Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
С прошлых уроков вам уже известно, что векторы можно складывать и делать это вы уже умеете с помощью правила треугольника.
Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов и , от некоторой точки А откладывают вектор . Далее от точки B откладывают вектор . Тогда вектор .
Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится знание следующих законов сложения векторов.
Сумма векторов . Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
И ещё один закон. . Этот закон называют сочетательным законом.
По очереди докажем каждый из них.
Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов и .
Доказательство.
Итак, от произвольной точки А отложим вектор , и вектор .
На этих векторах построим параллелограмм ABCD.
А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что , то есть равен сумме векторов .
,
С дугой стороны, ,
Отсюда можем сделать вывод, что сумма векторов равна сумме векторов .
Что и требовалось доказать.
Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов , , .
От произвольной точки А отложим Вектор , равный вектору . От точки B отложим вектор , равный вектору . А от точки C отложим вектор , равный вектору .
Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон. Запишем вектора , , как .
В скобках записана сумма векторов . Пользуясь правилом треугольника, можем записать, что эта сумма равна вектору .
А сумма вектора и , в свою очередь, по правилу треугольника равна вектору .
Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.
По правилу треугольника .
Отсюда делаем вывод, .
Что и требовалось доказать.
Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.
Обратите внимание, если векторы , отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов и .
Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.
Изобразим вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма.
Первым изобразим вектор суммы векторов и .
Отложим от произвольной точки А вектор , равный вектору .
Далее от точки А отложим вектор , равный вектору .
Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор является вектором суммы векторов и .
Далее изобразим вектор суммы векторов и .
Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.
Последним изобразим вектор суммы векторов и .
Задача. В треугольнике сторона равна , — , а .
Найти длину векторов и .
Решение.
Ответ: , .
Давайте подведём итоги нашего урока.
Сегодня вы познакомились с законами сложения векторов. А именно с переместительным и сочетательным законами сложения векторов. А так же освоили правило параллелограмма для сложения двух векторов.
Оно заключается в следующем: чтобы сложить
неколлинеарные векторы и
,
нужно отложить от произвольной точки А векторы и
равные
векторам и
соответственно,
и построить на них параллелограмм ABCD.
Тогда вектор
Свойства сложения векторов
{(x1 + x2) + x3; (y1 + y2) + y3}, т. е. {x1 + x2 + x3; y1 + y2 + y3}.
Такие же координаты имеет вектор + ( + ). Следовательно, ( + ) + = + ( + ). Теорема доказана.
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Рассмотрим еще один способ обоснования справедливости равенства 1 для неколлинеарных векторов и .
Обратимся к рисунку 60, на котором от точки A отложены векторы = и = и построен параллелограмм ABCD. По правилу треугольника = + = + и = + = + . Следовательно, + = + .
Это доказательство дает нам еще один способ построения суммы двух неколлинеарных векторов и , который называется правилом параллелограмма: нужно отложить от какой-нибудь точки A векторы = и = и построить параллелограмм ABCD (см. рис. 60). Тогда вектор будет равен + . Это правило часто используется в физике, например при сложении двух сил.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 61 показано построение суммы трех векторов: от произвольной точки A отложен вектор = , от точки B отложен вектор = , а от точки C отложен вектор = . В результате получился вектор, равный
+ +
Аналогичным образом можно построить сумму четырех, пяти, шести (рис. 62) и вообще любого числа векторов. Такой способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.
Правило многоугольника можно сформулировать и так: если A1, A2, …, An — произвольные точки плоскости, тоПодчеркнем, что это равенство справедливо для любых точек A1, A2, …, An, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если точка A1 совпадает с точкой An, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
умножение, сложение векторов по правилу многоугольника
Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Определение 1Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Определение 2Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Определение 4Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
Сложение двух векторов
Определение 5Исходные данные: векторы a→ и b→ . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор AB→, равный вектору а→; из полученной точки undefined – вектор ВС→, равный вектору b→. Соединив точки undefined и C, получаем отрезок (вектор) АС→, который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.
Геометрически сложение векторов выглядит так:
— для неколлинеарных векторов:
— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Определение 6Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a→; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b→; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB→ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание Определение 7Умножение вектора на число
Определение 8Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k, необходимо учитывать следующие правила:
— еслиk>1, то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0<k<1, то это число приведет к сжатию вектора в 1k раз;
— если k<0, то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k=1, то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.
Исходные данные:
1) вектор a→и число k=2;
2) вектор b→и число k=-13.
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Свойства операций над векторамиОписанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Исходные данные: векторы a→, b→, c→и произвольные действительные числа λ и μ.
- Свойство коммутативности: a⇀+b→=b→+a→ .
- Свойство ассоциативности: (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→) .
- Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0→ ⃗). Это очевидное свойство: a→+0→=a→
- Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1·a→=a→. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
- Любой ненулевой вектор a→ имеет противоположный вектор -a→ и верным является равенство: a→+(-a→)=0→. Указанное свойство — очевидное.
- Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a→ = λ · ( µ·a→ ). Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
- Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a→ = λ ·a→ + µ · a→.
- Второе распределительное свойство: λ · (a→ +b→) = λ ·a→ + λ · b→ .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Пример 1Задача: упростить выражение a→-2·(b→+3·a→)
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·(3·a→)
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a→-2·b→-2·(3·a→)=a→-2·b→-(2·3)·a→=a→-2·b→-6·a→
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые:a→-2·b→-6·a→=a→-6·a→-2·b→
— затем по первому распределительному свойству получаем:a→-6·a→-2·b→=(1-6)·a→-2·b→=-5·a→-2·b→Краткая запись решения будет выглядеть так:a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·3·a→=5·a→-2·b→
Ответ: a→-2·(b→+3·a→)=-5·a→-2·b→
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
1.2 Линейные операции над векторами
§2. Линейные операции над векторами.
На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.
I. Сложение векторов.
Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.
