Собственный вектор и собственное значение матрицы: Собственные числа и собственные векторы матрицы. Пример подробного решения

Содержание

§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц.

1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, соответствующим собственному числу, если выполнено равенство.

Замечание. Если рассматривать нулевой вектор, то он был бы собственным для любого числа, потому что.

Пусть — матрица линейного оператора и . Числоназываетсясобственным значением матрицы , если существует ненулевой вектор, такой что выполнено равенство

Вектор , удовлетворяющий данному соотношению называетсясобственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Справедливы следующие свойства.

1. Собственному вектору матрицы соответствует единственное собственное значение. Действительно, если – два собственных значения вектора, тои, откудаили, значит, что противоречит определению. Значит.

2. Если собственный вектор матрицы, удовлетворяющий собственному значению, и– произвольное действительное число, то- так же собственный векторс собственным значением.Действительно, умножим обе части равенства на, получимили, следовательно, ненулевой вектор, удовлетворяет определению и поэтому является собственным вектором матрицы, соответствующим собственному значению.

3. Если илинейно независимые собственные векторы матрицыс одним и тем же собственным значением, то+– собственный векторс собственным значением.Действительно, в силу линейной независимости и, причём, что согласно определению и означает, что вектор– собственный, отвечающий собственному значению.

4. Собственные векторы матрицы , соответствующие попарно различным собственным значениям являются линейно независимыми. Докажем свойство для . Пустьи,. Предположим, чтои- линейно зависимы, следовательно, существует линейная комбинацияпричём хотя бы один из коэффициентовиненулевой.

Пусть, тогдагде. Значит, согласно свойству 2 векторявляется собственным вектором матрицы, отвечающим собственному значению. Из единственности собственного значения для вектораследует, что. Значит, векторыилинейно независимы.

Преобразуем равенство

получим

В развёрнутом виде данное равенство есть однородная система уравнений с неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, то есть

Левая часть есть многочлен степени по. Он называетсяхарактеристическим многочленом матрицы . Данное уравнение называется

характеристическим уравнением, а его корни – характеристические числа или собственные значения матрицы . Совокупность всех собственных значений матрицыс учётом их кратности (как корней характеристического уравнения) называетсяспектром матрицы .

Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1)Найти корни характеристического уравнения .

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу).

Пример. (Все характеристические корни действительны и различны.)

Найти все собственные числа и собственные векторы для линейного оператора с матрицей А:

Найдём характеристическое уравнение.

=.. Находим 3 характеристических корня: 1,2 и 3. Далее, решаем однородную систему уравненийдля каждого из трёх собственных чисел.

1) .

(ранг системы равен 2, рассматриваем 1-е и 3-е уравнения). Первый и второй столбцы не образуют базисный минор, поэтому не может быть свободной переменной. Пусть свободной переменной будет, и далее, решая систему, получаем фундаментальную систему решений: вектор.

Проверка: умножаем матрицу оператора на этот вектор и видим, что он действительно является собственным и соответствует :

2) .

Здесь фундаментальная система решений – вектор .

Проверка:

3) .

здесь фундаментальной системой решений будет .

Проверка: .

Пример. (Все характеристические корни действительны, но среди них есть кратные. Количество линейно-независимых собственных векторов для кратного корня совпадает с его кратностью.) Найти собственные числа и собственные векторы для линейного оператора, заданного матрицей:

; .

Число 1 является корнем данного многочлена, затем делим на и находим ещё два корня. Итак, собственными числами будут 1, 1 и 3. Корень 1 имеет кратность 2. При его подстановке вместо, получим матрицу ранга 1, то есть все 3 строки оказываются линейно зависимыми. Тогда фундаментальная система решений состоит из двух векторов.

1) .

, свободные переменные , фундаментальная система решений:

1) .

фундаментальная система решений:

Проверку можно провести аналогично предыдущему примеру.

Количество линейно-независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому корню , определяется количеством свободных неизвестных в системе однородных уравненийи может быть меньше, чем кратность характеристического корня. Так происходит, если для корня кратностиранг матрицыпонижается на число, меньшее, чем, при подстановке данного. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий эту ситуацию.

Пример. (Количество собственных векторов не совпадает с кратностью корня.)

; == 0, характеристический корень равен 1, его кратность равна двум. Однако для этого линейного оператора не существует линейно-независимой системы из двух собственных векторов на плоскости. Решаем однородную систему, получающуюся при подстановке значения=1.

