Видеоурок по алгебре 8 класс тема Модуль действительного числа
Рациональные дроби
Квадратные корни
Модуль
Квадратные уравнения
Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Неравенства
Показать все темы
7 8 9 10 11
Поделиться
0
0
07:00
Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: |x| = x ; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: |x| = -x.
Модуль действительного числа (19 слайдов)
Слайд 1
Модуль действительного числа
Автор материала:
Дудниченко Татьяна Анатольевна, учитель математики
первой квалификационной категории ГАОУ СОШ МГПУ, г. Москва
Слайд 2
Цели и задачи урока
Ввести определение модуля действительного числа, рассмотреть свойства и разъяснить геометрический смысл модуля;
Ввести функцию y = |x|, показать правила построения ее графика;
Научить разными способами решать уравнения, содержащие модуль;
Развивать интерес к математике, самостоятельность, логическое мышление, математическую речь, прививать аккуратность и трудолюбие.
Слайд 3
Определение.
Например:
|8|=8; |-8|=-(-8)=8;
Слайд 4
Свойства модуля
Слайд 5
Геометрический смысл модуля
Числовая прямая служит хорошим примером множества действительных чисел. Давайте отметим на числовой прямой две точки a и b и постараемся найти расстояние ρ(a;b) между этими точками.
Очевидно что это расстояние равно b-a, если b>a
Если поменять местами, то есть a>b, расстояние будет равно a-b.
Если a=b то расстояние равно нулю, так как получается точка.
Все три случая мы можем описать единообразно:
Слайд 6
Пример. Решите уравнение:
а) |x-3|=6 б) |x+5|=3 в) |x|=2.8 г)
Решение.
а) Нам нужно найти на координатной прямой такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние равное 6.
Такие точки 9 и -3. (Прибавили и отняли шестерку от тройки.)
Ответ: х=9 и х=-3
б) |x+5|=3, перепишем уравнение в виде |x-(-5)|=3.
Найдем расстояние от точки -5 удаленное на 3. Такое расстояние, получается, от двух точек: х=2 и х=-8
Ответ: х=2 и х=-8.
в) |x|=2.8, можно представить в виде |х-0|=2.8 или
Очевидно, что х=-2.8 или х=2.8
Ответ: х=-2.8 и х=2.8.
г) эквивалентно
Очевидно, что
Слайд 7
Слайд 8
Функция y = |x|
Слайд 9
Слайд 10
Решить уравнение |x-1| = 4
1 способ (аналитический)
Задание 2
Слайд 11
2 способ (графический)
Слайд 12
3 способ
Слайд 13
Модуль действительного числа.
Тождество
Рассмотрим выражение , если а>0, то мы знаем что .
Но как быть, в случае если a0.
2.
Давайте обобщим:
По определению модуля:
То есть
Слайд 14
Модуль действительного числа.
Пример. Упростить выражение если:
а) а-2≥0 б) a-2
Слайд 15
Модуль действительного числа.
Пример. Вычислить
Решение. Мы знаем что:
Осталось раскрыть модули
Рассмотрим первое выражение:
Слайд 16
Рассмотрим второе выражение:
Используя определение раскроем знаки модулей:
В итоге получили:
Ответ: 1.
Слайд 17
Закрепление нового материала.
№ 16.2, №16.3, №16.4, №16.12, №16.16 ( а, г), №16.19
Слайд 18
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решите уравнение:
а) |x-10|=3 б) |x+2|=1 в) |x|=2.
8 г)
2. Решить уравнение:
а) |3x-9|=33 б)|8-4x|=16 в)|x+7|=-3
3. Упростить выражение
если а) а-3≥0 б) a-3Задачи для самостоятельного решения
Домашнее задание: прочитать материал §16, №16.6 16.11, 16.22
Слайд 19
Список использованной литературы:
Звавич Л.И. Алгебра. Углубленное изучение. 8 кл.: задачник / Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2006. – 284 с.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович. – 12-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 215 с.
Мордкович А.Г и др. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / под ред. А.Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2014. – 271 с.
