Тригонометрические уравнения
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Тригонометрические уравнения
2. Уравнения $\cos x=C$, $\sin x=C$, $tgx=C$
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения вида $\cos x=C$, $\sin x=C$, $tgx=C$, $ctgx=C$ относятся к простейшим.
Методы решения простейших тригонометрических уравнений известны и они являются основой для решения более сложных тригонометрических уравнений. Существует ряд подходов для решения более сложных тригонометрических уравнений:
а) с помощью алгебраических преобразований или тригонометрических формул некоторые уравнения могут быть сведены к простейшим тригонометрическим уравнениям;
б) если тригонометрическое уравнение содержит только одну какую-либо тригонометрическую функцию с одним и тем же аргументом, то вводят для неё некоторое обозначение в виде новой переменной и получают алгебраическое уравнение относительно этой переменной;
в) используя тригонометрические формулы, часто удается привести тригонометрическое уравнение к одной какой-либо тригонометрической функции с одним и тем же аргументом, после чего остается применить замену переменных;
г) иногда уравнение удается разложить на несколько сомножителей;
д) тригонометрические уравнения вида $a\cdot \sin x+b\cdot \cos x=0$, где $a\ne 0$, $b\ne 0$, называются однородными; для них также существуют специфические методы решения.
Уравнения $\cos x=C$, $\sin x=C$, $tgx=C$
Таблица вариантов решений уравнения $\sin x=C$:
Рисунок 1.
Пример 1
Решить уравнение $\sin \left(x+\frac{\pi }{8} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} $.
\[\left|-\frac{\sqrt{2} }{2} \right|Таблица вариантов решений уравнения $\cos x=C$:
Рисунок 2.
Пример 2
Решить уравнение $\cos \left(3\cdot x\right)=0$.
\[3\cdot x=\frac{\pi }{2} +\pi \cdot k; x=\frac{\pi }{6} +\frac{\pi }{3} \cdot k; k\in Z. \]
Решение уравнений $tgx=C$, $ctgx=C$.
Множество решений уравнения $tgx=C$ имеет следующий вид: $x=arctgC+\pi \cdot k$, $k\in Z$.
Пример 3
Решить уравнение $tg\left(2\cdot x\right)=\sqrt{3} $.
\[2\cdot x=arctg\sqrt{3} +\pi \cdot k; 2\cdot x=\frac{\pi }{3} +\pi \cdot k; x=\frac{\pi }{6} +\frac{\pi }{2} \cdot k; k\in Z.\]
Множество решений уравнения $ctgx=C$ имеет следующий вид: $x=arcctgC+\pi \cdot k$, $k\in Z$.
{2} \left(4\cdot x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} $.
С помощью алгебраических преобразований и тригонометрических формул получим простейшее тригонометрическое уравнение.
В левой части уравнения используем формулу двойного угла и получаем: $\cos \left(8\cdot x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} $. Отсюда следует: $8\cdot x=\pm \arccos \frac{\sqrt{3} }{2} +2\cdot \pi \cdot k$; $8\cdot x=\pm \frac{\pi }{6} +2\cdot \pi \cdot k$; $x=\pm \frac{\pi }{48} +\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot k$; $k\in Z$.
Пример 7
Решить уравнение $\sin \left(4\cdot x\right)\cdot \cos x-\cos \left(4\cdot x\right)\cdot \sin x=-1$.
С помощью алгебраических преобразований получим простейшее тригонометрическое уравнение.
Преобразуем левую часть уравнения: $\sin \left(4\cdot x-x\right)=-1$. Отсюда получаем: $\sin \left(3\cdot x\right)=-1$; $3\cdot x=-\frac{\pi }{2} +2\cdot \pi \cdot k$; $x=-\frac{\pi }{6} +\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k$; $k\in Z$.
Пример 8
Решить уравнение $\sin ^{2} x-4\cdot \sin x+3=0$.
{2} -4\cdot z+3=0$, корни которого $z_{1} =1$, $z_{2} =3$. Поскольку $\left|z\right|\le 1$, то подходит только корень $z_{1} =1$.
Получаем: $\sin x=1$; $x=\frac{\pi }{2} +2\cdot \pi \cdot k$; $k\in Z$.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 02.03.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Тригонометрические уравнения – формулы в таблице, основные примеры
4.
