Сумма 4 степеней: Формулы сокращённого умножения

Сумма четырех кубов . Математические головоломки профессора Стюарта

Сумма четырех квадратов, как и многие другие математические загадки, имеет давнюю историю. Греческий математик Диофант, чья «Арифметика» примерно 20 г. н. э. была первым учебником, в котором использовалась некая система алгебраических обозначений, задал вопрос, является ли каждое положительное целое число суммой четырех полных квадратов (0 разрешен). Несложно проверить это утверждение экспериментально для небольших чисел, к примеру:

5 = 2? + 1? + 0? + 0?;

6 = 2? + 1? + 1? + 0?;

7 = 2? + 1? + 1? + 1?.

Теперь, стоило вам подумать о том, что для 8 потребуется еще одна 12, то есть пять квадратов, на помощь приходит 4:

8 = 2? + 2? + 0? + 0?.

Эксперименты с более крупными числами позволяют с серьезным основанием предположить, что ответ должен быть «да», однако эта задача оставалась нерешенной более 1500 лет. Она получила известность как задача Баше по имени Клода Баше де Мезириака, опубликовавшего французский перевод «Арифметики» в 1621 г.

Доказательство нашел Жозеф-Луи Лагранж в 1770 г. Не так давно были найдены более простые доказательства, основанные на абстрактной алгебре.

А как насчет суммы четырех кубов?

В том же 1770 г. Эдвард Уоринг заявил без доказательства, что любое положительное целое число есть сумма не более чем 9 кубов и 19 четвертых степеней, и задал вопрос, можно ли утверждать что-то подобное о более высоких степенях. То есть для заданного числа k существует ли некий конечный предел количества k степеней, необходимых для выражения любого положительного целого числа в виде их суммы? В 1909 г. Давид Гильберт доказал, что ответ на этот вопрос – «да». (Нечетные степени отрицательных чисел отрицательны, и это сильно меняет правила игры, так что пока мы ограничиваемся только степенями положительных чисел.)

Число 23 определенно требует 9 кубов. Единственные возможные слагаемые здесь – 8, 1 и 0, и лучшее, что можно сделать, – это сложить две восьмерки и семь единиц:

23 = 2? + 2? + 1? + 1? + 1? + 1? + 1? + 1? + 1?.

Таким образом, в общем правиле кубов не может быть меньше 9. Однако это число можно и уменьшить, если согласиться на конечное число исключений. К примеру, в реальности 9 кубов требуется только для чисел 23 и 239; все остальные можно получить с использованием не более чем 8 кубов. Юрий Линник снизил это число до 7, допустив еще несколько исключений, и сегодня считается, что правильный ответ, допускающий конечное число исключений, – это 4. Наибольшее известное число, для записи которого необходимо больше 4 кубов, – это 7 373 170 279 850, и предполагается, что более крупных чисел с таким свойством не существует. Так что очень возможно – но пока вопрос остается открытым, – что любое достаточно большое положительное целое число есть сумма четырех положительных кубов.

Но, как я уже сказал, куб отрицательного числа отрицателен. Это порождает новые возможности, отсутствующие у четных степеней. Так,

23 = 27 – 1–1 – 1–1 = 3? + (–1)? + (–1)? + (–1)? + (–1)?,

то есть достаточно 5 кубов, тогда как в случае только положительных или нулевых кубов требуется 9, как мы только что видели. Но можно и еще улучшить результат: 23 можно выразить с использованием всего 4 кубов:

23 = 512 + 512 – 1 – 1000 = 8? + 8? + (–1)? + (–10)?.

Разрешение на использование отрицательных чисел означает, что используемые кубы могут быть намного больше (если не обращать внимания на знак «–») самого числа. В качестве примера покажем, что число 30 можно записать в виде суммы 3 кубов, но придется постараться:

30 = 2 220 422 932? + (–283 059 965)? + (–2 218 888 517)?.

То есть мы не можем систематически просмотреть ограниченное число вариантов, как в случае, когда рассматриваем только положительные кубы.

