Совместные события: Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий

В примере с картами события  (извлечение трефы, пики, червы или бубны соответственно) несовместны и образуют полную группу, но они неэлементарны. Если считать, что в колоде 36 карт, то каждое из перечисленных выше событий включает в себя 9 элементарных исходов. Аналогично – события  (извлечение шестёрки, семёрки, …, короля, туза) несовместны, образуют полную группу и неэлементарны (каждое включает в себя 4 исхода).

Таким образом, элементарным исходом здесь считается лишь извлечение какой-то конкретной карты, и 36 несовместных элементарных исходов тоже образуют полную группу событий.

И коротко о событиях совместных. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например:
 – из колоды карт будет извлечена трефа;
 – из колоды карт будет извлечена семёрка.
– данные события совместны, т.к. при излечении семёрки треф одновременно имеют место оба события.

Понятие совместности охватывает и бОльшее количество событий:
 – завтра в 12.00 будет дождь;
 – завтра в 12.00 будет гроза;
 – завтра в 12.00 будет солнце.

Ситуация, конечно, редкая, но совместное появление всех трёх событий, не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно.

1.2.3. Сложение и умножение событий

1.2.1. Виды событий

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Теорема сложения вероятностей, совместные и несовместные события: определения, примеры, доказательство

Прежде чем приступить к изложению теоремы сложения вероятностей, необходимо дать ряд определений.

Определение 1

Совместные и несовместные события

Совместные — это такие события, наступление одного из которых не отменяет возникновение другого. Несовместные события — такие, наступление одного из которых, однозначно исключает другое.

Определение 2

Сумма двух и сумма нескольких событий

Если имеются два события А и В, то объединение случаев, когда отдельно происходит А, отдельно происходит В, а также одновременно А и В, называют суммой двух событий — А+B.

Если рассматриваются несколько событий А1, А2… Аn, то случай появления хотя бы одно из них, называют суммой нескольких событий — А1+А2+… +Аn.

Рассмотрим случай, когда имеются два несовместных события А, В и нужно найти вероятность появления события состоящего в наступлении либо любого одного из них, либо обоих сразу, если вероятности выполнения данных событий по отдельности известны. 

Теорема сложения для несовместных событий

Вероятность того, что наступит одно из двух несовместных событий, при этом не важно какое именно из них, равняется сумме их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство теоремы

Пусть m — количество элементарных результатов эксперимента, n1 — результаты соответствующие событию А, n2 — результаты соответствующие событию В. Тогда общее количество результатов, которые соответствуют появлению либо А, либо В будет равняться сумме n1+n2. Тогда, исходя из определения вероятности можем записать следующие преобразования:

P(А+В)=(n1+n2)/m=n1/m+n2/m.

Однако, мы знаем, что выражение n1/m=Р(А) и n2/m=Р(В), поэтому в итоге получаем:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие из теоремы

При рассмотрении нескольких событий, попарно несовместных, вероятность наступления одного любого из них, а также любых нескольких же в различных комбинациях, будет равняться сумме отдельных их вероятностей.

Р(А1+А2+… +Аn)=Р(А1)+Р(А2)+… +Р(Аn).

Доказательство

Допустим, существует три события А, В, С. Согласно формулировке они являются попарно несовместными, поэтому можно сказать, что наступление события С, как одного из трёх событий, включающих по отдельности А и В — это то же самое, что наступление события С, как одного из двух событий, второе из которых — это А+В. То есть можно записать согласно теореме сложения:

Р(А+В+С)=Р(А+В)+Р(С).

Теперь аналогично поступим, разложив вероятность А+В, что согласно теореме сложения даёт:

Р(А+В+С)=Р(А+В)+Р(С)= Р(А)+Р(В)+Р(С).

При доказательстве верности следствия для любого большего количества событий попарно несовместных используется метод математической индукции.

