные ответы:

. .

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножьте верхнее уравнение на:

Теперь добавить:

Отчет Ошибка

Найдите решение для следующей системы уравнений.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту систему уравнений, используйте подстановку. Во-первых, преобразовать второе уравнение, чтобы изолировать .

Затем подставьте  в первое уравнение для .

Объедините члены и решите для .

Теперь, когда мы знаем значение , мы можем решить, используя наше предыдущее уравнение подстановки.

Сообщить об ошибке

Найдите решение для следующей системы уравнений:

Возможные ответы:

нет решения

бесконечно много решений 9000

Правильный ответ:

нет решения

Объяснение:

Когда мы складываем два уравнения, переменные  и  сокращаются, и мы получаем:

  , что означает, что для этой системы нет решения.

Отчет о ошибке

Решение для:

Возможные ответы:

Ни один из других ответов

Правильный ответ:

Правильный ответ:

Правильный ответ:

Правильный ответ:

0168

Объяснение:

Сначала объедините одинаковые термины, чтобы получить . Затем вычтите 12 и с обеих сторон, чтобы отделить целые числа от , чтобы получить . Наконец, разделите обе части на 3, чтобы получить .

Сообщить об ошибке

У нас есть две линейные функции:

Найдите координату, по которой они пересекаются.

Возможные ответы:

ни один из этих

Правильный ответ:

Пояснение:

Дана следующая система уравнений:

Требуется найти  и . Мы можем решить это с помощью метода замены. Сначала подставьте второе уравнение в первое, чтобы получить

Решите, прибавив 4x к обеим сторонам

Добавьте 5 к обеим сторонам

Разделить на 7

Итак. Используйте это значение, чтобы найти, используя одно из уравнений из нашей заданной системы уравнений.

No related posts.