Эксперименты привели нескольких математиков к гипотезе о том, что всякое целое число есть сумма 4 (положительных или отрицательных) целых кубов. Пока истинность этого утверждения окончательно не установлена, хотя свидетельств в его пользу хватает. Компьютерные расчеты подтверждают, что любое положительное целое число вплоть до 10 млн есть сумма 4 кубов. В. Демьяненко доказал, что любое число, которое нельзя представить в виде 9k ± 4, всегда представимо как сумма 4 кубов.

Сижу за решеткой в темнице сырой / Хабр

Ребят, не ждите тут каких-то выдающихся математических красот или полезных в жизни алгоритмов. Пишу просто из чистого спортивного интереса. Меня заинтересовала задачка опубликованная вот здесь, с которой американские зэки коротают свои огромные срока. Судя по комментариям к статье, она уже вызвала определённый интерес и у сообщества. Понимаю что поступаю не очень хорошо, надо было дать время народу ещё подумать самостоятельно. Однако каюсь, грешен, не могу удержаться. И выкладываю сюда своё решение. Кому интересно, добро пожаловать под кат. Если хотите ещё немного подумать самостоятельно, лучше пока не читайте.

Итак, сама задача. Сформулирую её чуть более понятно чем в самой статье (увы там перевод немного кривоват).

Циферблат (как на рисунке Figure 1) может указывать на любое целое число от 1 до n, если вращать его против часовой стрелки. Отсчёт начинается с 1, затем стрелка поворачивается последовательно (всегда против часовой стрелки) на одну позицию, затем на две, затем на три и так далее, до последнего поворота на n-1 позицию. Собираем последовательность всех чисел, на которые указывает стрелка.

Например, при n=12 получится последовательность 1, 2, 4, 7, 11, 4, 10, 5, 1, 10, 8, 7. Видно в ней есть повторяющиеся числа.

А для n=8, последовательность будет 1, 2, 4, 7, 3, 8, 6, 5. И в ней повторяющихся чисел нет.
Спрашивается, для каких значений n числа в последовательности не повторяются?

Представлено Гари Гордоном и Денизом Озбаем, ноябрьский выпуск журнала «Математические горизонты», 2020 год.

Назовём последовательность, которая строится в задаче последовательностью n-циферблата. А числа, n при которых эта последовательность не содержит повторяющихся чисел — подходящими.

Начнём с того, что получим очень серьёзную подсказку. Фактически сразу готовый ответ. По американским тюрьмам я не чалился, и не знаю, доступны ли тамошним сидельцам компы. Но у меня-то на столе стоит мой боевой конь! Так что грех не воспользоваться. Запускаем любимый jupyter notebook и вводим маленькую программку:

def getSeq(n):  #Получает  последовательность n-циферблата 
    lst=[]
    s=1   # Начальное число
    d=1  # Начальное приращение
    for i in range(0, n):
        lst.append(s)
        s=(s+d) % n
        if s==0: 
            s=n
        d=d+1 #Приращение каждый раз увеличивается на 1
    return lst
def testSeq(lst):  #Проверяет список на неповторяемость 
    if len(set(lst)) == len(lst):
        return True
    return False
def getList(n): #Ищет подходящие числа,  от 2 до n
    lst=[]
    for i in range(2, n):
        if testSeq(getSeq(i)):
            lst.append(i)
    return lst

Запуск getList(12345) дает список 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192.
Итого, очень похоже, что подходящими числами будут только степени двойки, и более никакие.

Остаётся только это доказать. Точнее доказать придётся два утверждения:

1. Любая степень двойки является подходящим числом.
2. Любое число, не являющееся степенью двойки, не является подходящим.

Сначала давайте разберемся, откуда вообще в последовательности n-циферблата берутся повторяющиеся числа.

