Решение полиномиальных и рациональных неравенств. Квадратные и кубические неравенства
Мы будем использовать комбинацию алгебраических и графических методы для решения полиномиальных и рациональных неравенств.
Полиномиальные неравенства
Как квадратное уравнение может быть записано в форме аx2 + bx + c = 0, квадратное неравенство может быть записано в форме ax2 + bx + c ? 0, где ? можеть быть , ≤, или ≥. Вот несколько примеров квадратных неравенств:3x2 — 2x — 5 >0, (-1/2)x2 + 4x -7 ≤ 0.
Квадратные неравенства есть одним видом полиномиальных неравенств. Другие примеры полиномиальных неравенств:
-2x4 + x2 — 3 3 — 2x2 > 5x + 7.
Когда символ неравенства в полиномиальном неравенстве заменяется знаком равенства, формируется связанное уравнение.
Полиномиальные неравенство может быть легко решено, после того как решено связанное уравнение.Решение Нас просят найти все значения x, для которых x3 — x > 0. Чтобы локализовать эти значения, мы рисуем функцию f(x) = x3 -x. Тогда мы замечаем, что когда функция меняет знак, ее график пересекает ось абсцисс. Так, чтобы решить x3 — x > 0, мы сначала решаем связанное уравнение x3 — x = 0 чтобы найти все нули функции:
x3 — x = 0
x(x2 — 1) = 0
x(x + 1)(x — 1) = 0.
Нули есть -1, 0, и 1. Так, точки пересечения с осью х есть (-1, 0), (0,0) и (1, 0), как показано на рисунке внизу. Нули делят ось х на четыре интервала:
Для всех значений х внутри заданного интервала знак x3 — x должен быть положительным или отрицательным.
| Интервал | Тестовое значение | Знак f(x) |
| (-∞ -1) | f(-2) = -6 | Отрицальный |
| (-1; 0) | f(-0.5) = 0.375 | Положительный |
| (0, 1) | f(0.5) = -0.375 | Отрицальный |
| (1, ∞) | f(2) = 6 | Положительный |
Так как мы решаем x3 — x > 0, в множество решений входят только два из четырех интервалов, в которых знак f(x) положительный. Мы видим, что мнежество решений есть (-1, 0) (1, ∞), или {x| — 1 1}.
Чтобы решить полиномиальное неравенство:
1. Найдите эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне.
2. Решите связанное полиномиальное уравнение.
3. Используйте решения, чтобы разделить ось x на интервалы. Тогда выберите тестовое значение из каждого интервала и определите знак полинома на каждом интервале.
4. Определите интервалы, для которых неравенство есть верным и запишите обозначения интервала или множество решений. Включите конечные точки интервалов в множество решений если символ неравенства есть ≤ или ≥.
ПРИМЕР 2 Решите: 3x4 + 10x ≤ 11x3 + 4.
Решение Путем вычитания 11x3 + 4, мы формируем эквивалентное неравенство 3x 4 — 11x3 + 10x — 4 ≤ 0.
| Алгебраическое решение | Графическое решение |
| Во-первых, решим связанное уравнение 3x4 — 11x3 + 10x — 4 = 0, .  Решение -1, 2 — √2, 2/3, и 2 + √2, или приблизительно -1, 0.586, 0.667, and 3.414. Эти числа делят ось х на пять интервалов: (-∞, -1), (-1, 2 — √2), (2 — √2, 2/3), (2/3, 2 + √2), и (2 + √2, ∞). Тогда f(x) = 3x4 — 11x3 + 10x — 4 и и, используя тестовые значения для f(x), определяем знак f(x) в каждом интервале: Значения функции отрицательны в интервалах (-1, 2 — √2) и (2/3, 2 + √2). Так как знак неравенства есть ≤, мы включаем конечные точки интервалов во множество решений. Множество решений есть | Нарисуем функцию y = 3x4 — 11x3 + 10x — 4. Мы видим, что два нуля есть в точках -1 и приблизительно 3.414(2 + √2 ≈ 3.414). Следующие нули лежат в интервале [0, 1]. эти нули в точках (приблизительно) 0.586 и 0.667(2 — √2 ≈ 0.586; 2/3 ≈ 0.667).  Тогда интервалы для рассмотрения: (-∞, -1), (-1, 0.586), (0.586, 0.667), (0.667, 3.414) и (3.414, ∞). Отмечаем на графике, где функция является отрицательной. Затем, включая соответствующие конечные точки получаем, что множество решений составляет приблизительно [-1, 0.586] [0.667, 3.414] или {x|-1 ≤ x ≤ 0.586 or 0.667 ≤ x ≤ 3.414}. |
Рациональные неравенства
Некоторые неравенства включают в себя рациональные выражения и функции. Такие неравенства называются рациональными неравенствами. Для их решения мы должны внести несколько корректировок в предыдущий метод.
