детская математика: квадратный и квадратный корень
Что такое квадрат числа?
Квадрат числа — это само число, умноженное на него. Например, квадрат 3 равен 3×3. Квадрат 4 — 4х4.
Математический знак для квадрата
Чтобы показать, что число возведено в квадрат, справа вверху от числа помещается маленькая 2. Как это:
Эти знаки такие же, как «3 в квадрате, 4 в квадрате и x в квадрате».
Это также называется надстрочным индексом или степенью числа. Число в «степени 2» совпадает с числом «в квадрате» или «квадратом» числа.
Почему его называют квадратным?
Вы можете представить себе квадрат числа как настоящий квадрат. Вот несколько примеров квадратов с разными числами:
Список целых квадратов
Вот список квадратов от 1 до 12. Возможно, вы уже знаете их, если вы запомнили таблицу умножения. Эти числа еще называют полными квадратами.
Квадратный корень
Квадратный корень прямо противоположен квадрату.
Вы можете думать об этом как о «корне» квадрата или числе, которое использовалось для создания квадрата.
Знак квадратного корня
Знак квадратного корня выглядит так:
Некоторые примеры квадратных корней:
В поисках квадратного корня
На самом деле нет хорошего способа найти квадратный корень, кроме как с помощью калькулятора. Один из способов — попробовать угадать и проверить. Здесь вы угадываете квадратный корень, проверяете его, а затем делаете лучшее предположение.
Пример:
Каков квадратный корень из 32?
Мы знаем, что 5×5 = 25 и 6×6 = 36, поэтому квадратный корень из 30 находится где-то между 5 и 6. Начнем с предположения 5,5.
5,5 х 5,5 = 30,25
Это довольно близко. Теперь мы можем немного изменить наше предположение до 5,6.
5,6 х 5,6 = 31,36
5,7 х 5,7 = 32,49
5,65 х 5,65 = 31,9225
В зависимости от того, насколько точное число нам нужно для ответа, 5,65 — хорошая оценка квадратного корня из 32.
То, что нужно запомнить
- Квадрат — это само число, умноженное на.
- Квадрат равен степени двойки.
- Квадратный корень противоположен квадрату.
Детские предметы по математике
| Умножение Введение в умножение Длинное умножение Советы и хитрости умножения Квадратный и квадратный корень Разделение Фракции Десятичные дроби Разное | Статистика Среднее значение, медиана, мода и диапазон Графики изображений Алгебра Геометрия |
Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество.  4. Подмножество. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств. 8. Вычитание множеств. 9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 1. Общая теория уравнений 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений.  5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2. Метод разложения на множители. 3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.  4. Извлечение корня из произведения и степени. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень. 6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 6. Иррациональные неравенства. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений.  5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений. 8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. § 2. Системы линейных уравнений 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. 2. Выражение степенных сумм 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных. 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.  3. Неравенство Коши (двумерный вариант). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения. § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 6. Деление комплексных чисел. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа.  7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости. § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 2. Двучленные уравнения. 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 2. Многочлены с действительными коэффициентами. 4. Краткие исторические сведения. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 1. Конечные цепные дроби 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. § 2. Бесконечные цепные дроби 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения.  Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2. Комбинаторные задачи. Продолжение § 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 3. Примеры вычисления вероятностей § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
Как складывать и вычитать из квадратных корней?
квадратный корень из любого числа — это значение, которое дает исходное число при умножении на себя. Квадратный корень и квадрат являются обратными операциями. Например, если число «m» — это квадратный корень из числа «n» (m = √n), то «n» — это квадрат числа «m» (n = m × m).
Мы знаем, что квадрат любого числа всегда положителен, поэтому каждое число имеет два квадратных корня, один из которых является положительным значением, а другой — отрицательным. Например, значение квадратного корня из 9равно 3 и -3. Квадратный корень из 9 обозначается как √9, где 9 называется радикалом, а «√» называется подкоренным символом. Квадратный корень из положительного числа x можно записать как (x) 1/2 , где 1/2 — показатель степени. Теперь, что касается сложения и вычитания квадратных корней, мы можем выполнять операции так же, как и с обычными числами. Но помните, что мы можем складывать или вычитать только квадратные корни или радикалы, у которых одинаковые подкоренные числа. В этой статье давайте подробно узнаем о сложении и вычитании квадратных корней.