Последовательность начинается с 1. Её приращение на первом шаге тоже равно 1, а затем с каждым шагом увеличивается на 1. В качестве результата берется остаток от деления на n. Причем если остаток равен нулю, то результат полагается равным n. Попробуем построить такую последовательность для какого-нибудь не очень большого числа n. Например n=6:

s(1) = 1 (mod 6) = 1
s(2) = 1+1 (mod 6) = 2
s(3) = 2+2 (mod 6) = 4
s(4) = 4+3 (mod 6) = 7 (mod 6) = 1
s(5) = 7+4 (mod 6) = 11 (mod 6) =1+4 (mod 6) = 5

s(6) = 11 + 5 (mod 6) = 16 (mod 6) = 5+5 (mod 6) = 4
Видим, что совпали две пары: s(1) и s(4), и s(3) и s(6). Причем если брать значения не по модулю, разность между бОльшим и меньшим элементами обеих пар кратна 6. Что в общем-то вполне понятно. Окончательное значение берётся по модулю n. И если до взятия модуля числа различаются на n (или кратное n), то окончательные значения совпадут.

С другой стороны, поскольку приращение у нас на каждом шаге увеличивается на 1. И понятно, что названные выше разности равны суммам каких-то последовательных чисел. Например для пары s(1), s(4):

7 = 1 + (1+2+3)
А для пары s(3), s(6):
16 = 4 + (3+4+5)

Для первой пары разность равна 6, для второй — 12.

Таким образом приходим к важному выводу:
Если в последовательности n-циферблата появились совпадающие числа, значит n или его кратное, представимо в виде суммы каких-то последовательных чисел, наибольшее из которых не превосходит числа n-1.

Сначала докажем вспомогательное утверждение:
Любое число не являющееся степенью двойки можно представить в виде суммы последовательных чисел. Никакую степень двойки суммой последовательных чисел представить нельзя.

Подумаем, как вообще представить какое-то число в виде суммы последовательных чисел. Для нечетных это совсем просто. Если A нечётное, то его можно представить парой:
A = [A/2] + ([A/2] + 1), где [ ] означает целую часть числа.
Например 11 = [11/2] + ([11/2] + 1) = 5 + (5 + 1) = 5 + 6.
Просто это и для кратных 3. Если A кратно 3, то:
A = (A/3 — 1) + A/3 + (A/3 + 1).
Аналогично и если A кратно 5:
A = (A/5 — 2) + (A/5 — 1) + A/5 + (A/5 + 1) + (A/5 + 2).

И вообще, если число A имеет нечётный делитель B, оно представимо в виде суммы B последовательных чисел, причем число A/B стоит ровно посередине.
Примеры:
27 = 3*9. Отсюда 27 = (9-1) + 9 + (9+1) = 8 + 9 + 10.
50 = 5*10. Отсюда 50 = (10-2) + (10-1) +10 + (10+1) + (10+2) = 8 + 9 + 10 + 11 + 12.
Очевидно и обратное. Если число представимо в виде суммы нечетного количества последовательных чисел, то оно имеет нечетный делитель, а само представление имеет вид, описанный выше. Следовательно степень двойки не может быть суммой нечётного количества последовательных чисел, ибо не имеет нечётных делителей.

Ну а что суммы четного количества последовательных чисел? Сумма двух последовательных чисел всегда нечетна. Это надеюсь очевидно. Сумму четырех можно представить как сумму двух пар, каждая из которых нечетна. А значит сумма четырех четна. Сумма шести опять нечетна, сумма восьми четна, и т.д. Т.е. сумма четного количества последовательных чисел четна, если их количество кратно 4, и нечетна, если кратно только 2.

Пусть четное число A представлено суммой 4*k последовательных чисел. Для простоты пусть k=1, для бОльших k рассуждения совершенно аналогичны:
A = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4*a + 6.
Разделим это равенство на 2:
A/2 = (4*a + 6)/2 = 2*a + 3 = (a + 1) + (a + 2).
Т.е. опять получаем сумму последовательных чисел.