ПРИМЕР 3 Решите: (x — 3)/(x + 4) ≥ (x + 2)/(x — 5).
Решение Во-первых мы вычитаем (x + 2)/(x — 5) чтобы получить эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне:
(x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5) ≥ 0.
| Алгебраическое решение | Графическое решение |
| Мы ищем все значения x, для которых функция f(x) = (x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5) не определена или равна 0.  Такие значения называются критическими.Посмотрев на знаменатель, мы увидим, что она не определена для x = -4 и x = 5. Далее, мы решаем f(x) = 0: (x + 4)(x — 5)[(x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5)] = (x + 4)(x — 5).0 (x — 5)(x — 3) — (x + 4)(x + 2) = 0 (x2 — 8x + 15) — (x2 + 6x + 8) = 0 -14x + 7 = 0 x = 1/2. Критические значения: -4, 1/2 и 5. Они делят ось x на четыре интервала: (-∞, -4), (-4, 1/2), (1/2, 5), и (5, ∞). Тогда мы используем тестовое значение, чтобы определить знак f(x) на каждом интервале. Значения функции положительны в интервалах (- ∞, -4) и (1/2, 5). Так как f (1/2) = 0 и и знак неравенства есть ≥, мы знаем, что 1/2 должно быть во множестве решений. Обратите внимание, что ни -4 ни 5 не относятся ко множеству f, и поэтому они не могут быть частью множества решения. Множество решение есть (-∞ -4) [1/2, 5).  | Нарисуем y = (x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5). Находим, что в точке 0.5 функция равна 0. Затем мы ищем значения, где функция не определена. Взглянув на знаменатели x + 4 и x — 5, мы видим, что функции не определены для x = -4 и x = 5 Критические значения, где y не определено или 0, есть -4, 0.5 и 5. График показывает, где y положительное и где отрицательное. Обратите внимание, что -4 и 5 не могут быть во множестве решений, так как y не определено для этих значений. Однако, мы включаем 0.5, так как знак неравенства есть ≥ и f(0.5) = 0. Множество решений есть (-∞, -4) [0.5, 5). |
Ниже — метод для решения рациональные неравенства.
Для решения рациональных неравенств необходимо:
1. Найти эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне.
2. Изменить знак неравенства символ на знак равенства и решите связанное уравнение.
3. Найти значения переменных, для которых связанная рациональная функция не определена.
Это хорошо работает с использованием комбинации алгебраических и графических методов решения полиномиальных и рациональных неравенств. Алгебраические методы дают точные цифры для критических значений, а графические методы позволяют легко увидеть, какие интервалы удовлетворяют неравенству.
Universal Math Solver 9.0.1.1 online
- Файлы
- Математика
- Программное обеспечение
org/ListItem» itemprop=»itemListElement»>
Академическая и специальная литератураМатематика
Вариационное исчисление
Векторный и тензорный анализ
Высшая геометрия
Высшая математика (основы)
Вычислительная математика
Дискретная математика
Дифференциальные уравнения
Задачники и решебники
Интегральные уравнения
Исследование операций
История математики
Комплексное исчисление
Конформные отображения
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Математическая логика
Математическая физика
Математические олимпиады
Математический анализ
Материалы конференций
Методы оптимизации
Нелинейная динамика
Общая алгебра
Операционное исчисление
Оптимальное управление
Периодика по математике
Популярная математика
Программное обеспечение
Прочие разделы математики
Решения по Кузнецову
Решения по Рябушко
Решения по Чудесенко
Решения прочие
Справочники, каталоги, таблицы
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория игр
Теория принятия решений (ТПР)
Теория чисел
Топология
Философия математики
Функциональный анализ
Элементарная математика
- формат exe
- размер 10.
07 МБ - добавлен 30 марта 2010 г.
07 МБПрограмма, о которой мечтают все школьники и студенты. UMS решает и объясняет решение любого примера, взятого из любого учебника, задачника или просто придуманного Вами. UMS умеет говорить и молчать (по Вашему желанию).
В настоящее время UMS (в последней версии 9.0) позволяет решать
любые задания из следующих разделов алгебры и анализа:
— рациональные и иррациональные уравнения;
— рациональные уравнения с параметрами;
— рациональные и иррациональные уравнения с модулями;
— рациональные уравнения с модулями и параметрами;
— системы рациональных и иррациональных уравнений с несколькими
переменными;
— системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными и
параметрами;
— системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными и
модулями;
— разложение многочленов;
— полное разложение многочленов;
— упрощение алгебраических выражений;
— упрощение числовых и алгебраических выражений с радикалами;
— рациональные и иррациональные неравенства;
— рациональные неравенства с модулями;
— системы и совокупности неравенств;
— системы и совокупности неравенств с модулями;
— исследование рациональных функций с помощью производных и
построение графиков;
— действия над комплексными числами.
