Сумма возрастающей геометрической прогрессии: Cумма бесконечной геометрической прогрессии — урок. Алгебра, 11 класс.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| ‘) + ‘//www.google.com/cse/cse.js?cx=’ + cx; var s = document.getElementsByTagName(‘script’)[0]; s.parentNode.insertBefore(gcse, s); })();

Главная&nbsp>&nbsp Wiki-учебник&nbsp>&nbsp Математика&nbsp>&nbsp9 класс&nbsp>&nbspСумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

 

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Понятие геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .

Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).

Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.

Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Теперь положим (Xn) – геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии q, причем |q|∞).
Если теперь за S обозначить сумму бесконечно геометрической прогрессии, тогда будет иметь место следующая формула:
S=x1/(1-q).

Рассмотрим простой пример:

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 2, -2/3, 2/9, — 2/27, … .

Для нахождения S воспользуемся формулой суммы бесконечно арифметической прогрессии. |-1/3| < 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЧетные и нечетные функции: графики и свойства

Твитнуть

Нравится

Нравится

Второй член геометрической прогрессии » задачи

прогрессия »

• Первый член возрастающей арифметической прогрессии и первый член возрастающей геометрической прогрессии равны 3.

  Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической прогрессии на 6; третьи члены прогрессий одинаковы. Найдите первые три члена каждой прогрессии.
  Решение: Дано:
  a₁ = 3 первый член арифметической прогрессии
  a₂ = b₂ + 6
  b₁ = 3  первый член геометрической прогрессии
  a₃ = b₃
  Решение:
  a₂ = a₁ + d = 3 + d
  b₂ = b₁*q = 3q
  a₃ = a₁ + 2d = 3 + 2d
  b₃ = b₁*q² = 3q²
  {3 + 2d = 3q²     так как a₃ = b₃
  {3 + d = 3q + 6  так как a₂ = b₂ + 6, а b₂ = 3q
  d = 3q + 3
  3 + 2(3q + 3 )= 3q²
  3 + 6(q + 1 )= 3q²
  1 + 2(q + 1 )= q²
  1+ 2q + 2 =  q²
   q² — 2q — 3 = 0
  q₁ = (2 — √16) / (2∙1) = -1 не подходит
  q₂ = (2 + √16) / (2∙1) = 3
  q = 3
  d = 3q + 3 = 3*3 + 3 = 12
  a₁ = 3
  a₂ =  3 + d = 3 + 12 = 15
  a₃ = a₂ + d = 15 + 12 = 27
  b₁ = 3
  b₂ = b₁*q = 3*3 = 9
  b₃ = b₁*q² = 3*3² = 27
  

• Второй и пятый члены геометрической прогрессии равны 25,5 и 688,5.

  (n − 2)=a(n)/а1

  q=корень степени (n − 2) из [a(n)/а1]

  q=корень степени (5 − 2) из [688,5/25,5] =корень степени (3) из [27] = 3

  Проверяем:

  25,5 — 2-й член прогрессии

  25,5*3=76,5 — 3-й член прогрессии

  76,5*3=229,5 — 4-й член прогрессии

  229,5*3=688,5 — 5-й член прогрессии

  Ответ: 76,5 — 3-й член прогрессии; 229,5 — 4-й член прогрессии.
  

• В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего члена равна 164. А произведение второго и предпоследнего — 324. Найти последний член прогрессии.

  
  Решение: Пусть у нас дана геометрическая прогрессия b(n): первый член её равен b1, а последний — bn.