Следовательно, если для четного числа A существует представление в виде суммы четного количества последовательных чисел, то какое-то представление в виде суммы последовательных чисел существует и для A/2.

Например:
26 = 5 + 6 + 7 + 8. Отсюда 26/2 = 13 = (5 + 1) + (5 + 2) = 6 + 7.

Пусть для N-й степени двойки существует представление в виде суммы четного количества последовательных чисел (представления в виде нечетного количества для нее не существует как показано выше). Тогда представление в виде суммы последовательных чисел есть и для степени N-1. И количество слагаемых в нем тоже четно. По индукции, то же самое можно сказать и о степени N-2, и о степени N-3 и вообще о любой степени меньшей N. Но представления в виде суммы последовательных чисел для числа 4 не существует, в чём легко убедиться. Следовательно никакая степень двойки не представима в виде суммы последовательных чисел.

Замечание. По обсуждению в комментариях добавил гораздо более простое и понятное доказательство того, что любая степень двойки не представима в виде суммы последовательных чисел.

Сумма первых n чисел натурального ряда равна s(n) = n*(n + 1)/2.
Следовательно любые частичные суммы равны:
s(m, n) = ((m*(m+1) — n*(n+1))/2. 2 — n)/2=((m-n)*(m+n) + (m-n))/2=(m-n)*(m+n+1)/2.
Поскольку речь идёт о степенях двойки, множитель 1/2 можно отбросить.
Речь идёт о равенстве степени двойки выражения (m-n)*(m+n+1).

Но как легко заметить, четность двух сомножителей разная. И оба они одновременно никак не могут быть четными. А значит любая такая сумма обязательно содержит какой-то нечетный делитель. И потому не может быть равна никакой степени двойки.

С другой стороны, любое число, не являющееся степенью двойки, можно представить в виде суммы последовательных чисел. Если это число нечетное, его можно представить в виде пары. Если четное и не является степенью двойки, значит оно имеет хотя бы один нечётный делитель. И представимо через него.

Вспомогательное утверждение доказано.

Рассмотрим всю последовательность n-циферблата.

s(1) = 1 (mod n)
s(2) = 1 + 1 (mod n)
s(3) = 2 + 2 (mod n)
s(4) = 4 + 3 (mod n)
…
s(n) = s(n-1) + n-1 (mod n)

Пусть n является степенью двойки. Тогда 2*n, 4*n, 8*n и т.д, тоже являются степенями двойки. И в виде суммы последовательных чисел непредставимы. Представимы 3*n, 5*n, 6*n, 7*n, 9*n и т.д. Т.е. у числа m*n должен быть хотя бы один нечетный делитель. Однако даже наименьшее из этих кратных, 3*n, должно быть представлено как
(n — 1) + n + (n + 1).

Других представлений числа 3*n нет. Ибо n как степень двойки вообще не имеет представлений(см. вспомогательное утверждение). Но слагаемые в этой сумме не должны превосходить числа n — 1. Следовательно 3*n в качестве разности никогда не появится. Для прочих кратных рассуждения совершенно аналогичны. Разумеется ни n ни 2*n в качестве разностей тоже не появятся никогда, как степени двойки. А значит любая степень двойки является подходящим числом.

Утверждение (1) доказано.

Пусть теперь n не является степенью двойки. Т.е. представимо в виде суммы последовательных чисел. Разность между первым и последним членом последовательности (до взятия модуля по n) будет:
d = 1 + 2 + 3 +… + (n-1).
А разности между членами последовательности n-циферблата (до взятия модуля) будут любыми частичными суммами этого ряда. Если n представимо в виде суммы последовательных чисел, то наибольшие возможные числа, составляющие такую сумму, это
[n/2] и [n/2] + 1. ([ ] — целая часть числа)

Все прочие варианты такой суммы обходятся числами ещё меньшими. А значит члены последовательности n-циферблата, с разностью до взятия модуля равной n обязательно найдутся. И после взятия модуля дадут совпадающие числа. Т.е. любое n не являющееся степенью двойки, а значит представимое в виде суммы последовательных чисел, не является подходящим числом.

Утверждение (2) доказано.

Итого, задача полностью решена. Подходящими числами будут любые степени двойки и никакие другие. На свободу с чистой совестью!!!

Мораль сей басни пожалуй только одна. Парни, даже если вы занимаетесь чистой математикой, не пренебрегайте вычислительными экспериментами. Да, такие эксперименты ничего не доказывают. Однако могут дать вполне обоснованную догадку. Хотя может и не столь простую как здесь. А доказывать уже как правило значительно легче чем догадываться. Буду рад, если кому-то это изложение показалось полезным и интересным.

Математическая задача: Сумма внутренних углов

Докажите, что сумма всех внутренних углов любого выпуклого n-угла равна (n-2).180 градусов.

Правильный ответ:

d =  0

Пошаговое объяснение:

n = 3 … s3​ = 180° n=4 … s4​ = s3​ + 180° n=5 … s5​ = s4​ + 180° s = 180n − 360 = 180(n−2) d=0

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

пишите нам

. Спасибо!

Для решения этой математической задачи вам необходимо знать следующие знания:

• algebra
• arithmetic progression
• planimetrics
• polygon
• numbers
• natural numbers

Units of physical quantities:

• angle

Themes, topics:

• доказательство

Класс задачи:

• средняя школа

 

Мы рекомендуем вам посмотреть это учебное видео по этой математической задаче: видео1

• N-угольные углы
  Чему равна сумма внутренних углов 8-угольника? Чему равен внутренний угол правильного выпуклого восьмиугольника?
• Сумма 11
  Сумма двух углов равна 89°. Один угол имеет градусную меру 64°. Чему равен в градусах второй угол?
• S=(n−2)⋅180 65054
  Для суммы s внутренних углов многоугольника, где n — количество его сторон, применяется соотношение s=(n−2)⋅180 градусов. Сколько сторон у многоугольника, если сумма его внутренних углов равна 9?00°?
• Вычислить 30281
  Один угол скелета на 30 градусов больше другого. Вычислите все его углы.
• Сумма 18
  Сумма трех углов треугольника равна 180°. Найдите третий угол треугольника, если первый и второй углы равны 58,3° и 45,5°.
• Три числа
  Насколько увеличится сумма трех чисел, если первое число увеличится на 14, второе — на 15, а третье — на 16? Выберите любые три двузначных числа и докажите результаты.
• Два угла
  Треугольники ABC и A’B’C’ подобны. В треугольнике ABC два угла равны 25° и 65°. Объясните, почему в треугольнике A’B’C’ сумма двух углов равна 90 градусов.
• Углы ромба
  Если один угол ромба равен 137,6°, чему равен соседний с ним угол ромба?
• Внутренние углы трапеции
  Трапеция, в которой AB параллельна CD, имеет угол A: угол D = 4:5, угол B = 3x-15 и угол C = 4x+20. Найдите углы A, B, C и D.
• В треугольнике
  В треугольнике ABC величина внутреннего угла гамма равна одной трети угла альфа. Размер угла бета на 80 градусов больше размера угла гамма. Вычислите величины внутренних углов треугольника ABC.
• Сумма углов 180
  В треугольнике ABC мера ∠A равна 30°, а мера ∠C равна 90°. Какова мера ∠B?
• Внутренние углы
  ABCD — это равнобедренная трапеция, на которой выполняются: |AB| = 2 |ВС| = 2 |CD| = 2 |DA|: На стороне BC есть точка K такая, что |BK| = 2 |KC|, на его стороне CD есть точка L такая, что |CL| = 2 |LD|, а на его стороне DA точка M такова, что | ДМ | = 2 |МА|. Дет
• Рассчитать 6687
  Рассчитать размеры оставшихся внутренних и внешних углов. Альфа с запятой α’=140° и бета с запятой β’=100°.
• Треугольники 6682
  Треугольники ABC и A’B’C’. Они подобны. В треугольнике ABC два угла равны 25 градусов и 65 градусов. Объясните, почему в треугольнике A’B’C’ сумма размеров двух углов равна 90 градусам
• Прямоугольная трапеция
  Сколько внутренних прямых углов у прямоугольной трапеции?
• Внешние углы
  Внешний угол треугольника ABC при вершине A равен 71°40′, внешний угол при вершине B равен 136°50′. Какую величину имеет угол внутреннего треугольника при вершине С?
• Правильные многоугольники
  Два правильных многоугольника x и y таковы, что количество сторон x на три больше, чем количество сторон y. Если сумма внешних углов x и y равна 117°, сколько сторон имеет x?

Q4 Изучите таблицу Каждая фигура разделена на треугольники и сумма углов выведена из треугольников…

Перейти к

• Упражнение 3.1
• Упражнение 3.2
• Упражнение 3.3
• Упражнение 3.4

• Рациональное число
• Линейные уравнения с одной переменной
• Понимание четырехугольников
• Практическая геометрия
• Обработка данных
• Квадраты и квадратные корни
• Кубы и кубические корни
• Сравнение количеств
• Алгебраические выражения и тождества
• Визуализация твердых фигур
• Измерение
• Показатели и силы
• Прямые и обратные пропорции
• Факторизация
• Введение в графики
• Игра с числами

Главная > Решения НЦЭРТ Класс 8 Математика > Глава 3. Понимание четырехугольников > Упражнение 3.1 > Вопрос 4

Вопрос 4 Упражнение 3.1

В4) Изучите таблицу. (Каждая фигура делится на треугольники и из них выводится сумма углов

.)

Часть-2

Что вы можете сказать о сумме углов выпуклого многоугольника с числом сторон?

(a) 7 (b) 8 (c) 10 (d) n

Ответ:

Решение 4:

(i): На рисунке сумма углов = (n-2) x 180

Используя формулу, (n-2) x 180 (дано)

= (3-2) x 180

Следовательно, 1 x 180 = 180 градусов.

(ii): На рисунке сумма углов = (n-2) x 180

Используя формулу, (n-2) x 180 (дано)

=(4-2) х 180

Следовательно, 2 х 180 = 360 градусов.

(iii): На рисунке сумма углов = (n-2) x 180

Используя формулу, (n-2) x 180 (дано)

= (5-2) x 180

Следовательно , 3 х 180 = 540 градусов.

(iv): На рисунке сумма углов = (n-2) x 180

Используя формулу, (n-2) x 180 (дано)

= (8-2) x 180

Следовательно , 6 х 180 = 720 градусов.

Часть-2

(a): n=7

по формуле.

=(7-2) х 180

= 5 х 180

= 900 градусов.

(б): n=8

по формуле.

= (8-2) х 180

= 6 х 180

= 1080 градусов.

(в): n=10

по формуле

=(10-2) x 180

=8 x 180

=1440 градусов.

(d): n=n

по формуле

=(n-2) x 180

=180n — 360 **Какова сумма углов выпуклого четырехугольника?**

Q2) Сколько диагоналей имеет каждый из следующих элементов? (a) Выпуклый четырехугольник, (b) Правильный шестиугольник…

Q3) Чему равна сумма мер углов выпуклого четырехугольника? Сохранится ли это имущество…

Q5) Что такое правильный многоугольник? Назовите правильный многоугольник (i) 3 стороны (ii) 4 стороны (iii) 6. ..

Q7)(i)Найти x+y+z(ii)Найти x+y+z+w

Q6) Найдите угловую меру x на следующих рисунках. (i) (ii) (iii) (iv)

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнение 3.1

Упражнение 3.2

Упражнение 3.3

Упражнение 3.4

Главы

рациональные числа

Линейные уравнения в одной вариабельной

Понимание квадрицидилялов

Практическая геометрия

70010 УСПЕХА КВАРДИЧЕСКИЙ

ПРАКТИЧЕСКИЕ Геометрия

.