Легко видеть, что сумма двух векторов, определенная
таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,
построенной по правилу параллелограмма (рис.6). b
Однако, данное правило позволяет строить a
сумму любого числа векторов (рис.3б).
Рекомендуемые файлы
a+b
рис.3а
a
b a+b+c
рис.3б c
II. Умножение вектора на число.
Произведением вектора а на число называется вектор, a
длина которого равна , сонаправленный вектору а при λ > 0 -0.7a
и противоположно направленный при λ < 0. рис.4
Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:
Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор c = a − b, который при сложении с вектором b дает вектор a : b + c = a (рис.5).
Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив
b a−b начала векторов a и b в общую точку.
Очевидно следующее равенство: a + (−1)a = a − a = 0.
a (Строгое доказательство предоставляется читателям)
рис.5
Замечание. Ноль в правой части последнего равенства есть нулевой вектор, а не число.
Равенство (−1)b = −b дает еще один способ построения разности векторов: а−b = a+(−b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.
Свойства линейных операций.
1. Переместительное свойство сложения (коммутативность).
a + b = b + a. {рис.6}
2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).
(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}
3. Дистрибутивность умножения
а) (λ+μ)а = λа + μа. {Очевидно}
б) λ(a+b) = λa + λb. {Следует из подобия (рис.8)}
4. λ(μа) = (λμ)а . {Очевидно }
c
Обратите внимание на лекцию «Дополнение 2».
b b
a+b = b+a b+c λb λ(a+b)
a+b b
a (a+b)+c=a+(b+c) a+b
a a λa
рис.6 рис.7 рис.8
Сложение векторов
[музыка] выйдя из точки а туристы прошли четыре километра на запад а затем три километра на север результате этих двух перемещений туристы переместились из точки a в точку c поэтому результирующие перемещение можно представить вектором отце перемещение из точки a в точку c складывается из перемещение из a в b и перемещения из pvc поэтому вектор a c логично назвать суммы векторов a b и b c этот пример приводит нас к понятию суммы векторов даны два вектора а и b at me им произвольную точку а и отложим от этой точке вектор a b равный вектору а затем от точки б отложим вектор bc равный вектору b vectra c называется сумма и векторов а и b это правило сложения векторов называется правилом треугольника правило пи угольника можно сформулировать следующим образом для произвольных точек а b и c суммы векторов a b и b c равна вектору a c складывая по правилу треугольника произвольный вектор а с нулевым вектором получаем что для любого вектора а справедливо равенство законы сложения векторов переместительный и сочетательный от произвольной точке а отложим векторы абэ равный вектору а и вектор a d равный вектору b на векторах а b и a d построим параллелограмм abcd по правилу треугольника вектор a c равен сумме векторов a b и b c с другой стороны вектор отце равен сумме векторов ad&d c мы доказали переместительное свойство сложения векторов при доказательстве и переместитель нова закона сложения векторов мы обосновали правила сложения николини оных векторов правило параллелограмма чтобы сложить не коллинеарны рыб нужно выбрать произвольную точку и отложить от нее векторы равные данным на этих векторах построить параллелограмм вектор с началом выбранной точки и являющийся диагональю параллелограмма будет суммой данных векторов а и b докажем еще одно свойство сложения векторов сочетательный закон выберем произвольную точку а и отложим от нее вектор b равный вектору а а точки б вектор bc равный вектору b а точке c вектор cd равный вектору c пользуясь правилом треугольника найдем значение суммы 3 данных векторов найдем сумму этих же ректоров изменив порядок действий построим сумму векторов b и c а затем к вектору а прибавим получившийся результат мы доказали что сумма нескольких векторов не зависит от того в каком порядке они складываются при сложении нескольких векторов пользуются правило многоугольника при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего вектор соединяющий начало первого вектора с концом последнего будет суммой данных векторов
Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Векторы
- Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
Теорема
Доказательство
Дано: , и .
Доказать: 10. + = + ; 20. ( + ) + = + ( + ).
Доказательство:
10. Пусть векторы и коллинеарны.
От произвольной точки А отложим векторы = и = , т.е. векторы и будут лежать на одной прямой и на той же прямой от точки А отложим векторы = и = .
+ = , + = , тогда , , при этом , так как модуль вектора — это длина отрезка, следовательно, . Поэтому точки С и С1 совпадают, значит, = (по определению равных векторов), значит, + = + .
Пусть теперь векторы и не коллинеарны.
От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. Противоположные стороны ВС и АD параллелограмма равны, при этом векторы и сонаправлены, следовательно, = = (по определению равных векторов), также DC = АВ (противоположные стороны параллелограмма) и векторы и сонаправлены, следовательно, = = .
По правилу треугольника = + = + . Аналогично = + = + , поэтому + = + .
20. От произвольной точки А отложим вектор = , от точки В — вектор = , а от точки С — вектор = .
Применяя правило треугольника, получим:
( + ) + = ( + ) + = + = ,
+ ( + ) = + ( + ) = + = .
Следовательно, ( + ) + = + ( + ).
Теорема доказана.
Правило параллелограмма
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Понятие вектора
Равенство векторов
Откладывание вектора от данной точки
Сумма двух векторов
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Произведение вектора на число
Применение векторов к решению задач
Средняя линия трапеции
Векторы
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 762, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 763, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 765, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 802, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 808, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 909, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1067, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© budu5.com, 2021
Пользовательское соглашение
Copyright
| | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение Поделиться:
| |||||||||
| Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста. | ||||||||||
| Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator | |||||||||
Добавление векторов — свойства, законы, решенные примеры
Добавление векторов означает объединение двух или более векторов. В дополнение к векторам мы добавляем два или более вектора, используя операцию сложения, чтобы получить новый вектор, равный сумме двух или более векторов. Сложение векторов находит свое применение в физических величинах, где векторы используются для представления скорости, смещения и ускорения.