6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 559.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 559.
Тригонометрические уравнения – это весьма трудный раздел. После изучения в школьной программе, он встречается только в высшей физике и математике, в редких разделах программирования. Это делает тему несколько отдаленной и запутанной, но не менее интересной.
Что нужно знать?
Эта тема, как и любая другая, нуждается в наборе базовых знаний, которые требуются для успешного понимания вопроса. Сразу перечислим необходимые навыки, чтобы потом к этому не возвращаться:
- Умение пользоваться таблицами Брадиса.
- Знание формул-приведений. Это очень часто требуется, чтобы превратить синус в косинус или наоборот.
- Знание тригонометрических формул. Это крайне важно для решения сложных уравнений.
- Знание определений тригонометрических функций.
Определения пригодятся при изучении единичной окружности.
$$cos(x)=0$$
$$x=({{\pi}\over2}+\pi)$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое тригонометрические уравнения. Научились их решать и привели примеры решения для каждого из двух основных методов. Выделили основные навыки и знания, необходимые для правильного решения уравнений такого рода.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Миша Черепанов
9/10
София Кристар
9/10
Дмитрий Петров
8/10
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 559.
А какая ваша оценка?
тригонометрия — Найти решение тригонометрического комплексного уравнения
спросил
Изменено 7 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Найдите решение
$\sin z = 3$
Теперь я делаю так:
$\sin z = \sin x \cosh y+i \cos x \sinh y$ = 3
Сравнивая члены :
$\sin x \cosh y = 3$
$\cos x \sinh y = 0$
После этой части я понятия не имею, что делать.
Кто-нибудь может мне помочь?
Спасибо.
- комплексный анализ
- тригонометрия
- комплексные числа
$\endgroup$
3 9{i\dfrac\pi2},Log(i)=2n\pi i+i\dfrac\pi2$, где $n$ — любое целое число
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Видео-урок: Решение тригонометрического уравнения
Стенограмма видео
В этом видео мы научимся решать решить тригонометрическое уравнение с помощью факторизации или возведения в квадрат. Уравнения, которые мы рассмотрим будет включать по крайней мере одну из тригонометрических функций синуса, косинуса и касательная. Прежде чем смотреть на эти новые методы, мы вновь познакомимся с решением простых тригонометрических уравнения.
Напомним, что уравнения
форма sin 𝜃 равняется 𝑘, cos двух 𝜃 равняется 𝑘, тангенс 𝜃 минус 30 равняется 𝑘 может все
решить с помощью графика или диаграммы CAST. Мы также должны вспомнить некоторые ключевые
свойства, относящиеся к функциям синуса, косинуса и тангенса. Грех угла 𝜃 равен
грех 180 градусов минус 𝜃. Кос 𝜃 градусов равен
косинус 360 градусов минус 𝜃.
Перед решением тригонометрического
уравнения, часто полезно рассмотреть, сколько решений мы ожидаем уравнения
иметь. Мы можем определить количество раз
тригонометрическая функция равна определенному значению в заданном интервале на
проведение горизонтальной линии через его график в этом значении, а затем подсчет
сколько раз эта линия пересекает график. Например, если мы хотим
определить число решений уравнения sin 𝑥 равное 0,5 на интервале
где 𝑥 больше или равно нулю и меньше или равно 360 градусам, мы
провести горизонтальную линию в 𝑦 равно 0,5. Когда эта горизонтальная линия пересекает
два раза на заданном интервале, можно сделать вывод, что уравнение sin 𝑥 равно
0,5 имеет два решения в интервале 𝑥 больше или равно нулю и меньше
больше или равно 360 градусам.
Теперь рассмотрим более сложный пример такого типа проблемы. Прежде чем это сделать, нам также необходимо напомним одно из ключевых тригонометрических тождеств. Это тождество определяет Связь между тремя триггерными функциями. Для любого угла 𝜃 тангенс угла 𝜃 равен равно греху 𝜃, деленному на косис 𝜃. Сейчас мы рассмотрим пример где нам нужно использовать это тождество.
