Собственные векторы онлайн: Собственные числа матрицы онлайн

Собственные числа и векторы. Контрольные онлайн



Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

• Главная
• Примеры
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
• Видео-уроки
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование. Методы оптимизации
• Готовые работы
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
  • Другое
• Контакты

Полезные материалы:

• Учебники
• Справочники
• Онлайн калькуляторы

• Помощь в решении
• Онлайн занятия в Zoom

Собственные числа и векторы

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе   матрицей .

Решение
Ненулевой вектор  называется собственным вектором, а число -соответствующим вектору  собственным значением оператора , если  или .
Для заданной матрицы  последнее матричное уравнение

примет вид  или
Этому матричному уравнению соответствует однородная линейная система уравнений
                                                                                                            
Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо, чтобы её определитель  был равен нулю.
Уравнение  называют характеристическим уравнением.
Для нахождения собственных значений  решим характеристическое уравнение:

, ,
Таким образом, собственными значениями линейного оператора, заданного матрицей  (собственными значениями матрицы ), являются , , .
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, то есть векторы  .
Для  получим систему уравнений для нахождения  координат первого собственного вектора
      
Полагая , получим координаты первого собственного вектора .

При , получим .
Для  получим систему уравнений для нахождения координат второго собственного вектора
         
                  
Полагая , получим координаты второго собственного вектора .

При , получим .
Для  получим систему уравнений для нахождения координат третьего собственного вектора
         
                

   Полагая , получим координаты третьего собственного вектора .

При , получим .



Задать вопрос
Заказать помощь

Отзывы

+7-911-7987704

vk.com/id286009794

Написать в Whatsapp

Написать в Viber

@matem96

Skype: matem96.ru



Визуализация собственных значений и собственных векторов

  Перевод   Ссылка на автора

Собственные значения и собственные векторы являются очень важной концепцией в линейной алгебре и машинном обучении в целом.

В моем предыдущем статья Я представлял эти концепции с точки зрения анализа основных компонентов, предоставляя практические примеры. В этой статье я подробнее остановлюсь на математике, лежащей в основе этих понятий, и предоставлю геометрическую интерпретацию того, что собираюсь объяснить.

Для этого я расскажу о следующей теме:

• Линейное преобразование
• Собственные значения и собственные векторы
• Алгебраическая и геометрическая кратность

Итак, начнем с первой темы.

Линейное преобразование

Вообще говоря, преобразование — это любая функция, определенная в доменном пространстве V с выходами в кодомене W (где V и W — многомерные пространства, не обязательно евклидовы).

Преобразование, которое сохраняет операции сложения и скалярного умножения следующим образом:

Называется Linear Transformation, и теперь мы будем называть его T.

Давайте рассмотрим следующие два числовых примера, чтобы иметь это в виду. Представьте, что мы получили преобразование T, определенное в R2, с выходами в R:

Как видите, это преобразование не является линейным, поскольку не сохраняет аддитивности. А как насчет этого?

Более того:

Как видите, аддитивность и умножение на скаляр сохраняются, следовательно, преобразование является линейным. Стоит отметить, что единственными линейными преобразованиями из R2 в R являются те, которые выглядят как w = ax + by, следовательно, линейные комбинации компонентов векторов области.

Очень важное свойство линейных систем задается теоремой о представлении, которая утверждает, что линейное преобразование может быть представлено следующим образом:

Где A — это так называемая матрица представления. Мы будем использовать эту формулу, поскольку она более компактна и удобна.

Теперь каждое преобразование может влиять на направление и расширение вектора (для более ясного объяснения формы векторов в многомерном пространстве вы можете прочитать мою предыдущую статью Вот). Однако, учитывая преобразование T, существует очень интересный класс векторов, на которые это преобразование влияет только с точки зрения расширения, поскольку направление остается неизменным. Общий векторvс этим свойством таково, что:

гделямбдаявляется фактором расширения. Эти векторы называются собственными векторами, а значениелямбдасвязанный с ними называется собственное значение.

Собственные значения и собственные векторы

Как и предполагалось, собственными векторами являются те векторы, направление которых остается неизменным после преобразования через фиксированный T, а собственными значениями являются те значения коэффициента расширения, которые связаны с ними.

