Системы линейных уравнений методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Комбинированный урок «Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Применение к решению геометрических задач»

Комбинированный урок «Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Применение к решению геометрических задач»

• Краснова Вера Владимировна, учитель математики

Разделы: Математика, Мастер-класс

Класс: 11

---

Цель урока: Обобщения и систематизация знаний учащихся по теме.

Задачи:

• Обучающие: привести в систему теоретические знания по теме «Решение систем линейных уравнений методом Крамера», отработать практические навыки решения задач по данной теме.
• Развивающие: развитие мыслительных операций (проведение аналогии, анализ, синтез), памяти, внимания, логического мышления; развитие познавательной активности, математически грамотной речи, формирование навыков самостоятельной и практической работы.
• Воспитательные: развивать чувство коллективизма, выслушивать ответы одноклассников, оценивать свою работу и работу товарищей, прививать интерес к предмету, воспитывать культуру общения, устойчивого интереса к урокам математики.

Тип учебного занятия: Урок систематизации знаний, практико-ориентированный.

Методы и приёмы обучения: Проблемно-поисковый и самостоятельно-групповая работа.

Структура учебного занятия:

1. Организационный момент –3 мин.
2. Подготовительный этап – 7 мин.
3. Обобщение и систематизация знаний – 30 мин.
4. Подведение итогов уроков – 3 мин.
5. Информация о домашнем задании – 2 мин.

Ход учебного занятия

1. Организационный момент.

Подготовить учащихся к работе на уроке.

Вступительное слово учителя. Постановка цели и задачи урока. Мотивация учащихся.

Слайд 1. «Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Применение к решению геометрических задач»

Сегодня на уроке мы еще раз поговорим о решении систем линейных уравнений методом Крамера и сделаем акцент на применении решения линейных систем к решению геометрических задач. Это лишь малая часть тех задач, которые сводятся к решению систем линейных уравнений, а метод Крамера – один из простых методов их решения.

4.Подведение итогов уроков.

Мы обобщили знания по теме «Решение систем линейных уравнений методом Крамера». Показали применение данного метода к решению геометрических задач от самых простых до задач ЕГЭ.

5. Информация о домашнем задании.

Выполнить задание №14 из диагностической работы от 19.04.19, используя координатный метод и решение системы методом Крамера.

Учитель выставляет оценки за урок.

Геометрия – не единственная область применения метода Крамера. Многие задачи физики используют данный метод. Раздел линейной алгебры изучает решение систем линейных уравнений для n-мерных пространств. Вам еще предстоит заняться этими вопросами. Мы надеемся, что база, полученная на уроках в лицее, очень вам пригодится. Всем спасибо за урок.

Приложение

15.06.2020

Метод Крамера решение систем линейных уравнений

Краткая биография Габриэля Крамера

Габриэль Крамер — (нем. Gabriel Cramer), Швейцария, 31 июля 1704 г. родился в семье врача. Он уже в детстве опередил своих сверстников в развитии интеллектуальной деятельности и проявил завидную способность в математике. В 18 лет успешно защитил дипломную работу. Через два года Крамер выдвинул свою кандидатуру на пост преподавателя в университете в Женеве.

Юноша привлек внимание магистрата, поэтому для него и еще одного кандидата на должность преподавателя был учрежден отдельный факультет математики, где Крамер затем работал в течение последующих нескольких лет.

Gabriel Cramer

Учёный очень много путешествовал в Европу, принимая опыт известных математиков того времени, как – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. Всю жизнь поддерживал с ними тесный контакт.

В 1729 г. Крамер возвращается на должность преподавателя в Женеве. В этот период времени участвует в Парижском конкурсе и занимает заслуженное второе место. Используя свой исключительный талант пишет много статей по самым разным дисциплинам: геометрии, истории, математике, философии.

В 1730 г. он выпускает труд по астрономии.

В 1740 году Иоганн Бёрнулли поручил Крамеру опубликовать сборник его произведений. В 1742 г. Крамер подготовил и опубликовал сборник в 4 -х томах.

В 1744 г. выходит посмертная книга Якоба Бернули брата Иоанна Бернули и двухтомная переписка Лейбницы с Иоанном Бернули. Эти работы вызывали большой интерес ученых по всему миру.

Крамер — один из тех, кто изобрел линейную алгебру. Одна из его наиболее известных работ «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованная в 1750 г. на французском.