Если 𝑥 больше или равно ноль градусов и меньше или равно 360 градусам, то количество решений уравнение четыре греха 𝑥 равно тангенсу 𝑥 вот что.
Это уравнение включает два триггера
отношения: синус и тангенс. Напомним, что мы можем выразить
функция тангенса через функции синуса и косинуса. Загар 𝑥 равен греху
𝑥 над косой 𝑥. Подставив это в
в правой части нашего уравнения, у нас есть четыре sin 𝑥 равно sin 𝑥 над cos
𝑥.
Далее мы можем вычесть sin 𝑥 из
cos 𝑥 с обеих сторон, что дает нам четыре sin 𝑥 минус sin 𝑥 больше cos 𝑥 равно
нуль.
На этом этапе у нас может возникнуть соблазн разделить уравнение на общий множитель греха 𝑥. Однако сделать это можно потенциально может привести к потере некоторых решений, если множитель, на который мы делим, равен до нуля. Это означает, что вместо этого мы будем фактор sin 𝑥 из левой части уравнения. Это дает нам грех 𝑥, умноженный на четыре минус один по cos 𝑥 равно нулю.
Теперь у нас есть продукт, равный
до нуля. И единственный способ, которым продукт может
равен нулю, если хотя бы один из множителей сам равен нулю. Это означает, что нам нужно решить
два уравнения sin 𝑥 равны нулю, а четыре минус один по cos 𝑥 равны нулю. Вспоминая график синуса
как показано, мы видим, что sin 𝑥 равен нулю три раза в интервале
где 𝑥 больше или равно нулю и меньше или равно 360 градусам.
Эти решения равны нулю, 180 и
360 градусов. Однако в этом вопросе мы
интересует только количество решений. sin 𝑥 трижды равен нулю
от нуля до 360 градусов включительно.
Теперь рассмотрим второй уравнение, четыре минус один по cos 𝑥 равно нулю. Умножение на cos 𝑥 дает нам четыре cos 𝑥 минус один равно нулю. Затем мы можем добавить один к обеим сторонам такое, что четыре cos 𝑥 равно единице, и, наконец, разделить на четыре так, чтобы cos 𝑥 равен одной четверти.
Вызов графика косинуса
функцию и провести горизонтальную линию через график в точке 𝑦, равной одной четверти, мы
найти, что есть два значения 𝑥 в интервале 𝑥 больше или равно
ноль и меньше или равно 360 градусам, для которых cos 𝑥 равен
одна четверть. Хотя мы могли вычислить эти
точные значения, нам не нужно в этом вопросе. Однако ясно, что это
не те значения, для которых sin 𝑥 равен нулю, так как одно из решений лежит
от нуля до 90 градусов, а второе решение лежит между 270 и 360
градусов.
Таким образом, мы можем заключить, что есть пять решений уравнения четыре sin 𝑥 равно tan 𝑥 между нулем и 360 градусов включительно. Правильный ответ пять.
Теперь рассмотрим пример где нам нужно найти все решения более сложного тригонометрического уравнения по формуле факторинг.
Найдите набор значений, удовлетворяющих тангенс в квадрате 𝜃 плюс тангенс 𝜃 равен нулю, где 𝜃 больше или равен нулю градусов и менее 180 градусов.
При осмотре замечаем, что
это квадратное уравнение относительно тангенса 𝜃. Мы можем начать с факторизации
левая часть нашего уравнения. Это дает нам тангенс 𝜃, умноженный на
tan 𝜃 плюс один равно нулю. Приравняв каждый из этих факторов
к нулю, у нас есть тангенс 𝜃 равен нулю или тангенс 𝜃 плюс один равен нулю. Вычитание единицы с обеих сторон
нашего второго уравнения, теперь у нас есть два решения: тангенс 𝜃 равен нулю или тангенс
𝜃 равно отрицательной единице.
Далее вспоминаем график касательная функция, как показано. Хотя мы нарисовали его для значений 𝜃 между нулем и 360 градусами, важно отметить в этом вопросе, что мы ищут только решения больше или равные нулю и меньше 180 градусов. Из графика мы видим, что тангенс 𝜃 равен нулю при нуле градусов. Это также верно для 180 и 360 градусов. Однако эти два значения не в наборе значений для 𝜃. Уравнение tan 𝜃 равно нулю поэтому имеет одно решение, где 𝜃 равно нулю градусов.