В этой статье давайте узнаем о сложении векторов, их свойствах и различных законах с решенными примерами.
Что такое сложение векторов?
Векторы представлены как комбинация направления и величины и написаны с помощью алфавита и стрелки над ними. Два вектора, \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \), могут быть сложены вместе с помощью векторного сложения, и результирующий вектор может быть записан как \ (\ vec a \) + \ (\ vec b \ ). Прежде чем изучать свойства сложения векторов, нам нужно знать об условиях, которые должны соблюдаться при добавлении векторов.Условия следующие:
- Векторы могут быть добавлены только в том случае, если они имеют одинаковую природу. Например, к ускорению нужно добавить только ускорение, а не массу .
- Мы не можем складывать векторы и скаляры вместе
Рассмотрим два вектора C и D. Где C = Cxi + Cyj + Czk и D = Dxi + Dyj + Dzk. Тогда результирующий вектор R = C + D = (Cx + Dx) i + (Cy + Dy) j + (Cz + Cz) k
Свойства сложения векторов
Сложение векторов отличается от алгебраического сложения.Вот некоторые из важных свойств, которые следует учитывать при сложении векторов:
| Объект | Пояснение |
| Наличие идентичности | Для любого вектора \ (\ vec v \), \ [\ vec v + \ vec 0 = \ vec v \] Здесь вектор \ (\ vec 0 \) — аддитивная единица. |
| Наличие инверсии | Для любого вектора \ (\ vec v \), \ [\ vec v + \ left ({- \ vec v} \ right) = \ vec 0 \] и, следовательно, аддитивный обратный существует для каждого вектора. |
| Коммутативность | Сложение коммутативно; для любых двух произвольных векторов \ (\ vec c \, \, {\ rm {and}} \, \, \ vec d \), \ [\ vec c \, + \ vec d \, = \ vec d + \ vec c \] |
| Ассоциативность | Сложение ассоциативное; для любых трех произвольных векторов \ (\ vec i, \ vec j \, \, {\ rm {and}} \, \, \ vec k \), \ [\ vec i + \ left ({\ vec j + \ vec k \,} \ right) = \ left ({\ vec i + \ vec j} \ right) + \, \, \ vec k \] и.д, порядок добавления значения не имеет. |
Сложение векторов графически
Сложение векторов может быть выполнено с использованием графических и математических методов. Эти методы следующие:
- Сложение векторов с использованием компонентов
- Закон сложения векторов треугольника
- Закон сложения векторов параллелограмма
Сложение векторов с использованием компонентов
Векторы, представленные в декартовых координатах, можно разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие.Например, вектор \ (\ vec A \) под углом Φ, как показано на приведенном ниже изображении, можно разложить на его вертикальные и горизонтальные компоненты как:
На изображении выше
- \ (A_ {x} \), представляет компонент вектора \ (\ vec A \) вдоль горизонтальной оси (ось x), а
- \ (A_ {y} \), представляет компонент вектора \ (\ vec A \) вдоль вертикальной оси (ось y).
Мы можем отметить, что три вектора образуют прямоугольный треугольник и что вектор \ (\ vec A \) может быть выражен как:
\ (\ vec A \) = \ (A_ {x} \) + \ (A_ {y} \)
Математически, используя величину и угол данного вектора, мы можем определить компоненты вектора.
\ (A_ {x} \) = A cos Φ
\ (A_ {y} \) = грех Φ
Для двух векторов, если заданы его горизонтальная и вертикальная составляющие, то результирующий вектор может быть вычислен. Например, если указаны значения \ (A_ {x} \) и \ (A_ {y} \), то мы сможем вычислить угол и величину вектора \ (\ vec A \) как следует:
| \ (\ vec A \) | = √ ((\ (A_ {x} \)) 2 + (\ (A_ {y} \)) 2)
А угол можно найти как:
Φ = загар-1 (\ (A_ {y} \) / \ (A_ {x} \))
Отсюда можно сделать вывод, что:
- Если компоненты вектора предоставлены, то мы можем определить результирующий вектор
- Точно так же мы можем определить компоненты вектора, используя приведенные выше уравнения, если вектор предоставлен
Аналогично, мы можем выполнить сложение векторов, используя их компоненты, если эти векторы выражены в упорядоченных парах i.e векторов-столбцов. Например, рассмотрим два вектора \ (\ vec P \) и \ (\ vec Q \).
\ (\ vec P \) = (p1, p2)
\ (\ vec Q \) = (q1, q2)
Результирующий вектор \ (\ vec M \) может быть получен путем сложения векторов двух векторов \ (\ vec P \) и \ (\ vec Q \) путем сложения соответствующих компонент x и y этих двух векторов. .
\ (\ vec M \) = \ (\ vec P \) + \ (\ vec Q \)
\ (\ vec M \) = (p1 + q1, p2 + q2).
Это можно явно выразить как:
\ (M_ {x} \) = p1 + q1
\ (M_ {y} \) = p2 + q2.
Формула величины для определения величины результирующего вектора \ (\ vec M \): | \ (\ vec M \) | = √ ((\ (M_ {x} \)) 2 + (\ (M_ {y} \)) 2)
И угол можно вычислить как Φ = tan-1 (\ (M_ {y} \) / \ (M_ {x} \))
Закон сложения векторов треугольника
Известный закон треугольника можно использовать для сложения векторов, и этот метод также называется методом «голова к хвосту». Согласно этому закону, два вектора можно сложить вместе, поместив их вместе таким образом, чтобы голова первого вектора соединялась с хвостом второго вектора.Таким образом, соединив хвост первого вектора с головой второго вектора, мы можем получить вектор результирующей суммы. Сложение векторов по закону треугольника может производиться следующими шагами:
- Сначала два вектора \ (\ vec M \) и \ (\ vec N \) помещаются вместе таким образом, что голова вектора \ (\ vec M \) соединяется с хвостом вектора \ (\ vec N \).