Титульный лист «Введения в анализ алгебраических кривых»

В ней Крамер создает систему уравнений по линейным уравнениям и алгоритм, который позже будет носить его имя, — метод Крамера. Габриэль умер во Франции 4 Января 1752 года.

Метод Крамера – теоремы замещения и аннулирования

Перед решением систем линейных уравнений методом Крамера необходимо изучить две важные закономерности. К ним относятся: теорема аннулирования; теорема замещения.

Теорема замещения. Складывая произведения алгебраического дополнения какого-то столбца, а также произвольные чисел b1, b2, b3, получается новый определитель, в котором значения заменяют соответствующие элементы первоначального определения, соответствующие данному алгебраическому дополнению.

Теорема аннулирования. В сумме произведения компонентов одного столбца или таблицы и алгоритмических дополнений соответствующих элементов другого столбца – будут равняться нулю.

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Для поиска ответов по задачам для решения систем линейных уравнений актуальна эта методика. Метод Крамера позволяет находить решение системы с количеством строк равным количеству неизвестного. Так решаются квадратные уравнения. В процессе нужно вычислить матричные определители, в том числе основные, и дополнительные, полученные с помощью замены одного столбца основного определителя на столбец со свободными членами системы алгоритмов.

На рисунке можно найти наглядное представление алгоритма.

Для этого необходимо применить метод Крамера СЛАУ:

Рассмотрим решение системы уравнений методом Крамера:

\[\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=s_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=s_{2} \end{array}\right.\]

Первое: вычислим определитель, а именно – определитель системы.

Если \[\Delta=0\] система имеет только 1 решение, чтобы найти корни, следует сделать вычислить еще два определителя:

\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll} s_{1} & b_{1} \\ s_{2} & b_{2} \end{array}\right| \text { и } \Delta_{y}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & s_{1} \\ a_{2} & s_{2} \end{array}\right| \]

На практике данные определители обычно могут быть обозначены обычной латинской буквой D. Чтобы найти корни уравнения используем следующую формулу:

\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta} y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} \]

Пример: Решите систему уравнений линейным методом Крамера

\[ \left\{\begin{array}{l} 506 a+66 b=2315,1 \\ 66 a+11 b=392,3 \end{array}\right. \]

Решение: Из уравнения следует, что коэффициенты уравнения велики, в правой части уравнения видим десятичные дроби с запятой. Запятая – крайне редко можно увидеть в практике по математике, эта система взята из эконометрической задачи.

1. Есть вариант выразить одну переменную через другую, это не самый удобный способ, так как мы получим дроби, с которыми невозможно будет работать, и будет хромать оформление самого решения.
2.  В таких случаях применимо правило Крамера.

Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.

Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: \[\neq 0\] это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.

Важно сделать проверку, ее удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения \[a \approx-0,35 \quad b \approx 37,77\] в левую часть каждого уравнения системы. По итогу с небольшой погрешностью получаться числа, которые находятся в правых частях.

Определение

Метод Крамера — это простой метод решения линейных алгебраических уравнений. Этот вариант применим только к СЛАУ, в которых количество уравнений согласуется с неизвестным числом, а определитель не равен нулю.

Поэтому, когда вы изучили все шаги, вы можете продолжать использовать метод Крамера для решения алгоритма уравнения. Записываем их по порядку:

• Найти главный определитель матрицы:

Важно, чтобы определитель не имел значения – 0.

• Ищем определители:

В итоге получаем, определители матриц, которые мы вывели из матрицы A заменяя столбцы на свободные члены.

• Найдем неизвестные переменные значения:

Тут важно помнить тождества Крамера, при помощи которых, можно найти корни или по-другому неизвестные переменные.

\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}, z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} \]

• Выполняем проверку:

Мы проверяем решение, подставляя x, y и z в исходную СЛАУ. Все уравнения в абсолютной системе необходимо преобразовать в тождества. Вы также можете вычислить произведение матрицы A * X. Если результатом является матрица, равная B, система решена правильно. Если он не равен B, то одно из уравнений, вероятно, содержит ошибку.

Давайте сначала рассмотрим систему, состоящую из двух линейных уравнений, потому что она проще и поможет вам понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы разбираетесь в простых и коротких уравнениях, вы можете решать более сложные системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Среди прочего, существуют уравнения с двумя переменными, и решение этих уравнений целиком связано с правилом Крамера.