Второе уравнение будет тождеством 0 = 0, первое уравнение: , при этомx – свободная неизвестная, отсюда следует, что собственным вектором будет вектор (1,0). Базисный минор в этом примере — первого порядка, то есть, несмотря на то что корень кратности 2, ранг матрицы при подстановке характеристического корня понижается на единицу. Поэтому в системе одна свободная переменная, и один собственный вектор.

Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов пространства, для которых. Легко доказывается, что все такие векторы образуют подпространство: , то есть линейная комбинация векторов принадлежащих ядру оператора, тоже принадлежит ядру.

Очевидно, векторы ядра соответствуют .

Докажем, что если существует хотя бы один ненулевой вектор, отображаемый линейным оператором в 0, то этот оператор не будет обратимым.

Пусть , то есть вектор принадлежит ядру оператора. Тогда для матрицы этого оператора верно, то есть однородная система

имеет нетривиальное решение. Отсюда следует, что матрица А (а это одновременно и основная матрица данной системы уравнений, и матрица линейного оператора) является вырожденной, то есть не существует обратной матрицы, следовательно, для оператора не существует обратный оператор.

2. Приведение матрицы к диагональному виду. ТЕОРЕМА 1. Сумма собственных значение матрицы А, равна сумме её диагональных элементов, а произведение собственных значений равно определителю матрицы.

Рассмотрим случай размерности . Выпишем характеристическое уравнение:

или .

По теореме Виета и.

Если матрица А имеет треугольный или диагональный вид, то собственные значения в точности совпадают с диагональными элементами. Поставим задачу привести данную матрицу к диагональной или треугольной форме не меняя собственных значений.

Квадратная матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица такая, что– диагональная.

ТЕОРЕМА 2. Пусть А – квадратная матрица порядка имеетлинейно независимых собственных векторов. Если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы, тогда матрицаимеет диагональный вид, причём на диагонали стоят собственные значения матрицыА, то есть

Пример

.Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов. Найти вектор валовой продукциипри заданном, где

►Для решения вопроса о продуктивности матрицы следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

или

Следовательно, ;. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентовпродуктивная. Для определения вектора валовой продукцииимеем формулу . Найдем обратную матрицу для матрицы

Обозначим , тогда. Следовательно,

.◄

Пример. (Простая модель обмена). Пусть имеется система отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим черездолю продукции отрасли, которая поступает в отрасль. Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е.. Рассмотрим матрицу коэффициентов:

где .

Матрица со свойством(сумма элементов ее любого столбца равна единице), называетсяматрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.

Пусть — цена одной единицы продукции отрасли, а- вектор цен. Тогда расход отрасли, т.е. стоимость всей закупаемой ее продукции определяется как

Чтобы отрасль могла развиваться , ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ее продукции, т.е.:

Если искомые равновесные цены существуют , то система данных неравенств выполняется для них как система равенств:

Данную систему удобно записать в матричном форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор матрицы обмена , отвечающий ее собственному значению, представляет собой искомый вектор равновесных цен.

Пример. (Модель международной торговли). Пусть имеется система стран, бюджет каждой из которых равен соответственно. Обозначим черездолю бюджета, которую странатратит на закупку у страны. Будем считать, что весь бюджет расходуется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран (система замкнута), т.е..

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

где .

Матрица со свойством(сумма элементов ее любого столбца равна единице), называетсяструктурной матрицей торговли.

Требуется найти вектор бюджетов стран , обеспечивающий равновесие всей системы, при котором отсутствует значительный дефицит торгового баланса для каждой из стран участниц.

Для любой страны , выручка от внешней и внутренней торговли определяется как.

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т. е.

Если искомые бездефицитные бюджеты существуют, то данная система неравенств выполняется для них как система уравнений:

Данную систему можно записать в матричной форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы торговли , отвечающей ее собственному значению, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Пример. Экономическая система состоит из трех отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

Найдите вектор равновесных цен.

► Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

Решив ее, найдем . Полагая, находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли:, где параметрможно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей. ◄

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

Найдите соотношение бюджетов этих стран для сбалансированной торговли.

Решив данную однородную систему линейных уравнений, получим . Полученный результат означает, что прибюджеты стран определяются как, и сбалансированность торговли трех стран достигается при следующем соотношении бюджетов.◄

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

Найдите бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной торговли при условии, сумма бюджетов задана:

(усл. ден. ед.)

►Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

Решив данную систему получим . Полученный результат означает, что прибюджеты стран определяются как. Подставив найденные значения в заданную систему бюджетов, получим, откуда. Окончательно находим искомые величины стран при бездефицитной торговле (в усл. ден. ед.):◄

собственное-значение / Собственные векторы и значения суммы двух матриц / Математика

Если $%x$% — собственный вектор матрицы $%A$% со значением $%\lambda$%, а $%y$% — собственный вектор матрицы $%B$% (того же размера $%n\times n$%) со значением $%\mu$%, верно ли, что $%x+y$% — собственный вектор матрицы $%A+B$%? Если да, то какое тогда собственное значение?

собственный-вектор собственное-значение

задан 14 Окт ’14 23:13

org/Person»>Людмила А
3●2

старыеновыеценные

Из того, что $%Ax=\lambda x$% и $%By=\mu y$%, не следует, что $%x+y$% будет собственным вектором матрицы $%A+B$%. Если произвести умножение, то получится $%(A+B)(x+y)=Ax+Bx+Ay+By=\lambda x+\mu y+Bx+Ay$%. Такой вектор совершенно не обязан быть пропорциональным $%x+y$%. Даже если $%A=B$%, то при $%\lambda\ne\mu$% собственный вектор не получится. В качестве примера можно взять диагональную матрицу с различными элементами.

ссылка

отвечен 14 Окт ’14 23:31

org/Person»>falcao
285k●9●37●51

Собственные значения суммируются только для нормальных матриц: АВ=BA

ссылка

отвечен 27 Июн 22:00

minkinsi
1●1

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

регистрация »

отмечен:

собственное-значение ×39
собственный-вектор ×21

задан
14 Окт ’14 23:13

показан
1850 раз

обновлен
27 Июн 22:00

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

линейная алгебра — Какова важность собственных значений / собственных векторов?

Собственные значения и собственные векторы занимают центральное место в определении измерения в квантовой механике

Измерения — это то, что вы делаете во время экспериментов, так что это, очевидно, имеет центральное значение для предмета физики.

Состояние системы представляет собой вектор в гильбертовом пространстве, бесконечномерном пространстве, интегрируемом с квадратом функции.

Тогда определение «выполнения измерения» заключается в применении самосопряженного оператора к состоянию, и после выполнения измерения:

состояние коллапсирует на собственное значение самосопряженного оператора (это формальное описание эффекта наблюдателя)

результатом измерения является собственное значение самосопряженного оператора

Самосопряженные операторы обладают следующими двумя ключевыми свойствами, которые позволяют им иметь смысл как измерения как следствие бесконечномерных обобщений спектральной теоремы:

их собственные векторы образуют ортонормированный базис гильбертова пространства, поэтому, если компонента в одном направлении, состояние имеет вероятность коллапса в любом из этих направлений
собственные значения действительны: наши инструменты, как правило, дают реальные числа, это результаты 🙂

В качестве более конкретного и сверхважного примера можно взять явное решение уравнения Шрёдингера для атома водорода. В этом случае собственные значения оператора энергии пропорциональны сферическим гармоникам:

Следовательно, если бы мы измеряли энергию электрона, мы уверены, что:

измерение имело бы одно из значений энергии собственные значения
Разность энергий между двумя энергетическими уровнями соответствует экспериментальным наблюдениям спектрального ряда водорода и является одним из величайших достижений уравнения Шрёдингера
волновая функция схлопнется до одной из этих функций после измерения, которая является одним из собственных значений оператора энергии

Библиография: https://en.wikipedia.org/wiki/Measurement_in_quantum_mechanics

Не зависящее от времени уравнение Шрёдингера является уравнением на собственные значения 92 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}) = E \Psi(\mathbf{r}) $$

Левая часть этого уравнения представляет собой линейный оператор (бесконечномерная матрица, действующая на векторы гильбертова пространства), действующий на вектор $\Psi$ (функция, т. е. вектор гильбертова пространства). А поскольку E — константа (энергия), это просто уравнение на собственные значения.

Взгляните на: Реальное применение ряда Фурье для понимания разделения переменных работает для более простого уравнения, такого как уравнение теплопроводности.

Эвристический аргумент в пользу того, почему Google PageRank сводится к проблеме диагонализации

PageRank упоминался здесь: https://math.stackexchange.com/a/263154/53203, но я хотел бы добавить одну симпатичную удобную интуицию волны.

