Сложение вычитание и умножение векторов – 1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах

На данном уроке мы рассмотрим технику выполнения действий над векторами в координатах. Мы сформулируем и докажем теоремы, рассмотрим конкретные примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Ранее для выполнения действий с векторами мы применяли правило треугольника, правило параллелограмма, сжимали или растягивали вектор. Теперь мы научимся выполнять действия над векторами в координатах.

Пример

Даны векторы , ,  (см. рис. 1).

Рис. 1. Задача о сложении векторов

Найти:

Решение

Из произвольной точки  строим вектор . Далее из конца вектора  строим вектор , он сонаправлен вектору , а длина в два раза больше. Теперь из конца вектора  строим вектор , он противоположно направлен вектору , а длина в 4 раза больше. Теперь соединяем точку  и конец вектора  – получен ответ, вектор  (см. рис. 2).

Рис. 2. Решение задачи

Пусть заданы два неколлинеарных вектора. Будучи отложены из одной точки, они задают косоугольную систему координат (см. рис. 3).

Рис. 3. Косоугольная система координат

Любой третий вектор однозначно выражается через векторы , :

Пара чисел  однозначно задает вектор – это и есть его координаты: .

Теорема

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Дано:; .

Доказать:.

Доказательство

В системе координат относительно векторов ,  имеем:

;

Тогда сумма:

Что и требовалось доказать: .

Теорема

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Дано:.

Доказать:.

Доказательство

В системе координат относительно векторов ,  имеем:

Умножим обе части равенства на число :

Что и требовалось доказать: .

Рассмотрим разность векторов.

Дано: ; .

Координаты вектора  определяем как координаты вектора, умноженного на число:

Тогда разность векторов:

Пример

Доказать, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Решение

Дано: ; , .

Доказать: ; .

По определению коллинеарных векторов векторы  и  лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В таком случае вектор  можно получить из вектора  умножением на некоторое число:

 по условию;  по правилу умножения вектора на число.

Равные векторы имеют равные координаты, отсюда:

;

Что и требовалось доказать.

Пример

; ; ;

Найти попарно коллинеарные векторы.

Решение

Очевидно, что нужно искать пропорциональные координаты. Рассмотрим первый и третий векторы:

Получено верное равенство, следовательно, векторы коллинеарны: .

Рассмотрим второй и четвертый векторы:

Также получено истинное выражение, а значит, векторы коллинеарны: .

Ответ:; .

Итак, мы научились складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число в координатах.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)

2. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

3. Интернет-сайт edu.dvgups.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вектор  с началом в точке  имеет координаты . Найдите сумму координат точки .

2. Заданы векторы  и . Найти координаты вектора .

3. Даны векторы  и . Найти векторы ; .

4.Даны векторы ,  и . Найти   и  

interneturok.ru

сложение, вычитание, умножение вектора на число. Схематические изображения. — КиберПедия

Вектор – это направленный отрезок.

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Если

Если

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

Если начало и конец вектора совпадают , то такой вектор называется нулевым

и обозначается Длина нулевого вектора равна нулю: , а направление – неопределенно.

Сложение векторов

 

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , отложенного из конца вектора (правило треугольника).

Суммой векторов и называется такой третий вектор , что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (называется сложением по правилу параллелограмма).

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

При сложении векторов выполняется переместительныйзакон, т.е. + = +

 

и сочетательныйзакон, т.е. ( + )+ = +( + )

Вычитание векторов

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

 

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|⋅| |, причем векторы сонаправлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.

Обозначение

Вектора и коллинеарны для любого k. Если два вектора и коллинеарны – то существует такое число k, что =k .
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов и и чисел k и l справедливы следующие законы:

Сочетательный: (kl)a→=k(l )

Первый распределительный: k(

+ )=k +k

Второй распределительный: (k+l) =k +l

 

Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы. Длины векторов. Примеры.

Единичные векторы выходящие из начала координат в положительных направлениях осей OX, OYи OZназываются ортами этих осей.

Любой вектор можно разложить по ортам осей координат: , или

(на плоскости).

Пример:

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение.

Числа называются направляющими косинусами вектора .

 

Направляющие косинусы вектора определяются соотношениями:

, ясно что

Пример: а

= (3; -6; 2).

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Если

Если

Пример: а = (3; -6; 2).

 

 

17. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы: определения и примеры. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности.