Если мы нарисуем горизонтальную линию на нашем
график в 𝑦 равен отрицательной единице, мы видим, что это пересекает график 𝑦 равно
загар 𝜃 один раз между нулем и 180 градусами. Это значение находится где-то между
90 и 180 градусов. Учитывая уравнение tan 𝜃
равна отрицательной единице, мы можем взять арктангенс обеих сторон.
Это дает нам 𝜃 равно
обратный загар отрицательного.
Введите это в наш калькулятор дает нам 𝜃 равно отрицательным 45 градусам. Однако это значение находится за пределами требуемый интервал для 𝜃. Напоминая о периодичности касательной функции, мы можем найти второе решение уравнения, добавив 180 градусов. Это потому, что загар 𝜃 равен тангенсу 180 градусов плюс 𝜃. Нам нужно добавить 180 к минусу 45. Это дает нам ответ 135. градусов, что действительно лежит в требуемом интервале для 𝜃. Следовательно, это второе действительное решение.
Из графика видно, что
нет других решений, таких что 𝜃 больше или равно нулю и
менее 180 градусов. Таким образом, мы можем сделать вывод, что
набор значений, удовлетворяющих тангенсу в квадрате 𝜃 плюс тангенс 𝜃 равен нулю, равен нулю градусов
и 135 градусов.
Важно отметить при этом этап, что распространенной ошибкой будет деление исходного уравнения на тангенс 𝜃. Однако это означало бы, что мы потерять одно из решений исходного уравнения, так как тангенс 𝜃 может равен нулю. Действительно, это был один из уравнения, которые нам впоследствии предстояло решить. Мы также должны обратить внимание на интервал, в котором мы ищем решения. Обычно интервал составляет 𝜃 больше или равно нулю и меньше или равно 360 градусам. Однако, как и в этом вопросе, это это не всегда так. Дополнительные значения вполне могут быть действительными решения уравнения. Но если они вне указанный интервал, то они неверны в контексте задачи.
Перед просмотром одного финала
Например, нам нужно рассмотреть второе тригонометрическое тождество. Эта идентичность известна как
Пифагорейское тождество.
И в нем говорится, что для всех значений
из 𝜃, квадрат греха 𝜃 плюс квадрат квадрата 𝜃 равняется единице. Это тождество можно использовать для решения
некоторые специфические типы тригонометрических уравнений. В последнем примере нам понадобится
использовать это после возведения в квадрат обеих частей уравнения. Однако важно отметить,
что возводить в квадрат обе части уравнения может быть рискованно, если мы не примем больших
забота. Это потому, что возведение в квадрат и
нахождение квадратного корня не является взаимно однозначной операцией. При возведении в квадрат мы можем создать
дополнительное решение. Поэтому, если нам нужно решить
тригонометрического уравнения возведением в квадрат, мы должны впоследствии проверить все наши решения в
исходное уравнение, чтобы убедиться, что мы не получили никаких посторонних значений.
Путем возведения в квадрат обеих сторон или
в противном случае решить уравнение четыре sin 𝜃 минус четыре cos 𝜃 равно квадрату
корень из трех, где 𝜃 больше нуля градусов и меньше или равно 360
градусов.
Будьте осторожны, чтобы удалить все посторонние
решения. Дайте ответы с точностью до двух знаков после запятой
места.
Вопрос сообщает, что мы Подойдите к проблеме, сначала возведя в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем четыре греха 𝜃 минус четыре, потому что 𝜃 все в квадрате равно корню из трех в квадрате. Распределение скобок и тогда, собирая одинаковые члены в левой части, мы получаем 16 квадратов грехов 𝜃 минус 32. грех 𝜃 cos 𝜃 плюс 16 cos в квадрате 𝜃. С правой стороны корень три квадрат равен трем.
Далее вспоминаем пифагорейцев
тождество, которое утверждает, что квадрат греха 𝜃 плюс квадрат квадрата 𝜃 равен единице. Упрощение левой части
далее дает нам 16, умноженное на квадрат греха 𝜃 плюс квадрат квадрата 𝜃 минус 32 грех 𝜃
потому что 𝜃. Замена квадрата греха 𝜃 плюс косинус
квадрат 𝜃 с единицей дает нам уравнение 16 минус 32 sin 𝜃 cos 𝜃 равно
три.
