Сложение степеней в круге: marta_inj — LiveJournal
Деление степеней не дается. Впрочем, неудивительно. Вот что пишут по этому поводу:
Как известно разные всякие операции, и те которые производятся над числами, и те, что над объектами реального мира — можно разделить на «прямые» и «обратные». Последние выполнить гораздо труднее. (Например: забить в доску гвоздь (особенно если по самую шляпку) куда как проще чем потом его обратно оттуда вытащить.) А в математике для обратных операций еще и приходится расширять множество чисел. Вот как раз из соображений справедливости: прямая операция применима к любому числу, или любой паре чисел, если двухместная, и её результат всегда принадлежит к тому же множеству объектов, что и её операнды, а обратная, видите ли, нет.
Сначала у людей были только натуральные числа — с их помощью яблоки считали (и корзины, куда их собирались складывать), ну или мамонтов на пастбище — дело то как раз происходило примерно в те самые времена. Складывать можно, разумеется, любые натуральные числа — получается опять натуральное число.
Но вот вычитать…
Сначала постановили что вычитать большее из меньшего безсмысленно. (Ну в самом деле, как можно взять из корзины семь яблок, если их там только три? Никак!)
Но потом (а к тому времени деньги уже давно были в ходу) придумали ноль и отрицательные числа и стали трактовать их как «долг». То есть смысл для таких операций, хоть и не сразу, но нашелся.
Операция умножения тоже применима к любым натуральным числам, а вот обратная к ней — деление на равные части — для многих пар даёт остаток. А деление меньшего на большее сначала тоже считали бессмысленным, но потом (причем куда раньше изобретения ноля) признали полезным для обозначения частей целого и узаконили как «натуральные дроби».
Операция возведения в степень, изображающая многократное умножение числа самого на себя, придумана по аналогии с операцией умножения, заменяющей многократное сложение числа самого с собою. Но вот обратная к ней, известная как нахождение корня такой-то степени… На этом, кстати, сломались древние греки: обнаружили что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
(Теорему Пифагора они уже знали.) То есть, если длину стороны принять за единицу, то точная длина диагонали не выражается никакой натуральной дробью. В результате чего, посыпав голову пеплом, отказались от чисел вообще, перейдя исключительно к геометрическим построениям!
Много-много позже такие числа всё-таки узаконили, обозвав, правда, «иррациональными». (Причем их оказалось гораздо больше чем «рациональных». И это при том, что даже натуральных чисел, коие всего лишь подмножество рациональных, и то — бесконечность!) Некоторым наиболее популярным иррациональным числам дали собственные имена. Наиболее известные из них это числа Пи и Е, ну еще может быть Тау (коэффициент ряда Фибоначчи равный один плюс корень из пяти и всё это делённое на два). Тут пришла пора распространить действие всех известных на тот момент операций на все известные на тот момент числа, и этот фокус более-менее получился — ну кроме некоторых исключительных случаев. Причем казалось-бы самых простых. Вот не получается деление на ноль.
Но ноль — он ведь один единственный. Для него одного вполне можно сделать исключение. (И к тому же — если очень хочется — можно считать что деление любого числа на ноль даёт бесконечность. А деление его же на бесконечность — соответственно даёт ноль.) В остальном с
участием в умножении и делении отрицательных и нецелых чисел никаких сложностей больше не возникло. Перешли к возведению в степень. Отрицательную степень стали трактовать как многократное деление единицы на это число. (А возведение в нулевую — соответственно умножение или деление ноль раз — вот единица и остаётся.) Возведение в дробную степень — как нахождение корня… На радостях ввели обратную к степенной функции — логарифмическую, и тут…
Да не тут, а гораздо раньше. Еще когда только-только придумали отрицательные числа и взялись их не только складывать но и умножать, обнаружили что произведение двух отрицательных чисел неизменно даёт положительное. А значит сыскать такое число, умножив которое само на себя можно было бы получить отрицательный результат (даже для самого простейшего случая — единицы) решительно невозможно.
Таковых чисел просто нет!
То есть квадратных корней для отрицательного числа не дождёшься, в то время как у положительного числа их сразу два. Нечестно, несправедливо, судью (ну или кто там всем этим заведует) на мыло! А давайте, сказали великовозрастные детишки-математики, такое число просто выдумаем. Выдумали, обозначили буквой i и обозвали «мнимым», потому как ничему реальному не соответствует и существует исключительно в их воображении.
Присмотрелись по-внимательнее — батюшки-светы! Выдумали то только одно мнимое число (то, которое будучи умножено само на себя, даёт в результате минус единицу), а получили столько же сколько «реальных» — целую числовую ось. Вредное число i, если умножить на него любое реальное число, делает его мнимым. И эта мнимая числовая ось не имеет с действительной ничего общего… А, нет — имеет.
Одну точку. Ту, которая ноль. Ноль — он такой: что на него ни умножь — всё в ноль превратит. За сим, что действительный ноль, что мнимый — всё ноль.
Сложение натуральных чисел / Натуральные числа и действия над ними / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Натуральные числа и действия над ними
- Сложение натуральных чисел
К нескольким натуральным числам прибавим 1:
Мы видим, что когда мы прибавляем к натуральному числу 1, получаем следующее за ним натуральное число, т.
е. следующее число больше предыдущего на единицу. Теперь к 4 прибавим 3: 4+3: для этого к 4 прибавим 3 раза единицу. Учитывая, что при прибавлении к числу единицы получаем следующее число, получим:
Но мы записываем коротко: 4+3=7.
Запомните: Числа, которые складываются, называются слагаемыми |
Изобразим координатный луч. Отметим на нем начало координат, единичный отрезок и несколько чисел, следующих друг за другом:
Рассмотрим наш пример: 4+3. Для того чтобы к 4 прибавить 3 на координатном луче, необходимо от точки 4 вправо отложить 3 единичных отрезка:
И мы попадем в точку 7, следовательно 4+3=7.
Теперь попробуем отложить на луче, от точки 3 6 единичных отрезков, и от точки 6 3 единичных отрезка, другими словами к 3 прибавим 6 и к 6 прибавим 3 :
Мы видим, что и в первом и во втором случае мы попадаем в одну и ту же точку: 9, следовательно сумма чисел 3 и 6 и 6 и 3 одинакова и равна 9. Это можно записать с помощью равенства:
В этом случае мы меняем местами слагаемые и получаем первое свойство сложения — переместительное свойство:
- От перестановки слагаемых сумма не меняется
Рассмотрим с помощью координатного луча следующие суммы: и , для этого от точки 3 сначала отложим (6+7) единичных отрезков, а затем от точки 3, отложим сначала 6 единичных отрезков, а затем от получившийся точки отложим еще 7 единичных отрезков:
Заметим, что и в первом и во втором случае мы попадаем в одну точку: 16. Это можно записать равенством:
Мы получили второе свойство сложения — сочетательное свойство:
- Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое
К натуральному числу можно прибавлять не только натуральное число, но еще и нуль, изобразим на луче прибавление нуля к 7:
Так как нам необходимо отложить от точки 0 единичных отрезков, то мы попадаем снова в ту же точку,т.
е. значение числа от прибавления к нему нуля не изменилось: 7+0=7 . Применив переместительное свойство получим: 7+0=0+7=7, отсюда получаем третье свойство сложения — свойство нуля:
- Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число
- Переместительное свойство
От перестановки слагаемых сумма не меняется
Пример: 9+8=8+9=17
- Сочетательное свойство
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое
Пример: 7+(3+9)=(7+3)+9=19
- Свойство нуля
Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число
Пример: 0+10=10
Сравнение сумм натуральных чиселСравним (15+81) и (15+77), для этого рассмотрим слагаемые этих двух сумм: Мы видим, что первые слагаемые у них одинаковые, поэтому переходим к сравнению вторых слагаемых: 81 >77, поэтому (15+81)>(15+77).
Теперь сравним (21+15) и (34+54), для этого опять рассмотрим слагаемые, в данном случае одинаковых у нас нет, но мы видим, что слагаемые первой суммы меньше слагаемых второй суммы, а значит мы можем записать: (21+15)<(34+54).
Бывают случаи, когда нельзя однозначно сказать, какая сумма больше. Например сравним суммы: (26+33) и (18+43), мы видим, что первое слагаемое первой суммы больше первого слагаемого второй суммы, но второе слагаемое первой суммы меньше второго слагаемого второй суммы. В таком случае необходимо наши суммы привести к виду первого примера, т.е. 26=18+8, следовательно, 26+33=(18+8)+33=18+8+33=18+41, теперь мы сравниваем (18+41) и (18+43), первые слагаемые равны, а 41<43, следовательно(18+41)<(18+43) и мы можем сказать, что (26+33)<(18+43).