Два вектора называются ортогональными, если в пересечении они образуют прямой угол, т.е. угол в 90^о.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Условие ортогональности векторов. Два вектора и ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. · = 0

Условия коллинеарности

Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b

Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

 

Условия компланарности векторов

Ø Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Ø Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Ø Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

 

 

(НУЖНЫ ПРИМЕРЫ)

 

 

cyberpedia.su

7. Векторы. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

Вектор – это объект, кот.имеет длину и направление. Это пара точек, про кот.известно, какая является началом, а какая концом.

Векторы бывают: 1) свободными (начало несущественно для рассмотрения задачи, их можно переносит пар-но самому себе как угодно.) 2) связанными (начало существенно для рассмотрениязадачи).

Длина вектора обозначается: |AB|

Если начало и конец совпад, то вектор наз-ся нулевой. Его направление считается неопределенным.

Сложение векторов: по правилу параллелограмма.

Умножение вектора на число: результатом умножения свобод.вектора на положительное число будет вектор, имеющий то же направление, что и исходный, но с длиной враз больше.

8. Операции над векторами, заданными в координатной форме.

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

Вектора можно:

1. Складывать и вычитать.

2. Умножать на число.

3. Искать их скалярное произведение.

4. Искать угол между векторами.

9. Скалярное произведение векторов, его свойства.

Скал.произведение () – число, равное произвед.длин этих векторов наcos угла между ними.

Свойства скал.произведения:

1.Не зависит от порядка умножения.

2.Скал.произведение вектора на самого себя = квадрату этого вектора.

3.Скал.произведение взаимоперпендикулярных векторов = 0.

10. Векторное произведение векторов, его свойства.

Векторное произвед.векторов – операция над ними, результатом кот.явл-ся вектор, обладающий след.свойствами:

1.Векторное произвед.вектора на самого себя = 0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

3. [] = [;

[] = ([) + []

[] =[] + []

=

=

–правые тройки векторов.

Если в декартовой системе координат 1 напр-е изменилось на противоположное, то получается левая тройка векторов.

Смысл векторного произвед.: длина векторного произв. 2х векторов = площади параллел-ма, построенного на этих векторах:

11. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение их методами Гаусса, Крамера, матричным.

Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными: a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+ . . .+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+ . . .+a_2n x_n=a_2n+1 . .

a_n1 x₁+a_n2 x₂+ . . .+a_nn x_n=a_nn+1

Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x₁. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a₁₁ отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a₁₁, получим:

x₁+b₁₂ x₂+ . . .+b_1n x_n=b_1n+1

При помощи этого уравнения исключаем x₁ из исходной системы:

a⁽¹⁾₂₂ x₂+a⁽¹⁾₂₃ x₃+ . . .+a⁽¹⁾_2n x_n=a⁽¹⁾_2n+1 .

a⁽¹⁾_n2 x₂+a⁽¹⁾_n3 x₃+ . . .+a⁽¹⁾_nn x_n=a⁽¹⁾_nn+1

где

a⁽¹⁾_{i j}=a_{i j}-a_{i 1}b_{1 j}, i,j= 2…n

Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:

x₁+с₁₂ x₂+ . . .+с_1n x_n=с_1n+1

x₂+ . . .+c_2n x_n=c_2n+1

x_n=c_nn+1

Теперь легко определить x_n,x_n-1, . . ., x₁.

Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.

Метод Крамера: каждый из неизвестных x – дробь, в знаменателе кот.нах-ся определитель системы, а в числителе определитель, получ.из определителя системы путем замены столбца, №кот. = № x на столбц свободных членов. a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+ . . .+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+ . . .+a_2n x_n=a_2n+1 . .

a_n1 x₁+a_n2 x₂+ . . .+a_nn x_n=a_nn+1

Матричный метод:

Пусть знаменатель = =

А числитель = D. Для =

==

. Для остальных – аналогично.

studfiles.net

Вопрос 3. Векторные величины. Сложение, вычитание и умножение векторов. Сила и масса. Законы Ньютона.

Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, которая называется силой. Сила является количественной мерой действия тел друг на друга, в результате которых они изменяют состояние своего движения.

Изменение состояния покоя или движения какого-либо тела всегда вызывается действием на него сил, исходящих от определенных других тел. Примеры.