  Тогда, b1 + bn = 164

  Выразим второй и предпоследний член через уже известные:

  b2 = b1q

  b(n-1) = bn/q

  Заменим вместо второго и предпоследнего членов их выражениями, получим:

  b(n-1) * b2 = b1q *bn/q = b1 * bn

  Теперь можем составить системку из двух уравнений и найти из неё последний член:

  b1 + bn = 164

  b1 * bn = -324

  Эту систему решим способом подстановки. 3}{1-q} = 25 * \frac{1-0.0256}{1-0.4} =25 * 1.624 = 40.6\\ \\ ili \ takoj \ variant\\ \\ \ b_1 = 25\\ b_3 = 29 — 25 = 4\\ b_2 = 25 * 0.4 = 10\\ b_4 = 11.6 — 10 = 1.6\\ S_4 = 25 + 4 + 10+1.6 = 40.6\\ $$

• Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если второе и третье уменьшить на 1, а первое оставить без изменения, то полученные числа будут составлять геометрическую прогрессию со знаменателем 3. Найти эти числа.

  
  Решение: РЕШЕНИЕ
  Для арифметической прогрессии — три последовательных члена
  a +nd и a+(n+1)d и a + (n+2)d
  Изменяем по условию заменив a +nd  на b
  b и  b+(d-1) и b + (2d-1).
  Пишем выражения для знаменателя геометрической прогрессии
   b+2d-1 = 3*(b+d-1) = 3b +3d -3
  2b+d-2 = 0
  d = 2*(b-1)
  Возвращаем подстановку
  3*(a + nd)  =b*q = a+nd-1
  3*a+ 3nd = a + nd-1
  a+nd =1/2
  ОТВЕТ НЕПОЛНЫЙ 
  

• Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию.

  Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
  Решение: Пусть А Б С, прогрессия

  то по признаку геометрич. прогрессии Б²=А*С

  после того как от С отняли 4 то А Б С-4 стала арифм прогр

  по признаку арифмет Б=( А+(С-4) ) /2

  и наконец когда отняли по еденицы от 2х первых, А Б-1 С-5, то стала опять геотметрической где (Б-1)²=А*(С-5)

  получаем систему

   Б²=А*С

  2Б= А+(С-4) 

  (Б-1)²=А*(С-5)

  Решаем систему, получаем корни (1;3;9) и (1/9 ;7/9 ;49/9 )

  Ответ 1 3 9 

• Первый член геометрической прогрессии меньше второго на 10%. На сколько процентов первый член прогрессии меньше третьего?

  
  Решение: Решение:
  Первый член b1, тогда второй член геометрической прогрессии равен:
  b2=b1 +10% *b1:100%=b1+0,1b1=1,1b1
  Чтобы найти третий член геометрической прогрессии найдём знаменатель прогрессии:
  q=b2 : b1=1,1b1 :b1=1,1
  b3=b2*q=1,1b1*1,1=1,21b1
  Первый член данной геометрической прогрессии меньше третьего члена на:
  (1,21b1 — b1) *100%=21*b1% или на 21%
  

• Суммы второго и третьего членов геометрических прогрессии = 30, а разница четвертого и второго = 90. 2*4=4 значит a1=1