Вычитание 16 с обеих сторон
это уравнение дает нам отрицательные 32 sin 𝜃, потому что 𝜃 равно отрицательному 13. Затем мы можем разделить на
отрицательное 32 такое, что sin 𝜃 cos 𝜃 равно 13 больше 32.
Теперь у нас есть два уравнения в две переменные sin 𝜃 и cos 𝜃. Это означает, что система уравнения можно решать одновременно. Добавление четырех cos 𝜃 к обеим сторонам в нашем исходном уравнении четыре sin 𝜃 равно корню три плюс четыре cos 𝜃. Разделив обе стороны этого уравнение на четыре, у нас есть грех 𝜃 равен корню три плюс четыре, потому что 𝜃 все делится к четырем.
Очистив место, мы
теперь рассмотрим, как мы можем решить эти два одновременных уравнения. Начнем с замены
выражение для греха 𝜃 в уравнении два в уравнение один. Это дает нам корень три плюс четыре
cos 𝜃 на четыре, умноженное на cos 𝜃, равно 13 на 32.
Мы можем упростить это уравнение следующим образом:
сначала распределив скобки. Затем мы можем умножить на 32,
что дает нам восемь корней из трех cos 𝜃 плюс 32 cos в квадрате 𝜃 равно 13. Наконец, вычитая 13 из обоих
стороны этого уравнения, мы имеем квадратное уравнение относительно cos 𝜃 как
показано.
Это можно решить с помощью
квадратичная формула, где 𝑎 равно 32, 𝑏 равно восьми корням из трех, а 𝑐 отрицательно
13. Подставив в эти значения и
тогда упрощение дает нам, потому что 𝜃 равно отрицательному трем плюс или минус
квадратный корень из 29 разделить на восемь. Взяв арккосинус обоих
стороны с положительным корнем 29 дают нам 𝜃 равно 62,829 и так далее. С точностью до двух знаков после запятой это
равен 62,83 градуса. Взяв арккосинус нашего
уравнение с отрицательным корнем 29дает нам 𝜃 равно 152,829 и так далее.
Это округляется до 152,83 градуса до
два десятичных знака.
Нас попросили дать все решения которые больше или равны нулю градусов и меньше или равны 360 градусов. Поэтому нам необходимо рассмотреть симметрия функции косинуса такая, что косинус 𝜃 равен косинусу 360 градусов минус 𝜃. Вычитая каждое из наших значений из 360 градусов дает нам дополнительные решения 297,17 градуса и 207,17 градуса до двух десятичные разряды.
Итак, мы нашли четыре возможных решений данного уравнения. Однако нам напомнили в вопрос, чтобы удалить любые посторонние решения, эти дополнительные решения, которые были созданы когда мы возвели в квадрат наше исходное уравнение. Нам нужно заменить каждый из наших четыре решения в исходное уравнение, чтобы проверить их правильность.
Исходное уравнение было четыре sin
𝜃 минус четыре, потому что 𝜃 равно корню три.
Подстановка 𝜃 равняется 62,83 в
левая часть нашего уравнения дает нам ответ корня три. Это означает, что это действительный
решение. Однако, когда мы заменяем 𝜃
равный 152,83 градуса в левую часть нашего уравнения, мы не получаем корня
три. Это означает, что это не является действительным
решение. Повторение этого процесса для 207.17
градусов и 297,17 градусов, мы видим, что 207,17 является правильным решением, тогда как
четвертый ответ 297.17 — нет. Таким образом, мы можем заключить, что
есть два решения, удовлетворяющих уравнению в заданном интервале 𝜃, которые
составляют 62,83 и 207,17 градусов.
Теперь мы суммируем ключ
очки из этого видео. Мы видели в этом видео, что некоторые
Тригонометрические уравнения могут быть решены с помощью факторизации. Чрезвычайно важно, чтобы любой
общие факторы учитываются, а не делятся на, так как это позволит избежать потенциального
потери решений, если эти множители равны нулю.