- И затем, чтобы найти сумму, результирующий вектор \ (\ vec S \) рисуется таким образом, что он соединяет хвост \ (\ vec M \) с головой \ (\ vec N \ ).
- Таким образом, математически сумма или результирующий вектор \ (\ vec S \) на приведенном ниже изображении может быть выражена как \ (\ vec S \) = \ (\ vec M \) + \ (\ vec N \).
Закон сложения векторов параллелограмма
Другой закон, который можно использовать для сложения векторов, — это параллелограммный закон сложения векторов.Возьмем два вектора \ (\ vec p \) и \ (\ vec q \), как показано ниже. Они образуют две смежные стороны параллелограмма по своей величине и направлению. Сумма \ (\ vec p \) + \ (\ vec q \) представлена по величине и направлению диагональю параллелограмма, проходящей через их общую точку. Это параллелограммный закон сложения векторов.
На приведенном выше рисунке, используя закон треугольника, можно сделать следующие выводы:Вектор OP + Вектор PR = Вектор OR
Vector OP + Vector OQ = Vector OR, так как Vector PR = Vector OQ
Отсюда можно сделать вывод, что треугольные законы сложения векторов и параллелограммные законы сложения векторов эквивалентны друг другу.
Сложение векторов
С векторами и над векторами можно выполнять множество математических операций. Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результирующий). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что результирующая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект.То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы. Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:
Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.
В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, когда векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений. Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.
Существует множество методов для определения величины и направления результата сложения двух или более векторов.В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу. Этот метод не применим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу.Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.
Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:
Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток. Определите результирующее смещение Эрика.
В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу.Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).
Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.
Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.
Использование тригонометрии для определения направления вектора
Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Синусоидальная функция связывает величину острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.
Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ниже.
После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните, как говорилось ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор делает относительно востока.)
Расчетный угол не всегда соответствует направлению
Мера угла, определенная с помощью SOH CAH TOA, равна , а не всегда направлению вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.
Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.
В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается сложением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу.Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.
Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результатаВеличину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторную прогулку . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с домашней базы , эти 18 векторов смещения могут быть сложены вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».
Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова к хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. После того, как результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.
Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.
- Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
- Выберите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
- Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
- Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
- Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к началу последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
- С помощью линейки измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
- Измерьте направление результирующей, используя условные обозначения против часовой стрелки, о которых говорилось ранее в этом уроке.
Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:
20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град. МАСШТАБ: 1 см = 5 мМетод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.
МАСШТАБ: 1 см = 5 мИнтересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.
15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град. МАСШТАБ: 1 см = 5 мПри сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.
МАСШТАБ: 1 см = 5 мДополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.
Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или интерактивной игры «Угадывание векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» на нашем веб-сайте и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.
Сложение и вычитание векторов: графические методы
Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле. Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0º к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м курсом 15.0º к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.
СтратегияИзобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый A , второй B и третий C , сделав длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад. Описанный выше метод «голова к хвосту» позволит определить величину и направление результирующего смещения, обозначенное как R .
Решение(1) Нарисуйте три вектора смещения.
(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя их начальную величину и направление.
(3) Нарисуйте результирующий вектор R .
(4) Используйте линейку, чтобы измерить звездную величину R , и транспортир, чтобы измерить направление R . Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью.Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх ногами и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.
Рисунок 11
В этом случае видно, что полное смещение R имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7,0º к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R = 50,0 м и θ = 7,0º к югу от востока.
ОбсуждениеГрафический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов.Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.
Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же. Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — это коммутативный . Векторы можно добавлять в любом порядке.
А + В = В + А.
(Это верно и для сложения обычных чисел — вы получите тот же результат, например, прибавляете ли вы 2 + 3 или 3 + 2 ).
Объяснитель урока: Свойства операций над векторами
В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства сложения и умножения над векторами.
Начнем с того, что вспомним, что вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.Вектор может быть представлен в подходящем пространстве направленным линейным сегментом определенной длины. Это означает, что мы можем думать о векторах как об определяющих движениях, движущихся в заданном направлении на заданное расстояние.
Эта идея позволяет нам сложить два вектора вместе; если оба вектора можно рассматривать как движение в заданном направлении на заданное расстояние, их сумму можно рассматривать как комбинацию обоих движений вместе.
В двух измерениях мы можем выбрать пространство, в котором мы можем представить величину и направление в терминах горизонтального и вертикального изменения.В этом пространстве вектор (𝑎, 𝑏) имеет горизонтальную составляющую 𝑎 и вертикальную составляющую. Мы можем представить это как смещение единиц по горизонтали и смещение единиц по вертикали.
Это означает, что мы можем сложить два вектора, учитывая их компоненты. Графически сумма двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 представляет собой комбинированное смещение. Следовательно, мы можем нарисовать конечную точку первого вектора как начальную точку второго вектора. Затем сумма векторов имеет начальную точку первого вектора и конечную точку второго вектора, как показано на следующей диаграмме.
Поскольку вектор ⃑𝑢 + ⃑𝑣 представляет смещение как ⃑𝑢, так и ⃑𝑣, он будет иметь горизонтальную составляющую, равную сумме горизонтальных составляющих ⃑𝑢 и ⃑𝑣, и вертикальную составляющую, равную сумме вертикальных составляющих ⃑𝑢 и ⃑𝑣. . Это дает нам следующее.
Теорема: сложение векторов в двух измерениях
Для любых двух векторов в двух измерениях ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) и ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) , ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) .
Поскольку сумма любых двух векторов в двух измерениях также является двумерным вектором, мы можем сказать, что сложение векторов в двух измерениях является замкнутым.Иногда это называют свойством замыкания векторного сложения.
Эта идея распространяется на более высокие измерения; однако в этом пояснении мы будем работать только в двух измерениях.
Мы также можем определить скалярное умножение вектора как скалярное умножение его компонентов. Графически скалярное умножение вектора на скаляр 𝑘 — это расширение вектора на коэффициент 𝑘.
Теорема: скалярное умножение векторов в двух измерениях
Для любых векторов ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) и скалярных 𝑘, 𝑘⃑𝑢 = (𝑘𝑢, 𝑘𝑢).
Давайте посмотрим, как использовать эти определения, чтобы ответить на вопрос, связанный со свойством сложения векторов.
Пример 1: Коммутативность сложения векторов
Выполните следующее: (1,9) + (5,2) = (5,2) + (,).
Ответ
Начнем с упрощения левой части уравнения. Чтобы найти сумму пары векторов, напомним, что ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) и ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) .
Тогда, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) .
В нашем случае ⃑𝑢 = (1,9) и ⃑𝑣 = (5,2); следовательно, (1,9) + (5,2) = (1 + 5,9 + 2) = (6,11).
Это равно правой части данного уравнения, поэтому мы будем называть отсутствующий вектор ⃑𝑤 = (𝑤, 𝑤) .
Затем мы можем упростить правую часть данного уравнения: (5,2) + (𝑤, 𝑤) = (5 + 𝑤, 2 + 𝑤).
Приравнивая это к правой части уравнения, получаем (6,11) = (5 + 𝑤, 2 + 𝑤) .
Чтобы два вектора были равны, их соответствующие компоненты должны быть равны. Уравнивание соответствующих компонентов дает нам два уравнения: 6 = 5 + 𝑤, 11 = 2 + 𝑤.
Мы можем решить их, чтобы увидеть 𝑤 = 1 и 𝑤 = 9, поэтому отсутствующий вектор равен ⃑𝑤 = (1,9).
Есть второй способ показать это. Начнем с добавления векторов в левой части уравнения: (1,9) + (5,2) = (1 + 5,9 + 2).
Затем воспользуемся коммутативным свойством сложения: (1 + 5,9 + 2) = (5 + 1,2 + 9).
Наконец, мы можем использовать векторное сложение: (5 + 1,2 + 9) = (5,2) + (1,9).
Следовательно, отсутствующий вектор равен (1,9).
Второй метод в вопросе выше можно обобщить на любые два вектора: (𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣) = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) = (𝑣 + 𝑢, 𝑣 + 𝑢) = (𝑣, 𝑣) + (𝑢, 𝑢) .
Другими словами, для любых векторов в двух измерениях ⃑𝑢 и ⃑𝑣, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢.
Это известно как коммутативность сложения векторов. Графическая интерпретация этого свойства показана на следующей диаграмме.
Если ⃑𝑢 и ⃑𝑣 отличны от нуля, мы можем изобразить эти векторы как стороны параллелограмма. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма можно представить как ⃑𝑢 + ⃑𝑣, так и ⃑𝑣 + ⃑𝑢, поэтому эти выражения должны быть равны.
Нам действительно нужно иметь дело со случаем, когда один или оба этих вектора являются нулевыми векторами. Если ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , то можно показать, что (𝑢, 𝑢) + ⃑0 = (𝑢, 𝑢) + (0,0) = (𝑢 + 0, 𝑢 + 0) = (𝑢, 𝑢).
Следовательно, ⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢.
Это называется аддитивным свойством идентичности, поскольку добавление нулевого вектора не меняет вектор.
Мы также можем продемонстрировать свойства, связанные со скалярным умножением. Например, для любого вектора ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , 1⃑𝑢 = 1 (𝑢, 𝑢) = (1𝑢, 1𝑢) = (𝑢, 𝑢) = ⃑𝑢.
Следовательно, 1⃑𝑢 = ⃑𝑢.
Это называется свойством мультипликативной идентичности, поскольку умножение вектора на скаляр 1 не влияет на его величину или направление.
Существует множество свойств сложения векторов и скалярного умножения в двух измерениях.Мы не будем все это доказывать; однако все они могут быть получены путем рассмотрения компонентов векторов.
Теорема: свойства сложения векторов и скалярного умножения в двух измерениях
Для любых векторов ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) и ⃑𝑤 = (𝑤, 𝑤) и скаляры 𝑛 и 𝑚, рассмотрим следующее.
- Свойства сложения векторов: ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢⃑𝑢 + − ⃑𝑢 = ⃑0⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑢 + ⃑𝑤, ⃑𝑣 = ⃑𝑤. (Коммутативное свойство) (ассоциативное свойство ) (аддитивное свойство) (аддитивно обратное свойство) Ifthen (свойство исключения)
- Свойства скалярного умножения векторов: 𝑛⃑𝑢 + ⃑𝑣 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑛⃑𝑣 (𝑛 + 𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑚⃑𝑢1⃑𝑢 = ⃑𝑢 (𝑛𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛𝑚⃑𝑢𝑛⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑣, ⃑𝑢 = ⃑𝑣.(distributiveproperty) (distributiveproperty) (multiplicativeidentityproperty) (ассоциативное свойство) Ifthen (eliminationproperty)
Все эти свойства верны для векторов с размерностями выше двух и доказуемы алгебраически. Давайте теперь посмотрим, как мы можем использовать эти свойства для оценки выражения, включающего векторы.
Пример 2: Упрощение векторного выражения с использованием свойств векторных операций
Учитывая, что ⃑𝑎 = (1,5) и ⃑𝑏 = (6,2), найти ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + − ⃑𝑎.
Ответ
Ответить на этот вопрос можно напрямую, используя свойства сложения векторов. Во-первых, мы воспользуемся коммутативным свойством сложения векторов, чтобы изменить порядок выражение. Это говорит о том, что для любых векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢.
Применяя это к нашему выражению, получаем ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + − ⃑𝑎 = ⃑𝑎 + − ⃑𝑎 + ⃑𝑏.
Далее мы воспользуемся аддитивным обратным свойством сложения векторов, чтобы упростить выражение. Это говорит нам, что для любого вектора ⃑𝑢, ⃑𝑢 + − ⃑𝑢 = ⃑0.
Применяя это к нашему выражению вместе с ассоциативным свойством сложения векторов, получаем ⃑𝑎 + − ⃑𝑎 + ⃑𝑏 = ⃑0 + ⃑𝑏.
Наконец, мы будем использовать свойство аддитивной идентичности, которое говорит, что для любого вектора ⃑𝑢, ⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢.
Следовательно, ⃑0 + ⃑𝑏 = ⃑𝑏 = (6,2).
Второй метод — работа с компонентами ⃑𝑎 и ⃑𝑏: ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + − ⃑𝑎 = (1,5) + (6,2) + (- (1,5)).
Распределим негатив по вектору, умножив все его компоненты на -1: (1,5) + (6,2) + (- (1,5)) = (1,5) + (6,2) + (- 1, −5).
Теперь мы находим сумму векторов, складывая их соответствующие компоненты вместе: (1,5) + (6,2) + (- 1, −5) = (1 + 6−1,5 + 2−5) = (6,2).
В нашем следующем примере мы увидим демонстрацию того, как применить свойство ассоциативности сложения векторов. Метод сложения этих векторов вместе путем нахождения суммы их соответствующих компонентов можно обобщить, чтобы показать, что свойство ассоциативности верно для произвольных векторов.
Пример 3: Проверка ассоциативности сложения векторов в двух измерениях
Учтите, что ⃑𝑎 = (1,6), ⃑𝑏 = (3,7) и ⃑𝑐 = (6,3).
- Найдите ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐.
- Найдите ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐.
- Соответствует ли ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐 ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐?
Ответ
Часть 1
Чтобы найти сумму этих векторов, мы складываем соответствующие компоненты: ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐 = (1,6) + ((3,7) + (6,3)).
Вычисление выражения в круглых скобках дает (1,6) + ((3,7) + (6,3)) = (1,6) + (3 + 6,7 + 3) = (1,6) + (9,10).
Добавление соответствующих компонентов этих векторов дает (1,6) + (9,10) = (1 + 9,6 + 10) = (10,16).
Часть 2
Для начала, ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐 = ((1,6) + (3,7)) + (6,3).
Вычисление выражения в круглых скобках дает ((1,6) + (3,7)) + (6,3) = (1 + 3,6 + 7) + (6,3) = (4,13) + (6,3).
Добавление соответствующих компонентов этих векторов дает (4,13) + (6,3) = (4 + 6,13 + 3) = (10,16).
Часть 3
Мы показали, что оба этих выражения упрощаются и дают один и тот же вектор: (10,16). Это пример ассоциативного свойства сложения векторов.Мы можем использовать этот пример для обобщения этого свойства.
Пусть ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) , и ⃑𝑤 = (𝑤, 𝑤) .
Тогда, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ((𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣)) + (𝑤, 𝑤) = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) + (𝑤, 𝑤) = ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤, (𝑢 + 𝑣) + 𝑤) .
Затем мы можем использовать ассоциативное свойство сложения, чтобы переписать этот вектор: ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤, (𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤), 𝑢 + (𝑣 +)) = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤.
Следовательно, для любых векторов в двух измерениях ⃑𝑢, ⃑𝑣 и ⃑𝑤, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤.
В нашем следующем примере мы опишем свойство скалярного умножения и докажем, что это свойство выполняется для произвольных векторов и произвольного скаляра.
Пример 4: Описание свойства скалярного умножения
Какое свойство показывает, что 𝑐⃑𝑎 + ⃑𝑏 = 𝑐⃑𝑎 + 𝑐⃑𝑏?
Ответ
Это свойство называется распределительным свойством скалярного умножения над векторным сложением. В нем говорится, что для любых векторов ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) и ⃑𝑏 = (𝑏, 𝑏) и скаляр 𝑐, 𝑐⃑𝑎 + ⃑𝑏 = 𝑐⃑𝑎 + 𝑐⃑𝑏.
Мы можем доказать это, рассматривая компоненты ⃑𝑎 и ⃑𝑏: 𝑐⃑𝑎 + ⃑𝑏 = 𝑐 ((𝑎, 𝑎) + (𝑏, 𝑏)) = 𝑐 (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏).
Затем, чтобы умножить вектор на скаляр 𝑐, мы умножаем каждый компонент на 𝑐, получая 𝑐 (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) = (𝑐 (𝑎 + 𝑏), 𝑐 (𝑎 + 𝑏)).
Далее мы знаем, что умножение распределительно по сравнению с сложением: (𝑐 (𝑎 + 𝑏), 𝑐 (𝑎 + 𝑏)) = (𝑐𝑎 + 𝑐𝑏, 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏) .
Наконец, мы можем переписать это как (𝑐𝑎 + 𝑐𝑏, 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏) = (𝑐𝑎, 𝑐𝑎) + (𝑐𝑏, 𝑐𝑏) = 𝑐 (𝑎, 𝑎) + 𝑐 (𝑏, 𝑏) = 𝑐⃑𝑎 + 𝑐⃑𝑏.
Это свойство известно как свойство распределения скалярного умножения над скалярным сложением.
В следующем примере мы будем использовать свойства векторов, чтобы помочь нам определить отсутствующий вектор из векторного уравнения.
Пример 5: Проверка распределительного свойства скалярного умножения по сложению векторов
Выполните следующее: 2 ((2,5) + (5,1)) = (,) + (10,2).
Ответ
Начнем с упрощения левой части уравнения. Во-первых, мы используем тот факт, что скалярное умножение дистрибутивно по сравнению с векторным сложением: 2 ((2,5) + (5,1)) = 2 (2,5) +2 (5,1).
Затем мы можем вычислить скалярное умножение: 2 (2,5) +2 (5,1) = (2 × 2,2 × 5) + (2 × 5,2 × 1) = (4,10) + (10,2).
Приравнивая это к левой части уравнения, получаем (4,10) + (10,2) = (,) + (10,2).
Затем мы можем упростить это уравнение, используя свойство исключения сложения векторов, которое говорит нам, что если ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑢 + ⃑𝑤, то ⃑𝑣 = ⃑𝑤.
Чтобы прояснить это, мы воспользуемся коммутативным свойством сложения векторов, чтобы переписать наше уравнение в виде (10,2) + (4,10) = (10,2) + (,).
Затем мы исключаем вектор (10,2), давая нам (4,10) = (,).
Следовательно, отсутствующий вектор равен (4,10).
В нашем последнем примере мы докажем аддитивное свойство, обратное векторному сложению.
Пример 6: Описание свойства аддитивных инверсий для сложения векторов
Какое свойство сложения показывает, что ⃑𝑎 + − ⃑𝑎 = ⃑0?
Ответ
Это свойство называется аддитивным обратным свойством сложения векторов.Это свойство можно доказать, рассматривая компоненты вектора ⃑𝑎. Сначала пусть ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) .
Тогда, −⃑𝑎 = (- 1) (𝑎, 𝑎) = (- 𝑎, −𝑎) .
Затем мы можем подставить это в наше выражение и вычислить: ⃑𝑎 + − ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) + (- 𝑎, −𝑎) = (𝑎 − 𝑎, 𝑎 − 𝑎) = (0,0) = ⃑0.
Это аддитивное обратное свойство состояний сложения векторов для любого вектора ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) , ⃑𝑎 + − ⃑𝑎 = ⃑0.
Давайте закончим повторением некоторых важных моментов этого объяснения.
Ключевые моменты
- Мы можем использовать свойства сложения векторов и скалярного умножения, чтобы упростить выражения, включающие векторы.
- Свойства сложения векторов: ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢⃑𝑢 + − ⃑𝑢 = ⃑0⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑢 + ⃑𝑤, ⃑𝑣 = ⃑𝑤. (Коммутативное свойство) (ассоциативное свойство ) (аддитивное свойство) (аддитивно обратное свойство) Ifthen (свойство исключения)
- Свойства скалярного умножения векторов: 𝑛⃑𝑢 + ⃑𝑣 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑛⃑𝑣 (𝑛 + 𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑚⃑𝑢1⃑𝑢 = ⃑𝑢 (𝑛𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛𝑚⃑𝑢𝑛⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑣, ⃑𝑢 = ⃑𝑣. (распределительное свойство) (распределительное свойство) (мультипликативное тождественное свойство) (ассоциативное свойство ) Ifthen (свойство исключения)
- Мы можем доказать, что эти свойства выполняются, рассматривая компоненты векторов.
- Хотя мы рассмотрели эти свойства только для векторов в двух измерениях, все эти свойства распространяются на векторы в более высоких измерениях.
Сложение и вычитание векторов
Чтобы сложить или вычесть два вектора, сложите или вычтите соответствующие компоненты.
Позволять ты → знак равно 〈 ты 1 , ты 2 〉 и v → знак равно 〈 v 1 , v 2 〉 быть двумя векторами.
Тогда сумма ты → и v → это вектор
ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉
Разница ты → и v → является
ты → — v → знак равно ты → + ( — v → ) знак равно 〈 ты 1 — v 1 , ты 2 — v 2 〉
Сумма двух или более векторов называется результирующей.Результирующий двух векторов можно найти, используя либо метод параллелограмма или метод треугольника .
Метод параллелограмма:
Нарисуйте векторы так, чтобы их начальные точки совпадали. Затем нарисуйте линии, чтобы сформировать полный параллелограмм. Диагональ от начальной точки до противоположной вершины параллелограмма является результирующей.
Добавление вектора:
- Поместите оба вектора ты → и v → в той же начальной точке.
- Завершите параллелограмм. Результирующий вектор ты → + v → — диагональ параллелограмма.
Вычитание вектора:
- Завершите параллелограмм.
- От начальной точки начертите диагонали параллелограмма.
Метод треугольника:
Нарисуйте векторы один за другим, помещая начальную точку каждого последующего вектора в конечную точку предыдущего вектора.Затем проведите результат от начальной точки первого вектора к конечной точке последнего вектора. Этот метод также называют метод «голова к хвосту» .
Добавление вектора:
Вычитание вектора:
Пример:
Найди) ты → + v → и (б) ты → — v → если ты → знак равно 〈 3 , 4 〉 и v → знак равно 〈 5 , — 1 〉 .
Подставьте указанные значения ты 1 , ты 2 , v 1 и v 2 в определение сложения векторов.
ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉 знак равно 〈 3 + 5 , 4 + ( — 1 ) 〉 знак равно 〈 8 , 3 〉
Перепиши разницу ты → — v → как сумма ты → + ( — v → ) .Нам нужно будет определить компоненты — v → .
Напомним, что — v → является скалярным кратным — 1 раз v . Из определения скалярного умножения имеем:
— v → знак равно — 1 〈 v 1 , v 2 〉 знак равно — 1 〈 5 , — 1 〉 знак равно 〈 — 5 , 1 〉
Теперь добавьте компоненты ты → и — v → .
ты → + ( — v → ) знак равно 〈 3 + ( — 5 ) , 4 + 1 〉 знак равно 〈 — 2 , 5 〉
4.{n} \) и определяется
\ [\ begin {align} \ vec {u} + \ vec {v} & = \ left [\ begin {array} {c} u_ {1} \\ \ vdots \\ u_ {n} \ end {массив } \ right] + \ left [\ begin {array} {c} v_ {1} \\ \ vdots \\ v_ {n} \ end {array} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {c} u_ {1} + v_ {1} \\ \ vdots \\ u_ {n} + v_ {n} \ end {array} \ right] \ end {align} \]
Чтобы добавить векторы, мы просто добавляем соответствующие компоненты. Следовательно, чтобы складывать векторы, они должны быть одинакового размера.
Сложение векторов удовлетворяет некоторым важным свойствам, которые изложены в следующей теореме.{n} \).
- Коммутативный закон сложения \ [\ vec {u} + \ vec {v} = \ vec {v} + \ vec {u} \]
- Ассоциативный закон сложения \ [\ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) + \ vec {w} = \ vec {u} + \ left (\ vec {v} + \ vec { w} \ right) \]
- Существование аддитивной идентичности \ [\ vec {u} + \ vec {0} = \ vec {u} \ label {vectoridentity} \]
- Существование аддитивного обратного \ [\ vec {u} + \ left (- \ vec {u} \ right) = \ vec {0} \]
Аддитивная идентичность, показанная в уравнении \ ref {vectoridentity}, также называется нулевым вектором , вектором \ (n \ times 1 \), в котором все компоненты равны \ (0 \).{n} \) определяется как \ [k \ vec {u} = k \ left [\ begin {array} {c} u_ {1} \\ \ vdots \\ u_ {n} \ end {array} \ right ] = \ left [\ begin {array} {c} ku_ {1} \\ \ vdots \\ ku_ {n} \ end {array} \ right] \]
Как и сложение, скалярное умножение векторов удовлетворяет нескольким важным свойствам. T \\ & = k \ vec {u} + k \ vec {v} \\ \ end {array} \]
Теперь мы представляем полезное понятие, которое вы, возможно, видели ранее, объединяя векторное сложение и скалярное умножение.
Определение \ (\ PageIndex {3} \): линейная комбинация
Вектор \ (\ vec {v} \) называется линейной комбинацией векторов \ (\ vec {u} _1, \ cdots, \ vec {u} _n \), если существуют скаляры, \ (a_ {1}, \ cdots, a_ {n} \) такие, что \ [\ vec {v} = a_1 \ vec {u} _1 + \ cdots + a_n \ vec {u} _n \]
Например, \ [3 \ left [\ begin {array} {r} -4 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] + 2 \ left [\ begin {array} {r} -3 \ \ 0 \\ 1 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} -18 \\ 3 \\ 2 \ end {array} \ right].\] Таким образом, мы можем сказать, что \ [\ vec {v} = \ left [\ begin {array} {r} -18 \\ 3 \\ 2 \ end {array} \ right] \] является линейной комбинацией векторы \ [\ vec {u} _1 = \ left [\ begin {array} {r} -4 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] \ mbox {и} \ vec {u} _2 = \ left [\ begin {array} {r} -3 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right] \]
Скалярное умножение и сложение векторов
Двумя основными векторными операциями являются скалярное умножение и сложение векторов . Вообще, при работе с векторами числами или константами называются скаляры .Скалярное умножение — это когда вектор умножается на скаляр (число или константу). Если вектор v умножить на скаляр k, получится k v . Если k положительно, то k v будет иметь те же направления, что и v . Если k отрицательно, k v будет иметь направление, противоположное v .
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ:
Пусть v = 〈v1, v2〉 и k — скаляр.
k v = k 〈v1, v2〉 = 〈kv1, kv2〉
Чтобы сложить два вектора u и v , поместите начальную точку второго вектора (без изменения длины или направления) на конечная точка первого вектора.Затем соедините начальную точку первого вектора с концом второго вектора. Эта линия соединения представляет собой сумму двух векторов.
Сумма векторов u и v в компонентной форме равна:
ДОБАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ:
Пусть u = 〈u1, u2〉 и v = 〈v1, v2〉
u + v = 〈U1 + v1, u2 + v2〉
u − v = u + (- v) = 〈u1 − v1, u2 − v2〉
Скалярное умножение и векторное сложение имеют следующие свойства:
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ И ВЕКТОРА ДОПОЛНЕНИЕ:
Пусть u , v и w — векторы, а c и d — скаляры.
1. u + v = v + u 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w )
3. u + 0 = u 4. u + (- u ) = 0
5. c (d u ) = (cd) u 6. (c + d) u = c u + d u
7. c ( u + v ) = c u + c v 8.1 · u = u , 0 · u = 0
9. || c v || = | c ||| v ||
Давайте рассмотрим пару примеров.
Пример 1: Если u = 〈- 2,1〉 и v = 〈7, −3〉 найти (а) u + v и (б) u — v.
Шаг 1. Вычислить u + v с помощью сложения векторов. Добавьте x-компонент обоих векторов.Сделайте то же самое для y-компонентов. | u + v = 〈- 2 + 7, 1 + (- 3)〉 и + v = 〈5, −2〉 |
Шаг 2: Вычислить u — v с помощью сложения векторов. Запомните u — v = u + (-v), поэтому вычтите x-компонент v из u .Сделайте то же самое для y-компонентов. | u − v = u + (- v) = 〈- 2−7, 1 — (- 3)〉 u − v = 〈- 9, 4〉 |
Пример 2: Если u = 〈6,15〉 и v = 〈- 5,20〉 находим (а) 2u + v и (б) 5u — 2v.
Шаг 1. Вычислить 2u + v, используя скалярное умножение и сложение векторов. a) Сначала вычислите 2 и , используя скалярное умножение. б) Затем вычислите 2 u + v , используя сложение векторов. | 2u = 2 〈6,15〉 = 〈2 · 6, 2 · 15〉 2u = 〈12, 30〉 2u + v = 〈12 + (- 5), 30 + 20〉 2u + v = 〈7,50〉 |
Шаг 2: Вычислите 5u — 2v, используя скалярное умножение и сложение векторов. |