Совместные и несовместные события примеры: Определение совместных и несовместных, зависимых и независимых событий. Примеры.

Определение совместных и несовместных, зависимых и независимых событий. Примеры.

Совместные. Два события, А и В, называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого. Ех: Авария на АЭС, Дождь.

Несовместные. Два события, А и В, называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Ех: Дождь и Снег в одном месте.

Зависимые. Два события, А и В, называются зависимыми, если появление одного из них меняет вероятность появления другого.

Независимые. Два события, А и В, называются независимыми, если появление одного их них не меняет вероятность появления другого.

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности различных событий. Определение полной группы несовместных событий. Теорема и следствие о полной группе событий.

Вероятность появления некоторого события – отношение случаев благоприятствующих появлению события к общему число равновозможных исходов.

.

Суммой, или объединением нескольких событий называется сложное событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий. Ех: А – попадание в цель при первом выстреле, В – попадание в цель при втором выстреле, С – попадание в цель. С=А+В.

Произведением, или пересечением нескольких событий называется сложное событие, состоящее в совместном появлении всех событий.

Ех: А – попадание в цель при первом выстреле, В – попадание в цель при втором выстреле, С – попадание в цель 2 раза. С=А*В

Полная группа несовместных событий.

А₁,А₂,…,А_n –называются группой несовместных событий, если события, всходящие в группу, попарно несовместны.

Полная группа совместных событий.

А₁,А₂,…,А_n – группа совместных событий, если хотя бы 2 события, входящие в группу, совместны.

4. Теорема сложения вероятностей.

Для несовместных событий:

Вероятность суммы некоторых несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Верно и для группы.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Следствие: Если А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу несовместных событий, то Р(А₁+А₂+…+А_n)=1

Для совместных событий:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

P(A+B)=P(A)+P(B)—

5. Теорема умножения вероятностей.

Т1.Вероятность наступления двух независимых событий А и В равна произведению их безусловных вероятностей.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Следствие: вероятность произведения N независимых событий равна произведению N вероятностей этих событий.

Т2. Вероятность наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности события А на условную вероятность события В.

Следствие:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных (при этом все предшествующие события имели место):

Р(А₁ А₂ … А_n) = Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂)…

6. Формула полной вероятности.

   Определение и свойства гипотез.

— формула полной вероятности.

Гипотезы – несовместные события, образующие полную группу, с одним из которых может наступить или не наступить событие А. каждая гипотеза имеет свою вероятность, и в сумме должны давать 1(полная группа же!)

1.04. Классификация событий. Сумма и произведение событий

Определение 1. Два случайных события А и В называются Несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае событие А и В называются Совместными.

Пример 1. Попадание А и непопадание В стрелка в мишень при одном выстреле – события несовместные.

Пример 2. Попадание А Стрелка в мишень в первом выстреле и промах В во втором – события совместныые.

Определение 2. Два случайных события А и В называются Независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появится или не появится другое событие. В противном случае события А и В называются Зависимыми.

Отметим сразу, что Несовместные события всегда зависимы. Действительно, пусть А и В – несовместные события. Тогда при появлении события А появление события В невозможно, а значит = 0. А при непоявлении события А появление события В Возможно, и тогда ≠ 0. Таким образом, вероятность появления события В зависит от того, появится или не появится событие А. Следовательно, несовместные события А

и В Действительно являются зависимыми.

А вот если события А и В совместные, то они могут быть как зависимыми, так и независимыми. Подтвердим это на примере.

Пример 3. Пусть из колоды игральных карт (36 карт) вынимают наудачу одну за одной две карты. И пусть событие А состоит в том, что первая вынутая карта окажется тузом, а событие В – что и вторая карта окажется тузом. Рассмотрим два варианта испытания:

А) первая вынутая карта возвращается в колоду;

Б) первая вынутая карта не возвращается в колоду.

Очевидно, что в обоих вариантах события А и В совместны. Исследуем их на зависимость –независимость.

А) В этом варианте вероятность появления события В (вынимания второго туза) не зависит, очевидно, от того, произошло или не произошло перед этим событие А (вынимание первого туза) и равна

=4/36=1/9. Следовательно, в варианте а) имеем Совместные и независимые события А и В.

Б) В этом варианте, если событие А Произошло, то =3/35 (останется 35 карт, и из них три туза). А если событие А не произошло (первая вынутая карта тузом не оказалась), то =4/35 (останется 35 карт, и из них четыре туза) Следовательно, в варианте б) имеем Совместные и зависимые события А и В.

Понятия совместности-несовместности и зависимости-независимости обобщаются и на случай группы из нескольких случайных событий (А1; А2; …АN)

Определение 3. События (А1; А2; …АN) называются Попарно несовместными, если появление каждого из них исключает появление любого другого (то есть если любая пара из группы событий (А1; А2; …АN) несовместна). В противном случае события (А1; А2; …А

N) называются Совместными.

Определение 4. События (А1; А2; …АN) называются Независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и любое другое событие, состоящее в появлении и непоявлении остальных событий, являются событиями независимыми. В противном случае события (А1; А2; …АN) называются Зависимыми.

Пример 4. Пусть из коробки, содержащей три шара (синий, красный, зелёный) наудачу по одному вынимают три шара, каждый раз опуская вынутый шар в коробку. И пусть (А; В; С) – события, состоящие в вынимании последовательно синего, красного и зелёного шара. Очевидно, что эти три события – Совместные и независимые в совокупности.

Если же вынутые шары в коробку не возвращать, то события (А; В; С) – Совместные и зависимые.

< Предыдущая		Следующая >

вероятность — Совместные/непересекающиеся и зависимые/независимые события

спросил 4 года 8 месяцев назад

Изменено 4 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Я пытаюсь понять совместные вероятности и зависимость/независимость. Я использовал примеры с монетами и картами, но когда дело доходит до реальной жизни, я снова их путаю.

Я хочу вспомнить примеры из реальной жизни:

1. Непересекающиеся/независимые
2. Непересекающийся/зависимый
3. Совместное/независимое
4. Совместное/зависимое

Вот мои примеры, но на первом я застрял.

1. ?
2. День и ночь
3. Голосую за Трампа и люблю молоко
4. Голосовать за Трампа и выступать за оружие

Это правильно? А какие есть примеры независимых и непересекающихся событий в реальной жизни?

• вероятность

$\endgroup$

$\begingroup$

Непересекающиеся/независимые: Непересекающиеся события статистически независимы только в том случае, если вероятность каждого исхода равна нулю или единице (что является тривиальным случаем). Вот почему у вас возникли проблемы с поиском примера этого случая; это патологический случай, который не важен.

Непересекающийся/независимый: С этим нужно быть осторожным, так как причинно-следственная независимость не подразумевает статистическую независимость. Согласно грубому эмпирическому правилу (немного преувеличенному, но не сильному) все коррелирует со всем. Хотя вряд ли их будет

причинно связано с , меня бы удивило, если бы предпочтения при голосовании не коррелировали с потреблением молока. Более вероятно, что показатели потребления молока различаются для избирателей Трампа и тех, кто не является избирателем Трампа, по всевозможным косвенным причинам. Например, уровень потребления молока среди взрослого населения США различается в зависимости от возраста и пола, а модели голосования также различаются в зависимости от возраста и пола. В частности, среди взрослого населения США мужчины пьют больше молока, а также с большей вероятностью проголосуют за Трампа, поэтому, если это один из основных косвенных эффектов, я ожидаю, что будет около небольшая положительная корреляция между потреблением молока и голосованием за Трампа.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы застряли, потому что быть одновременно непересекающимся и независимым невозможно (за исключением крайнего случая, на который Бен указывает, что одно из событий никогда не происходит ни при каких обстоятельствах). Непересекающиеся означает, что два события исключают друг друга — если одно происходит, то другое не может произойти. Независимый означает, что если происходит одно, это не влияет на то, произойдет ли другое. Вы не можете одновременно предотвратить другое и не повлиять на то, произойдет ли оно. Непересекающееся подразумевает зависимое.

Другие ваши примеры выглядят правильными (по крайней мере, по духу, я не исследовал привычки избирателей пить молоко).

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Разве совместная вероятность двух независимых событий не должна быть равна нулю?

спросил 4 года, 2 месяца назад

Изменено 4 года, 2 месяца назад

Просмотрено 9к раз

$\begingroup$

Если совместная вероятность есть пересечение двух событий, то не должна ли совместная вероятность двух независимых событий равняться нулю, поскольку они вообще не пересекаются? Я в замешательстве.

• вероятность
• совместное распределение

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Между

• независимыми событиями есть разница: $\mathbb P(A \cap B) =\mathbb P(A)\,\mathbb P(B)$, т. е. $\mathbb P(A \mid B )= \mathbb P(A)$, поэтому знание того, что произошло одно, не дает информации о том, произошло ли другое
• взаимно непересекающихся событий: $\mathbb P(A \cap B) = 0$, т. е. $\mathbb P(A \mid B)= 0$, поэтому знание одного произошло означает, что другое не произошло

Вы просили фотографию. Это может помочь:

$\endgroup$

14

$\begingroup$

Из вашего вопроса я понял, что вы могли перепутать независимые события с непересекающимися событиями.

непересекающиеся события: Два события называются непересекающимися или взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Например, если мы бросаем кубик, исходы 1 и 2 не пересекаются, поскольку они не могут произойти одновременно. С другой стороны, исходы 1 и «выпадение нечетного числа» не являются непересекающимися, поскольку оба они происходят, если результат броска равен 1. Пересечение таких событий всегда равно 0,9.0005

независимых событий: Два события являются независимыми, если знание результата одного не дает полезной информации о результате другого. Например, когда мы бросаем две кости, результат каждого из них является независимым событием — знание результата одного броска не помогает определить результат другого. Давайте построим на этом примере: Бросаем два кубика, красный и синий. Вероятность получения 1 на красном определяется как P(красный = 1) = 1/6, а вероятность получения 1 на белом определяется как P(белый = 1) = 1/6. Можно получить их пересечение (т. е. оба получают 1), просто перемножив их, поскольку они независимы. P(красный = 1) x P(белый = 1) = 1/6 x 1/6 = 1/36 != 0. Проще говоря, 1/6 случаев, когда красный кубик — это 1, и 1/6 случаев, когда выпадает 9.0055 те раз, когда белый кубик равен 1. Для иллюстрации:

$\endgroup$

$\begingroup$

Путаница ОП заключается в понятиях непересекающихся событий и независимых событий.