Сложение векторов правило: Какие правила сложения векторов вы знаете?

Сложение и вычитание векторов

На уроках геометрии вы уже познакомились с простейшими операциями над векторами: нахождением их суммы и разности. Напомним это.

Сложение векторов. Чтобы найти сумму двух векторов, необходимо: а) параллельным переносом совместить начала векторов; б) дополнить чертёж двумя отрезками так, чтобы получился параллелограмм; в) провести вектор суммы из точки начал векторов в точку соединения дополняющих отрезков (по диагонали параллелограмма).

Проиллюстрируем это правило на примере из § 12-в, когда автомобиль перемещается сначала по вектору AВ1 и затем по вектору В1В2 до поворота на мост (см. чертёж слева). Другими словами, мы ищем вектор суммы или, что то же самое, сумму векторов AВ1 и В1В2.

Сделаем новые чертежи обсуждаемых векторов (см. ниже). На чертеже «а» применим параллельный перенос и переместим вектор В1В2 началом в точку А (то есть совместим начала векторов). Чертёж «б» дополним двумя отрезками СВ2 и В1В2 до образования параллелограмма. На чертеже «в» проведём вектор суммы из точки А начал векторов в точку В2 соединения дополняющих отрезков (по диагонали параллелограмма).

Итак, мы нашли вектор суммы или сумму векторов:

Проверим правильность результата: автомобиль, переместившись из точки А в точку В1, затем переместился из точки В1 в точку В2. Иначе говоря, он совершил перемещение «по» вектору АВ2, который мы только что построили, применив правило паралеллограмма.

Вычитание векторов. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: а) параллельным переносом совместить начала векторов; б) дополнить чертёж отрезком так, чтобы получился треугольник; в) придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому, создав вектор разности.

Проиллюстрируем это правило на том же примере из § 12-в, когда автомобиль подъезжает к середине моста. Для этого из вектора полного перемещения АВ3 вычтем перемещение на третьем этапе, вектор B2В3.

Другими словами, сейчас мы ищем вектор разности:

На чертеже «а» применим параллельный перенос и переместим вектор В2В3 началом в точку А (то есть совместим начала векторов). Чертёж «б» дополним отрезком DВ3 до образования треугольника. На чертеже «в» придадим отрезку направление от вычитаемого (синего вектора) к уменьшаемому (красному вектору), создав вектор разности DВ3.

Контурной стрелкой показан параллельный перенос найденного вектора разности в точку А. Важно: построенный вектор DВ3 равен искомому вектору разности АВ2. Это, по сути, проверка правильности результата, поскольку этот вектор мы уже находили по правилу параллелограмма.

Заметим, что векторы можно складывать и «треугольником», а вычитать «параллелограммом». Но мы рекомендуем запомнить именно правило параллелограмма для суммы векторов и правило треугольника для разности векторов, поскольку в дальнейшем эти правила понадобятся нам именно в таком виде.

Опубликовано в разделах: 9 класс, Введение в кинематику

в чем оно состоит, примеры решения задач

Основные понятия

Определение 1

Направленный вектор — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Обозначается следующим образом:

 

Коллинеарность векторов означает: ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор (вектор нулевой длины) является коллинеарным любому вектору.

Определение 2

Сонаправленные векторы — векторы, направленные в одну сторону.

Определение 3

Противонаправленные векторы — векторы, направленные в разные стороны.

 

Определение 4

Равные векторы — векторы, которые коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Формулировка компланарности векторов: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Некомпланарный вектор не имеет равный ему вектор, лежащий в одной плоскости.

Складывать векторы можно несколькими способами. Мы рассмотрим сложение векторов методом параллелограмма.

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти векторы и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из этой точки, и будет суммой векторов.

На рисунке все наглядно проиллюстрировано.

сочетательный закон:

 

Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат:

 

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов , после прибавили ее к вектору  и получили результат: 

Таким образом, мы провели доказательство сочетательного закона сложения векторов.

Когда векторы расположены в пространстве и они не компланарны, для их сложения применяется правило параллелепипеда.

Для начала проводят построение:

1. Векторы приводят к общему началу А.

    2. На этих трех ребрах строиться параллелепипед.

    3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов АВ, AD, AA1.

Примеры решения задач

Пример 1

Определить вид четырехугольника ABCD, если:

 

 

Решение:

Данный четырехугольник — ромб. Обоснуем это.

Мы знаем, что векторы  и  равны, отсюда следует, что равны их модули — то есть длины отрезков.

Векторы по условию сонаправлены и коллинеарны, то есть принадлежат параллельным прямым. Таким образом, заданный четырехугольник — параллелограмм.