Чтобы быть более точным, собственные векторы являются векторами, которые не являются тривиальными, следовательно, отличаются от0, Это потому, что равенство выше всегда имеет по крайней мере одно решение, которое является тривиальнымv = 0,

Как мы можем найти наши собственные векторы и собственные значения при условии, что эти первые отличаются от тривиального вектора? Для этого давайте переосмыслим нашу линейную систему с помощью теоремы о представлении:

Как и ожидалось, эта система имеет по крайней мере одно решение, которое является тривиальным. Следовательно, мы хотим найти те значения лямбды, для которых определитель матрицы (A-лямда* I) равно нулю (в противном случае это означало бы, что из-за теоремы Крамера система имеет 1 единственное решение).

Итак, давайте установим наше уравнение:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корнями являются собственные значения. Кроме того, из-за основной теоремы алгебры«Каждый многочлен степени n имеет n решений в C (множество комплексных чисел)»мы знаем, что степень характеристического уравнения будет числом собственных значений, связанных с этой системой.

Давайте рассмотрим следующий пример:

Из характеристического уравнения мы вывели два собственных значения 3 и -1. Чтобы привести числовой пример, я собираюсь найти векторы, называемые собственными векторами, связанными слямбда= 3 (то же самое верно длялямбда= -1). Быстрый ярлык для этой цели может быть полезен, если мы рассмотрим матрицу A. Действительно, поскольку мы просили неединственность решения, мы уже знаем, что определитель матрицы (A-lI) равен 0, следовательно, пока Решив получившуюся систему, мы можем напрямую избавиться от одного из двух ограничений:

Давайте визуализируем это:

По сути, все векторы, которые лежат на этой прямой линии, являются собственными векторами, связанными с собственным значением 3: после преобразования через T они будут только расширяться / сокращаться, но не изменяться в направлении. Рассмотрим, например, следующий вектор:

Теперь давайте изменим это:

Как видите, его величина теперь в 3 раза больше, но направление остается прежним

Теперь давайте перейдем к последней теме этой статьи — алгебраической и геометрической множественности, связанной с собственными значениями и собственными векторами.

Алгебраическая и геометрическая кратность

Теперь представьте, что у вас есть характерное уравнение степениNно вы найдете только один корень. Следовательно, поскольку степеньNэтот корень, как говорят, имеет алгебраическую кратностьN, Давайте рассмотрим два следующих примера:

В первом случае мы имеем одно собственное значение, равное -2, не имеет кратности (поскольку его мощность равна 1), в то время как собственное значение -1 (из многочлена 2-й степени) будет иметь кратность, равную 2.

Теперь вопрос: уважается ли эта множественность и с геометрической стороны проблемы? Другими словами, равняется ли количество раз, когда собственное значение появляется в решении, равному размерам / степеням свободы соответствующего собственного пространства (которое является набором связанных собственных векторов)?

Ответ не всегда. Всякий раз, когда у нас есть собственное значение с кратностью, равнойNи соответствующее собственное пространство с размерами меньшеNмы называем этот коэффициент лямбда нерегулярным (в противном случае собственные значения называются регулярными).

Давайте наглядно представим это на примере выше:

Как видите, даже если у нас есть собственное значение с кратностью 2, ассоциированное собственное пространство имеет только одно измерение, так как оно равно y = 0.

Вывод

Собственные значения и собственные векторы являются фундаментальными в науке о данных и построении модели в целом. Помимо их использования в PCA, они используются, в частности, в спектральной кластеризации и сжатии изображений. Следовательно, важно иметь в виду их геометрическую интерпретацию.

Калькулятор собственных векторов

Сгенерируйте матрицу (2*2, 3*3, 4*4, 5*5) и введите все поля для расчета собственного вектора и кратности с помощью инструмента.

РЕКЛАМА

Выберите размер матрицы:

23

РЕКЛАМА

РЕКЛАМА

Содержание

Получите виджет!

Добавьте этот калькулятор на свой сайт, чтобы пользователи могли выполнять простые расчеты.

Получить код

Обратная связь

Насколько легко было пользоваться нашим калькулятором? Сталкивались ли вы с какой-либо проблемой, сообщите нам!

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Калькулятор собственных векторов используется для вычисления собственных векторов, кратности и корней заданной квадратной матрицы.

Этот калькулятор также находит собственное пространство, связанное с каждым характеристическим полиномом. В этом контексте вы можете понять, как найти собственные векторы 3 x 3 и 2 x 2 матрицы с уравнением собственного вектора.

Что такое собственный вектор?

В линейной алгебре собственный вектор линейного преобразования — это ненулевой вектор, который изменяется на скалярный коэффициент, когда к нему применяется это линейное преобразование. Соответствующее значение, часто обозначаемое как λ, является коэффициентом масштабирования собственного вектора.