Пример. Таким образом, дана система, состоящая из двух линейных уравнений:

\[ \left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=S_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=S_{2} \end{array}\right. \]

• Ищем главный определитель системы:

\[ \Delta=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right| \]

• Это означает, что если \[\Delta=0\], то либо у системы много решений, либо у системы нет решений. В этом случае нет смысла использовать правило Крамера, потому что решение не будет работать, и вам нужно запомнить метод Гаусса, который можно использовать для быстрого и простого решения этого примера.

Если \[\Delta \neq 0\], система имеет только одно решение, но для этого необходимо вычислить два других определителя и найти корень системы.

\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll} S_{1} & b_{1} \\ S_{2} & b_{2} \end{array}\right| \] \[ \Delta_{y}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & S_{1} \\ a_{2} & S_{2} \end{array}\right| \]

На практике определитель обычно может быть представлен не только \[\Delta\], но и латинской буквой D, что тоже правильно.

• Найти корни уравнения несложно, ведь главное знать формулу:

\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} \]

Теперь, когда мы можем решить двух линейные уравнения, мы можем решить трех линейные уравнения без каких-либо проблем. Для этого мы рассмотрим систему:

\[ \left\{\begin{aligned} a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z &=b_{1} \\ a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z &=b_{2} \\ a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z &=b_{3} \end{aligned}\right. \]

Здесь алгебраическим дополнением элементов является первый столбец \[A_{11}, A_{21}, A_{31}\]. При решении не забывайте и о других элементах. Следовательно, в системе линейных уравнений вам нужно найти три неизвестных — x, y, z и другие известные элементы.

Составим определитель системы из коэффициентов неизвестных: мы умножаем каждый член уравнения на \[A_{11}, A_{21}, A_{31}\] — алгебраическое дополнение элементов в первом столбце (коэффициент при x), а затем складываем все три уравнения вместе. У нас есть:

Согласно теореме о разложении коэффициент при x равен \[\Delta\]. Коэффициенты при y и z будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается:

\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{lll} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \]

Далее, можно записать равенство:

\[ x * \Delta+y * 0+z * 0=\Delta_{x} \]

Для нахождения y и z перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно \[A_{12}, A_{22}, A_{32}\] во втором \[A_{13}, A_{23}, A_{33}\] и прибавим значение.

Итог преобразований:

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Алгоритм однородной системы уравнений: правила решения

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения (x = y = z = 0), так и решения отличны от нуля. {\prime}=\mathrm{AY}+F\]

Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид:

\[\mathrm{Y}=C_{1} \mathrm{Y}_{1}+C_{2} \mathrm{Y}_{2}+\ldots+C_{n} \mathrm{Y}_{n}\]

Где С₁,…,С_n— произвольные постоянные, а

\[\mathrm{Y}_{1}=\left(\begin{array}{l} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \\ \vdots \\ y_{n 1}(x) \end{array}\right), \ldots, \mathrm{Y}_{n}=\left(\begin{array}{l} y_{1 n}(x) \\ y_{2 n}(x) \\ \vdots \\ y_{n n}(x) \end{array}\right)\]

Произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского.

\[ W\left(\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{n}\right)=\left|\begin{array}{ccc} y_{11} & \ldots & y_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_{n 1} & \ldots & y_{n n} \end{array}\right| \]

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных \[x_{1}=\alpha_{1}, x_{2}=\alpha_{2}, \ldots, x_{n}=\alpha_{n}\] , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение \[A \cdot X=B\] при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество \[A \cdot X=B\].

При помощи метода Крамера следует решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не имеет значения 0. Использование этого метода поможет найти определители матриц такого порядка, как n на n. В случае, если свободные члены равны 0, тогда и их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Поэтому, если определители имеют нулевое значение, лучше решать систему, используя метод Гаусса, а не Крамера, только в этом случае ответ решения будет правильный.

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными | Колледж Алгебра |

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимая матрица и определитель. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Общее примечание. Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

матрицы, заданной

A=[abcd]A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right]A=[ac​bd​]

определяется как

Рисунок 1

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, в том числе

det(A)\mathrm{det}\left(A\right)det(A)

и замена скобок в матрице прямыми,

∣A∣ |А|∣А∣

.

Пример 1. Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель данной матрицы.