Данный факт обоснован признаком параллелограмма: если две стороны четырехугольника принадлежат параллельным прямым и длины их равны, то данный четырехугольник — параллелограмм.

Согласно второму условию: , соседние стороны параллелограмма равны друг другу, а такой параллелограмм является ромбом.

Пример 2

Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: AB+AD+AА1.

Решение:

AB+AD=AC, AC+AA1=AC1

Ответ: AC1.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1

Дан параллелограмм ABCD. Найдите сумму векторов CD+DB+BA.

Задание 2

Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DA+DC+DD1.

Добавление вектора

Математика и наука были изобретены людьми для описания и понимать окружающий мир. Заметим, что существуют некоторые величины и процессы в наш мир, которые зависят от направления , в котором они происходят, и есть некоторые величины, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество который зависит от направления a количество векторов . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторное количество имеет две характеристики: величина и направление . Когда сравнение две векторные величины одного и того же типа, вы должны сравнить обе величина и направление. На этом слайде мы описываем метод сложения двух векторов. Сложение векторов — это один из аспектов большой векторной алгебры, которую мы изучаем. , а не будет представлен на этом сайте. Добавление вектора представлено здесь потому, что встречается довольно часто при изучении ракет и потому что он демонстрирует некоторые фундаментальные различия между векторы и скаляры. Векторы обычно обозначаются на рисунках стрелкой. Длина стрелки указывает величину и кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены буквой в алфавитном порядке буква с линией сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Величину вектора будем обозначать символом |а| . Направление будет измеряться углом фи относительно координаты ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! Они имеют величину и направление. Ты первый столкнуться с осями координат, когда вы учитесь строить графики. Так что у тебя есть использовал векторы в течение некоторого времени, даже не подозревая об этом! Если мы построим пунктирную линию от кончика вектора a идущий параллельно оси х, он пересекает ось у в том месте, где мы этикетка или . Точно так же линия от кончика вектора параллельно оси y пересекает ось x в точке x . Величины x и ay называются составные части вектора, и оба являются скалярными квантитами. Чтобы добавить два вектора, а и б , мы сначала разбиваем каждый вектор на его компоненты, x и a , и bx и по , как показано на рисунке. Из правил, регулирующих равенство векторов, синий вектор b равен черному вектору b потому что он имеет одинаковую равную длину и одинаковое направление. Теперь, поскольку компоненты вектора и вектор b скаляры, мы можем добавить x-компоненты для генерации x-компонент нового вектора c : сх = топор + Ьх Точно так же мы можем добавить y-компонентов : су = ау + по Новые компоненты cx и cy полностью определяют новый вектор c , указав как величину, так и направление. Внимательно взглянув на диаграмму, мы видим, что сложение двух векторов дает новый вектор, равный , а не в направлении любого из исходные векторы, величина которых равна , а не и равна сумме величин исходных векторов. Векторная алгебра сильно отличается от скалярной алгебры, потому что она должна учитывать как величину, так и направление. Примечание: На этом слайде для простоты мы разработали компоненты только в двух измерениях; имеются две оси координат. В действительности существуют три пространственных измерения и три компонента мира. все силы. Это важно для нашего вывода общие уравнения с движением для траекторий полета и для Навье-Стокса и уравнения Эйлера, которые описать силы и результирующее движение жидкостей в двигателе. Мы можем разбить очень сложные трехмерные векторные задачи на всего три скалярных уравнения. Экскурсии с гидом Векторов: Ракетный перевод: Деятельность: Связанные сайты: Rocket Index Rocket Home Руководство для начинающих Home

геометрия — Причина закона сложения векторов

спросил 3 года, 4 месяца назад

Изменено 3 года, 4 месяца назад

Просмотрено 201 раз

$\begingroup$

В чем причина треугольного закона сложения векторов, другими словами, как это действительно оправдано?

• векторы
• геометрия
• математика

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Наивный ответ. ..

Если вы идете из A в B, а затем из B в C, вы можете представить свое перемещение из A в B в виде стрелки, а из B в C — в другую стрелку. Ясно, что ваше смещение от А к С может быть представлено стрелкой, идущей от А к С, или двумя уже упомянутыми стрелками, помещенными так, чтобы хвост второй касался головы первой. Это правило добавления смещений, и, возможно, оно самоочевидно. Правило можно распространить на любое количество перемещений.

Скорость — это перемещение в единицу времени, поэтому скорости должны складываться как смещения.

Импульс и ускорение определяются через скорость, поэтому импульсы и ускорения должны складываться как смещения.

Аргумент можно распространить с помощью второго закона Ньютона на силы и напряженности поля.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

При сложении двух векторов результирующий вектор формируется путем сложения компонентов двух отдельных векторов.