Если бы на данное тело не действовали никакие силы со стороны других тел, то оно или находилось бы в неизменном состоянии покоя, или двигалось прямолинейно и равномерно. Состояние равномерного прямолинейного движения считается неизменным состоянием движения, поскольку это единственный вид движения с постоянной по величине и направлению скоростью и W = 0. Состояние покоя можно считать частным случаем равномерного прямолинейного движения, скорость которого равна 0.

Силы, как количественная мера взаимодействия тел, характ. не только своей величиной, но и направлением действия и точкой прило- жения, т.е. сила – вектор.

В механике рассматривают 1)гравитационные силы (силы тяжести), 2)силы упругие, которые действуют как между соприкасающимися телами, так и между соседними слоями одного и того же тела. Упругие силы возникают в результате деформации тел и зависят от величины деформаций, 3) силы трения, действующие на соприкасающиеся поверхностные слои тел и зависящие как от состояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

Если на материальную точку действуют две силы F₁ и F₂ то их действие эквивалентно действию равнодействующей силеR = F₁ + F₂

Если к материальной точке приложены F₁, F₂, …F_n сил, то их складывают по такому же принципу.R = F_i, или можно построить силовой многоугольник.

Измерение сил производят путем количественного сравнения конкретных результатов их действия. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы различные тела испытывают неодинаковые ускорения, т.е. изменение их инерциального движения различно. Мы говорим, что различна инерция этих тел. Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса.

Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать строгим и исчерпывающим, т.к. при больших скоростях масса одного и того же тела может изменяться при движении. Но будем пока пользоваться определением Ньютона.

Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства.

Величину массы определяют по различным ее проявлениям (инерции, тяготению) путем сравнения с массой какого-либо эталонного тела, произвольно принятого за единицу. Единицей массы в системе СИ является эталон 1 кг.

Изучая действие сил на движение тел, был сформулирован первый закон Ньютона (Галилей): точечное тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку действие внешних сил не вынудит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять скорость неизменной (в частности равной нулю) при отсутствии действующих на них сил называется инертностью. Поэтому равномерное прямолинейное движение тел часто называют движением по инерции, а 1-ый зак. Ньютона — законом инерции.

Установленный Ньютоном второй закон механики указывает, каким будет характер движения точечного тела при действии на него заданных сил.

При действии сил движение тела перестает быть равномерным и прямолинейным и появляется ускорение W. Направление его совпадает с направлением F.W  F при m = const. (1)

При действии одной и той же силы F на разные тела W этих тел оказываются различными, причем W  1/m (2)

при F = const. Объединяя (1) и (2) получаем, что

W  F/m, или F  mW F = kmW,

но единицу силы выбирают так, что к = 1 и тогда

F = mW = mdV/dt = d/dt (mV) = dP/dt, (3)

где Р – импульс (количество движения) материальной точки.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

1 Н – сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение, равное 1 м/с².

Сила веса 1 кг, тогда 1Н = 0,102 кг; 1 кг = 9,81 Н.

До сих пор мы рассматривали влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом Ньютона, сформулированным для случая взаимодействия 2-х мат. точек: Если материальная точка m₂ испытывает со стороны матер. точки m₁ силу равную F₁₂, то m₁ испытывает со стороны m₂ силу F₂₁, равную по величине и противоположную по направлению F₁₂.

F₂₁ = — F₁₂

Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m₁ и m₂ . В случае произвольно большого множества точек взаимодействие в такой системе согласно 3-му зак. сводится к парному взаимодействию между любыми двумя точками. Т.е. например, сила, испытываемая точкой m₃ системы, складывается из сил, действующих со стороны точек m₁, m₂, m₄, m₅ и т.д. F₃ = F₁₃ + F₂₃ +F₄₃ +F₅₃ + …

Часто употребляется такая формулмровка 3-го закона; «действие равно противодействию» – это неполная формулировка, т.к. в ней не подчеркивается важное обстоятельство: силы действия и противодействия приложены всегда к различным телам и поэтому никогда не уравновешивают друг друга.

Например, когда человек идет по земле, то сила, с которой он отталкивает землю назад, равна по величине и направлена обратно той силе, с которой земля отталкивает человека вперед. При равенстве этих сил, однако, согласно 2-го зак. Ньютона, возникающие ускорения обратно пропорциональны массам, и землю благодаря ее очень большой по сравнению с человеком массе можно считать практически неподвижной.

studfiles.net

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

1. Сложение векторов. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма или многоугольника.
Правило параллелограмма. Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , выходящий из их общего начала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются сами векторы (рис.1) и обозначают так: .

