Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

дСтская ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа?

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа — это само число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ. НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ 3 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3×3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ 4 — 4Ρ…4.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, справа Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ ΠΎΡ‚ числа помСщаСтся малСнькая 2. Как это:

Π­Ρ‚ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Β«3 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, 4 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ ΠΈ x Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅Β».


Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСтся надстрочным индСксом ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ числа. Число Π² «стСпСни 2Β» совпадаСт с числом Β«Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌΒ» числа.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ?

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа ΠΊΠ°ΠΊ настоящий ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами:

Бписок Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π’ΠΎΡ‚ список ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 12. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡ…, Ссли Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ умноТСния. Π­Ρ‚ΠΈ числа Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ прямо ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± этом ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ Β«ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅Β» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ числС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ использовалось для создания ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°.

Π—Π½Π°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

Π—Π½Π°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

НСкоторыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

Π’ поисках ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π³ΠΎ способа Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°. Один ΠΈΠ· способов — ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΡƒΠ³Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, провСряСтС Π΅Π³ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Каков ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 32?

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 5×5 = 25 ΠΈ 6×6 = 36, поэтому ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 30 находится Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 5 ΠΈ 6. НачнСм с прСдполоТСния 5,5.

5,5 Ρ… 5,5 = 30,25

Π­Ρ‚ΠΎ довольно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ нашС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ 5,6.

5,6 Ρ… 5,6 = 31,36

5,7 Ρ… 5,7 = 32,49

5,65 Ρ… 5,65 = 31,9225

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, насколько Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°, 5,65 — Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°Ρ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· 32.

Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ

  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ — это само число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°.
  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ стСпСни Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ.
  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ.

ДСтскиС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π”Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ хитрости умноТСния
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»
Π”Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½
Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ хитрости ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π°

Π€Ρ€Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ сокращСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²

Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅
ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ
НСравСнства
ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл
Π—Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹
ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ числа
РимскиС Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹
Π”Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ числа

Бтатистика
Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, ΠΌΠΎΠ΄Π° ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

АлгСбра
ЭкспонСнты
Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния — Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния — Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°
ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ
Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄ΠΎΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹
РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ со слоТСниСм ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ с ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

ГСомСтрия
ΠšΡ€ΡƒΠ³
ΠŸΠΎΠ»ΠΈΠ³ΠΎΠ½Ρ‹
Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ
Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ
Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€
Π‘ΠΊΠ»ΠΎΠ½
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности
ОбъСм ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π°
ОбъСм ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности сфСры.
ОбъСм ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.
ОбъСм ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности конуса

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. (Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½)

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. (Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½)
Β Β 

Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½ Н.Π―., Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π±ΡƒΡ€Π΄ Π‘.И. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС для IXβ€”X классов срСдних школ с матСматичСской спСциализациСй. M., ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1969 Π³.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС для школ с матСматичСской спСциализациСй, снабТСнноС большим количСством Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Как ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ°Ρ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ (1968 Π³.) ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° «ΠΠ»Π³Π΅Π±Ρ€Π°» Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ авторского ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использована прСподаватСлями ΠΈ учащимися ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹.



ОглавлСниС

ΠŸΠ Π•Π”Π˜Π‘Π›ΠžΠ’Π˜Π• Π”Π›Π― Π£Π§Π˜Π’Π•Π›Π―
Π’Π’Π•Π”Π•ΠΠ˜Π•
2. ЧисловыС мноТСства.
3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство.
4. ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ.
5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
6. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
7. Π Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
8. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
9. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
10. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° I. ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ§Π›Π•ΠΠ« ОВ ΠžΠ”ΠΠžΠ“Πž ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠžΠ“Πž
Β§ 1. ВоТдСствСнныС прСобразования ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
2. Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
3. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΈ Π΅Π΅ свойства.
4. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.
5. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
6. ЧисловыС ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΈ поля.
7. ΠšΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ числовым ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ.
8. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.
Β§ 2. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Π·Ρƒ. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°.
3. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.
4. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΎΠ»ΡΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.
5. ΠšΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
6. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
7. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
8. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° II. ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π― И НЕРАВЕНБВВА
Β§ 1. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ тСория ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.
3. УравнСния.
4. Бовокупности ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

5. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 2. УравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным
2. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
3. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ нСизвСстного.
4. Π‘ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
5. Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния 3-ΠΉ ΠΈ 4-ΠΉ стСпСнСй.
Β§ 3. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства
2. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
3. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСравСнств.
4. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
5. РСшСниС нСравСнств Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
6. РСшСниС алгСбраичСских нСравСнств Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° III. ΠžΠ‘ΠžΠ‘Π©Π•ΠΠ˜Π• ПОНЯВИЯ Π‘Π’Π•ΠŸΠ•ΠΠ˜. Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠ«Π• Π’Π«Π ΠΠ–Π•ΠΠ˜Π―
Β§ 1. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
2. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
3. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
Β§ 2. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями
2. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
3. Бвойства стСпСнСй с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
Β§ 3. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС выраТСния
2. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния.
3. Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.
4. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· произвСдСния ΠΈ стСпСни.
5. ВынСсСниС алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня ΠΈ внСсСниС ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.
6. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.
7. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· корня.
8. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
9. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.
10. Π£Π½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π² числитСлС алгСбраичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
11. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° …
12. Π‘ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 4. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΈ нСравСнства
2. Π‘Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.
3. Π£Π΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.
4. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ нСизвСстного.
5. ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСсиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° IV. ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ§Π›Π•ΠΠ« ОВ ΠΠ•Π‘ΠšΠžΠ›Π¬ΠšΠ˜Π₯ ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠ«Π₯. Π‘Π˜Π‘Π’Π•ΠœΠ« Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™ И НЕРАВЕНБВВ
Β§ 1. БистСмы алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
3. ГСомСтричСский смысл Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными.
4. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
5. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ подстановки.
7. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ алгСбраичСского слоТСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
8. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… нСизвСстных.
9. БистСмы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
10. ГСомСтричСская интСрпрСтация Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными.
Β§ 2. БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса.
4. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса (ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎ-Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ).
5. РСшСниС ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎ-Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. БистСмы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 3. БиммСтричСскиС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… прилоТСния ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнных сумм
3. Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ симмСтричСских ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….
4. БистСмы симмСтричСских алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
5. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ симмСтричСских ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 4. НСравСнства с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
2. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ арифмСтичСскоС ΠΈ срСднСС гСомСтричСскоС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… чисСл.
3. НСравСнство Коши (Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚).
4. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° наибольшиС ΠΈ наимСньшиС значСния.
Β§ 5. РСшСниС нСравСнств
2. НСравСнства с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
3. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ областСй нСравСнствами ΠΈ систСмами нСравСнств.
4. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.
5. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° V. ΠšΠžΠœΠŸΠ›Π•ΠšΠ‘ΠΠ«Π• Π§Π˜Π‘Π›Π
Β§ 1. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅
2. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа.
3. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл; ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
5. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
6. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
7. БопряТСнныС комплСксныС числа.
8. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· комплСксных чисСл.
Β§ 2. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксных чисСл
2. ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
3. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа.
4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.
5. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.
6. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· комплСксного числа.
7. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксного ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ прСобразования комплСксной плоскости.
Β§ 3. НСкоторыС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. Π”Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
3. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ построСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
4. Π’Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
Β§ 4. Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π΅ слСдствия
2. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
4. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° VI. Π¦Π•ΠŸΠΠ«Π• Π”Π ΠžΠ‘Π˜
Β§ 1. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
4. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
5. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
6. Бвойства подходящих Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
8. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°Π»Π΅Π½Π΄Π°Ρ€ΡŒ.
9. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ подходящими дробями.
Β§ 2. БСсконСчныС Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
2. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ приблиТСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.
3. Π¦Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ инструмСнт.
4. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° VII. ΠšΠžΠœΠ‘Π˜ΠΠΠ’ΠžΠ Π˜ΠšΠ
Β§ 1. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ
Β§ 2. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Β§ 3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
Β§ 4. БоСдинСния с повторСниями
Β§ 5. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅
Β§ 6. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ обобщСния
Β§ 7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния
Π“Π»Π°Π²Π° VIII. Π­Π›Π•ΠœΠ•ΠΠ’Π« Π’Π•ΠžΠ Π˜Π˜ Π’Π•Π ΠžΠ―Π’ΠΠžΠ‘Π’Π•Π™
Β§ 2. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ вСроятности. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ слоТСния ΠΈ умноТСния. УсловныС вСроятности
Β§ 3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния вСроятностСй
Β§ 4. Полная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° БайСса
Β§ 5. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ испытаний
Β§ 6. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния вСроятностСй. ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅
Β§ 7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния

Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ?

ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· любого числа β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ исходноС число ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° сСбя. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ опСрациями. НапримСр, Ссли число Β«mΒ» β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа Β«nΒ» (m = √n), Ρ‚ΠΎ Β«nΒ» β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа Β«mΒ» (n = m Γ— m). ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любого числа всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½, поэтому ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. НапримСр, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· 9Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 ΠΈ -3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 9 обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ √9, Π³Π΄Π΅ 9 называСтся Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π° «√» называСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ символом. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (x) 1/2 , Π³Π΄Π΅ 1/2 β€” ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ касаСтся слоТСния ΠΈ вычитания ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Но ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ слоТСнии ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа x

Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹?

Как ΠΌΡ‹ обсуТдали Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ основаниС. Если Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… коэффициСнты ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅, извСстны ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹Β», Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅, извСстны ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π½Π΅ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹Β».

  • Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, упроститС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.
  • ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ упростили Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹.
  • НаконСц, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнты ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ 8√9 + 3√16.

РСшСниС:

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 8√9 + 3√16

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ±Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… числа Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. Но ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π΅Ρ‰Π΅ большС.

8√9 + 3√16 = 8√(3 2 ) + 3√(4 2 )

= 8 Γ— 3 + 3 Γ— 4

= 24 + 12 = 36.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 8√9 + 3√9003

2

7 Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅

  • АлгСбраичСскиС выраТСния
  • Π’ΠΈΠΏΡ‹ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: 5√8 + 3√32.

РСшСниС:

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 5√8 + 3√32

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, упрощая Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

5√(2Γ—2Γ—2) + 3√(2Γ—2 4 )

= 5 Γ— 2√2 + 3 Γ— 2 2 √2

= 10√2 + 12√07

= 22√2

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 5√8 + 3√32 = 22√2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: УпроститС 14√3 βˆ’ 2√12.

РСшСниС:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 14√3 βˆ’ 2√12

Γ—3)

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  = 14√3 βˆ’ 2 Γ—2√3

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  = 14√3 βˆ’ 4√3Β 

                    = 10√3

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 14√3 βˆ’ 2√12 = 10√3.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅: 7√(a 2 ) βˆ’ 2√(a 4 ) + √(a 2 ).

РСшСниС:

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. 7a βˆ’ 2a 2 + a

= 8a βˆ’ 2a 2

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 7√(a 2 ) — 2√(Π° 4 ) + √(Π° 2 ) = 8Π° — 2Π° 2 .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅: 51√7 + 16√5 βˆ’ 13√7 + 31√5.

РСшСниС:

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 51√7 + 16√5 βˆ’ 13√7 + 31√5

= (51√7 βˆ’ 13√7) + (16√5 + 31√5)

= 38√7 + 47√5

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 51√7 + 16√5 βˆ’ 13√7 + 31√5 = 38√7 + 47√5.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅: 19√75 + 12√27 βˆ’ 10√48.