Абсолютное значение или модуль действительного числа – идея системы счисления
Содержание
Пусть a будет действительным числом, тогда модуль или абсолютное значение a обозначается как |a| и определяется следующим образом:
|a| = a, если a > 0
= 0, если a = 0
= -a, если a < 0
Из определения очевидно, что для всех 6 9005 a р 9{2}} \right)}\]
Из определения следует, что |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0, |8 – 5| = 3, |5 – 8| = 3.
Модуль или абсолютное значение разницы между двумя действительными числами как мера расстояния между соответствующими точками на числовой прямой.
Некоторые простые и полезные результаты, касающиеся модуля или абсолютного значения действительных чисел, обсуждаются ниже:
(I) Для
a, b ∈ R, |a + b| ≤ |а| + |б|т. е. модуль суммы двух действительных чисел меньше или равен сумме их модулей.
Имеем a ≤ |a|, b ≤ |b| ⇒ a + b ≤ |a| + |б|
Кроме того, -a ≤ |a|, -b ≤ |b| ⇒ -(a + b) ≤ |a| + |б|
Сейчас, |a + b| = max {(a + b), -(a + b)}
Таким образом, |a + b| ≤ |а| + |б|
Примечание: фактически |а + б| = |а| + |б| , если a, b имеют одинаковый знак и |a + b| < |а| + |б| , если a, b имеют противоположный знак.
| Пример |
|5 + 2| = 7, |5| + |2| = 7, значит, |5 + 2| = |5| + |2|
|-6 – 2| = |-8| = 8, |-6| = 6, |-2| = 2, значит, |-6 – 2| = |-6| + |-2|
Но |7 – 3| = 4 и |7| = 7, |-3| = 3, поэтому |7| + |-3| = 10
Так как 4 < 10, то |7 – 3| < |7| + |-3| 9{2}}}=\влево| ab \right|\]
| Пример |
|3 . 5| = |15| = 15 и |3| . |5| = 3 . 5 = 15
Итак, |3 . 5| = |3| . |5|
Снова |(-4) . (-3)| = 12 = |-4| . |-3|
(III) Для
a, b ∈ R, |a – b| = | |а| – |б| ||а| = |(а – б) + б| ≤ |а – б| + |б|
⇒ |а| – |б| ≤ | а – б| ………..(1)
Еще раз, |b| = |(б – а) + а| ≤ |б – а| + |а|
⇒ |b| – |а| ≤ |б – а| = |a – b|……….
.(2)
Начиная с ||a| – |б|| = макс {| а | – |b|, -(|a| – |b|)},
Из (1) и (2) заключаем, что
||a| – |б|| ≤ |а – б|
(IV)
|а/б| = |а| / |b|, для всех a, b ∈ R, b ≠ 0 (V) -|a| ≤ а ≤ |а| для всех a ∈ R (VI) |a| 2 = a 2 , для всех a ∈ R (VII) |x – a| ≤ δ ⇒ – δ ≤ x – a ≤ δ (VIII) 0 < |x – a| ≤ Δ ⇒ A — Δ ≤ x ≤ a + Δ| Пример 01 |
01
9000 Решите уравнение |2x – 3| = 7
Решение:
|2x – 3| = 7
2х – 3 = 7 …………(1)
2х – 3 = -7 …………(2)
Из (1) 2х = 10, т.
е. х = 5
И из (2) 2x = -4, т. е. x = -2
Требуемые решения: x = 5 и x = -2.
| Пример 02 |
Решить неравенство |x – 5| < 9 и укажите решение на числовой прямой.
Решение:
|x – 5| < 9
⇒ -9 < x – 5 < 9
⇒ -9 + 5 < x < 9 + 5
⇒ -4 < x < 14
Решением является открытый интервал -4 < x < 14 или ( -4, 14). Пример 03 – 3 = 0.