A=[52−63]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right]A=[5−6​23​]

Решение

det(A)=∣52−63∣=5(3)−(−6)(2)=27\begin{array}{l}\mathrm{det}\left(A\right) =|\begin{массив}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{массив}|\qquad \\ =5\left(3\right)-\left(-6\right)\left(2\ right)\qquad \\ =27\qquad \end{array}det(A)=∣5−6​23​∣=5(3)−(−6)(2)=27​

Использование правила Крамера для Решить систему двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1} \left(1\right)\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\left(2\right)\end{массив}a1​x+b1 ​y=c1​(1)a2​x+b2​y=c2​(2)​

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим найти

xxx

. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный

yyy

в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент

yyy

в уравнении (2), и мы добавляем два уравнения, переменная

yyy

будет исключена.

b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1Умножить R_1 на b_2−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2Умножить R_2 на −b_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2}{gin{\textmaunder}}{gin 2}a\text{\textunderscore}{1}x+b\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}y=b\text{\textunderscore}{2}c\text{ \textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }b\text{\textunderscore}{2} \\-b\text{\textunderscore}{1 }a\text{\textunderscore}{2}xb\text{\textunderscore}{1}b\text{\textunderscore}{2}y=-b\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-b\text{\textunderscore}{2} \\ \text{——— —————} \\ b\text{\textunderscore}{2}a\text{\textunderscore}{1}xb\text{\textunderscore}{1}a\text {\ textunderscore} {2} x = -b \ text {\ textunderscore} {2} c \ text {\ textunderscore} {1} -b \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2 }\end{matrix}b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2 ​Умножить R_1 на b_2Умножить R_2 на −b_2

Теперь найдите

xxx

.

b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2x(b2a1−b1a2)=b2c1−b1c2 x=b2c1−b1c2b2a1−b1a2=[c1b1c2b2][a1b1a2b2]\begin{array}{l}{b}_{2}{a} _{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2 }\qquad \\ x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}\right)={b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }x=\frac{{b}_{2}{c}_{1}-{ b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}}=\frac{\ слева[\begin{массив}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right] }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{array} \right]}\qquad \end{массив}b2​a1​x−b1​a2​x=b2​c1​-b1​c2​x(b2​a1​-b1​a2​)=b2​c1​− b1​c2​ x=b2​a1​−b1​a2​b2​c1​−b1​c2​=[a1​a2​​b1​b2​][c1​c2​​b1​b2​]

Точно так же, чтобы решить для

yyy

, мы исключим

xxx

.

a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1Умножить R_1 на a_2−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2Умножить R_2 на −a_1———————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_under1−a_1c_2\begin } а \ текст {\ textunderscore} {1} х + а \ текст {\ textunderscore} {2} б \ текст {\ textunderscore} {1} у = а \ текст {\ textunderscore} {2} с \ текст {\ textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }a\text{\textunderscore}{2} \\-a\text{\textunderscore}{1} a \ text {\ textunderscore} {2} x-a \ text {\ textunderscore} {1} b \ text {\ textunderscore} {2} y = -a \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-a\text{\textunderscore}{1} \\ \text{——— ————-} \\ a\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}ya\text{\textunderscore}{1}b\text{ \textunderscore}{2}y=a\text{\textunderscore}{2}c\text{\textunderscore}{1}-a\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore}{2}\ конец{матрица}a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c_2​Mu умножить R_1 на a_2умножить R_2 на −a_1

Решение для

YYY

дает

A2B1Y -A1B2Y = A2C1 -A1C2Y (A2B1 -A1B2) = A2C1 — A1C2 Y = A2C1 -A1C2A2B1 -A1B2 = A1C2-A2C1A1B1 -A1B1B1B1B1B1B1B1B1B1 -A1B1B1 -A1B1 -A1B1 -A1B1. }{l}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1} -{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ y\left({a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{ 2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }y=\frac{{a }_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1 }{b}_{2}}=\frac{{a}_{1}{c}_{2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1 }{b}_{2}-{a}_{2}{b}_{1}}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{ 1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1 }\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}\qquad \end{массив}a2​b1​y-a1​b2​y=a2​c1​-a1 ​c2​y(a2​b1​−a1​b2​)=a2​c1​−a1​c2​ y=a2​b1​−a1​b2​a2​c1​−a1​c2​​=a1​b2 ​−a2​b1​a1​c2​−a2​c1​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣a1​a2​​c1​c2​​∣​​

Обратите внимание, что знаменатель для

xxx

и

yyy

является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения для

xxx

и

yyy

, но правило Крамера также вводит новое обозначение: детерминанты. Тогда мы можем выразить

xxx

и

yyy

как частное двух определителей.