РСшСниС:

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 19√75 + 12√27 βˆ’ 10√48

= 19√(3 Γ— 5 Γ— 5) + 12√(3 Γ— 3 Γ— 3) βˆ’ 10√(4 Γ— 4 Γ— 3)

= 19 Γ— 5√3 + 12 Γ— 3√3 βˆ’ 10 Γ— 4√3

= 95√3 + 36√3 βˆ’ 40√3

= 91√3

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 19√75 + 12√27 βˆ’ 10√48 = 91√3.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: 2√3 + 3√3.

РСшСниС:

Π”Π°Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 2√3 + 3√3

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, упрощая Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

= 2√3 + 3√3

= 5√3

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 2√3 + 3√3 = 5√3

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7: Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅: √9 + √25.

РСшСниС:

УтсСл 9 + √25 = 8

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8: Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: √8 + 2√2

РСшСниС:

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: √8 + 2√2

20007

= √8 + 2√2

= 2√2 + 2√2          ( Вак как √8 = 2√2 )

= 4√2

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, √8 + 2√9 2 = 40√2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9: Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: √3Γ—(4√3 + 11 )

РСшСниС:

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: √3Γ—(4√3 + 11 )

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, упрощая Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ 90, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

= √3Γ—(4√3 + 11 )

= √3Γ—4√3 + 11Γ—βˆš3

= 4Γ—3 + 11Γ—βˆš3

= 12 + 11Γ—βˆš3

2 ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10: Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: √5Γ—(√5 + √6)

РСшСниС:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: √5Γ—(√5 + √6)

Γ—βˆš5 + √5Γ—βˆš6

= 25 + √30

Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корнях

Вопрос 1: Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· любого числа β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ исходноС число ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° сСбя. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ опСрациями. НапримСр, Ссли число Β«mΒ» β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа Β«nΒ» (m = √n), Ρ‚ΠΎ Β«nΒ» β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа Β«mΒ» (n = m Γ— m).

Вопрос 2: ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любого числа всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½, поэтому ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. НапримСр, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· 9 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 ΠΈ -3.

Вопрос 3: Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ символ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ √x , Π³Π΄Π΅ x называСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ числом, Π° Β« √ Β» называСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ символом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Вопрос 4: Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Но ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ | КоллСдТ АлгСбра |

ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. For example, the sum of

2\sqrt{2}2

​

and

323\sqrt{2}32

​

is

424\sqrt{2}42

​

. Однако часто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния, ΠΈ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

18\sqrt{18}18

​

can be written with a

222

in the radicand, as

323\sqrt{2}32

​

, so

2+18 =2+32=42\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}2

​+18

​=2

​+32

​=42

​

.

Как: Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

  1. УпроститС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
  2. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅

512+235\sqrt{12}+2\sqrt{3}\\512

​+23

​

.

Раствор

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ

5125\sqrt{12}512

ΠΊΠ°ΠΊ

54β‹…35\sqrt{4\cdot 3}54β‹…3

. Богласно ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ произвСдСния это становится

5435\sqrt{4}\sqrt{3}54

3

​

. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ·

4\sqrt{4}4

​

Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2, поэтому Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

5(2)35\left(2\right)\sqrt{3}5(2)3

, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

10310\sqrt{3}103

. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ.

103+23=12310\sqrt{3}+2\sqrt{3}=12\sqrt{3}103

​+23

​=123

​

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ 6

8

8

8 Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

5+620\sqrt{5}+6\sqrt{20}5 9{2}\sqrt{2ac}\text{ }120∣a∣b22ac

β€‹βˆ’28∣a∣b22ac

​=Β 92∣a∣b22ac

​ 

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±. Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅

380xβˆ’445×3\sqrt{80x}-4\sqrt{45x}380x

β€‹βˆ’445x

​

.

РСшСниС

Π›ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ ΠΈ Π°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚Ρ‹

Π›ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚ CC, ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ авторство
  • College Algebra.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *