Системы и неравенства: Системы неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

2-x-2 \le 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} (x+1)(x-2) \le 0 \\ x \ge 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -1 \le x \le 2\\x \ge 0 \end{array} \right.} \iff 0 \le x \le 2 $$

$x \in [0;2]$

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Примеры

Пример 1. Решите систему неравенств:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+3}{x-1} \gt \frac{x-2}{x+4} \\ 2x+5 \lt x+7 \end{array} \right. 2-3x+2)}{(x-1)(x+4)} \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{4x+10}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{4(x+2,5)}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2,5}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2\end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-4;-2,5) \cup (1;2)$

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} \ge 2 \\ 3(x+2) \gt 4x \end{array} \right.}$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} \ge 2 \\ 3(x+2) \gt 4x\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} -2 \ge 0 \\ 3x+6 \gt 4x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1-2(x-4)}{x-4} \ge 0 \\ 6 \gt 4x-3x\end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3x+9}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3(x+3)}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right. 2-10x+21} \gt 0 $

Разложим знаменатель на множители. Неравенство строгое, поэтому уберём скобку с чётной степенью в числителе и добавим требование неравенства корню в систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2(x+2,5)}{(x-7)(x-3)} \gt 0 \\x \neq 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2,5}{(x-7)(x-3)} \gt 0 \\x \neq 1 \end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-2,5;1) \cup (1;3) \cup (7;+\infty) $

Пример 3. Решите двойные неравенства:

$а) -1 \le \frac{x+5}{x-3} \le 3$

Запишем и решим систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+5}{x-3} ≥ -1\\ \frac{x+5}{x-3} ≤ 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x+5}{x-3} +1 ≥ 0 \\\frac{x+5}{x-3} -3 ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x+5+x-3}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{x+5-3x+9}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2x+2}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{-2x+14}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right. 2-4 \cdot 1 \cdot (-9) = 16+36 = 52, x_{1, 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{13}}{2} = 2 \pm \sqrt{13} $$

Ответ: $x \in (-\infty;-5) \cup [2-\sqrt{13};-1) \cup [2+\sqrt{13};+\infty) $

Системы неравенств — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Исследование. Если альпинисты увеличат скорость на 1км/ч, то путь 4 км до вершины они преодолеют быстрее чем за 2 часа. Если же они уменьшат скорость на 1 км/ч, то не смогут добраться до вершины за 2 часа. С какой скоростью движутся альпинисты? Решение: Примем за

Если скорость увеличится на 1 км/ч, то длина пройденного пути будет больше 4-х км и соответствующее неравенство примет вид:

Если скорость уменьшится на 1 км/ч, то длина пройденного пути будет меньше 4-х км и соответствующее неравенство примет вид:

По условию задачи нужно найти такое значение , которое удовлетворяло бы каждому из неравенств:

Неравенства, объединенные союзом записывают с помощью фигурной скобки и говорят, что они образуют систему неравенств.

В данной задаче нужно решить систему неравенств

Если каждое неравенство системы заменить на равносильное неравенство, то получим Изобразим на числовой прямой множество решений неравенств, входящих в систему, и найдем их пересечения (общую часть).

Для того, чтобы решить систему неравенств нужно найти множество решений каждого неравенства и найти пересечение этих множеств, то есть, общую часть.

Ответ: Решение системы промежуток .

Совокупность неравенств

Задача. Наргиз и Эльшан играют в игру, построенную на числах. Каждый берег карточку с числом и прибавляет к нему 5. Если ответ будет меньше 10-ти или же больше 15-ти, то владелец карточки зарабатывает очко. Выразите с помощью неравенства ситуацию, когда Эльшан взяв одну карточку заработал очко.

Решение: Пусть число на карге будет . Требуемую ситуацию можно выразить неравенствами или . Союз «или» и соответствующие неравенства записываются с помощью скобки и образуют совокупность неравенств. Чтобы решить совокупность неравенств, нужно найти множество решений каждого неравенства, а потом найти объединение этих множеств. Решим:

Решением данной совокупности неравенств будет множество: .

Пример.

Решите неравенство:

Решение: Для того, чтобы произведение двух множителей было положительным, нужно чтобы множители были одинакового знака. То есть, множители и должны быть или оба положительными, или отрицательными.

Данное неравенство сводится к решению совокупности:

Решение 1-ой системы совокупности:

Геометрическое изображение:

Решение 2-ой системы совокупности:

Геометрическое изображение:

Решением данной совокупности будет

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Система неравенств, совокупность неравенств

Пример 2.

Решение:

Пример 3.

Решение:

Линейные неравенства с двумя переменными

Неравенства вида называются линейными неравенствами с двумя переменными. Решением неравенства называется пара , обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство. С помощью графика линейного уравнения в прямоугольной системе координат можно показать все решения линейного неравенства с двумя переменными. Например, покажем множество решений неравенства с помощью графика линейного уравнения с двумя переменными. График уравнения образует линию границы.