* UMS генерирует решение вводимого Вами примера. Это может занять от нескольких секунд до минуты, в зависимости от сложности примера и возможностей Вашего компьютера.
Пользоваться программой очень легко. Примеры вводятся так, как они записаны в учебнике.
Интуитивно понятный интерфейс позволяет работать с программой, не обращаясь к help’у.
Объяснение решения примера выводится на экран с текстовыми и голосовыми комментариями (и те и другие, по Вашему желанию, можно отключить).
Программа хорошо настраивается, например:
— Если дважды кликнуть мышкой на какую-нибудь строку выведенного
текста, UMS повторит объяснение ещё раз, начиная с данного
места.
— Программа позволяет работать с копилкой. Предоставляется возможность составлять свою коллекцию примеров и работать с ней. Если пример, который Вы решаете, Вас заинтересовал, можно отправить его в «копилку», снабдив любыми комментариями.
Название: Universal Math Solver 9.0.1.1 online
Разработчик: Sevey Ochag
Платформа: Windows 2000/XP
Язык Интерфейса: Ru
Год выпуска: 2009
Размер файла: 10,0 МБ
Важно знать!: это on-line версия значит надо подключится к
inteet, ключ вделан в настройки, login для решения тоже встроен в
настройки не меняйте его как бы странно он не выглядел.
Для тех кто, после установки, игрался с настройками и до-игрался, и
теперь она не-работает:
Закройте и удалите испорченную программу;
Запустите: start run regedit.exe ;
и удалите из registry:
HKEY_CURRENT_USERSoftwareSeverU_M_S_online_9_0_1
Установите заново.
Смотрите также
software
- формат exe
- размер 4.12 МБ
- добавлен 03 мая 2011 г.
Год: 2011 ОС: WinALL Язык: English AVD Mass and Volume Calculator – приложение, позволяющее рассчитать объем и массу разнообразных геометрических тел заданной плотности, а также вычислить размеры куба и параллелепипеда исходя из известной массы или объема. Возможности AVD Mass and Volume Calculator: — огромный список геометрических фигур; — большой редактируемый список плотностей материалов; — встроенный конвертор мер массы и объема; — поддержк.
..
software
- формат exe, txt
- размер 17.61 МБ
- добавлен 31 июля 2011 г.
Math Mechanixs — простое научное и инженерное математическое программное обеспечение. Калькулятор — типичный инструмент для решения математических задач. Но, к сожалению, возможности калькулятора очень ограничены. Они не позволяют пользователю записывать детальные примечания своей работы. До появления графического калькулятора, пользователь не мог даже представить данные в виде графика. Math Mechanixs имеет интегрированный Math Editor (Математиче…
- формат exe
- размер 5.6 МБ
- добавлен 18 сентября 2009 г.
Qucs — программы для симулирования всех видов электрических цепей Qucs (Quite Universal Circuit Simulator — Довольно Универсальный Симулятор Цепей) с графическим QT интерфейсом.
Программа может рассчитывать цепи постоянного и переменного тока, работать с матрицей S-параметров, симулировать сильные и слабые сигналы, проводить анализ гармонического баланса и шумов. Имеет довольно мощный и развитый математический аппарат. Поддержка SPICE, Verilog. С…
software
- формат iso
- размер 9.32 МБ
- добавлен 26 января 2011 г.
UMS решает и объясняет решение любого примера(Мечта всех школьников и студентов) Год/Дата Выпуска: 2010 Версия: UMS Universal Math Solver Разработчик: Corporation «Severny Ochag International» Разрядность: 32bit+64bit Совместимость с Vista: полная Совместимость с Windows 7: полная Язык интерфейса: Русский Таблэтка: Присутствует Системные требования: Windows 2000, XP, Vista, 7 Описание: Это программа, о которой мечтают все школьники и студенты.
…
- формат jpg, exe
- размер 9.63 МБ
- добавлен 30 марта 2010 г.
Universal Math Solver 7.0.0.5 Online — Мечта всех школьников и студентов. Программа решает и объясняет решение любого математического примера, взятого из учебника, задачника или просто заданного Вам. Умеет комментировать ход решения. Ключ устанавливается с программой и не требует ввода. Информация о программе: Название: UMS v7.0.0.5 online Год выхода: 2006 Язык Интерфейса: Русский Платформа: Windows ME/NT/2000/XP/Vista Размер: 9.6 mb Лекарство:…
примеров алгебры | Неравенства | Рациональные неравенства
Шаг 1
Вычтите из обеих частей неравенства.