Рис.1

Правило многоугольника. Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет собой искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего.

Рис.2

Например, сумма векторов , , и d получается так (рис.2). Строим векторы

Тогда вектор суммы

Два вектора и , имеющие равные длины, но противоположные направления, называются противоположными векторами (рис.3).

Рис.3

Если вектор , противоположен вектору , то можно записать:

.
Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору:

Сумма векторов удостоверяет:
а) закону переместительности:

б) закону сочетательности:

2. Вычитание векторов. Вычитание двух векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух векторов и называется такой третий вектор , который нужно сложить с вектором , чтобы получить вектор , т. е. , если .
Чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отнести их к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора-вычитаемого конечную точку вектора-уменьшаемого (рис.4).

Рис.4

То же действие вычитания двух векторов можно произвести иначе.
Чтобы вычесть из вектора вектор , надо прибавить к вектору равный и противоположно направленный вектору вектор (- ).
Построим вектор , длина которого равна длине вектора , а направление его противоположно направлению вектора .
Кроме того, дополним треугольник ABC до параллелограмма АСВВ₁.
Очевидно равно . Следовательно, (рис.4).
Искомая разность

Мы получим следующее равенство:

3. Умножение вектора на скаляр. При умножении вектора на скаляр n получим вектор , коллинеарный с вектором и имеющий длину в n раз больше, чем . Этот новый вектор
имеет одинаковое направление с вектором , если n>0, и противоположное с ним направление, если n

Рис.5

Если обозначить одноименной буквой с нуликом вверху вектор длины, равной 1, и того же направления, что и вектор , то из определения умножения вектора на скаляр следует

Единичный вектор направления вектора называется его ортом.

math-helper.ru

3. Векторные величины. Сложение, вычитание и умножение векторов. Силы. Масса. Законы ньютона.

Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, которая называется силой. Сила являетсяколичественной мерой действия тел друг на друга, в результате которых они изменяют состояние своего движения.

Если бы на данное тело не действовали никакие силы со стороны других тел, то оно или находилось бы в неизменном состоянии покоя, или двигалось прямолинейно и равномерно. Состояние равномерного прямолинейного движения считается неизменным состоянием движения, поскольку это единственный вид движения с постоянной по величине и направлению скоростью иW= 0. Состояние покоя можно считать частным случаем равномерного прямолинейного движения, скорость которого равна 0.

Силы, как количественная мера взаимодействия тел, характ. не только своей величиной, но и направлением действия и точкой приложения, т.е.сила – вектор.

В механике рассматривают 1)гравитационные силы, 2)силы упругие. Упругие силы возникают в результате деформации тел и зависят от величины деформаций, 3) силытрения, действующие на соприкасающиеся поверхностные слои тел и зависящие как от состояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

Если на материальную точку действуют две силы F₁иF₂то их действие эквивалентно действию равнодействующей силеR=F₁+F₂

F₁

R

F₂

Если к материальной точке приложены F₁,F₂, …F_nсил, то их складывают по такому же принципу.R=F_i,

или можно построить силовой многоугольник.

F₁ F₂

F₃

0 R F₅ F₄

Измерение силпроизводят путем количественного сравнения конкретных результатов их действия. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы различные тела испытывают неодинаковые ускорения. Мы говорим, что различна инерция этих тел.Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса.

Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать строгим и исчерпывающим, т.к. при больших скоростях масса одного и того же тела может изменяться при движении.

Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства.

Величину массы определяют по различным ее проявлениям путем сравнения с массой какого-либо эталонного тела, произвольно принятого за единицу. Единицей массы в системеСИявляетсяэталон 1 кг.

Изучая действие сил на движение тел, был сформулирован 1 закон Ньютона (Галилей):точечное тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку действие внешних сил не вынудит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять скорость неизменной при отсутствии действующих на них сил называется инертностью. Поэтому равномерное прямолинейное движение тел часто называют движением по инерции, а 1-ый зак. Ньютона — законом инерции.

Установленный Ньютоном 2 закон механики указывает, каким будет характер движения точечного тела при действии на него заданных сил.

При действии сил движение тела перестает быть равномерным и прямолинейным и появляется ускорение W. Направление его совпадает с направлениемF.WFприm=const. (1)

При действии одной и той же силы Fна разные телаWэтих тел оказываются различными, причем

W  1/m (2) при F = const. Объединяя (1) и (2) получаем, чтоW  F/m, или F  mW

F = kmW, но единицу силы выбирают так, что к = 1 и тогда

F = mW = mdV/dt = d/dt (mV) = dP/dt, (3)гдеР – импульс (количество движения) материальной точки.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

1 Н – сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение, равное 1 м/с².

Сила веса 1кГ, тогда 1Н = 0,102 кГ; 1 кГ = 9,81 Н.

До сих пор мы рассматривали влияние других тел на характер движения данного выделенного тела . Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается 3 законом Ньютона, сформулированным для случая взаимодействия 2-х мат. точек:Если материальная точка m₂ испытывает со стороны матер. точки m₁ силу равную F₁₂, то m₁ испытывает со стороны m₂ силу F₂₁, равную по величине и противоположную по направлению F₁₂.

F₂₁ = — F₁₂

F₂₁ F₁₂

   силы отталкивания

m₁m₂

F₂₁F₁₂

   силы притяжения

m₁m₂

Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m₁иm₂.

В случае произвольно большого множества точек взаимодействие в такой системе согласно 3-му зак. сводится к парному взаимодействию между любыми двумя точками. Т.е. например, сила, испытываемая точкой m₃системы, складывается из сил, действующих со стороны точекm₁,m₂,m₄,m₅и т.д.F₃=F₁₃+F₂₃+F₄₃+F₅₃+ …

Силы действия и противодействия приложены всегда к различным телам и поэтому никогда не уравновешивают друг друга.

Пример: когда человек идет по земле, то сила, с которой он отталкивает землю назад, равна по величине и направлена обратно той силе, с которой земля отталкивает человека вперед. При равенстве этих сил, однако, согласно 2-го зак. Ньютона, возникающие ускорения обратно пропорциональны массам, и землю благодаря ее очень большой по сравнению с человеком массе можно считать практически неподвижной.

studfiles.net

10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Комментарии преподавателя

От­ме­тим, что сло­же­ние век­то­ров про­из­во­дит­ся ана­ло­гич­но пла­ни­мет­рии, толь­ко все дей­ствия вы­пол­ня­ют­ся в про­стран­стве.

Итак, пусть за­да­ны два про­из­воль­ных век­то­ра в про­стран­стве (рис. 1):

Рис. 1. Про­из­воль­ные век­то­ры в про­стран­стве

Опре­де­лим, что же на­зы­ва­ет­ся сум­мой двух этих век­то­ров.

Точно так же, как в пла­ни­мет­рии, из любой удоб­ной точки, на­зо­вем ее точ­кой А, можно един­ствен­ным об­ра­зом от­ло­жить век­тор, рав­ный век­то­ру . На­пом­ним, что за­дан­ные век­то­ры, как и любые дру­гие, сво­бод­ны, важно лишь на­прав­ле­ние и длина, сам век­тор можно па­рал­лель­но пе­ре­но­сить в любое место как на плос­ко­сти, так и в про­стран­стве. Так, мы по­лу­чи­ли век­тор  – в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку В. Те­перь из точки В от­кла­ды­ва­ем един­ствен­но воз­мож­ным об­ра­зом век­тор , по­лу­ча­ем век­тор  – так, в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка В пе­ре­ме­сти­лась в точку С. В ре­зуль­та­те точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку С, по­лу­чен век­тор , ко­то­рый и на­зы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров  и  (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух век­то­ров в про­стран­стве

Так, по­лу­че­но пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка для сло­же­ния век­то­ров в про­стран­стве.

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Из любой точки про­стран­ства (точка А) от­кла­ды­ва­ем пер­вый век­тор, из конца пер­во­го век­то­ра (точка В) от­кла­ды­ва­ем вто­рой век­тор и по­лу­ча­ем точку С. Век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го век­то­ра (точка А) и конец вто­ро­го (точка С), и будет ре­зуль­ти­ру­ю­щим.

От­ме­тим, что ре­зуль­тат сло­же­ния век­то­ров не за­ви­сит от вы­бо­ра на­чаль­ной точки, су­ще­ству­ет со­от­вет­ству­ю­щая тео­ре­ма, ко

www.kursoteka.ru