Предположим, что A — квадратная матрица размера n x n, и если v — ненулевой вектор, то можно сказать, что произведение матрицы A и вектора v является произведением скалярной величины λ и заданного вектора, такого, что :

Av =λv

Где

v = собственный вектор
λ — скалярная величина, известная как собственное значение, связанное с данной матрицей A

Как вычислить собственный вектор?

Техника определения собственного вектора матричного/линейного уравнения представлена ​​следующим образом:

Если A — матрица размера n×n, а λ — связанные с ней собственные значения. Тогда собственный вектор v можно описать следующим образом:
Av =λv

Если «I» — единичная матрица того же порядка, что и A, то

(A – λI)v =0

Собственный вектор, соответствующий матрице A, может быть оценен вышеописанным методом.

Здесь «v» называется собственным вектором, принадлежащим каждому собственному значению, и выражается как:

$$ \begin{array}{l}v =\begin{bmatrix} v_{1}\\ v_{2} \\ .\\ .\\ v_{n}\end{bmatrix}\end{array} $$

Однако наш онлайн-калькулятор обобщенных собственных векторов — это простой способ выполнения вычислений.

Как найти собственные векторы 3×3?

Основное представление отношения между собственным вектором и его соответствующим значением:

$$ Xv = λv $$

Где

• v — вектор с m столбцами
• A — матрица с m строками и m столбцами
• λ является скаляром.

В этом отношении истинное значение v является собственным вектором. Чтобы переменная была истинной, она должна удовлетворять уравнению так, чтобы левая и правая части уравнения были одинаковыми.

Собственный вектор удовлетворяет уравнению для любого заданного собственного значения. Собственных векторов может быть больше, чем собственных значений, поэтому каждое значение λ может иметь несколько значений v, удовлетворяющих уравнению.

Значение может иметь бесконечное число собственных векторов, но обычно существует только несколько различных собственных векторов.

Xv = λv можно преобразовать в A – I = 0, где I – единичная матрица. Затем вы можете начать умножать и вычитать матрицы, чтобы получить многочлены. Если собственные значения известны, то мы можем подставить их в уравнение Xv = λv и найти наш вектор.

Как работает калькулятор собственных векторов?

Основа калькулятора собственных значений с шагами позволяет быстро вычислить собственный вектор заданных матриц, следуя этим инструкциям:

Ввод:

• Выберите размер матрицы (например, 2 x 2 или 3 x 3) из выпадающий список искателя собственных векторов.
• Вставьте значения в соответствующие поля решателя собственных векторов.
• Вы ​​можете сгенерировать матрицу, нажав на кнопку сгенерировать матрицу.
• Если вам нужно удалить значения, нажмите очистить все поля.
• Нажмите кнопку расчета.

Вывод:

• Калькулятор собственных значений и собственных векторов матрицы обеспечивает кратность, собственные векторы и значения заданной матрицы.
• Этот калькулятор поиска собственных векторов берет определитель полученной матрицы и решает уравнение для получения корней.
• Калькулятор матрицы собственных векторов вычисляет собственные векторы и отображает пошаговый расчет собственных векторов.

Ссылка:

Из источника Википедии: Собственная система, собственные векторы матриц, характеристический полином, Диагональная матрица, Собственные функции дифференциальных операторов.

Калькулятор собственных векторов | Вычисление собственного вектора матрицы с шагами

Введение в калькулятор собственных векторов

Калькулятор собственных векторов — это онлайн-инструмент для вычисления собственных значений и собственных векторов для данной матрицы. Он находит собственные векторы, находя собственные значения. Калькулятор собственного вектора с шагами может вычислить собственный вектор, соответствующий собственным значениям.

В математике и науке о данных концепция собственных векторов наиболее важна из-за ее полезных приложений. Он используется для разных целей, например, иногда он используется для решения дифференциальных уравнений или может использоваться для линейного преобразования данной матрицы.

Концепция собственного вектора сложнее, чем другие концепции матриц, поскольку она включает в себя собственные значения. Вы можете запутаться между собственными векторами и собственными значениями. Чтобы избежать этой путаницы, мы ввели 9Калькулятор собственных векторов 0007 онлайн для студентов и математиков, который может помочь найти собственные векторы и обеспечить понимание этой концепции.

Как использовать калькулятор собственных векторов шаг за шагом?

Вы можете легко найти собственный вектор для заданной матрицы, используя калькулятор собственных векторов , поскольку он содержит простые шаги. Вот эти шаги:

1. На первом шаге введите значение количества строк и столбцов в соответствующие поля.
2. Теперь введите все значения всех элементов матрицы.
3. Вы ​​также можете использовать случайную опцию, чтобы выбрать случайную матрицу.
4. Теперь нажмите кнопку расчета.