Решение:
Пусть |х| = у, так как |х| 2 = x 2 , данное уравнение сводится к
y 2 – 2y – 3 = 0
⇒ (y – 3)(y + 1) = 0
т.е., — y = 3 1
Таким образом, |x| = 3, т. е. x = +3, -3
|x| = -1 невозможно
Следовательно, решения x = 3, -3
| Пример 04 |
Покажите, что |a + b| < |а| + |б| тогда и только тогда, когда ab < 0,
Решение:
Мы знаем |a + b| 2 = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
< a 2 + b 2 + 2|ab|, если и только если 3 0 0 ab |
= |а| 2 + |б| 2 + 2|аб| = (|a| + |b|) 2
Отсюда |a + b| < |а| + |б| тогда и только тогда, когда ab < 0,
;
Математика – модуль вещественного числа
Абсолютное значение обсуждает площадь от нулевой точки без учета направления.
Абсолютное значение любого числа никогда не может быть отрицательным. Это всегда положительно. В качестве альтернативы можно сказать, что «модуль действительного числа» описывается алгебраически точным и осмысленным образом. Например, если действительное число не является отрицательным, абсолютное значение не станет отрицательным, оно останется прежним.
Понятие действительного числа
Действительные числа в основном представляют собой объединение как рациональных, так и иррациональных чисел в системе счисления. В целом можно констатировать, что «модуль вещественного числа» в различных числовых операциях может выполняться. Это может быть представлено также в пределах данной числовой строки. На том же основании можно утверждать, что мнимые числа называются недействительными числами. В результате это число, вообще говоря, не может быть выражено в номерах строк. Обычно используется для представления комплексного числа.
«Модуль действительных чисел» в целом можно описать как сложную комбинацию как рациональных, так и иррациональных чисел.
Рациональные числа и иррациональные числа могут быть как положительными, так и отрицательными по своей природе. Однако он обозначается специальным символом с именем R. Можно сказать, что каждое натуральное число, дробь и десятичная дробь входят в эту категорию.
Свойства действительных чисел
Ниже приведены основные свойства действительных чисел, которые используются при определении упрощенных математических выражений.
Свойство замыкания. В соответствии с этим свойством можно утверждать, что «модуль вещественного числа» обычно замыкается суммой, минусом и умножением.
Коммутативное свойство. Указывает, что изменение порядка суммирования или умножение действительных чисел не меняет никакого результата. Налицо наличие как суммирования, так и умножения коммутативных свойств «модуля вещественного числа».
Ассоциативное свойство. Это свойство также направлено на то, чтобы изменение или изменение сложения, умножения или «модуля действительного числа» не изменяло никакого такого результата.
Распределительное свойство. Можно сказать, что это свойство обычно применяется, когда учащиеся упрощают числовые выражения с помощью скобок. Это также известно под названием свойства умножения. Кроме того, в нем говорится, что для любых действительных чисел x, y или z свойство дистрибутивности можно сформулировать как x (y + z) = xy + yz.
Как найти модуль действительного числа?
Чтобы понять вопрос «Как найти модуль действительного числа», на него можно ответить следующим образом, заявив, что «модуль действительного числа» описывается алгебраически точным и осмысленным способом. Например, если действительное число не является отрицательным, абсолютное значение не станет отрицательным, оно останется прежним.
В более широкой перспективе можно утверждать, что функция модуля действительного числа по своей природе не является отрицательной по своей природе. Если f (z) является функцией «модуля действительного числа», то можно утверждать, что в основном есть три предположения или условия.
Во-первых, когда z положительно, то f (z) = z. Во-вторых, когда z равно нулю, то f(z)=0 и, наконец, можно утверждать, что когда значение z больше 0, то результатом является f(z)=-z.
Применение модуля действительного числа
Давайте рассмотрим числовую иллюстрацию для понимания применения модуля действительного числа:
Пример A. Решите (z+3) = 8 с помощью функции модуля действительного числа
Ответ. Поскольку известно, что «модуль вещественного числа» не всегда отрицателен, можно сказать, что существует два случая функции модуля действительного числа.
Предположение № 1
Когда z+3 больше 0,
(z+3) = z+ 3
z+3 = 8
z= 8-3
z= 5
Предположение № 2
Когда z+3 меньше 0,
{z+ 3} = – (z + 3)
– (z + 3) = 8
z= -3 -8
z= -11
Таким образом, значение z может быть либо 5, либо – 11.
Заключение
Из приведенного выше обсуждения можно сделать вывод, что абсолютное значение любого числа никогда не может быть отрицательным.