Расстояние от точки до вектора: Недопустимое название — Мегапедия

Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

Расстояние от точки 📙 до прямой

1. Базовые понятия
2. Определения расстояния между точкой и прямой
3. Определение расстояния между точкой и прямой в плоскости
4. Определение расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстоянием есть такая величина, которая характеризует отдаленность объектов друг от друга. Это определение применимо для плоскости и для пространства. Рассмотрим пример. Допустим у нас есть две точки, изображенные на рисунке:

Нужно узнать расстояние от одной точки до другой. Для этого можно воспользоваться каким-либо измерительным инструментом, к примеру, линейкой. Прикладываем ее началом к одной точке и соединяем с другой, на шкале мы увидим значение, которое и будет равно расстоянию между точками. 

Для определения можно применять также циркуль, при этом циркулем измеряют расстояние, его прикладывают к линейке или другому инструменту со шкалой расстояния, и получают значение.
Рассмотрим пример решения задачи по определению расстояния между точкой и прямой.

Если у нас есть прямая и точка, что не находится на ней, то согласно аксиомы геометрии мы знаем, что они образуют некую плоскость, именно поэтому мы можем решать эту задачу используя понятия планиметрии.

Теорема о создании единственной плоскости при помощи точки и прямой выводится из аксиомы о трех точках, описывающих плоскость. Ведь на прямой возможно выбрать две случайные точки, а третья у нас тоже есть.

Расстояние от точки до прямой – это перпендикулярный отрезок, соединяющий точку и прямую.

Разберем подробнее понятие о расстоянии между точкой и прямой на конкретном примере.

Необходимо определить расстояние от точки \(X\) до прямой \(k\).

Изобразим перпендикулярный отрезок от точки \(X\) до прямой \(k\), получим точку \(A\). Выберем произвольно точку на прямой \(k\), назовем ее точкой \(B\). Соединив точки, мы получили треугольник \(XAB\).

Гипотенуза этого треугольника находится противоположно прямому углу, а она всегда будет самой длинной стороной треугольника, это означает, что самым кратким расстоянием между точкой \(X\) и прямой \(k\) будет перпендикулярный отрезок \(XA\).

Расстояние \(XB\) всегда будет больше, чем \(XA\), не зависимо от выбора расположения точки \(B\).

Распространенными задачами на эту тему как в плоскости, так и в пространстве, есть задачи на определение расстояния при известных координатах точки и уравнении прямой.

Практически не всегда удобно графически решать данные задачи, поэтому их решают аналитическим путем.

Разберем решение подобной задачи в плоскости.

Задано уравнение прямой \(a: y=3x+2\) и точка \(M\) с координатами (2;0). Необходимо определить расстояние от точки до прямой.

Рисуем перпендикуляр из точки \(M\) на прямую \(a\), получаем точку \(D\).

Чтобы найти координаты точки пересечения \(D\), необходимо для начала найти уравнение перпендикуляра. Для этого приведем уравнение прямой a к общему виду: \(3x-y+2=0\).

Имея запись в такой форме не сложно определить, что вектор нормали к этой прямой будет иметь координаты (3;-1). Этот же вектор есть направляющим для нашего перпендикуляра.

Также мы знаем, что наш перпендикуляр пересекается с прямой через точку \(M\) с координатами (2;0). Значит мы можем привести это уравнение к виду:

\({x-2\over3}={-y\over1}\)

Для нахождения координат точки пересечения \(D\), необходимо решить систему уравнений:

Выразив y из второго уравнения и подставив его в первое, получаем:

\({x-2 \over3}=-3x-2. 2 )}=\sqrt{0,8}≈0,89. \)

Ответ: расстояние от точки \(M\) до прямой a равняется 0,89.

Для расчета расстояния между точкой и прямой в пространстве пользуются такой формулой:

где \(x_0, y_0, z_0\) – координаты заданной точки;
      \(x_1, y_1, z_1\) – координаты вектора нормали заданной прямой;
     \( l, m_1, n_1\) – координаты направляющего вектора прямой.

Эта формула аналогична уравнению для плоскости, но представляется сложнее. В расчетах нет ничего сложного, если владеть принципами решения матричных выражений.