• Чтобы убедиться в правильности выбора полуплоскости, соответствующей решению неравенства, выбираются пробные точки в каждой из полуплоскостей. Закрашивается та полуплоскость, в которой расположена точка, удовлетворяющая данному неравенству.

• Если неравенство выражается знаками то множество точек, образующих линию границы, не принадлежат множеству решений и график уравнения изображается пунктирной линией.

• Если неравенство выражается знаками то множество точек образующих линию границы принадлежат графику и изображаются сплошной линией

Пример 1.

1. Решим неравенство относительно переменной :

2. Нарисуем график уравнения пунктирной линией.

3. Проверим неравенство в точке . Левая часть неравенства: Правая часть: 0. Неравенство неверное. Значит, должна быть закрашена не та полуплоскость, в которой находится точка , а другая.

Пример 2. Напишите неравенство, соответствующее графику.

1. Определим уравнение граничной линии. График пересекает ось в точке . Значит, . По точке графика можно определить, что . То есть из уравнения по координатам точки получим

Уравнение линии границы: . Так как линия границы нарисована пунктирами, то точки принадлежащие уравнению , не входят во множество решений неравенства. Выберем пробную точку из закрашенной части и проверим. Левая часть: , правая часть

Левая часть правой части, значит, То есть, закрашенная часть на рисунке является множеством решений неравенства .

• Заказать решение задач по высшей математике

Прикладные задания.

Пример 1. Билет в театр для взрослых стоит 16 манат, а детский — 4 манат. Деньги, вырученные от продажи билетов в кассе, составляют не более 160 манат. Определите различные варианты количества проданных билетов. Числовые информации и переменные, соответствующие условию задачи:

Математическая запись:

1. Чтобы решить неравенство, выразим из уравнения , получим и построим график полученной линейной функции. Количество билетов не может быть отрицательным числом. Поэтому достаточно построить график только в I четверти. Определим точки пересечения графика с осями координат: и . Соединим эти точки отрезком прямой.

2. Закрасим фигуру, заданную графиком и осями координат.

3. Любые целые значения и , взятые из закрашенной части, являются решением этого неравенства. Точка соответствует случаю, когда все билеты были куплены для детей, а точка случаю, когда все билеты были куплены для взрослых. А также любая точка, взятая из закрашенной части удовлетворяет неравенству

Системы линейных неравенств с двумя переменными

Решением системы линейных неравенств с двумя переменными называется множество пар чисел , которые удовлетворяют каждому неравенству системы. На примере покажем графическое решение системы линейных неравенств.

Пример 1.

1. С помощью граничной прямой построим график, соответствующий неравенству , а соответствующую площадь представим голубыми линиями.

2. С помощью уравнения построим график, соответствующий неравенству а соответствующую площадь представим красными линиями.

3. Множеством решений данной системы неравенств будет часть плоскости, закрашенная обоими цветами.

4. Выберем отсюда одну точку, например , и проверим, удовлетворяют ли координаты системе неравенств:

Каждая пара из закрашенной обоими цветами части является решением данных неравенств системы. Согласно условиям неравенств граничные линии тоже принадлежат решению системы, поэтому они нарисованы сплошными линиями.

Пример 2. Изобразите графически на координатой плоскости неравенство

1. Запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:

2. Изобразим неравенство графически: Нарисуем на координатной плоскости пунктирной линией прямую, соответствующую уравнению Все точки полуплоскости, расположенные правее от этой прямой будут решениями неравенства

3. Изобразим неравенство графически: прямую, соответствующую уравнению , нарисуем в прямоугольной системе координат пунктирной линией. Все точки полуплоскости, расположенные левее от этой прямой будут решениями неравенства .

4. Часть плоскости, соответствующая неравенствам изображает решение неравенства на координатной плоскости. не принадлежат графику.

5. Проверка: проверим в точке

График системы линейных неравенств, соответствующий реальным жизненным ситуациям, в большинстве случаев строится в первой четверти координатной плоскости.

Пример 3. На одном из двух конвейеров производят кастрюли из нержавеющей стали, а на другом медные кастрюли. Если каждый из конвейеров работает на полную мощность, то ежедневно производится не более 300 кастрюль. Так как потребность в кастрюлях из нержавеющей стали больше, их ежедневно производят больше чем медных, но не меньше 150 штук. Напишите систему неравенств, показывающую ежедневное количество производимых кастрюль, и изобразите графически.

Решение: 1) Примем за — количество кастрюль из нержавеющей стали; за количество медных кастрюль. Согласно условию задачи, можно написать следующую систему неравенств.