Шаг 2
Упрощение .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 2.1
Чтобы записать дробь с общим знаменателем, умножьте на .
Шаг 2.2
Объединить и .
Шаг 2.3
Приведите числители к общему знаменателю.
Шаг 2.4
Вычесть из .
Шаг 3
Найдите все значения, при которых выражение переключается с отрицательного на положительное, установив каждый коэффициент равным и решив.
Шаг 4
Вычтите из обеих частей уравнения.
Шаг 5
Решите для каждого фактора, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного к положительному.
Шаг 6
Консолидация решений.
Шаг 7
Найдите домен .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.1
Установите знаменатель равным, чтобы найти, где выражение не определено.
Шаг 7.2
Домен — это все значения, которые определяют выражение.
Шаг 8
Используйте каждый корень для создания тестовых интервалов.
Шаг 9
Выберите тестовое значение из каждого интервала и подставьте это значение в исходное неравенство, чтобы определить, какие интервалы удовлетворяют неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.1
Проверить значение на интервале, чтобы убедиться, что оно соответствует неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.1.1
Выберите значение на интервале и посмотрите, соответствует ли это значение исходному неравенству.
Шаг 9.1.2
Заменить на в исходном неравенстве.
Шаг 9.1.3
Левая часть больше правой, значит данное утверждение всегда истинно.
Верно
Шаг 9.2
Проверить значение на интервале, чтобы убедиться, что оно соответствует неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.2.1
Выберите значение на интервале и посмотрите, соответствует ли это значение исходному неравенству.
Шаг 9.2.2
Заменить на в исходном неравенстве.
Шаг 9.2.3
Левая часть не больше правой, значит данное утверждение неверно.
Ложь
Шаг 9.3
Проверить значение на интервале, чтобы убедиться, что оно соответствует неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.3.1
Выберите значение на интервале и посмотрите, соответствует ли это значение исходному неравенству.
Шаг 9.3.2
Заменить на в исходном неравенстве.
Шаг 9.3.3
Левая часть больше правой, значит данное утверждение всегда истинно.
Верно
Шаг 9.4
Сравните интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Верно
Ложно
Верно
Верно
Ложно
Верно
Шаг 10
Решение состоит из всех истинных интервалов.
или
Шаг 11
Результат может отображаться в нескольких формах.
Форма неравенства:
Обозначение интервала:
Шаг 12
Введите СВОЮ задачу
Solve rational inequalities
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Решение
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
решить рациональное неравенство
Связанные темы:
полиномиальный калькулятор |
примеры задач по алгебре |
бесплатные математические листы год 5 |
решатель свободных дробей |
найти все числа, для которых рациональное выражение не определено |
примеры синтетического деления многочлена в показателе степени третьей степени |
калькулятор факторинга |
математические пирамиды |
скачать радикал и корни в powerpoint |
Рабочие листы по математике для 9-го класса |
решатель общих факторов
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| BaaldHact Дата регистрации: 30. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| nxu Зарегистрирован: 25.10.2006 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| ДониилТ Зарегистрирован: 27.08.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Матдейс Дата регистрации: 08.12.2001 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| UseNiss Зарегистрирован: 22.07.2002 |
| ||||||
08.2004 
Есть ли что-то существенное, что можно сделать, чтобы получить какую-то помощь? У меня есть хороший набор вопросов, которые помогут мне изучить эти темы, но проблема в том, что я просто не могу их решить, как бы я ни старался. Пожалуйста помоги!
Я был очень слаб в математике, особенно в решении рациональных неравенств, и мои оценки были ужасны. Я начал использовать Алгебратор, чтобы решать вопросы, а также с моими заданиями, и в конце концов я начал получать пятерки по математике. Это исключительно хороший продукт, потому что он объясняет проблемы шаг за шагом, поэтому мы хорошо их понимаем. Я абсолютно уверен, что вам это тоже будет полезно.
Помню, у меня были трудности с факторингом, биномиальной формулой и построением графиков. Введя задачу из рабочей тетради и просто нажав «Решить», вы получите пошаговое решение математической задачи. Это очень помогло через несколько Pre Algebra, Pre Algebra и Intermediate алгебры. Я серьезно рекомендую программу.
По-настоящему замечательная программа для алгебры — это программа Algebrator. Просто введя домашнее задание, пошаговое решение появится при нажатии на «Решить». Я использовал ее на многих уроках алгебры — алгебре 2, базовой математике и алгебре 2. Я очень рекомендую эту программу.