Теорема сложения для любых событий

Определить для двух суммируемых событий их вероятность можно складывая вероятности каждого из событий по отдельности и вычитая вероятность одновременного появления событий А и В:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Проведём доказательство:

Возьмём за полное количество результатов эксперимента m. Тогда все результаты соответствующие событию А обозначим — n1. Результаты, которые соответствуют В — n2. Результаты соответствующие единомоментному проявлению обоих событий А и В сразу — n3.

Получим, что n1+n2-n3 — это все элементарные результаты эксперимента, которые соответствуют событию А+В. Определив таким образом события, получаем запись:

$P(A+В)=\frac{n1+n2+n3}{m}=\frac{n1}{m}+\frac{n2}{m}-\frac{n3}{m}$

Если n3=0, то рассматриваемые события не происходят одновременно, а значит являются несовместными и случай сводится к ранее уже рассмотренной теореме сложения.

Пример 1

Стрелок производит выстрел по мишени. Мишень разделена на три части. Вероятность попасть в первую часть составляет 0,25. Вероятность поразить вторую часть 0,35. Необходимо узнать, какова вероятность, что стрелок попадёт в мишень, но не попадёт в третью её часть. Чтобы выполнилось это условие, пуля должна поразить либо первую часть, пусть это будет событие А, Р(А)=0,25; либо во вторую часть, это событие назовём В и его вероятность Р(В)=0,35. События А и В не являются совместными, значит можно применить теорему сложения для несовместных событий. Получаем следующее выражение:

Р=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,25+0,35=0,55 — это и будет искомая вероятность.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Классическая задача о разноцветных шарах предстаёт в теории вероятности в различных изложениях. Допустим есть два ящика. В одном из них находится 1 шар белого цвета и 5 шаров чёрного цвета. В другой положили белых — 8 штук, а чёрных — 4 штуки. Теперь вынимаем из ящиков по шару из каждого. Необходимо найти вероятность, что шары окажутся разных цветов.

Пусть событие А — это когда из первого ящика вынут белый шар, тогда его вероятность:

$P(A)=\frac{1}{6}$

Обратное этому событие $\overline{A}$ — это из ящика вынули чёрный шар. Его вероятность:

$P(\overline{A})=\frac{5}{6}$

Аналогично запишем для второго ящика. Если из него достали шар белого цвета, то это событие B и его вероятность

$P(В)=\frac{2}{3}$

Если рассматривать обратное событие, то оно наступает, если из второго ящика появляется чёрный шар. Вероятность его появления можно записать следующим образом:

$P(\overline{В})=\frac{1}{3}$

Чтобы выполнить условие задачи, необходимо чтобы произошло одно любое из двух событий. Первое — из первого ящика достали белый шар, а из второго — чёрный. Второе — из первого появился шар чёрного цвета, а из второго шар белого. Записать эти события можно как $А\overline{В}$ и $\overline{A}В$. Вероятность каждого из них составит: 

$P(А\overline{В})=\frac{1}{18}$, а $P(\overline{А}В)=\frac{10}{18}$. 

Это вычисляется с помощью теоремы умножения, которая рассматривается в другом разделе, поэтому здесь мы просто принимаем вычисления как есть и сразу переходим к применению теоремы сложения. Нас интересует как применяется именно она. Таким образом, искомая в задаче вероятность будет относится к сумме двух событий:

$А\overline{В}$+$\overline{A}В$.

Для них мы можем записать:

$Р=P(А\overline{В}+\overline{A}В)= P(А\overline{В})+Р(\overline{A}В)=\frac{11}{18}$

Получаем, что вероятность вынуть из двух ящиков шары разного цвета составляет Р=0,61.

Совместная вероятность: определение, формула и пример

Что такое совместная вероятность?

Совместная вероятность — это статистическая мера, которая вычисляет вероятность того, что два события произойдут вместе и в один и тот же момент времени. Совместная вероятность – это вероятность того, что событие Y произойдет одновременно с событием X.

