Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х0 предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х0, то близко к L и значение f(x).
На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.
Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а
К основным свойствам пределов функции относят:
предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.
Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.
Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x из δ-окрестности a (|x — a|
Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x — a| |f(x) — f(a)|
Обозначение
lim x → a
f(x) = b
Свойства пределов
lim x → a
(f(x) + g(x) — h(x)) =
lim x → a
f(x) +
lim x → a
g(x) —
lim x → a
h(x)
lim x → a
(f(x) * g(x)) =
lim x → a
f(x) *
lim x → a
g(x)
lim x → a
(cf(x)) = c *
lim x → a
f(x)
lim x → a
(
f(x) g(x)
) =
lim x → a
f(x)
lim x → a
g(x)
(
lim x → a
g(x) ≠ 0)
Замечательные пределы
lim x → 0
sinx x
= 1
lim x → ∞
(1 +
1 x
)
x
=
lim α → 0
(1 + α)
1 α
= e
e = 2,718281828459045235360287471352662497757. {3}-x+7\right)=7$
2 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Нахождение предела суммы, разности и произведения.
Найдите предел многочлена.
Найдите предел силы или корня.
Найдите предел частного.
Нахождение предела суммы, разности и произведения
Построение графика функции или изучение таблицы значений для определения предела может быть громоздким и занимать много времени. Когда это возможно, более эффективно использовать свойства пределов , который представляет собой сборник теорем для нахождения пределов.
Знание свойств пределов позволяет нам напрямую вычислять пределы. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить пределы функций, как если бы мы выполняли операции над самими функциями, чтобы найти предел результата. Точно так же мы можем найти предел функции, возведенной в степень, возведя предел в эту степень. Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела. Используя эти операции над пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых составляющих функций.
A Общее примечание: свойства пределов
Пусть [латекс]а,к,А[/латекс] и [латекс]В[/латекс] представляют действительные числа, а [латекс]f[/латекс] и [латекс ]g[/latex] — функции, такие, что [latex]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=A[/latex] и [latex]\underset{ x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=B[/latex]. Для пределов, которые существуют и являются конечными, свойства пределов суммированы в таблице ниже.
[латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=A+B[/latex]
Различие функций
[латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)-\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=AB[/latex]
Произведение функций
[латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=A\cdot B[/latex ] 9{n}[/latex], где [latex]n[/latex] — целое положительное число
Оцените следующий предел: [latex]\underset{x\to -12}{\mathrm{lim}}\left(-2x+2\right)[/latex].
Показать раствор
Попробуйте
Нахождение предела многочлена
Не все функции или их пределы предполагают простое сложение, вычитание или умножение. Некоторые могут включать полиномы. Напомним, что многочлен — это выражение, состоящее из суммы двух или более слагаемых, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе. Кроме того,
предел полиномиальной функции при приближении [latex]x[/latex] к [latex]a[/latex] эквивалентен простому вычислению функции для [latex]a[/latex] .
Как: Для заданной функции, содержащей многочлен, найти ее предел.
Используйте свойства пределов, чтобы разбить многочлен на отдельные члены.
Найдите пределы отдельных терминов.
Сложите ограничения вместе.
В качестве альтернативы оцените функцию для [latex]a[/latex] . 9{3}+5\вправо)[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Нахождение предела степени или корня
Когда предел включает в себя степень или корень, нам нужно другое свойство, которое поможет нам оценить его. Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое относится и к высшим силам. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу квадратного корня функции; то же верно и для высших корней. 9{2}+6x+8}{x — 2}\right)[/latex] , можем ли мы определить предел функции, когда [latex]x[/latex] приближается к [latex]a[/latex] ?
Да. Некоторые функции можно алгебраически переставить, чтобы можно было оценить предел упрощенной эквивалентной формы функции.
Нахождение предела частного
Нахождение предела функции, выраженной в виде частного, может оказаться более сложной задачей. Нам часто нужно переписать функцию алгебраически, прежде чем применять свойства предела. Если знаменатель равен 0, когда мы применяем свойства предела напрямую, мы должны переписать частное в другой форме. Один из подходов состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить. 9{2}-11x+28}{7-x}\справа)[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Пример 6.
Оценка предела частного путем поиска ЖК-дисплея }{x}-\frac{1}{5}}{x — 5}\right)[/latex].
Как сделать: Учитывая предел функции, содержащей корень, используйте сопряжение для оценки.
Если частное не находится в неопределенной форме [латекс]\влево(\фракция{0}{0}\вправо)[/латекс], оценить напрямую.
В противном случае перепишите сумму (или разность) двух частных как одно частное, используя наименьший общий знаменатель (LCD) .