2) Решение неравенства изображает прямая и часть полуплоскости, расположенная ниже этой прямой. Решение неравенства изображает прямая и часть полуплоскости, расположенная ниже этой прямой. Решением системы является часть плоскости, закрашенная двумя цветами и охватывающая решения соответствующих обоих неравенств, включая граничные прямые.

3. С помощью пробной точки проверим систему неравенств.

Решение системы неравенств найдено верно.

Системы неравенств в 9 классе по алгебре, урок и презентация, примеры решения онлайн

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Системы неравенств (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса «Правила и упражнения по геометрии»
Электронное учебное пособие «Понятная геометрия» для 7-9 классов

---

Система неравенств

Ребята, вы изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике – система неравенств. Система неравенств похожа на систему уравнений. Вы помните системы уравнений? Системы уравнений вы изучали в седьмом классе, постарайтесь вспомнить, как вы их решали.

Введем определение системы неравенств.
Несколько неравенств с некоторой переменой х образуют систему неравенств, если нужно найти все значения х, при которых каждое из неравенств образует верное числовое выражение.

Любое значение x, при которых каждое неравенство принимает верное числовое выражение, является решением неравенства. Также может называться и частным решением.
А что есть частное решение? Например, в ответе мы получили выражение х>7. Тогда х=8, или х=123, или какое-либо другое число большее семи – частное решение, а выражение х>7 – общее решение. Общее решение образуется множеством частных решений.

Как мы объединяли систему уравнений? Правильно, фигурной скобкой, так вот с неравенствами поступают также. Давайте рассмотрим пример системы неравенств: $\begin{cases}x+7>5\\x-3

Если система неравенств состоит из одинаковых выражений, например, $\begin{cases}x+7>5\\x+7

Так, что же значит: найти решение системы неравенств?
Решение неравенства – это множество частных решений неравенства, которые удовлетворяют сразу обоим неравенствам системы.

Общий вид системы неравенств запишем в виде $\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\end{cases}$

Обозначим $Х_1$ – общее решение неравенства f(x)>0.
$Х_2$ – общее решение неравенства g(x)>0.
$Х_1$ и $Х_2$ – это множество частных решений.
Решением системы неравенств будут числа, принадлежащие, как $Х_1$, так и $Х_2$.
Давайте вспомним операции над множествами. Как нам найти элементы множества, принадлежащие сразу обоим множествам? Правильно, для этого есть операция пересечения. Итак, решением нашего неравенство будет множество $А= Х_1∩ Х_2$.

Примеры решений систем неравенств

Давайте посмотрим примеры решения систем неравенств.

Решите систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x-1>2\\5x-10 b) $\begin{cases}2x-4≤6\\-x-4

Решение.
а) Решим каждое неравенство отдельно.

$3х-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10

Отметим наши промежутки на одной координатной прямой.

Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым.
Ответ: (1;3).

б) Также решим каждое неравенство отдельно.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5$.
$-x-4-5$.

Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Второе неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым слева. 2+36

Система неравенств | Brilliant Math & Science Wiki

Энди Хейс, Кристофер Уильямс, Чимин Хим, а также

способствовал

Содержимое

• Определения и обозначения
• Системы неравенств — одна переменная
• Системы линейных неравенств с двумя переменными
• Системы нелинейных неравенств с двумя переменными

Системы неравенств во многом следуют тем же обозначениям, что и линейные неравенства.

• >>> является символом больше . Количество слева от символа больше, чем количество справа.

• <<< — это символ меньше . Количество слева от символа меньше количества справа.

• ≥\ge≥ — это символ , больший или равный . Количество слева от символа либо больше количества справа, либо равно количеству справа.

• ≤\le≤ — это символ , меньший или равный . Количество слева от символа либо меньше количества справа, либо равно количеству справа.

• ≠\ne​= — это символ , не равный . Количество слева от символа не равно количеству справа.

Обозначения неравенства читаются слева направо, например, 2>12>12>1, два больше единицы.

Системы неравенств используют некоторые обозначения из множеств.

Пересечение двух неравенств содержит числа, удовлетворяющие обоим неравенствам. Он обозначается символом ∩\cap∩ между двумя неравенствами:

x>−2 ∩ x≤5. x>-2\ \cap\ x \le 5.x>−2 ∩ x≤5.

В случае пересечений, которые дают значения переменной, находящиеся между двумя числами, xxx может быть записано между символами неравенства. Следующий пример эквивалентен приведенному выше примеру:

−2

Пересечение неравенств также иногда обозначается левой фигурной скобкой {\{{, помещаемой слева от неравенств. Это чаще встречается, когда система неравенств состоит из двух или более переменных:

{y<2x−3y≥3.\begin{cases} y<2x-3 \\ y\ge 3. \end{cases} {y<2x−3y≥3.​

Объединение двух неравенств содержит числа, удовлетворяющие первому или второму неравенству. Он обозначается символом ∪\cup∪ между двумя неравенствами:

x<0 ∪ x>6.x<0\ \cup\ x>6.x<0 ∪ x>6.