Квадратный корень из целого числа x
Как складывать и вычитать радикалы?
Как мы обсуждали выше, мы можем складывать или вычитать только квадратные корни или радикалы, которые имеют одно и то же основание.
Если два члена имеют одинаковые подкоренные числа, то мы можем сложить или вычесть их коэффициенты и оставить подкоренные числа как есть. Термины, имеющие одинаковые подкоренные, известны как «подобные радикалы», тогда как термины, имеющие разные подкоренные, известны как «непохожие радикалы».
- Во-первых, упростите данные квадратные корни, если это возможно. Итак, попробуйте разложить их на множители, чтобы найти хотя бы один совершенный квадратный множитель.
- После того, как вы упростили данные квадратные корни членов, найдите такие же радикалы.
- Наконец, добавьте или вычтите коэффициенты одинаковых радикалов и оставьте любые дополнительные члены как часть уравнения.
Пример: Решите 8√9 + 3√16.
Решение:
Данное выражение равно 8√9 + 3√16
Здесь оба подкоренных числа различны. Но мы можем упростить их еще больше.
8√9 + 3√16 = 8√(3 2 ) + 3√(4 2 )
= 8 × 3 + 3 × 4
= 24 + 12 = 36.
Таким образом, 8√9 + 3√9003
27 Также отметьте
- Алгебраические выражения
- Типы алгебраических выражений
Решаемые примеры
Пример 1: Упростить: 5√8 + 3√32.
Решение:
Данное выражение: 5√8 + 3√32
Теперь, упрощая радикалы, получаем
5√(2×2×2) + 3√(2×2 4 )
= 5 × 2√2 + 3 × 2 2 √2
= 10√2 + 12√07
= 22√2
Следовательно, 5√8 + 3√32 = 22√2.
Пример 2: Упростите 14√3 − 2√12.
Решение:
Полученное выражение: 14√3 − 2√12
×3)
= 14√3 − 2 ×2√3
= 14√3 − 4√3
= 10√3
Следовательно, 14√3 − 2√12 = 10√3.
Пример 3: Решите: 7√(a 2 ) − 2√(a 4 ) + √(a 2 ).
Решение:
Указано. 7a − 2a 2 + a
= 8a − 2a 2
Таким образом, 7√(a 2 ) — 2√(а 4 ) + √(а 2 ) = 8а — 2а 2 .
Пример 4: Решите: 51√7 + 16√5 − 13√7 + 31√5.
Решение:
Данное выражение: 51√7 + 16√5 − 13√7 + 31√5
= (51√7 − 13√7) + (16√5 + 31√5)
= 38√7 + 47√5
Таким образом, 51√7 + 16√5 − 13√7 + 31√5 = 38√7 + 47√5.
Пример 5: Решите: 19√75 + 12√27 − 10√48.
Решение:
Данное выражение: 19√75 + 12√27 − 10√48
= 19√(3 × 5 × 5) + 12√(3 × 3 × 3) − 10√(4 × 4 × 3)
= 19 × 5√3 + 12 × 3√3 − 10 × 4√3
= 95√3 + 36√3 − 40√3
= 91√3
Таким образом, 19√75 + 12√27 − 10√48 = 91√3.
Пример 6: Упростить: 2√3 + 3√3.
Решение:
Дано выражение: 2√3 + 3√3
Теперь, упрощая радикалы, получаем
= 2√3 + 3√3
= 5√3
Следовательно, 2√3 + 3√3 = 5√3
Пример 7: Упрощение: √9 + √25.