Если в числителе есть корень, рационализируйте числитель; умножьте числитель и знаменатель на сопряженное числителя. Напомним, что [latex]a\pm \sqrt{b}[/latex] являются сопряженными.
Упростить.
Оценить полученный лимит.
Пример 7. Вычисление предела, содержащего корень, с помощью сопряжения {x}\right)[/latex].
Показать раствор
Попробуйте
Оцените следующий предел: [латекс]\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{\sqrt{16-h}-4}{h}\right )[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Пример 8. Оценка предела частного функции с помощью факторизации
Оцените следующий предел: [латекс]\underset{x\to 3}{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{x — 3}{\sqrt{x}-\sqrt{3) }}\справа)[/латекс].
Показать раствор
Как: Имея частное с абсолютными значениями, оценить его предел.
Попробуйте разложить или найти ЖК.
Если предел не может быть найден, выберите несколько значений рядом и по обе стороны от входа, где функция не определена. 9{+}}{\mathrm{lim}}\dfrac{6-x}{|x — 6|}[/latex].
Показать раствор
Ключевые понятия
Свойства пределов могут использоваться для выполнения операций над пределами функций, а не над самими функциями.
Предел полиномиальной функции можно найти, найдя сумму пределов отдельных членов.
Предел функции, возведенной в степень, равен той же степени предела функции. Другой метод — прямая замена.
Предел корня функции равен соответствующему корню предела функции.
Один из способов найти предел функции, выраженной в виде частного, состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить.
Еще один метод нахождения предела сложной дроби — найти ЖК.
Предел, содержащий функцию, содержащую корень, может быть оценен с помощью сопряжения.
Пределы некоторых функций, выраженных в виде частных, можно найти с помощью факторизации.
Одним из способов оценки предела частного, содержащего абсолютные значения, является использование числовых данных. Настройка его по частям также может быть полезной.
Глоссарий
свойства пределов
сборник теорем для нахождения пределов функций путем выполнения математических операций над пределами
Свойства пределов
Обозначение предела
Ограничение функции обозначено цифрой f ( x ) → L как x → a или используя предельное обозначение:
\[\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L.\]
Далее предполагается, что пределы функций \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right),\) \(\lim\limits_{x \to a} g\left( x \ справа),\) \(\lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right),\) \(\ldots,\) \(\lim\limits_{x \to a} { f_n}\left( x \right)\) существуют.
Правило суммы
Это правило гласит, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов:
\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f \left( x \right) + \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right). \]
Правило расширенной суммы
\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) + \ldots + {f_n}\left( x \right)} \right] = \lim\limits_ {x \to a} {f_1}\left( x \right) + \ldots + \lim\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right).\]
Правило постоянной функции
Пределом постоянной функции является константа:
\[\lim\limits_{x \to a} C = C.\]
Постоянное множественное правило
Предел константы, умноженной на функцию, равен произведению константы на предел функции:
\[\lim\limits_{x \to a} kf\left( x \right) = k\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right).\]
Продукт Правило
Это правило гласит, что предел произведения двух функций есть произведение их пределов (если они существуют):
\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\ влево( x \вправо) \cdot \lim\limits_{x \to a} g\влево( x \вправо).\]
Расширенное правило продукта
\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right){f_2}\left( x \right) \cdots {f_n}\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdots \lim \limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right). \]
Частное правило
Предел частного двух функций есть частное их пределов при условии, что предел в знаменателе функции не равен нулю:
\[\lim\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)}},\;\;\; \text{if}\;\;\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0.\]
Сила Правило 9{\lim\limits_{x \to a} f\left(x\right)}},\]
, где основание \(b \gt 0.\)
Предел логарифма функции
\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {\log _b f\left( x \right)} \right] = \log_b \left[ {\lim\limits_{x \to a} f \влево( х \вправо)} \вправо],\]
, где основание \(b \gt 0.\)
Теорема сжатия
Предположим, что \(g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le h\left( x \right)\) для всех \(x\), близких к \(a,\) за исключением, быть может, \(х = а\). Если
\[\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a} h\left( x \right) = L,\]
{3}-x+7\right)=7$
{3}=125$
Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела. Используя эти операции над пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых составляющих функций.
Напомним, что многочлен — это выражение, состоящее из суммы двух или более слагаемых, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе. Кроме того, 
Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое относится и к высшим силам. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу квадратного корня функции; то же верно и для высших корней. 9{2}+6x+8}{x — 2}\right)[/latex] , можем ли мы определить предел функции, когда [latex]x[/latex] приближается к [latex]a[/latex] ?
9{+}}{\mathrm{lim}}\dfrac{6-x}{|x — 6|}[/latex].
Настройка его по частям также может быть полезной.
\]
\]