Набор решений системы неравенств часто записывается в нотации построителя набора :

{x∣x<0 ∪ x>6},\{x \mid x<0\ \cup\ x>6\},{x∣x<0 ∪ x>6},

, который гласит: «Набор всех xxx таких, что xxx меньше 0 или xxx больше 6».

Системы неравенств можно также обозначать интервальной записью.

Стратегия решения систем неравенств с одной переменной

На карнавале три аттракциона. Для катания на качелях требуется, чтобы всадники были ростом не менее 90 см. Американские горки требуют, чтобы гонщики были ростом не менее 120 см. Для карусели требуется, чтобы всадники были ростом от 70 до 130 см (включительно).

Найдите интервалы высот (в см), которые позволят посетителям карнавала

• кататься на всех аттракционах
• совершить хотя бы одну поездку.

---

Пусть hhh будет ростом (в см) посетителя карнавала. Необходимые высоты каждого аттракциона можно описать системой неравенств:

{h≥90h≥12070≤h≤130.\begin{случаи} \begin{выровнено} ч&\ге 90\ ч&\ге 120\ 70 \ле ч &\ле 130. \end{выровнено} \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​hh70≤h​≥90≥120≤130.​​

Если посетитель парка захочет прокатиться на всех аттракционах, то его рост должен удовлетворять всем этим неравенствам. Для этого потребуется пересечение высот:

Неравенство: 120≤h≤130Интервал:[120,130].\begin{массив}{lc} \text{Неравенство:} & 120 \le h \le 130 \\ \text{Интервал:} & [120,130]. \end{array}Неравенство:Интервал:​120≤h≤130[120,130].​ Закрытые точки означают, что hhh включает точки 120120120 и 130130130; открытые точки (открытые кружки) будут использоваться для обозначения того, что эти точки исключены, а стрелки, выходящие за пределы графика, будут означать, что число простирается до бесконечности.

Если посетитель парка захочет прокатиться хотя бы на одном из аттракционов, то его рост должен удовлетворять одному или нескольким неравенствам. Для этого потребуется объединение неравенств:

Неравенство:70≤h≤130Интервал:[70,130]. □\begin{массив}{lc} \text{Неравенство:} & 70 \le h \le 130 \\ \text{Интервал:} & [70,130].\ _\квадрат \end{array}Неравенство:Интервал:​70≤h≤130[70,130]. □​​

Однажды утром каждый член семьи Аджая приготовил 8-литровый напиток с ненулевым количеством молока и кофе. Если Аджай выпил 17 \frac1771​ от общего количества молока и 217\frac2{17} 172​ от общего количества кофе, то сколько человек в семье Аджая? 92+2х-15>0,х2+2х-15>0.

Фактор квадратичный:

(х+5)(х-3)>0.(х+5)(х-3) >0.(х+5)(х-3)>0.

Левая часть неравенства будет положительной, если оба множителя положительны или если оба множителя отрицательны. Это происходит, когда x>3x>3x>3 или когда x<−5.x<-5.x<−5. Решение - союз :

.

Неравенство:x<−5 ∪ x>3Интервалы: (−∞,−5) ∪ (3,∞). □\begin{массив}{lc} \text{Неравенство:} & x<-5\ \cup\ x>3 \\ \text{Интервалы:} & (-\infty,-5)\ \cup\ (3,\infty).\ _\square \end{array}Неравенство:Интервалы:​x<−5 ∪ x>3(−∞,−5) ∪ (3,∞). □​​

Основная статья: Абсолютные неравенства

Решите неравенство

∣x+3∣+∣x−1∣≥4.|x+3|+|x-1|\ge 4.∣x+3∣+∣x−1∣≥4.

---

Случай 1. (x+3)(x+3)(x+3) и (x−1)(x-1)(x−1) оба отрицательны. Операции с абсолютными значениями будут отрицать эти выражения:

-(x+3)-(x-1)≥4-2x≥6x≤-3.\begin{выровнено} -(х+3)-(х-1) \ge 4 \\ -2х\ге 6\ х\ле-3. \end{выровнено}-(x+3)-(x-1)≥4-2x≥6x≤-3.​

Корпус 2. (x−1)(x−1)(x−1) отрицательно, а (x+3)(x+3)(x+3) положительно. Операции абсолютного значения ничего не сделают с выражением (x+3)(x+3)(x+3) и сведут на нет выражение (x−1)(x-1)(x−1):

(x+3)−(x−1)≥42≥4.\begin{выровнено} (х+3)-(х-1)&\ge 4\\ 2 и 4. \end{выровнено}(x+3)−(x−1)2​≥4≥4.​

Это невозможно, поэтому решений для этого случая нет.