Из выше сказанного, делаем вывод: При увеличении слагаемых сумма увеличивается, а при уменьшении уменьшается.
Часто при решении задач, нам необходимо складывать многозначные числа, поэтому считать в «уме» или чертить координатный луч не целесообразно, для решения таких задач был придуман письменный прием сложения или «сложение в столбик», который помогает сложение многозначных чисел свести к сложению однозначных чисел, которое мы можем производить легко. Рассмотрим пример:
| 1 | 1 | 1 | |||
| + | 4 | 5 | 8 | 7 | 1 |
| 4 | 3 | 8 | 2 | ||
| 5 | 0 | 2 | 5 | 3 |
Сложение начинаем справа, с разряда единиц: 1+2=3, записываем 3 под единицами, и переходим в разряд десятков: 7+8=15 >10, значит единицы десятков(5) записываем под десятками, а десяток десятков — это единица сотен, записываем ее над разрядом сотен, чтобы не забыть и переходим в следующий разряд: 8+3+1=12 >10, поступаем аналогично, единицы(2) записываем под рассматриваемым разрядом, а десятки записываем над следующим разрядом, далее складываем единицы тысяч: 5+4+1=10=10, здесь 0 единиц, поэтому под рассматриваемым разрядом ставим нуль, а десяток переносим в разряд десятков тысяч: 4+1=5.
Получаем, что 45871+4382=50253.
Вывод: Если при сложении чисел одного разряда число получается больше или равное 10, то 1 десяток записываем над следующим разрядом, а единицы под рассматриваемым разрядом.
Советуем посмотреть:
Понятие о натуральном числе
Вычитание натуральных чисел
Умножение натуральных чисел
Деление натуральных чисел
Порядок выполнения действий
Степень числа. Квадрат и куб числа
Меньше или больше
Меньше или больше на сколько? во сколько раз?
Формулы
Уравнения
Натуральные числа и действия над ними
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 361, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 537, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 558, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 563, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1446, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1610, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1668, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1669, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 183, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 194, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 698, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1191, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 45, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 673, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 701, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 741, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 779, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 858, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 4, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
7 класс
Номер 6, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 12, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 17, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 177, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 178, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 497, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 564, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 671, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 706, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1006, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 67, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Сложение и вычитание с числами в стандартной форме
Сложение и вычитание с числами в стандартной форме — Mr-Mathematics.
com16 марта 2023 г.
Дифференцированные учебные задачи
- в виде A × 10n, где n больше 1.
- Большинство учащихся используют метод столбцов для сложения чисел A × 10n, где n — целое число.
- Некоторые учащиеся используют некалькуляторные методы для решения задач на сложение и вычитание в стандартной форме.
Ссылки на ресурсы урока (только для участников)
Начало/ВведениеКогда я учу складывать и вычитать числа в стандартной форме, я использую начальное задание, чтобы учащиеся знали, как преобразовывать обычные и научные числа.
Подсказки/вопросы для рассмотрения
- Как можно записать числа в обычной форме?
- Как записать числа в стандартной форме?
- Может быть полезна таблица разрядности?
- Чем 10 -2 отличается от 10 2 ?
Нажмите здесь, чтобы просмотреть видео.
Учащиеся могут использовать два метода сложения и вычитания чисел в стандартной форме. Первый способ состоит в том, чтобы записать числа, используя одинаковую степень десяти. Второй способ заключается в преобразовании чисел в десятичную форму.
Рассмотрим 2,4 × 10 5 + 1,68 × 10 2
Подсказки/вопросы для размышления
- Как можно записать числа с одинаковой степенью десяти?
- Как преобразовать числа в десятичную форму?
- Каким методом легче складывать или вычитать?
- Как мы можем использовать оценки или калькуляторы для проверки наших ответов?
У меня есть около 12 минут для пленарного заседания. Мне нравится этот вопрос, потому что он побуждает учащихся сочетать сложение и вычитание в контексте реальной жизни. В качестве дополнительной задачи я привожу примерную численность населения каждого континента, чтобы учащиеся могли рассчитать плотность населения.