PageRank обладает следующими свойствами:

чем больше ссылок имеет входящая страница, тем выше ее оценка
чем выше ее оценка, тем больше страница повышает рейтинг других страниц

Трудность тогда заключается в том, что страницы могут циклически влиять друг на друга, например, предположим:

A связывает с B
B ссылается на C
C ссылается на A

Следовательно, в таком случае

оценка B зависит от оценки A
, что, в свою очередь, зависит от оценки A

.
, который в свою очередь зависит от C
, который зависит от B
, так что оценка B зависит сама от себя!

Поэтому чувствуется, что теоретически «итеративный подход» не работает: нужно как-то решить всю систему за один раз.

И можно надеяться, что как только мы присвоим правильную важность всем узлам, и если вероятности перехода линейны, равновесие может быть достигнуто:

 Матрица перехода * Вектор важности = 1 * Вектор важности

, которое является уравнением на собственное значение с собственным значением 1.

Сходимость цепи Маркова

https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain

Это тесно связано с приведенным выше вариантом использования Google PageRank.

Равновесие также происходит на векторе с собственным значением 1, и скорость сходимости определяется отношением двух наибольших собственных значений.

См. также: https://www.stat.auckland.ac.nz/~fewster/325/notes/ch9. pdf

Собственные векторы и собственные значения — все, что вам нужно знать | by Krut Patel

Изображение joiom — https://pixabay.com/illustrations/seamless-pattern-background-seamless-1822616/
«Eigen» — это немецкое слово, которое означает «собственный», «собственный» или «характерный».
Давайте посмотрим, что Википедия говорит о собственных векторах и собственных значениях:
Если T является линейным преобразованием из векторного пространства V над полем F в себя и v является вектором в V , который не является нулевым вектором, тогда v является собственным вектором ) является скалярным числом, кратным v . Это условие можно записать в виде уравнения
T ( v ) = λ v
, где λ является скаляром в поле F , известном как собственное значение , характеристическое значение 9м
Как это используется? Предположим, вы хотите масштабировать двумерный вектор в 2 раза по оси x и в 3 раза по оси y. Скажем, вектор v равен [1, 4], тогда после масштабирования он должен быть [2, 12]. Это можно сделать следующим образом:
Это может показаться тривиальным для одного вектора. Но предположим, что если у вас есть n двумерных векторов, которые вы хотите масштабировать, вы можете преобразовать их все сразу с помощью только одной операции умножения матриц. Линейные преобразования широко используются в области компьютерной графики, игровых движков, статистики и т. д.
Эта операция не ограничивается только масштабированием, но мы можем использовать матрицы линейного преобразования для отражения векторов, вращения векторов, сдвига векторов и т. д. Я рекомендую посмотреть этот урок от 3Blue1Brown по линейным преобразованиям, если вам не нравится эта тема.
Предположим, у нас есть квадрат, представленный в двумерном пространстве, где каждая точка на квадрате является вектором, из которых я буду использовать только 3 вектора, как показано ниже.
Предположим, мы масштабируем квадрат в 2 раза по оси Y, как показано ниже
Масштабирование с коэффициентом 2 по оси Y
Если вы заметили, что красный вектор имеет тот же масштаб и направление после линейного преобразования. Зеленый вектор изменяется в масштабе, но имеет то же направление. Принимая во внимание, что желтый вектор не имеет такого же масштаба, но его угол с осью x увеличился, следовательно, его направление также изменилось. Если мы посмотрим внимательно, кроме красного вектора и зеленого вектора направление всех остальных векторов изменилось. Следовательно, мы можем сказать, что красный и зеленый векторы особенные, и их характеристика этого линейного преобразования . Эти векторы называются собственными векторами этого линейного преобразования. А изменение их масштаба в результате преобразования называется их собственным значением . Что для красного вектора собственное значение равно 1, так как его масштаб остается постоянным после и до преобразования, а для зеленого вектора собственное значение равно 2, так как оно увеличено в 2 раза.
Давайте получим посмотрите на другое линейное преобразование, где мы сдвигаем квадрат по оси x.
Сдвиг вдоль оси x
Если вы предположили, что красный вектор является собственным вектором, вы правы, и его собственное значение равно 1.
Что, если мы повернем квадрат на 90 градусов по часовой стрелке.
Повернуть на 90 градусов по часовой стрелке
Здесь нет собственных векторов (академические люди будут утверждать, что в этом случае есть сложные собственные векторы, но они далеки от темы этой статьи, поэтому давайте для простоты остановимся на этом случае без собственных векторов). Что, если вместо 90 градусов мы повернули квадрат на 180 градусов.
Повернуть на 180 градусов по часовой стрелке
Здесь все векторы вместе с тремя цветными векторами являются собственными векторами с собственным значением -1.
Давайте рассмотрим частный случай, когда мы одинаково масштабируем квадрат по осям x и y.
Одинаковое масштабирование по осям x и y
Здесь все векторы являются собственными векторами, и их собственное значение будет коэффициентом масштабирования.
Теперь вернемся к определению собственных векторов и собственных значений из Википедии:
Если T является линейным преобразованием из векторного пространства V над полем F в себя, а v является вектором в V , который не является нулевым вектором, тогда v является собственным вектором T , если T ( v ) кратно v . Это условие можно записать в виде уравнения
T ( v ) = λ v
, где λ является скаляром в поле F , известным как собственное значение , характеристическое значение или характеристический корень , связанный с собственным вектором v .
Давайте посмотрим, как работает уравнение для первого случая, который мы видели, когда мы масштабировали квадрат в 2 раза по оси Y, где красный вектор и зеленый вектор были собственными векторами.
Масштабирование в 2 раза по оси Y
До линейного преобразования:
После линейного преобразования:
Мы можем показать это после линейного преобразования, используя уравнение:
Давайте масштабируем задачу до 3-х измерений. Предположим, мы вращаем куб по оси z, тогда вектор вдоль оси z будет собственным вектором с собственным значением 1.
Становится трудно визуализировать и вычислять собственные векторы, если мы выходим за рамки трех измерений. Даже для некоторых случаев в 2D или 3D это не так просто. Так как же нам вычислить собственные векторы?
Мы знаем, что для любого собственного вектора v
Допустим, матрица преобразования есть A. Следовательно,
Из обоих приведенных выше уравнений мы можем сделать вывод, что
Сложив члены вместе,
Теперь λ — это просто скаляр. Мы можем считать v общим, если можем преобразовать его в матрицу, поскольку A — матрица. Для этого мы можем умножить λ на единичную матрицу I. Следовательно,
Теперь, чтобы правая часть была равна 0, либо (A-λI) должно быть равно 0, либо/и v должно быть равно 0. Но если вы помните из определения собственный вектор — это ненулевой вектор. Таким образом, (A-λI) всегда должно быть равно 0, чтобы v был собственным вектором. Мы можем вычислить, равна ли матричная операция 0, вычислив ее определитель.
Следовательно,
Давайте посмотрим, работает ли это, используя тот же пример масштабирования квадрата в 2 раза по оси y.
Здесь матрица преобразования A может быть представлена как:
Теперь мы это знаем,
Подставляя значения A и решая дальше:
Мы знаем, что,
Решая для λ = 1, получаем,
Это означает, что для любого вектора, где v2=0, этот вектор является собственным вектором с собственным значением 1. Это верно для любого вертикального вектора, который в нашем случае был красный вектор .
Решая для λ = 2, мы получаем:
Это означает, что для любого вектора, где v1=0, этот вектор является собственным вектором с собственным значением 2. Это верно для любого вертикального вектора, которым в нашем случае был зеленый вектор .
Причин, по которым собственные значения так важны в математике, слишком много. Вот краткий список приложений, которые сейчас приходят мне на ум:
Анализ основных компонентов (PCA) в уменьшении размерности и распознавании объектов/изображений. (См. PCA)
Распознавание лиц путем вычисления собственных векторов изображений (см. Собственные лица).
Физика — анализ устойчивости, физика вращающихся тел (см. Теория устойчивости).
Google использует его для ранжирования страниц в результатах поиска (см. PageRank).
Мост Tacoma Narrows Bridge в штате Вашингтон рухнул в 1940 году после 4 месяцев его строительства. Это было снято на пленку и позже получило прозвище «Скачущая Герти».
Его коллапс можно объяснить с помощью собственных значений. Во многих учебниках по физике для студентов это событие представлено как пример элементарного вынужденного резонанса, когда ветер обеспечивает внешнюю периодическую частоту, совпадающую с естественной структурной частотой, хотя реальной причиной разрушения моста был аэроупругий флаттер, а не резонанс.
No related posts.