Решение:
Утсел 9 + √25 = 8
Пример 8: Упростить: √8 + 2√2
Решение:
Данное выражение: √8 + 2√2
20007
= √8 + 2√2
= 2√2 + 2√2 ( Так как √8 = 2√2 )
= 4√2
Следовательно, √8 + 2√9 2 = 40√2
Пример 9: Упростить: √3×(4√3 + 11 )
Решение:
2 Пример 10: Упростить: √5×(√5 + √6)Данное выражение: √3×(4√3 + 11 )
Теперь, упрощая радикалы 90, получаем
= √3×(4√3 + 11 )
= √3×4√3 + 11×√3
= 4×3 + 11×√3
= 12 + 11×√3
Решение:
Полученное выражение: √5×(√5 + √6)
×√5 + √5×√6
= 25 + √30
Часто задаваемые вопросы о квадратных корнях
Вопрос 1: Что такое квадратный корень?
Ответ:
В математике квадратный корень из любого числа — это значение, которое дает исходное число при умножении на себя.
Вопрос 2: Может ли квадратный корень быть отрицательным?
Ответ:
Мы знаем, что квадрат любого числа всегда положителен, поэтому каждое число имеет два квадратных корня, один из которых является положительным значением, а другой — отрицательным. Итак, квадратный корень из числа может быть отрицательным. Например, значение квадратного корня из 9 равно 3 и -3.
Вопрос 3: Что такое символ квадратного корня?
Ответ:
Квадратный корень из x обозначается как √x , где x называется подкоренным числом, а « √ » называется подкоренным символом, который обозначает квадратный корень.
Вопрос 4: Как складывать и вычитать квадратные корни?
Ответ:
Сложение и вычитание квадратных корней можно выполнять так же, как и с обычными числами.
Сложение и вычитание квадратных корней | Колледж Алгебра |
Подкоренные выражения и рациональные выражения
Мы можем складывать или вычитать подкоренные выражения, только если они имеют одинаковые подкоренные числа и когда они имеют одинаковый подкоренной тип, например, квадратные корни. For example, the sum of
2\sqrt{2}2
and
323\sqrt{2}32
is
424\sqrt{2}42
. Однако часто можно упростить радикальные выражения, и это может изменить подкоренное выражение.
18\sqrt{18}18
can be written with a
222
in the radicand, as
323\sqrt{2}32
, so
2+18 =2+32=42\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}2
+18
=2
+32
=42
.
Как: решить подкоренное выражение, требующее сложения или вычитания квадратных корней.
- Упростите каждое подкоренное выражение.
- Сложение или вычитание выражений с одинаковыми подкоренными числами.
Пример 6. Добавление квадратных корней
Добавьте
512+235\sqrt{12}+2\sqrt{3}\\512
+23
. Раствор
Мы можем переписать
5125\sqrt{12}512
как
54⋅35\sqrt{4\cdot 3}54⋅3
. Согласно правилу произведения это становится
5435\sqrt{4}\sqrt{3}54
3
. Квадратный корень из
4\sqrt{4}4
равен 2, поэтому выражение принимает вид
5(2)35\left(2\right)\sqrt{3}5(2)3
, что равно
10310\sqrt{3}103.
103+23=12310\sqrt{3}+2\sqrt{3}=12\sqrt{3}103
+23
=123
Попробуйте 6
8
8
8 Добавить
5+620\sqrt{5}+6\sqrt{20}5 9{2}\sqrt{2ac}\text{ }120∣a∣b22ac
−28∣a∣b22ac
= 92∣a∣b22ac
Попроб. Вычтите
380x−445×3\sqrt{80x}-4\sqrt{45x}380x
−445x
.
Решение
Лицензии и атрибуты
Лицензионный контент CC, конкретное авторство
- College Algebra.
Квадратный корень и квадрат являются обратными операциями. Например, если число «m» — это квадратный корень из числа «n» (m = √n), то «n» — это квадрат числа «m» (n = m × m).
Но помните, что мы можем складывать или вычитать только квадратные корни или радикалы, у которых одинаковые подкоренные числа.
Подкоренное выражение
Теперь у терминов может быть один и тот же подкоренной член, поэтому мы можем добавить.