Разберем решение задачи с применением этой формулы.

Например, прямая m задана уравнением: \({(x-5)\over1}={(y+1)\over2}={(z-4)\over4} \), точка имеет координаты \(K\)(1;2;3).

Необходимо определить расстояние в пространстве между точкой \(K\) и прямой \(m\).

Направляющий вектор прямой m имеет координаты (1;2;4), а вектор нормали (-5;-1;4).

Подставив все значения в формулу расчета, получим:

В ответе получаем, что расстояние в пространстве между точкой \(K\) и прямой \(m\) составляет 5,080.

Расстояние от точки до линии

 начало (1, 0, 2) конец (4,5, 0, 0,5) 

 пунктов (2, 0, 0,5) 

 line_vec = вектор(начало, конец) # (3.5, 0, -1.5)
    pnt_vec = вектор(начало, точка) # (1, 0, -1.5) 

 line_len = длина(line_vec) # 3.808
    line_unitvec = единица (line_vec) # (0,919, 0,0, -0,394)
    pnt_vec_scaled = масштаб(pnt_vec, 1.0/line_len) # (0.263, 0.0, -0.393) 

 t = точка (line_unitvec, pnt_vec_scaled) # 0,397 

, если t 1.0:
        т = 1,0
    ближайший = масштаб (line_vec, t) # (1,388, 0,0, -0,595)
    dist = расстояние(ближайший, pnt_vec) # 0,985 

 ближайший = добавить (ближайший, начало) # (2,388, 0,0, 1,405) 

 из импорта векторов *
  
# Дана линия с координатами «начало» и «конец» и
# координаты точки 'pnt' процесс возвращает кратчайший
# расстояние от точки до линии и координаты точки
# ближайшая точка на линии. 
#
# 1 Преобразование сегмента линии в вектор ('line_vec').
# 2 Создайте вектор, соединяющий start с pnt ('pnt_vec').
# 3 Найдите длину вектора линии ('line_len').
# 4 Преобразование line_vec в единичный вектор ('line_unitvec').
# 5 Масштабировать pnt_vec по line_len('pnt_vec_scaled').
# 6 Получите скалярное произведение line_unitvec и pnt_vec_scaled ('t').
# 7 Убедитесь, что t находится в диапазоне от 0 до 1.
# 8 Используйте t, чтобы получить ближайшее место в строке до конца
# вектора pnt_vec_scaled ("ближайший").
№ 9Вычислить расстояние от ближайшего до pnt_vec_scaled.
# 10 Перевести ближайший назад к начальной/конечной линии.
# Малкольм Кессон 16 декабря 2012 г.
  
def pnt2line (точка, начало, конец):
    line_vec = вектор (начало, конец)
    pnt_vec = вектор (начало, точка)
    line_len = длина (line_vec)
    line_unitvec = единица (line_vec)
    pnt_vec_scaled = масштаб (pnt_vec, 1.0/line_len)
    t = точка (line_unitvec, pnt_vec_scaled)
    если t < 0,0:
        т = 0,0
    Элиф т > 1,0:
        т = 1,0
    ближайший = масштаб (line_vec, t)
    dist = расстояние (ближайший, pnt_vec)
    ближайший = добавить (ближайший, начало)
    возврат (расстояние, ближайший) 

3.4. Анализ близости — QGIS 3.10

Теперь сосредоточимся на операциях с точечными слоями. Обратите внимание, что QGIS при вырезании слоя точек также преобразует его тип геометрии на MultiPoint. Этот тип геометрии не подходит для некоторых функций, которые мы будем использовать на следующем шаге. и поэтому сначала мы увидим, как преобразовать тип геометрии обратно в Point.

Рис. 3.4.1 В информации слоя places_clip мы видим, что его геометрия — MultiPoint

3.4.1. Преобразовать тип геометрии

Доступен в Processing Toolbox->Vector геометрия->Convert геометрия типа , он предоставляет алгоритм, который позволяет преобразовать Функции MultiPoint в функции Single Point. Для этого вводим следующие параметры:

• Входной слой : точечный слой, геометрию которого мы хотим преобразовать. В этом примере мы используем places_clip слой
• Новый тип геометрии : выберите Centroids
• Converted : путь и имя выходного векторного слоя. Обратите внимание, что если оставить пустым, будет создан временный слой
.

Рис. 3.4.1.1 Окно функции преобразования геометрии

Рис. 3.4.1.2 Теперь геометрия слоя places_clip — MultiPoint

Чтобы продолжить работу со следующими функциями, преобразуйте тип геометрии также для natural_clip точечный слой.

Примечание

После завершения преобразования вы можете удалить предыдущие точечные слои и включить в проект только новые.

3.4.2. Средний ближайший сосед

Доступен в Processing Toolbox->Vector Analysis->Nearest Neighbor Analysis , он предоставляет функцию, которая выполняет поиск ближайшего соседа. анализ точечного слоя. Результат генерируется в виде HTML-файла с вычисленной статистикой. Мы выполняем анализ ближайших соседей с natural_clip_point точечный слой; входные параметры:

• Входной слой : natural_clip_point слой
• Ближайший сосед : путь и имя выходного HTML-файла. Обратите внимание: если оставить пустым, будет создан временный файл
.

Рис. 3.4.2.1 Окно функции анализа ближайших соседей

После завершения операции вы можете открыть файл HTML, содержащий результаты, и вы увидите информацию о среднем расстоянии Ожидаемое среднее расстояние, индекс ближайшего соседа, количество точек и Z-оценка.

Рис. 3.4.2.2 Результат HTML при открытии в браузере

Теперь мы видим, как вычислить ближайший объект к заданной точке или набору точек в QGIS. Мы различаем расстояния от точки к точке, и от точки к линейному или полигональному слою.

3.4.3. Расстояние от точки до точки

Доступен в Набор инструментов обработки->Векторный анализ->Расстояние до ближайшего хаба (точки) , он предоставляет алгоритм, вычисляющий расстояние между точечные объекты, принятые в качестве исходной точки и их ближайшей точки назначения. В этом случае рассчитаем расстояние от 9Слой 0010 places_clip_point к слою natural_clip_point . Входные параметры:

• Слой исходных точек : places_clip_point шейп-файл
• Слой концентраторов назначения : шейп-файл natural_clip_point
• Атрибут имени концентратора : osm_id
• Единицы измерения : метры
• Расстояние между концентраторами : путь и имя выходного векторного слоя. Обратите внимание, что если оставить пустым, будет создан временный слой

Рис. 3.4.3.1 Окно функции расстояния от точки до точки

Результатом является копия слоя мест, но каждый точечный объект имеет два дополнительных атрибута: идентификатор ближайшего естественного точечного объекта (HubName) и расстояние от него (HubDist), как видно из таблицы его атрибутов:

3.4.4. Расстояние от точки до слоя

Доступен в Processing Toolbox->Векторный анализ->Расстояние до ближайшего хаба (линия до хаба) , он предоставляет алгоритм, вычисляющий расстояние между точечные объекты, взятые в качестве исходной точки, и ближайший к ним целевой линейный или полигональный объект.

Примечание

Расчеты расстояний основаны на центроидах линейных или полигональных объектов.

В этом случае мы вычисляем ближайший к каждому месту лес. Для этого мы выбираем все леса из слоя landuse_a_clip :

• Щелкните правой кнопкой мыши слой landuse_a_clip на панели «Слои» и выберите «Открыть таблицу атрибутов
».
• Нажмите кнопку Выбрать объекты с помощью кнопки выражения
• В окне напишите следующее выражение: «fclass» — это «forest» , а затем нажмите «Выбрать функции»
.

После того, как мы выбрали все леса из слоя landuse_clip , мы можем запустить функцию Расстояние до ближайшего узла (от линии до узла). Входные параметры:

• Слой исходных точек : слой places_clip_point
• Слой концентраторов назначения : слой landuse_a_clip , учитывая только выбранные объекты
• Атрибут имени узлового слоя : osm_id
• Единицы измерения : метры
• Расстояние между концентраторами : путь и имя выходного векторного слоя.

  No related posts.