Случай 3. (x+3)(x+3)(x+3) и (x−1)(x-1)(x−1) оба положительны. Операции с абсолютными значениями ничего не сделают ни с одним из выражений:

(x+3)+(x−1)≥42x≥2x≥1.\begin{выровнено} (х+3)+(х-1) &\ge 4 \\ 2x &\ge 2\ х&\г 1. \end{выровнено}(x+3)+(x−1)2xx​≥4≥2≥1.​

Решение представляет собой объединение неравенств:

Неравенство:x≤−3 ∪ x≥1Интервалы: (−∞,−3] ∪ [1,∞). □\begin{массив}{lc} \text{Неравенство:} & x\le -3 \ \cup\ x\ge 1 \\ \text{Интервалы:} & (-\infty,-3] \ \cup\ [1,\infty).\ _\square \end{array}Неравенство:Интервалы:​x≤−3 ∪ x≥1(−∞,−3] ∪ [1,∞). □​​

92-2х-8&\ле 0\\ (x-4)(x+2) &\le 0. \end{align}x2−x−9×2−2x−8(x−4)(x+2)​≤x−1≤0≤0.​

Один из факторов должен быть положительным, а другой отрицательным. Поскольку x−41.x>1.x>1. Упрощение пересечения дает

Неравенство:1

Левая часть неравенства будет больше или равна 0, если оба множителя положительны, оба множителя отрицательны или один из множителей равен нулю. Это может произойти только тогда, когда x≤−2 ∪ x≥4.x\le -2\ \cup\ x\ge 4.x≤−2 ∪ x≥4. Однако это зависит от условия в данном случае, что x<1.x<1.x<1. Упрощение пересечения дает

Неравенство:x≤−2Интервал:(−∞,−2].\begin{массив}{lc} \text{Неравенство:} & x\le -2 \\ \text{Интервал:} & (-\infty,-2]. \end{array}Неравенство:Интервал:​x≤−2(−∞,−2].​

Тогда решение для обоих случаев равно

.

Неравенство:x≤−2 ∪ 1

Решение системы неравенств с двумя переменными часто изображают в виде заштрихованного графика на координатной плоскости. Заштрихованные области показывают области, которые содержат точки в решении. Если линия сплошная, то точки на линии содержатся в решении. Если линия заштрихована, то точки на линии не содержатся в решении, но любая смежная заштрихованная область содержит точки в решении.

{y≤2x+3y>−13x−1\begin{случаи} у \ле 2х+3 \\ у > -\фракция{1}{3}х-1 \end{cases}{y≤2x+3y>−31​x−1​

Заштрихованная область — это пересечение неравенств. Каждая точка в заштрихованной области и на сплошном луче является частью решения. Штриховые линии и лучи не являются частью решения.

Следующий процесс работает путем выделения переменной yyy в каждом неравенстве. Поскольку большие значения yyy находятся выше в координатной плоскости, символ >>> или ≥\ge≥ означает, что решение существует выше линии неравенства. Точно так же символ <<< или ≤\le≤ означает, что решение существует ниже линии неравенства.

Построение графиков линейных систем неравенств: метод затенения с пересечением наклона

• Поместите каждое неравенство в форму пересечения наклона.

• Нарисуйте линию, ограничивающую каждое неравенство. Если символ ≤\le≤ или ≥,\ge,≥, то линия должна быть сплошной, чтобы показать, что точки на линии включены в решение. Если используется символ <,<,<, >,>,> или ≠,\ne,​=, то линия должна быть пунктирной, чтобы показать, что точки на линии не включены в решение.

• Для каждого неравенства, если символ ≥\ge≥ или >,>,>, заштрихуйте над линией. Если символ ≤\le≤ или <,<,<, то заштрихуйте ниже линии. Если символ ≠,\ne,​=, то заштрихуйте обе стороны линии.

• Если система представляет собой объединение , то ваш график завершен. Если система представляет собой пересечение , то в решении находятся только области, которые являются частью всех неравенств. Вы должны стереть все тени, линии и лучи, которых нет в растворе.

Граф объединения неравенств

y>3x∪y<2x.\begin{массив}{ccc} у>3х & \чашка & у<2х. \end{массив}y>3x​∪​y<2x.​

---

Начните с построения графика линии каждого неравенства. Используются символы >>> и <,<,<, поэтому линии должны быть пунктирными.

В первом неравенстве y>3x,y>3x,y>3x, поэтому штриховка должна быть выше линии.

Во втором неравенстве y<2x,y<2x,y<2x, поэтому штриховка должна быть ниже линии.

Поскольку эта система является объединением, все заштрихованные части являются частью неравенства. Для ясности каждая заштрихованная область должна быть одного цвета, а пунктирные линии в заштрихованной области должны быть сплошными, чтобы показать, что они являются частью решения.

Каждая точка в заштрихованной области имеет либо y>3xy>3xy>3x, либо y<2x.y<2x.y<2x. □_\квадрат□​

Латойя управляет фабрикой по производству готовой к сборке мебели. Она планирует, как распределить ресурсы на свое оборудование для производства столов. Машина A\text{A}A может производить 6 столов в час и стоит 100 долларов за каждый час работы. Машина B\text{B}B может производить 10 столов в час и стоит 200 долларов за каждый час работы. У Латойи есть рабочие, которые могут эксплуатировать машины до 50 часов на этой неделе, и она выделила 8000 долларов из своего бюджета на эксплуатацию этих машин. Нарисуйте график, показывающий, как она может распределить свои ресурсы для производства столов.

---

Пусть aaa будет количеством часов, в течение которых работает машина A\text{A}A, и пусть B\text{B}B будет количеством часов, в течение которых работает машина B\text{B}B. Можно написать систему неравенств, чтобы описать ограничения на использование этих машин.

Сначала опишите, как машины ограничены временем:

a+b≤50.a+b \le 50.a+b≤50.

Затем опишите, как машины ограничены стоимостью:

100a+200b≤8000a+2b≤80.\begin{выровнено} 100а+200б&\ле 8000\\ а+2b &\le 80. \end{выровнено}100a+200ba+2b​≤8000≤80.​

Кроме того, машины не могут работать менее 0 часов:

a≥0b≥0.\begin{выровнено} a &\ge 0 \\ b &\ge 0. \end{выровнено}ab​≥0≥0.​

Пусть aaa откладывается на оси xxx, а bbb — на оси yyy. Решение bbb во всех неравенствах, кроме a≥0a\ge 0a≥0, дает систему

{b≤−a+50b≤−12a+40a≥0b≥0.\begin{случаи} б\ле-а+ 50\\ b \le -\frac{1}{2}a+40 \\ а \ge 0 \\ б\ге 0. \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​b≤−a+50b≤−21​a+40a≥0b≥0.​

Нарисуйте график каждой из линий.

Поскольку первое неравенство имеет символ <<<, заштриховать под чертой.

Примените тот же принцип, чтобы заштриховать все остальные неравенства. Неравенство a≥0a \ge 0a≥0 заштриховано справа, потому что справа на графике существуют большие значения aaa.

Весь график остается заштрихованным. Тем не менее, эта система пересечение , так как должны выполняться все неравенства. Поэтому все штриховки, которых нет в , все неравенства должны быть стерты.

Оставшаяся заштрихованная область является решением системы неравенств. Любая упорядоченная пара в этом решении даст Латойе возможность планировать использование своего оборудования. Вы могли заметить, что количество произведенных столов не было включено в этот анализ. Если цель состоит в том, чтобы развить оптимальный способ производства столов, то необходимо использовать линейное программирование. □_\квадрат□​

Следующий процесс работает, потому что линии каждого неравенства делят координатную плоскость на области. Если точка на координатной плоскости удовлетворяет системе, то все точки в той же области, что и эта точка, также удовлетворяют системе.

Решение линейных систем неравенств: метод контрольных точек

• Нарисуйте линию для каждого неравенства. Следуйте тем же правилам для пунктирных и сплошных линий, что и раньше.

• Для каждой области, которую разделяют линии, выберите точку в этой области. Проверьте точку, подставив значения xxx и yyy в каждое неравенство.

• Если система представляет собой объединение , то контрольная точка должна удовлетворять только одному из неравенств. Если система представляет собой пересечение , то она должна удовлетворять всем неравенствам. Если контрольная точка удовлетворяет требованиям системы, заштрихуйте область, в которой находится контрольная точка.

• Сотрите все линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график решения следующей системы неравенств

{2x+3y≤4x−4y>2.\begin{случаи}\begin{выровнены} 2x+3y &\le 4\\ х-4у &> 2. \end{выровнено}\end{cases}{2x+3yx−4y​≤4>2.​​

Обратите внимание, что эта система представляет собой перекресток . Сначала нарисуйте линию для каждого неравенства. Первое неравенство должно получиться сплошной линией, а второе неравенство — пунктирной линией. Эти линии разбивают граф на 4 области.