Общее примечание. Правило Крамера для систем 2×2

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых количество уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{ 2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\end{массив}a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​

Решение с использованием правила Крамера задается как

x=DxD=∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0; y=DyD=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& { b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|},D\ne 0;\text{ }\text{ }y=\frac{{ D}_{y}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c }_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b} _{2}\end{массив}|},D\ne 0x=DDx​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣c1​c2​​b1​b2​​∣​,D= 0; y=DDy​​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣a1​a2​​c1​c2​​∣​,D=0

.

Если мы вычисляем

xxx

, столбец

xxx

заменяется столбцом констант. Если мы вычисляем

гггг

, столбец

гггг

заменяется столбцом констант.

Пример 2. Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

, используя правило Крамера.

12x+3y=15 2x−3y=13\begin{массив}{c}12x+3y=15\\ \text{ }2x — 3y=13\end{массив}12x+3y=15 2x−3y=13​

Решение

Найдите

xxx

.

x=DxD=∣15313−3∣∣1232−3∣=−45−39−36−6=−84−42=2x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac {|\begin{массив}{rr}\qquad 15& \qquad 3\\ \qquad 13& \qquad -3\end{массив}|}{|\begin{массив}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{-45 — 39}{-36 — 6}=\frac{-84}{-42}=2x=DDx​=∣122​ 3−3​∣∣1513​3−3​∣​=−36−6−45−39​=−42−84​=2

Решите для

гггг

.

y=DyD=∣1215213∣∣1232−3∣=156−30−36−6=−12642=−3y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{|\begin {array}{rr}\qquad 12& \qquad 15\\ \qquad 2& \qquad 13\end{array}|}{|\begin{array}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{156 — 30}{-36 — 6}=-\frac{126}{42}=-3y=DDy​​=∣122​3−3​∣∣ 122​1513​∣​=−36−6156−30​=−42126​=−3

Решение:

(2,−3)\left(2,-3\right)(2,−3)

.

Попробуйте 1

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

 x+2y=−11−2x+y=−13\begin{array}{l}\text{ }x+2y=-11\qquad \\ -2x+y=-13\qquad \end{array } x+2y=-11-2x+y=-13​

Решение

Лицензии и атрибуты

Контент с лицензией CC, конкретное авторство

• Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. License : CC BY: Attribution

линейная алгебра — Использование правила Крамера для системы уравнений с четырьмя переменными

Задай вопрос

спросил 2 года 10 месяцев назад

Изменено 2 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 261 раз

$\begingroup$

Учитывая следующую систему уравнений: \начать{выравнивать*} ш + х + у &= 3 \\ х + у + г &= 4 \\ х + у + 2z &= 10 \\ ш + х + г &= 20 \конец{выравнивание*} Найдите $w$ по правилу Крамера.
Ответ:
\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = 1 — (1 — 2) + (0 — 1) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= — \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = -(0 — 2) + (0-1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= — \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} = — ( 0 — 2) + (0 — 1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 — 1 + 1 = 1 \\ ш &= \ гидроразрыв { \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 } = \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} \конец{выравнивание*} \начать{выравнивать*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 0 и 0 и 1 \\ 0 и -1 и 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ -1 и 1 \end{vmatrix} = ( 0 — 1 (-1) ) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4 \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \\ \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 6 и 2 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 6 и 1 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} = 4(1-2) — (6 — 40) + 6 — 20 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4(-1) — 6 + 40 + 6 — 20 = 16 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -4 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 и -4 \\ \end{vmatrix} = 4( 2 + 2 ) = 16 \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3( 1 ) — 16 + 16 = 3 \\ W &= \frac{3}{1} \\ Вт &= 3 \конец{выравнивание*} У меня есть веская причина решить эту систему уравнений: $(ш,х,у,г) = (5,9,-11,6)$

Где я ошибся?

• линейная алгебра
• системы уравнений
• определитель

$\endgroup$

$\begingroup$

Должно быть: $$w= \фракция{ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 }=$$

$$ = 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} — \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix}= $$ $$=3(1+2+0-1-1-0)-(4+40+0-20-10-0)+$$ $$+(4+40+10-20-10-8)=3-14+16=5.