  a2=1*2=2

  a4=8

  a6=32

  a2+a4+a6=42

789

Математические визуализации | Геометрическая последовательность

Геометрические последовательности или геометрические прогрессии
Геометрия Реальный анализ Комплексный анализ Вероятность История Помощь Контакт Ссылки Карта сайта Обновления Испания	Последовательность — это упорядоченный список чисел. Некоторые последовательности следуют шаблону. Каждое число в последовательности называется срок . Если мы рассматриваем последовательность как функцию, ее областью определения являются натуральные числа. Геометрическая последовательность (или геометрическая прогрессия) — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого задается путем умножения предыдущий на фиксированное ненулевое число, константу, называемую обыкновенным отношением . Любой член геометрической прогрессии можно выразить формулой для общего члена: При соотношении r больше 1 имеем возрастающую последовательность (экспоненциальный рост). Даже если отношение очень мало, последовательность начинает медленно увеличиваться, но после достаточного количества шагов рост становится все больше и больше. Например, это это результат после 300 шагов, если соотношение равно 1,01: Если отношение r положительно и меньше 1, то последовательность убывающая и общий член стремится к 0. Когда отношение r отрицательно, последовательность чередуется. Если отношение r находится в диапазоне от -1 до 0, переменная последовательность имеет общий член, стремящийся к 0. Если отношение r меньше -1, переменная последовательность по модулю стремится к бесконечности (без знака, если рассматривать значение из-за переменного знака). Мы можем рассмотреть сумму n членов геометрической прогрессии. Мы можем вывести формулу: В следующем приложении мы можем поиграть с разными случаями с положительным знаменателем: Вы можете увидеть поведение, если общее отношение больше 1 (сумма растет и растет): Если общее отношение меньше 1, сумма приближается к числу: Серия — это сумма бесконечных членов последовательности. Если положительное r меньше 1, вы можете суммировать эти бесконечные числа, и результатом будет число. Можно сказать, что ряд сходится (оно приближается к некоторому пределу). Если положительный r больше или равно 1, то ряд не приближается к некоторому числу, потому что он становится все больше и больше. Тогда можно сказать, что ряд расходится. В следующем приложении мы можем поиграть с общим случаем. Теперь общий рацион может быть положительным или отрицательным: Расходящийся чередующийся ряд: Сходящийся альтернативный ряд: Условие сходимости геометрического ряда с ненулевым знаменателем r : И формула такова: БОЛЬШЕ ССЫЛОК

Математическая задача: Геометрическая последовательность 4

Дана геометрическая последовательность a ₃ = 7 и a ₁₂ = 3. Вычислите s ₂₃ (= сумма первых 23 членов последовательности).

Правильный ответ:

s ₂₃ =  83,26

Пошаговое объяснение:

a3​=a1​q3−1=7 a12​=a1​q12−1=3 3/7=q12− 3=q9 q=93/7

​=0,9102  a1​0,91023−1=7 a1=7/0,91023−1=8,4503 s23=a1q−1q23−1=8,45030,9102−10,910223−1=83,26

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

написать нам

. Спасибо!

Чтобы решить эту математическую задачу, вам необходимо знать следующие знания:

• алгебра
• геометрическая прогрессия
• арифметика 5 80094

  Оценка словесной задачи:

  • средняя школа
  • Пять элементов
    Геометрическая последовательность определяется частным q = 1/2 и суммой первых шести членов S ₆ = 63. Найдите пятый элемент a ₅ .
  • Геометрическая последовательность 5
    О членах геометрической последовательности мы знаем: 3 а ₅ :а ₃ = 27:25 7 а ₃ +5 а ₇ = 1 : 564 6 15 (первый член) и q (обычное отношение или коэффициент q)
  • Геометрическая последовательность 3
    В геометрической прогрессии это ₈ = 312500; а ₁₁ = 39062500; с _н =1953124. Вычислите первый элемент a
    1 ​​ , частное q и n — количество членов по их сумме s_n.
  • Пять членов
    Запишите первые пять членов геометрической прогрессии и определите, является ли она возрастающей или убывающей: а _{1 ​​} = 3 q = -2
  заданные единицы, они образуют первые семь членов геометрической прогрессии. 9n) +2
  • AS последовательность
    В арифметической последовательности дана разность d = -3 и a ₇₁ = 455. а) Определить значение a ₆₂ б) Определить сумму 71 членов.
  • GP — три члена
    Второй и третий элементы геометрической прогрессии равны 24 и 12(c+1) соответственно, учитывая, что сумма первых трех членов прогрессии равна 76. Определите значение c.
  • Последовательности AP + GP
    Три числа, составляющие арифметическую последовательность, имеют в сумме 30. Если из первых 5 вычесть, из вторых 4, а третье оставить, то получится геометрический ряд. Найдите членов AP и GP.
  • Определить 2426
    Определить первые девять членов последовательности, если a ₁₀ = -8, q = -1.

    No related posts.