Пошаговый калькулятор собственного вектора мгновенно покажет точные результаты, как только вы нажмете кнопку расчета.

Как найти матрицу из калькулятора собственных векторов?

Вы можете найти этот инструмент в своем браузере, выполнив поиск матричный калькулятор собственных векторов с шагами . На этом сайте будет список различных математических инструментов. Выберите решатель собственных векторов из списка.

Формула, используемая калькулятором собственных векторов 2×2

Термин собственный вектор матрицы относится к вектору, связанному с набором линейных уравнений. Линейное преобразование матрицы A, соответствующей собственному значению, имеет вид:

$$ Av \;=\; λv $$

Где,

v = собственный вектор данной матрицы A

λ = собственное значение матрицы A

Приведенное выше уравнение можно переписать, чтобы найти собственный вектор, как:

$$ (A \;-\; λI)v \;=\; 0 $$

Где I — единичная матрица, а 0 — нулевой вектор. Эта формула используется искателем собственного вектора. Давайте посмотрим, как можно найти собственный вектор.

Как найти собственные векторы матрицы?

Предположим, вам нужно найти собственный вектор для матрицы A, который определяется как:

$$ A \;=\; \begin{bmatrix} 1 и 4 \\ -4 & -7 \\ \end{bmatrix} $$ 92 \;=\;0 $$

Следовательно,

$$ λ \;=\; -3, \;-3 $$

Теперь, используя собственные значения в собственном уравнении, можно вычислить собственный вектор. Итак,

$$ (A \;-\; λI)v \;=\; 0 $$

Подстановка значений A, λ и I в приведенное выше уравнение.

$$ \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -4 & -7 \\ \end{bmatrix} \;+\; λ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} -λ+1 & 4 \\ -4 & -λ-7 \\ \end{bmatrix} v \; «=» 0 $$

Подстановка значения λ.

$$ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ -4 & -4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} $$

Получаем,

$$ x \;+\; у \;=\; 0 $$

А,

$$ х \;=\; -y $$

Таким образом, согласно приведенному выше уравнению, собственный вектор равен:

$$ v \;=\; \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $$

Зачем использовать пошаговый калькулятор собственных векторов?

Концепция собственных векторов важна в математике, поскольку она используется для решения дифференциальных уравнений. Вы можете упростить процесс нахождения собственных векторов с помощью пошагового калькулятора собственных векторов .

Использование инструмента для поиска собственных векторов важно, потому что он поможет вам понять основную концепцию, решая задачу шаг за шагом. Вот почему вам нужно использовать этот инструмент.

Преимущества использования калькулятора матриц собственных векторов

Поскольку Интернет улучшил нашу жизнь, навыки обучения и решения проблем также улучшились. Калькулятор преобразования собственных векторов в матрицы имеет множество полезных применений для улучшения ваших аналитических навыков при решении собственных векторов матриц 2×2, 3×3 и 4×4. Эти преимущества:

1. Калькулятор собственных векторов с шагами может помочь вам легко найти собственные значения, а также собственные векторы.
2. Это может сэкономить ваше время, которое может быть потрачено на ручные вычисления.
3. Он прост в использовании, потому что все, что вам нужно, это ввести матрицу.
4. Вы ​​можете попрактиковаться на разных примерах, используя случайные варианты.
5. Калькулятор собственных векторов с шагами может помочь вам решить различные приложения, связанные с наукой о данных и матрицами.

Другие сопутствующие инструменты

На этом веб-сайте есть и другие полезные матричные калькуляторы, которые вы можете использовать бесплатно. Эти инструменты

• добавить калькулятор матриц
• Калькулятор матрицы вычитания
• умножение матриц онлайн
• определительный калькулятор 3х3 с шагами
• Калькулятор матрицы транспонирования
• разряд матричного калькулятора
матрица
• в степени -1
• Калькулятор устранения Джордана Гаусса
• Калькулятор обратной матрицы с шагами
• Калькулятор собственных значений с шагами
• недействительность матричного калькулятора
• след матричного калькулятора
• Калькулятор метода разложения lu
• Калькулятор формы эшелона сокращенного ряда с шагами
• Калькулятор сопряженных матриц
• Калькулятор умножения матриц с шагами

Часто задаваемые вопросы

Точны ли собственные векторы матричного калькулятора?

Да, этот онлайн-поиск собственных векторов точен и надежен.