Выберите точку из каждой области и проверьте ее на неравенства:

1:(0,0){2(0)+3(0)≤4✓0−4(0)>2×2:(2,1){2(2)+3(1)≤4×2−4( 1)>2×3:(3,0){2(3)+3(0)≤4×3−4(0)>2✓4:(2,−1){2(2)+3(−1)≤ 4✓2−4(−1)>2✓\begin{массив}{ccl} \boxed{1}: & (0,0) & \begin{cases}\begin{array}{rlc} 2(0)+3(0) & \le 4 & \checkmark \\ 0-4(0) & > 2 & \text{x} \end{массив}\end{case} \\ \boxed{2}: & (2,1) & \begin{case}\begin{array}{rlc} 2(2)+3(1) & \le 4 & \text{x} \\ 2-4 (1) & > 2 & \text{x} \end{массив}\end{case} \\ \boxed{3}: & (3,0) & \begin{case}\begin{array}{rlc} 2(3)+3(0) & \le 4 & \text{x} \\ 3-4 (0) & > 2 & \checkmark \end{массив}\end{case} \\ \boxed{4}: & (2,-1) & \begin{cases}\begin{array}{rlc} 2(2)+3(-1) & \le 4 & \checkmark \\ 2-4( -1) & > 2 & \checkmark \end{массив}\end{case} \end{массив}1​:2​:3​:4​:​(0,0)(2,1)(3,0)(2,−1)​{2(0)+3(0) 0−4(0)≤4>2​✓x​{2(2)+3(1)2−4(1)​≤4>2​xx​​{2(3)+3(0) )3−4(0)≤4>2x✓​{2(2)+3(−1)2−4(−1)​≤4>2​✓✓​​

Единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам, — это точка в области 4. Заштрихуйте эту область и удалите все сплошные лучи, не входящие в эту область.

□_\квадрат□​

Круг > Прямоугольник > Треугольник Прямоугольник > Треугольник > Круг Треугольник > Прямоугольник > Круг Прямоугольник > Круг > Треугольник Круг > Треугольник > Прямоугольник Треугольник > Круг > Прямоугольник

Выше показано, как мобильный телефон будет сбалансирован, если его оставить висеть. Предположим, что точка опоры находится в центре каждого стержня.

Каков относительный вес этих фигур?

Многие из принципов, применимых к линейным системам, применимы и к нелинейным системам. Если переменную yyy можно изолировать на одной стороне неравенства, то можно использовать метод затенения вверх/вниз. 2=400.x2+y2=400. Показать, что собака может двигаться в любую точку 92 и 400. \end{выровнено}\end{cases}{yx2+y2​>0≤400.​​

□_\квадрат□​

Процитировать как: Система неравенств. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/systems-of-inequalities/

Системы неравенств

Системы неравенств

PDF СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ Обзор устройства В этом модуле вы расширите представление о системах уравнений и научитесь строить графики линейных неравенств и систем линейных неравенств. Системы линейных неравенств могут использоваться для установления диапазона возможностей для реальных ситуаций, таких как составление бюджета и стоимость. Линейные неравенства   Две линии (11:59) Стоп!   Перейдите к вопросам 1–9 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу. Графические системы линейного неравенства s   The Intersection (03:58) Применение систем уравнений При использовании систем неравенств в реальном мире это часто называют Линейное программирование . Концепция та же, что и выше. Напишите и нарисуйте каждое неравенство (иногда их называют ограничениями ), и решения проблемы будут лежать в заштрихованной области. Интересно, что при поиске максимального или минимального значения это всегда будет одна из вершин заштрихованного многоугольника в пределах ограниченных областей. Давайте попробуем приложение:  Малейга продает пиццу, чтобы собрать деньги на выпускной. Сырная пицца стоит 10 долларов, а пицца с пепперони — 12 долларов. Она должна продать не менее 5 штук каждого вида, и она хочет продать пиццу на сумму не менее 150 долларов. Напишите линейные неравенства на основе количества пицц и стоимости пицц, а затем постройте график. Первый : определите переменные, которые будут использоваться для представления количества различных пицц, представленных в задаче. Пусть x будет количеством сырных пицц. Пусть y будет количеством пицц пепперони. Следующий :  Напишите неравенства на основе числа пиццы и нарисуйте их на графике. Используйте ≥ для обозначения «как минимум».   Она должна продать не менее 5 штук каждого вида . .. означает «не менее 5 сырных пицц»   Щелкните здесь, чтобы просмотреть график. представляет «не менее 5 сырных пицц»   Щелкните здесь, чтобы просмотреть график. Следующий :  Напишите неравенство на основе значения пиццы и нарисуйте его. Сырная пицца стоит 10 долларов…    10 x представляет стоимость пиццы с сыром   . .. и пицца с пепперони стоит 12 долларов США   12 y  представляет стоимость пиццы пеппарони   …  и она хочет продать пиццу не менее чем на 150 долларов.    Сложите все значения вместе.   Щелкните здесь, чтобы просмотреть график. Наконец : Нарисуйте неравенства на одной плоскости. Щелкните здесь, чтобы просмотреть график. Определите, какой из следующих сценариев будет правильным, основываясь на графике неравенств и показывающем, что Малейга достигла своей цели. Малейга должна продать 3 пиццы с сыром и 7 пицц с пепперони. Нет, эта упорядоченная пара (3, 7) находится вне заштрихованной области. «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. «Нажмите здесь», чтобы просмотреть график. Малейга должна продать 10 пицц с сыром и 7 пицц с пепперони. Да, эта упорядоченная пара (10, 7) находится в заштрихованной области. «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. «Нажмите здесь», чтобы просмотреть график. Малейга должна продать 5 пицц с сыром и 11 пицц с пепперони. Да, эта упорядоченная пара (5, 11) находится на краю заштрихованной области. «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. «Нажмите здесь», чтобы просмотреть график.   Решение систем неравенств (05:05) Стоп!   Перейдите к вопросам 10–27, чтобы завершить этот блок.