Формула совместной вероятности

Обозначение совместной вероятности может принимать несколько различных форм. Следующая формула представляет вероятность пересечения событий:

 п ( Икс ⋂ Д ) где: Икс , Д «=» Два разных события, которые пересекаются п ( Икс и Д ) , п ( Икс Д ) «=» Совместная вероятность X и Y \begin{align} & P\ \left ( X\bigcap Y \right ) \\ &\textbf{где:}\\ &X, Y = \text{Два разных пересекающихся события}\\ &P(X \text{ и } Y), P(XY) = \text{Совместная вероятность X и Y}\\ \end{выровнено} P (X⋂Y), где: X, Y = два разных события, которые пересекаются P (X и Y), P (XY) = совместная вероятность X и Y

О чем говорит совместная вероятность?

Вероятность — это область, тесно связанная со статистикой, которая имеет дело с вероятностью возникновения события или явления. Он определяется как число от 0 до 1 включительно, где 0 указывает на невозможный шанс возникновения, а 1 обозначает определенный исход события.

Например, вероятность вытащить красную карту из колоды карт равна 1/2 = 0,5. Это означает, что есть равные шансы вытянуть красное и черное; поскольку в колоде 52 карты, из которых 26 красных и 26 черных, вероятность вытянуть красную карту против черной карты составляет 50/50.

Совместная вероятность — это мера двух событий, происходящих одновременно, и ее можно применять только к ситуациям, когда одновременно может произойти более одного наблюдения. Например, из колоды из 52 карт совместная вероятность подобрать карту, которая одновременно красная и 6, равна P (6 ∩ красная) = 2/52 = 1/26, поскольку в колоде карт есть две красные шестерки — шестерка червей и шестерка бубен. Поскольку события «6» и «красный» в этом примере независимы, вы также можете использовать следующую формулу для расчета совместной вероятности:

 п ( 6 ∩ р е г ) «=» п ( 6 ) × п ( р е г ) «=» 4 / 5 2 × 2 6 / 5 2 «=» 1 / 2 6 P(6 \колпачок красный) = P(6)\умножить P(красный) = 4/52 \умножить на 26/52 = 1/26 P (6 ∩ красный) = P (6) × P (красный) = 4/52 × 26/52 = 1/26

Символ «∩» в совместной вероятности называется пересечением.

В приведенном выше Венне точка, в которой пересекаются оба круга, является пересечением, которое имеет два наблюдения: шестерка червей и шестерка бубнов.

Разница между совместной вероятностью и условной вероятностью

Совместную вероятность не следует путать с условной вероятностью, которая представляет собой вероятность того, что одно событие произойдет при условии, что произойдет другое действие или событие. Формула условной вероятности выглядит следующим образом:

 п ( Икс , г я в е н Д ) или п ( Икс ∣ Д ) P(X, задано~Y) \text{ или } P(X | Y) P(X, учитывая Y) или P(X∣Y)

Это означает, что вероятность того, что произойдет одно событие, зависит от того, произойдет ли другое событие. Например, из колоды карт вероятность того, что вы вытащите шестерку, при условии, что вы вытащили красную карту, равна P(6│красная) = 2/26 = 1/13, так как из 26 красных карточек две шестерки. .

Совместная вероятность влияет только на вероятность того, что произойдут оба события. Условная вероятность может использоваться для расчета совместной вероятности, как показано в этой формуле:

 п ( Икс ∩ Д ) «=» п ( Икс ∣ Д ) × п ( Д ) P(X \cap Y) = P(X|Y) \times P(Y) П(Х∩Y)=Р(Х∣Y)×P(Y)

Вероятность того, что произойдут А и В, равна вероятности того, что произойдет Х, при условии, что произойдет Y, умноженной на вероятность того, что произойдет Y. Учитывая эту формулу, вероятность одновременного выпадения 6 и красного будет следующей:

 п ( 6 ∩ р е г ) «=» п ( 6 ∣ р е г ) × п ( р е г ) «=» 1 / 1 3 × 2 6 / 5 2 «=» 1 / 1 3 × 1 / 2 «=» 1 / 2 6 \begin{align} &P(6 \cap red) = P(6|red) \times P(red) = \\ &1/13 \times 26/52 = 1/13 \times 1/2 = 1/26\ \ \ конец {выровнено} P(6∩красный)=P(6∣красный)×P(красный)=1/13×26/52=1/13×1/2=1/26​

Статистики и аналитики используют совместную вероятность как инструмент, когда два или более наблюдаемых события могут произойти одновременно. Например, совместную вероятность можно использовать для оценки вероятности падения промышленного индекса Доу-Джонса (DJIA), сопровождаемого падением цены акций Microsoft, или вероятности того, что стоимость нефти вырастет одновременно с ослаблением доллара США. .

Совместная вероятность и условная вероятность | Пратап Манохар Джоши

Пратап Манохар Джоши

Следовать

·

Прежде чем перейти к совместной вероятности и условной вероятности, мы должны больше узнать о событиях.

Событие — это набор результатов (один или несколько) эксперимента. Это может быть как «Получение Решка при подбрасывании монеты — событие», «Выбор Короля из колоды карт (любого из 4 Королей) — тоже событие», «Выпадение 5 — это событие» и т. д.

События могут быть:

• Независимыми Каждое событие не зависит от других событий. Пример: Подбрасывание монеты два раза. Исход подбрасывания монеты в первый раз не повлияет на исход второго события.
• Зависимый (также называемый условным) На событие влияют другие события. Пример: Взять 2 карты из колоды. После взятия одной карты из колоды доступных карт становится меньше, поэтому вероятности меняются!
• Взаимоисключающий Два события не могут произойти одновременно. Пример: Мы можем одновременно играть в футбол и регби на одном футбольном поле.

Вероятность — это вероятность того, что событие произойдет. Многие события невозможно предсказать с полной уверенностью. Лучшее, что мы можем сказать, это насколько вероятно, что они произойдут, используя идею вероятности.

Совместная вероятность – это вероятность более чем одного события происходит одновременно с P(A и B). Вероятность того, что событие А и событие В произойдут вместе. Это вероятность пересечения двух или более событий, записанная как p(A ∩ B) .

Пример: Вероятность того, что на карте четвёрка и красная =p(четвёрка и красная) = 2/52=1/26. (В колоде из 52 карт две красные четверки: 4 черви и 4 бубны).

• Во-первых, события X и Y должны произойти одновременно. Пример: Одновременный бросок двух игральных костей.
• Во-вторых, события X и Y должны быть независимы друг от друга. Это означает, что исход события X не влияет на исход события Y.
  Пример: Бросание двух игральных костей.
• Если выполняются следующие условия, то P(A∩B) = P(A) * P(B).

Что произойдет, если мы найдем совместную вероятность двух зависимых событий?

‌Пусть событие X — это вероятность того, что на небе облаков , а событие Y — это вероятность того, что идет дождь . Все знают, что дождь идет из туч. Так что дождь может идти только тогда, когда на небе есть облака. Это означает, что наличие облаков будет влиять на вероятность дождя, а это означает, что эти два события НЕ независимы!
Совместная вероятность не может быть использована для определения того, насколько возникновение одного события влияет на возникновение другого события . Следовательно, совместная вероятность X и Y (два зависимых события) будет равна P(Y).
Совместная вероятность двух непересекающихся событий будет равна 0 , потому что оба события не могут произойти вместе.

Итак, до тех пор, пока мы не найдем, насколько возникновение одного события влияет на возникновение другого события, Мы не сможем правильно найти совместную вероятность двух событий. Чтобы решить эту проблему, Условная вероятность пришел нас спасти.

‌Условная вероятность события B — это вероятность того, что событие произойдет, зная, что событие A уже произошло . Обозначается P(B|A).

Итак, теперь совместная вероятность двух зависимых событий становится равной ‌ P(A и B) = P(A)P(B|A)