Ниже приведены дополнительные образовательные ресурсы и мероприятия для этого модуля.

В приведенном ниже упражнении есть 8 систем линейных неравенств (некоторые в форме пересечения наклона и некоторые в стандартной форме). Соедините графики с правильными неравенствами.

Системы линейных неравенств

Решение систем неравенств

Системы линейных неравенств

Пожалуйста, включите сценарии (или JavaScript) в вашем веб-браузере и затем перезагрузите эту страницу.

Система неравенства — это список из двух или более неравенств, которые должны быть истинными. За Например, пара неравенств, показанная справа, представляет собой систему линейных неравенств. В этом уроке вы узнаете о решениях систем линейных неравенства и как их найти на графике.

$$\{\,\cl»tight»{\table x, +, 2y, <, -7; 2x, -, 3y, >, 0}$$

---

Мы хотим решить эту систему линейных неравенств:

$$\{\,\cl»tight»{\table y≥-2x-2; y≥-2}$$

То есть мы хотим найти пары $(x,y)$, которые являются решениями и . неравенства. Во-первых, нам нужно нарисовать линии $y=-2x-2$ и $у=-2$. Посмотрите на сетки слева. В левой сетке вы смотрите на график $y=-2x-2$. На верно, вы смотрите на график $y=-2$.

Вот способ проверить, является ли точка $(1,2)$ решением задачи первое неравенство:

$y≥-2x-2$ для $(1,2)$ ?
$2≥-2(1)-2$ ?
$2≥-2-2$ ?
$2≥-4$ ?
ДА

Проверьте каждую точку в таблице ниже в обоих неравенствах. Также укажите, какие точки решений системы двух неравенств (то есть, какие точки являются решением обоих первое неравенство и второе неравенство).

Точка	Решение задачи $y≥-2x-2$?	Решение задачи $y≥-2$?	Решение для обоих?

Нажмите посмотреть на графики неравенств. Являются ли синие точки, которые являются решениями $y≥-2x-2$ в заштрихованной области на левой сетке?

Являются ли синие точки, которые являются решениями для $y≥-2$ в заштрихованной области справа?

Назовите синие точки на сетке, которые являются решениями всего системы (оба неравенства).

Нажмите, чтобы посмотреть $y≥-2x-2$ и $y≥-2$ показаны вместе. темно-синий участок — это область, где наборы решений перекрываются. Светло-голубая часть — остальная часть набора решений $y≥-2$, а розовый участок — остальная часть множества решений $y≥-2x-2$.

Найдите на графике только что перечисленные точки. Они в темноте синий, светло-голубой или розовая часть?

Какой цветной участок графика представляет множество решений всей системы неравенства?

Теперь решим систему линейных неравенств:

$$\{\,\cl»tight»{\table y≥-4x-2; 3x+4y≤18}$$

Красная линия — это график $y=-4x-2$ и синяя линия — это график $3x+4y=18$.

Для каждой точки в таблице ниже найдите точку на сетке и определить, является ли оно решением каждого неравенства.

Точка	Решение задачи $y≥-4x-2$?	Решение задачи $3x+4y≤18$?	Решение для обоих?

Нажмите посмотреть на график неравенств. Помните, что темно-синий область — график множества решений системы линейных неравенств. Назовите точка на сетке, которая лежит в наборе решений.

Совпадает ли ваш ответ с ответом из таблицы?

Теперь ваша очередь решить показанную здесь систему линейных неравенств:

$$\{\,\cl»tight»{\table x,+,y,≥,-2; 2x,-,3y,≤,6}$$

Графики линий $x+y=-2$ и $2x-3y=6$ даны на сетка ниже. Как видите, графики этих двух линий делят сетку на четыре секции, обозначенные A, B, C и D.

Выберите точку в каждой секции приведенной выше сетки (A, B, C и D) и заполните таблицу ниже.

Раздел	Точка	Решение задачи $x+y≥-2$?	Решение задачи $2x-3y≤6$?	Решение для обоих?

Какие сечения (A, B, C или D) являются решениями $x+y≥-2$?

Какие разделы являются решениями $2x-3y≤6$?

В каком сечении задано решение системы линейных неравенств?

Нажмите, чтобы построить график двух неравенств. Есть ли синий участок сетки слева соответствует к набору решений, который вы только что нашли?

Верхняя сетка слева показывает систему двух неравенств. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт